专题07 平面直角坐标系重难点题型汇编（四大高频题型四大易错题型）-2025-2026学年八年级数学上册高频考点题型归纳与满分必练（苏科版新教材）

专题07 平面直角坐标系重难点题型汇编 【题型1 两点间距离】..........................................................................................................1 【题型2 求平面直角坐标系中动点问题的面积】.................................................................10 【题型3 平面直角坐标系中规律题探究】..........................................................................20 【题型4 等腰三角形个数讨论问题】...................................................................................30 【题型1 两点间距离】 1．阅读一段文字，再回答下列问题：已知在平面内两点的坐标为，则该两点间距离公式为，同时，当两点在同一坐标轴上或所在直线平行于轴或平行于轴时，两点间的距离公式可化简成或． (1)若已知两点，试求两点间的距离； (2)已知点在平行于轴的直线上，点的纵坐标为7，点的纵坐标为，试求，两点间的距离； (3)已知一个三角形各顶点的坐标为，，请求出该图形的面积． 【答案】(1) (2)9 (3) 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理、两点坐标距离公式，理解两点坐标距离公式是解答的关键． （1）直接将两点坐标代入公式求解即可； （2）直接根据平行于轴时，两点间的距离公式求解即可； （3）先利用两点坐标距离公式求得的值，再验证成立，进而利用勾股定理的逆定理得到是直角三角形，然后利用面积公式求解即可． 【详解】（1）解：因为点， 所以， 即两点间的距离是． （2）解：因为点在平行于轴的直线上，点的纵坐标为7，点的纵坐标为， 所以， 即两点间的距离是9． （3）解：因为一个三角形各顶点的坐标为， 所以，， ． 因为， 所以是直角三角形， 所以． 2．阅读材料，在平面直角坐标系中，已知轴上两点、的距离记作，如果、是平面上任意两点，我们可以通过构造直角三角形来求间的距离．如图，过、分别向轴、轴作垂线、和、，垂足分别是、、、，直线交于点，在中，，，．由此可以得到平面直角坐标系内任意两点、间的距离公式． 利用上面公式解决下列问题： (1)直接应用平面内两点间距离公式计算点，之间的距离． (2)已知点，且，求的值； (3)在平面直角坐标系中的两点，，为轴上任一点，求的最小值； (4)应用平面内两点间的距离公式，求代数式的最小值． 【答案】(1)5 (2)或 (3) (4) 【分析】此题主要考查了利用轴对称求最值问题以及两点之间距离公式，正确转化代数式为两点之间距离问题是解题关键． （1）直接利用两点之间距离公式直接求出即可； （2）直接利用两点之间距离公式建立关于的方程，求解即可； （3）利用轴对称求最短路线方法得出点位置，进而求出的最小值； （4）根据原式表示的几何意义是点到和的距离之和，点在以和为端点的线段上时其距离之和最小，进而求出即可． 【详解】（1）解：平面直角坐标系内任意两点、有：， 点，之间的距离为：， 故答案为：5； （2）解： ，且， 即， ，， 解得：，， 的值为或； （3）解：如图， 作点关于轴对称的点，连接， 直线与轴的交点即为所求的点，的最小值就是线段的长度， ， ， ， 的最小值， 即为的最小值为； （4）解：表示点到和的距离之和， 由两点之间线段最短，点在以和为端点的线段上时，原式值最小，即为到的距离， 最小值为． 3．阅读下列一段文字，然后回答问题． 已知在平面内两点，，其两点间的距离，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为或． (1)已知、，则　　　　　　； (2)已知轴，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为，则　　　　　　． (3)已知一个三角形各顶点坐标为、、，请判定此三角形的形状，并说明理由． 【答案】(1)13 (2)6 (3)等腰直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查勾股定理的应用，等腰三角形的判定，勾股定理的逆定理，读懂题意，运用两点间距离公式是解题的关键． （1）根据两点间距离公式求解即可； （2）根据两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴时的两点间距离公式求解即可； （3）根据两点间距离公式求出三角形的三边长，即可判定三角形的形状． 【详解】（1）解：∵、， ∴． 故答案为：13 （2）解：∵轴，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为， ∴． 故答案为：6 （3）解：是等腰直角三角形，理由如下： ∵、、， ∴， ， ， ∴，， ∴是等腰直角三角形． 4．先阅读下列一段文字，再回答后面的问题：已知在平面直角坐标系内两点，其两点间的距离，同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为或． (1)已知两点间的距离为__________； (2)已知线段轴，，若点M的坐标为，则点N的坐标为_____________________； (3)已知一个三角形各顶点坐标为，此三角形的形状是__________三角形． (4)在平面直角坐标系中的两点为x轴上任一点，则的最小值为__________． 【答案】(1) (2)或 (3)等腰 (4)5 【分析】本题考查两点间距离公式，等腰三角形的定义，轴对称求最短路径等，理解两点间距离公式是解题的关键． （1）利用两点间距离公式直接计算； （2）由轴，，可得，解方程即可； （3）利用两点间距离式求出三条边长，即可判断三角形的形状； （4）作点关于x轴的对称点，则． 【详解】（1）解：两点间的距离为：， 故答案为：； （2）解： 轴，点M的坐标为，， 点N的横坐标为2，， 或， 或， 点N的坐标为或， 故答案为：或； （3）解： ， ， ， ， 此三角形的形状是等腰三角形， 故答案为：等腰； （4）解：如图，作点关于x轴的对称点， 则， ， 即的最小值为5． 故答案为：5． 5．阅读下列一段文字，然后回答下列问题． 已知在平面内有两点、，其两点间的距离，同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可化简为或． (1)已知，试求A、B两点间的距离______； (2)已知M、N在平行于y轴的直线上，点M的纵坐标为4，点N的纵坐标为，试求M、N两点的距离为______； (3)已知一个三角形各顶点坐标为，你能判定此三角形的形状吗？说明理由； (4)在（3）的条件下，平面直角坐标系中，在x轴上找一点P，使的长度最短，求的最短长度． 【答案】(1)13 (2)5 (3)为等腰直角三角形，理由见解析 (4) 【分析】本题考查了两点间的距离公式，也考查了等腰三角形的判定和勾股定理．关键是学会用两点间的距离求两点的距离． （1）直接利用两点间的距离公式计算； （2）根据平行于y轴的直线上所有点的横坐标相同，所以M、N间的距离为两点的纵坐标之差的绝对值； （3）先利用两点间的距离公式计算出，然后即可判断的形状； （4）如图，作F关于x轴的对称点，连接交x轴于P，则此时，的长度最短，根据两点间距离公式进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：13； （2）解：因为M、N在平行于y轴的直线上，点M的纵坐标为4，点N的纵坐标为， 所以，， 故答案为：5； （3）解：为等腰直角三角形．理由如下： ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形； （4）解：如图，作F关于x轴的对称点，连接交x轴于P， ∴， ∴， 根据两点之间线段最短知的最小值为的长， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴的最短长度为． 6．阅读下列一段文字，然后回答下列问题．已知在平面内两点，，其两点间的距离．同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为或． (1)已知，，试求、两点间的距离； (2)求代数式的最小值． (3)已知，在轴上是否存在一点，使为等腰三角形，若存在请直接写出点的坐标；若不存在说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)或或或． 【分析】本题主要考查了两点间的距离公式，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，运用分类思想是解题的关键． （1）利用公式代入即可； （2）由题意可得相当于点到点和点到点的距离之和，当且仅当三点共线且点位于点和点之间时，距离之和最小，即可求出答案； （3）根据等腰三角形的性质，分三种情况利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：，， ； （2）解：相当于点到点和点到点的距离之和， 当且仅当三点共线且点位于点和点之间时，距离之和最小，即取得最小值， 即的最小值为 （3）解：存在， ， ， 设， ∴，， 当时，，则，解得，此时或； 当时，，则，解得或（此时为P原点，舍去），此时； 当时，，则，解得，此时； 综上，或或或． 【题型2 求平面直角坐标系中动点问题的面积】 1．如图，在长方形中，为平面直角坐标系的原点，点的坐标为，点的坐标为，且、满足，点在第一象限内，点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线运动，回到点，停止移动．设点运动的时间为； (1)点的坐标为______；当点运动5秒时，点的坐标为______． (2)在点运动过程中，当的面积为一个定值时，则的取值范围是______； (3)在路线的运动过程中，是否存在某个时刻，使的面积是？若存在，求出点运动的时间；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查了平面直角坐标系的认识，二次根式和绝对值的非负性，动点问题． （1）利用二次根式和绝对值的非负性求出即可求出，判断的运动位置即可求出点的坐标． （2）当在线段上时，的面积为一个定值． （3）根据的不同位置分类讨论即可． 【详解】（1）解：，， ， ， ，, , 当时，运动10个单位，此时运动到点，故坐标为． （2）当在线段上时，的面积为一个定值． 在点时：， 在点时：， 故答案为：． （3）①当在线段上时， ，即， ， ； ②当在线段上时， ，即， ， ， ； 故答案为：或． 2．在如图所示的平面直角坐标系中，已知点． (1)求的面积； (2)若是轴上一动点，当时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了三角形的面积公式． （1）根据点的坐标求出的长和边上的高得长度，再根据面积公式即可求解； （2）先根据面积公式求出的长，再求点的坐标． 【详解】（1）解：点， ，边上的高为， ． （2）由（1）可得， 则， ， 点的坐标为或． 3．在平面直角坐标系中、，a、b满足． (1)如图1，求点A、B的坐标； (2)如图2，y轴上有一点E，的面积是6，求点E的坐标； (3)如图3，将线段沿x轴的正方向平移4个单位长度，过A、B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为D、C，在坐标平面内是否存在点，使得与的面积相等，且与的面积相等？若存在，请求P点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】本题是三角形综合题，考查了非负性，三角形的面积公式，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． （1）利用非负性可求a、b的值，即可求解； （2）分两种情况讨论：①当E在直线上方时；②当E在直线下方时；分别根据的面积是6，列方程求解； （3）由与的面积相等，列出方程可求m的值，再分两种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：∵，且， 又∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，； （2）解：设E为， 分以下两种情况讨论： ①如图，当E在直线上方时，作轴，作连接， 则 ， ∴，， ②当E在直线下方时，同样可得， ∴，， ∴点E的坐标为或； （3）解：存在，设点P的坐标为，由平移得、，则、， 依题意知点P不可能在梯形的上方或线段的右上方或线段左方，故分以下两种情形： ①如图，当点P在梯形的内部时， ∵， ∴， ∴，， ∵， ， ∴， 解得， ∴； ②如图，当点P在梯形的下方时， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴点在x轴上， 如图，作轴于G，连接， ， ， ∴， 解得， ∴， 综上所述，P点的坐标为或． 4．如图，平面直角坐标系中中，点，点，且，满足，线段与轴相交于点，点在轴上， (1)求，的值； (2)如图1，若三角形的面积大于，求的取值范围； (3)如图2，点，点在线段上，若，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】本题考查了非负数的性质，坐标与图形，一元一次不等式的应用． （1），根据绝对值与平方数的非负性求解、； （2），过点作轴，设，根据，先求出点坐标，再根据三角形面积公式列出不等式求解； （3），先说明是的中点，进而利用面积关系得出，根据得出，根据，得出，即可求解． 【详解】（1）因为，又因为，， 所以， 两式相加得， 解得， 把代入，得， 解得． （2）如图，过点作轴，设 ∵ ∴ ∵，， ∴ ∴ 解得： ∴． ∵点在轴上， ∴， ∵， ∴， ，即或， 解得或． （3）∵ ∴是的中点， ∴ ∴，则 ∵，， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ 连接，如图， ∵ ∴ ∴ 解得： ∴ 5．如图，在长方形中，点O为平面直角坐标系的原点，点A的坐标为，点C的坐标为，且a，b满足．点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O→C→B→A→O的线路移动． (1)点B的坐标为__________；当点P移动5秒时，点P的坐标为__________； (2)在移动过程中，当点P到x轴的距离为4个单位长度时，求点P移动的时间； (3)在的线路移动过程中，是否存在点P使的面积是20，若存在，直接写出点P移动的时间；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)2秒或14秒 (3)秒或秒 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中点的图形与坐标、非负数的性质、三角形的面积、动点问题等知识点，正确地用代数式表示点P移动的距离是解题的关键． （1）先根据非负数的性质求得a，b，可得A，C的坐标，进而可求得点B的坐标，然后计算点P的坐标即可； （2）设点P移动的时间为t秒，点P到x轴的距离为4个单位长度，则点P在边上或边上，分别列方程求出t的值即可； （3）设点P移动的时间为t秒，当点P在边上时；当点P在边上时，分别解方程求出相应的值即可． 【详解】（1）解：∵，，， ，， ，，即， ∵四边形是长方形， ，， ∴点B的坐标为； 当点P移动5秒时，则移动的距离是， 此时点P在边上，且， 点P的坐标为． 故答案为：，． （2）解：设点P移动的时间为t秒， 当点P到x轴的距离为4个单位长度时，有以下两种情况： ①点P在边上时，，解得：； ②点P在边上时，，解得：． 综上所述，点P移动的时间为2秒或14秒． （3）解：存在，设点P移动的时间为t秒， 如图1，当点P在边上时， ，且，， ，解得：； 如图2，当点P在边上时， ，且，， ，解得：． 综上所述，点P移动的时间为秒或秒． 【题型3 平面直角坐标系中规律题探究】 1．如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如，，，，，，…根据这个规律，第2025个点的横坐标为（   ） A．42 B．43 C．44 D．45 【答案】D 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标规律，难度较大．根据题意得到规律第n个正方形，连同前边所有正方形共有个点，当n为奇数时，正方形且终点为，当n为偶数时，且终点为．根据，求出，即可得到第2025个点的横坐标为45． 【详解】解：由图可知：第一个正方形共有个点，且终点为； 第二个正方形连同第一个正方形共有个点，且终点为； 第三个正方形连同前两个正方形共有个点，且终点为； 第四个正方形连同前三个正方形共有个点，且终点为； … ∴第n个正方形，连同前边所有正方形共有个点，当n为奇数时，正方形终点为，当n为偶数时，且终点为． ∵， ∴， 解得：． ∴第2025个点的横坐标为45． 故选：D 2．如图，一些点按照一定的规律排列：点，点，点，点，点，…，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了图形坐标规律探索，解决本题的关键是用代数式表示规律和分类思想． 通过发现特殊点的坐标与序号的关系，得出横坐标，纵坐标与点的序号之间关系，从而确定规律求解即可． 【详解】解：观察图形可得：点，，……， 点，，……， ∵2025是奇数，且， ∴， ∴， 故选：C． 3．如图，在平面直角坐标系中，轴，轴，点D，C，P，H在x轴上，，，，，，把一条长为2023个单位长度且没有弹性的细线（线段粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按的规律紧绕在图形“凸”的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标的特点和坐标的规律．根据坐标的特点，长度为2时，对应点为B，长度为4时，对应点为C，长度为6时，对应点为D，长度为8时，对应点为E，长度为11时，对应点为F，长度为14时，对应点为G，长度为16时，对应点为H，长度为18时，对应点为P，长度为20时，对应点为A，循环节为20，计算，看余数判断即可． 【详解】解：∵轴，轴，点D、C、P、H在x轴上，，，，，， ∴，，，，，，，，， ∴长度为2时，对应点为B，长度为4时，对应点为C，长度为6时，对应点为D，长度为8时，对应点为E，长度为11时，对应点为F，长度为14时，对应点为G，长度为16时，对应点为H，长度为18时，对应点为P，长度为20时，对应点为A，循环节为20， ∵， ∴细线另一端在上，且与B相距1个单位长度， ∴细线另一端所在位置的点的坐标是 故选：A． 4．如图，在平面直角坐标系中，半径均为个单位的半圆，，，，组成一条平滑的曲线．点从原点出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位，则第秒时，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是点的坐标规律，以时间为点P的下标，根据半圆的半径以及部分点P的坐标可找出规律“，，，”，依此规律即可得出第2024秒时，点P的坐标． 【详解】解：∵圆的半径都为1， ∴半圆的周长， 以时间为点P的下标． 观察发现规律：，，，，，，…， ∴，，，． ∵， ∴第2024秒时，点P的坐标为， 故选：B． 5．在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点出发，按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点，第二次移动到点……第次移动到点，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的点的规律探索问题，仔细观察图形，找出规律是解题的关键． 根据题意可得，，，，，，，由此得出纵坐标规律：以1，1，0，0，1，1，0，0的顺序，每4个为一个循环，可求出点的纵坐标，然后找出下标为奇数的点的横坐标的规律，即可求解． 【详解】解：由题意得：，，，，，，， ∴由此得出纵坐标规律：以1，1，0，0，1，1，0，0的顺序，每4个为一个循环， ∵， ∴点的纵坐标是1， ∵的横坐标为0，的横坐标为1，的横坐标为2，的横坐标为3，的横坐标为4， 由此得：的横坐标为， 故选B． 6．如图，正方形中顶点，轴且边长为2，规定把正方形先沿x轴翻折，再向左平移1个单位长度为一次变换，连续经过2024次变换后，正方形的顶点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查坐标系上点的翻折，平移后点的坐标，依据要求正确求出变化后点的坐标是解题关键． 依次按要求变化后写出坐标，得出坐标与变化次数n的关系即可． 【详解】解：∵点，轴，且边长为2， ∴点的坐标为， 第1次变换后， 第2次变换后， 第3次变换后， 第4次变换后， …… 从而找到规律：当为奇数时，；当为偶数时，． ∴当时，． 故选B． 7．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次平移，每次移动一个单位，得到点，，那么点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点的坐标规律型问题，解题关键是根据点的坐标的变化得到规律，利用得到的规律解题． 动点在平面直角坐标系中按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，只要求出前几个坐标，根据规律找坐标即可． 【详解】解：根据题意可知，，点的纵坐标每个点一个循环， ∵， ∴点在，，的位置上，纵坐标为，横坐标为序号的一半，即， ∴点的坐标，由条件可知坐标为，坐标为， 故选：B． 8．如图，在平面直角坐标系中，，把一根长为2021个单位长度且没有弹性的细线(线的粗细忽略不计)的一端固定在点处，并按的规律绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查点的坐标，长方形的周长，掌握知识点是解题的关键． 由点A，B，C，D的坐标可得出，的长，矩形的周长，结合，细线的另一端所在位置的点在点A左侧1个单位处，即可解答． 【详解】解：由题意得， ∴四边形的周长为：， ∵， ∴细线的另一端所在位置的点在点A左侧1个单位处， 即细线的另一端所在位置点的坐标是． 故选：A． 9．如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为个单位长度，，，，均在格点上，其顺序按图中“”方向排列．如：，，，，，，，根据这个规律，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了直角坐标系中的点的特征，坐标系中点的规律，由，，，，，，，得下标为的倍数的点在第四象限的角平分线上，被除余的点在第三象限的角平分线上，被除余的点在第二象限的角平分线上，被除余的点在第一象限的角平分线上，横坐标和纵坐标的绝对值都为下标除以的商，由，所以的坐标在第三象限的角平分线上，横坐标和纵坐标都为，然后通过第三象限特点即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ， ， ∴下标为的倍数的点在第四象限的角平分线上，被除余的点在第三象限的角平分线上，被除余的点在第二象限的角平分线上，被除余的点在第一象限的角平分线上，横坐标和纵坐标的绝对值都为下标除以的商， ∴， ∴的坐标在第三象限的角平分线上，横坐标和纵坐标都为， ∴的坐标为， 故选：． 10．如图，在平面直角坐标系中，设一质点自处向上运动个单位至，然后向左运动个单位至处，再向下运动个单位至处，再向右运动个单位至处，再向上运动个单位至处，…，如此继续运动下去，则的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了坐标与图形变化，根据象限中点的特征，探究规律即可． 【详解】解：点自处向上运动个单位至 向左运动个单位至 再向下运动个单位至 再向右运动个单位至 再向上运动个单位至 再向左运动个单位至 再向下运动个单位至 再向右运动个单位至 再向上运动个单位至 再向左运动个单位至 …… 由规律可知，每运动次则会回到原来的象限 在第三象限 观察第三象限的点：可知： 的坐标为 即． 故选：D． 11．如图，在平面直角坐标系中，从点 ， ，依此扩展下去，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查数字和位置的规律探索，能够结合图形和点的坐标，寻找到每个象限内点的下标特点是解题的关键．根据各个点的位置关系，可得出下标为4的倍数的点在第一象限，被4除余1的点在第二象限，被4除余2的点在第三象限，被4除余3的点在第四象限，在第一象限，再根据第一象限点的规律即可得出结论． 【详解】解：根据各个点的位置关系，可得出下标为4的倍数的点在第一象限，被4除余1的点在第二象限，被4除余2的点在第三象限，被4除余3的点在第四象限， 由规律可得，， ∴点在第一象限， 点，点，点 ， 可得：第一象限的点横纵坐标相等且为下标的 点． 故选：A． 12．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“”方向排列，如，，，，，，…根据这个规律探究可得，第210个点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了学生的观察图形的能力和理解能力，解此题的关键是根据图形得出规律； 先由图形得出每列上点的个数依次是1、2、3、4、5、…、n，且横坐标是偶数时，箭头朝上，最后一个数在最上边，最后一个点纵坐标比横坐标小1； 再由，可得第210个点的坐标为，继而得出答案． 【详解】解：由图形可知：第1列上共1个数，第2列上共2个数，第3列上共3个数，…，第n 列上共n个数， 则前n列数的总个数为， 且横坐标是偶数时，箭头朝上，最后一个数在最上边，最后一个点纵坐标比横坐标小1， ∵， ∴第210个点在第20列最上边，横坐标为20且纵坐标比横坐标小1为19， ∴第210个点的坐标为， 故选：D． 【题型4 等腰三角形个数讨论问题】 1．在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴上运动，当以点、，为顶点的三角形为等腰三角形时，点的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的定义，勾股定理，掌握知识点是解题的关键．根据等腰三角形的定义，分三种情况讨论：分别求出符合条件的点P的坐标，并验证是否构成三角形即可． 【详解】解：①当时： 的长度为． 设，则的长度为． 由，解得或． 当时，P与O重合，无法构成三角形，舍去；当时，P有效． ②： 的长度为，由，解得或． 对应的点和均不共线，有效． ③： 由，平方后解得． 点与O、A不共线，有效． 综上，符合条件的点P共有4个：、、、． 故选D． 2．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，点C是x轴上的一个动点． (1)当是以为腰的等腰三角形时，求点C的坐标； (2)当点C在x轴上运动时，是否存在一点C，使得的值最小？若存在，求出此时点C的坐标及的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或或 (2)存在，，5 【分析】（1）分别以点Ａ为圆心，以为半径画弧，以点Ｂ为圆心，以为半径画弧，二弧与ｘ轴的交点就是所求，根据等腰三角形的性质，坐标与线段的关系解答即可； （2）根据点，，得到，结合，得当A，B，C三点共线时，的值最小，此时点C与点B重合解答即可． 【详解】（1）解：∵点，， ∴， ∴， 如图，以点Ａ为圆心，以为半径画弧，交x轴于点C， 此时，， ∴， ∵点C在x轴的负半轴， ∴； 以点Ｂ为圆心，以为半径画弧，与x轴交于点， ∴， ∵， ∴， ∴，， 综上所述，符合题意的点C为或或． （2）解：根据点，， 故， ∵， ∴当A，B，C三点共线时，的值最小，此时点C与点B重合解答即可． 故，此时， 故时，的值最小，且最小值为5． 【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，两点间距离公式，勾股定理，坐标与线段的关系，熟练掌握等腰三角形的定义，勾股定理，两点间距离公式是解题的关键． 3．已知：抛物线经过点，与轴交于点 (1)求抛物线的解析式； (2)是轴上一点，且是等腰三角形，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)或或或． 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，等腰三角形的性质，勾股定理的应用； （1）将，代入解析式，待定系数法求解析式即可求解； （2）分两种情形讨论，①若，②若，即可求解． 【详解】（1）解： 抛物线经过点，与轴交于点， 得： 解得 抛物线的解析式： （2）∵在轴，设 ∵， ∴，， ∴，， ∵是等腰三角形，分类讨论： ①当时， 解得：或（舍去） ②当时， 解得：或 ③当时， 解得： 综上所述：的坐标为或或或． 4．如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，一次函数图象与y轴的交点为，与x轴的交点为D． (1)求一次函数解析式； (2)一次函数的图象上是否存在一点P，使得，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； (3)如果在一次函数的图象存在一点Q，使是等腰三角形，请直接写出点Q的坐标． 【答案】(1) (2)P点的坐标或； (3)或或或 【分析】（1）先将代入，求出点A的坐标，再由待定系数法即可求解； （2）先求出点D的坐标，得出，再由，即可求解； （3）设点，得出，，，分三种情况：当时，当时， 当时，分别列出方程，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵正比例函数的图象与一次函数的图象交于点， ∴可有， 解得， ∴A点的坐标； ∵一次函数的图象过点和点， 则有， 解得：， ∴一次函数解析式为； （2）解：存在，理由如下： 对于一次函数，令， 则有， 解得， ∴点， ∴， 设点， 根据题意可知：， 解得， 当时，，解得：， 当时，，解得：， ∴P点的坐标或； （3）解：设点， 则， ， ， 当时，，则： ， 解得：或（舍去）， 此时点Q的坐标为； 当时，，则： ， 解得：或， 此时点Q的坐标为或； 当时，，则： ， 解得：， 此时点Q的坐标为； 综上分析可知：点Q的坐标为：或或或． 【点睛】本题主要考查了正比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式、一次函数图象与坐标轴交点，等腰三角形的定义，解题关键是熟练掌握相关知识，并运用数形结合的思想分析问题，注意进行分类讨论． 5．如图所示，在平面直角坐标系中，直线与分别交轴于点和点，点是直线与轴的交点． (1)求点B、C、D的坐标； (2)设是直线上一点，的面积为，请求出与的函数关系式；探究当点运动到什么位置时，的面积为10，并说明理由． (3)在线段上是否存在点，使为等腰三角形，如果存在，直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)，或，理由见解析 (3)或 【分析】本题考查一次函数图象与坐标轴的交点问题，一次函数与几何图形的综合应用： （1）分别令，求出一次函数与坐标轴的交点坐标即可； （2）根据的面积等于，列出函数关系式，令，求出的坐标即可； （3）设，两点间距离公式求出，分三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵，当时，， ∴， ∵，当时，，当时，， ∴． （2）∵是直线上一点， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴当时，，当时，， ∴， 当或，，理由如下： 当时，， 解得：或， ∴或． （3）设， ∵ ， ∴， 当时，则：解得：或（舍去）， ∴； 当时：，解得：或，均不符合题意，舍去； 当时：，解得：， ∴； 综上：或． 6．如图，直线：交y轴于点，直线：交x轴于点，两直线交于点P，解答下列问题： (1)求m，n的值和点P的坐标； (2)若E是x轴上的动点，当以A，P，E为顶点的三角形是直角三角形时，求点E的坐标； (3)若F是y轴上的动点，当以A，P，F为顶点的三角形是以AP为腰的等腰三角形时，请直接写出满足条件的点F的坐标． 【答案】(1)，， (2)点E的坐标为或 (3)点F的坐标为或或或 【分析】(1)把点代入，即可求得，把点代入，即可求得，联立两函数解析式得，，解此方程组，即可求得点P的坐标； (2)分两种情况，即当或时，根据点P的坐标及勾股定理，即可分别求得； (3)分两种情况，即当或时，根据勾股定理及两点间距离公式，即可分别求得． 【详解】（1）解：∵直线交y轴于点， ，则， ∴， ∵直线交x轴于点， ，则， ， 解方程组， 得， ∴； （2）解：如图，当时， ， ， 当时，， 设点， 如图，直线为与x轴交于点A， ， 则， 由（1）知，， ， 解得， ， 综上，以A，P，E为顶点的三角形是直角三角形时，点E的坐标为或； （3）解：如图： 设 ， ∴ 由题意知 当时，即，即 ， ∴或， 当时，即， 过点P作轴于H点，则 在中， ∴或 ∴或 所以综上：当以A、P、F为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形时，点F的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了坐标与图形，求一次函数的解析式，勾股定理及两点间距离公式，采用分类讨论的思想是解决本题的关键． 7．如图，直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，，是直线上的一个动点（点A与C不重合）． (1)求直线BC的解析式． (2)试写出△AOC的面积S与a的函数关系式． (3)①当点A在第一象限且△AOC的面积是2时，求A点的坐标． ②在①的条件下，y轴上是否存在一点M，使△MOA是等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的所有M点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)① ；②存在；所有M点坐标为，，， 【分析】（1）先求出B、C的坐标，然后利用待定系数法求解即可； （2）分a＞0和a＜0两种情况讨论求解即可； （3）①根据（2）所求把S=2代入求解即可；②先求出，设点M的坐标为（0，m），然后分OA=OM时，则，当OA=AM时，，当AM=OM时，三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，． 把，代入，得， 解得， ∴直线解析式为． （2）当时， ∵， ∴． 当时， ∵， ∴， ∴． （3）解：①当，且点在第一象限时，， ∴， ∴A点坐标为． ②∵点A的坐标为（2，2）， ∴， 设点M的坐标为（0，m）， 当OA=OM时，则， ∴，， 当OA=AM时，， 解得或（舍去）， ∴； 当AM=OM时，， 解得， ∴． 综上所述存在M点坐标为，，，使△MOA是等腰三角形． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，待定系数法求一次函数解析式，等腰三角形的定义，勾股定理，熟知相关知识是解题的关键． 8．如图1，在平面直角坐标系中，直线与过点和，与互相垂直，且相交于点，D为x轴上一动点． (1)求直线与直线的函数表达式； (2)如图2，当D在x轴负半轴上运动时，若△BCD的面积为8，求D点的坐标； (3)如图3，过D作x轴垂线，与于点M．在x轴正半轴上是否存在点D使△BOM为等腰三角形？若存在，请直接写出D点坐标． 【答案】(1)直线的解析式为，直线的解析式为； (2)（-6，0） (3)当D点坐标为（4，0）或（，0）或（5，0）时，△BOM是等腰三角形 【分析】（1）先利用待定系数法求出直线的解析式，从而求出点C的坐标，设直线的解析式为，直线与y轴交于点E，可以得到点E的坐标为（0，），，然后勾股与互相垂直，利用勾股定理求解即可； （2）设点D的坐标为（m，0），根据进行求解即可； （3）设点D的坐标为（n，0），则点M的坐标为（n，），则，，然后分当OB=OM，△BOM是等腰三角形时，当OB=BM，△BOM是等腰三角形时，当OM=BM，△BOM是等腰三角形时，三种情讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵，直线与过点和， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， ∴当时，， ∴点C的坐标为（2，4）， 设直线的解析式为，直线与y轴交于点E， ∴点E的坐标为（0，），， ∴，， ∵与互相垂直， ∴∠BCE=90°， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； （2）解：设点D的坐标为（m，0）， ∴OD=-m， ∵点A（10，0）， ∴OA=10， ∴AD=10-m， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点D的坐标为（-6，0）； （3）解：设点D的坐标为（n，0），则点M的坐标为（n，）， ∴，， ∵点B的坐标为（0，5）， ∴OB=5， 当OB=OM，△BOM是等腰三角形时， ∴， 解得或（舍去）， ∴点D的坐标为（4，0）； 当OB=BM，△BOM是等腰三角形时， ∴， 解得或（舍去）， ∴点D的坐标为（，0）； 当OM=BM，△BOM是等腰三角形时， ∴， 解得， ∴点D的坐标为（5，0）； 综上所述，当D点坐标为（4，0）或（，0）或（5，0）时，△BOM是等腰三角形； 【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合待定系数法求一次函数解析式，勾股定理，等腰三角形的定义等等，熟知相关知识利用数形结合和分类讨论的思想求解是解题的关键． 9．综合与探究 如图①，在平面直角坐标系中，点，且a，b满足，点C在x轴正半轴上，．动点P从点B出发，以1个单位长度/秒的速度沿x轴向点C运动，运动到点C停止，设点P的运动时间为t秒，连接，过点C作的垂线交射线于点M，交y轴于点N． (1)点A的坐标为______，点B的坐标为______； (2)当点P在线段上时，如图②所示，求线段的长度（用含t的式子表示）； (3)若，则t的值为______； (4)若，是否存在以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)4或8 (4)存在，点P的坐标为或 【分析】本题是三角形综合题，考查了非负性，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）根据非负数的性质可得和的值，确定点和的坐标； （2）先求得点C的坐标，证明，根据全等三角形的性质即可得出结论； （3）分两种情况，列出方程可求出答案； （4）分两种情况讨论，由等腰三角形的性质可求解． 【详解】（1）解：， ，， ，， ，； 故答案为：，； （2）解：由（1）知，，， ，， ， ， ， 当点在线段上时，即时， 如图1，由运动知，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （3）解：当点在线段上时， ， ； 当点在轴正半轴时，即， 如图2，由运动知，， ， 同（2）的方法得，， ， ， 即时，的值为4或8； 故答案为：4或8； （4）解：，，点， ，，， 当时，， ，点； 当时， 又， ， ， ，点， 综上所述：点P的坐标为或． 1．如图，一个点在第一象限及x轴，y轴上移动，在第一秒钟，它从原点移动到点，然后按照图中箭头所示方向移动，即→→→→→…，且每秒移动一个单位，那么第20秒时，点所在位置的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的移动规律，核心是对平面直角坐标系内点的运动规律与时间关系的探究． 通过观察点的移动规律，计算出到各个关键位置所用的时间，从而确定第 20 秒时点的坐标． 【详解】解：点从原点开始，先向右移动1秒到， 然后向上移动1秒到，接着向左移动1秒到，再向上移动1秒到， ∴可知到达点用了（秒）； 然后向右移动2秒到，向下移动2秒到， 向右移动1秒到， ∴可知到达点用了（秒）； ∴当点离开x轴时的横坐标为时间的平方，当点离开y轴时的纵坐标为时间的平方， 此时时间为奇数的点在x轴上，时间为偶数的点在y轴上 ∵， 第16秒时，点的坐标为， 故在第20秒时，动点向右平移4秒，点所在位置的坐标是． 故选：B． 2．在平面直角坐标系中，对于点，我们把叫做点的伴随点，已知点的伴随点为的伴随点为这样依次得到点，若点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的点坐标规律问题，正确找出规律是解题关键．根据伴随点的定义求出点的坐标，发现规律即可得出答案． 【详解】解：点， ∴点坐标为，即， ∴点坐标为，即， ∴点坐标为，即， ∴点坐标为，即， 由此可知，每4个点为一个循环， ∵， ∴点的坐标与点的坐标相同，即为， ∴点的坐标为． 故选：B． 3．如图，在平面直角坐标系中，从点，，，，，，…依次扩展下去，则的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了规律型：点的坐标．解答此题的关键是首先要确定点所在的象限，和该象限内点的规律，然后进一步推理得出点的坐标． 根据各个点的位置关系，可得出下标为4的倍数的点在第一象限，被4除余1的点在第二象限，被4除余2的点在第三象限，被4除余3的点在第四象限，可得点在第三象限，再根据第三象限点的规律即可得出结论． 【详解】解：分析各点坐标可发现，下标为4的倍数的点在第一象限，被4除余1的点在第二象限，被4除余2的点在第三象限，被4除余3的点在第四象限， ， ∴点在第一象限， 又∵第一象限的点，点，点， ∴点． 故选：D． 4．如图长方形的各边分别平行于x轴或y轴，物体甲和物体乙都从点同时出发，沿长方形的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2024次相遇点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了点的变化规律，理解题意，并找出规律是解题的关键； 根据物体甲、乙的运动方向相反，得出甲乙每隔4秒相遇一次，再确定第2024次相遇时经过的时间，再由物体甲的运动规律，得出最终结果． 【详解】解：由题知，矩形的周长为， 由物体甲、乙的运动方向相反可知，甲乙每隔秒相遇一次， 当两个物体运动后的第2024次相遇时，经过的时间为秒， 物体甲运动一圈需秒， 又， 又物体甲从点A开始，按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动8秒后到达的位置为， 两个物体运动后的第2024次相遇点的坐标是， 故选：D． 5．如图，将边长为1的正方形沿轴正方向连续翻转2027次，点依次落在点的位置，则点的横坐标为（    ） A．2025 B．2026 C．2027 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了点的坐标规律探究，解题关键是根据各点坐标和题意，找出坐标规律．根据图形得出点的坐标变化规律，再根据规律求解． 【详解】解：由图可知： ， 由此可知，纵坐标每4个一循环， 余3， 在506次循环后纵坐标与对应， 由可知，这些点的横坐标即为翻转次数， 余1， ∴在506次循环后纵坐标与对应，其横坐标为：2025， 则的横坐标为2026，的横坐标为2027， 故选：B． 6．如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点在轴正半轴上，平移线段到线段，使点的对应点为，点的对应点为，连接，． (1)点的坐标为________，点的坐标为_______； (2)如图2，连接，与轴交于点，连接，，求与的数量关系； (3)在（2）的条件下，在轴上是否存在一点，使与的面积之比为？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，或 【分析】（1）设点，则可确定平移，从而可确定点D的坐标，由求得a的值，则可得C、D的坐标； （2）由平移得，得，结合已知与图形得；再由，可得，此即与的数量关系； （3）延长，交y轴于点F，连接，过点F作轴，过点D作轴，与交于点G，根据各个点的位置关系求出，再由已知面积关系可求得面积；分点P在x轴上方与下方两种情况，利用面积关系求得的长，即可求得点P的坐标． 【详解】（1）解：设点， ∵平移线段到线段，点的对应点为，点的对应点为， ∴点B向左平移3个单位长度再向上平移a个单位长度得到点C，点A按此平移得到点D，∴点D的坐标为， ∵， ∴， 解得：， 则点C的坐标为，点D的坐标为； 故答案为：，； （2）解：由平移性质知：， ， ，， ； ， ， 即； （3）解：延长，交y轴于点F，连接，过点F作轴，过点D作轴，与交于点G，如图所示： ∵点，，， ∴， 根据解析（2）可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，，，， ∴ ， ， ∴， ∵ ， ∴， ， ； ①当点P在x轴上方时，如图1， 由于， 解得：， ； ②当点P在x轴下方时，如图2， 由于， 解得：， ； 综上，点P的坐标为或． 【点睛】本题考查了平移的性质，坐标与图形，三角形外角的性质，角的和差，割补法求图形面积等知识，注意分类讨论与数形结合． 7．如图，平面直角坐标系中，，，，，． (1)求的面积； (2)如图2，点以每秒个单位的速度向下运动至，与此同时，点从原点出发，以每秒2个单位的速度沿轴向右运动至，秒后，，，在同一直线上，求的值； (3)如图3，点在线段上，将点向右平移4个单位长度至点，若的面积大于14，求点横坐标的取值范围． 【答案】(1)10 (2) (3) 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系的综合应用，结合绝对值、二次根式非负性的性质求解，准确理解点的平移规律是解题的关键． （1）根据二次根式非负性和绝对值非负性，求出，，得到点，，的坐标，即可得到，的长，即可得解； （2）根据等量关系求解即可； （3）连接，，设，根据得到，根据点的平移得到，再根据代入计算即可． 【详解】（1）解：，，， ，， ，， ， ，，， ，， ； （2）解：由题意知：，， ， ， ． （3）解：连接，，设， ， ， ， 点向右平移4个单位长度得到点， ， ， ， ， ， ． 8．如图，在平面直角坐标系中，长方形的边、 分别在x轴、y轴上，B点在第一象限，点A的坐标是，． (1)直接写出点B、点C的坐标． (2)点P从原点O出发，在边上以每秒1个单位长度的速度匀速向C点运动，同时点Q从点B出发，在边上以每秒2个单位长度的速度匀速向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t秒，探究下列问题： ①当t为多少时，直线轴？ ②在运动过程中，当点Q到y轴的距离为2个单位长度时，求t的值． ③在整个运动过程中，能否使得四边形的面积是长方形面积的？若能，请求出P、Q两点的坐标；若不能，说明理由． 【答案】(1) (2)①；②；③能，点P的坐标是，点Q的坐标是 【分析】本题是四边形综合题．考查了长方形的性质以及四边形的面积，解题的关键是化动为静，用含t的代数式表示线段的长． （1）根据给定点的坐标和线段长，再利用长方形的性质求出点B和点C的坐标； （2）①根据题意得，，则，可知，根据题意有，列方程求解即可； ②根据题意可知，则有，求解t即可； ③根据题意求得，有题意知，，可求得，，则，结合题意求得t，即可知点的坐标． 【详解】（1）解：∵四边形是长方形， ∴， ∵点A的坐标是，， ∴， ∴， 故点； （2）解：由题意得，， ∴， ∴， ①∵直线轴， ∴ ∴， ∴， ∴当t值为秒时，直线轴； ②∵点Q到y轴的距离为2个单位长度， ∴， 由①知，则，解得， ③∵，， ∴， 由运动知，，， ∴，， ∴， ∵四边形的面积是长方形的面积的， ∴，解得， ∴， ∴，． 9．在平面直角坐标系中，如图①，将线段平移至线段，连结． (1)直接写出图中相等的线段、平行的线段； (2)已知，点在轴的正半轴上．点在第一象限内，且，求点的坐标； (3)如图②，在平面直角坐标系中，已知一定点，两个动点，请你探索是否存在以两个动点为端点的线段平行于线段且等于线段．若存在，求由点为顶点的四边形的面积，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，面积为1或3 【分析】本题考查平移，直角坐标系中点的坐标； （1）根据平移的性质求解即可； （2）设，则依题意有，连接，根据列方程求解即可； （3）根据平移和，得到在轴上，轴，则，求得或，求出和的坐标，再求由点为顶点的四边形的面积即可． 【详解】（1）解：∵将线段平移至线段， ∴； （2）解：连结， ∵， ∴向右平移1个单位长度再向下平移2个单位长度得到， ∵将线段平移至线段， ∴， ∴向右平移1和单位长度再向下平移2个单位长度得到， 设， ∴向右平移1和单位长度再向下平移2个单位长度得到， ∴ ， 解得； ∴，； （3）解：存在， ∵以两个动点为端点的线段平行于线段且等于线段． ∴， ∵， ∴在轴上，轴， ∵ ∴， ∴，或． ∴或， 如图， 当时，轴，； 当时，轴，； 或． 10．如图，在平面直角坐标系中，点，，，且满足，P点从点A出发沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度移动，点Q从点O出发沿y轴负方向以每秒1个单位长度匀速运动． (1)求点的坐标和点的坐标； (2)在点P，Q运动的过程中，连接，，使三角形的面积是三角形面积的4倍，求出点P的坐标； (3)在点P，Q运动的过程中，当时，请探究和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)， (2)点的坐标为或 (3)或，见解析 【分析】本题考查了三角形的面积计算、坐标与图形性质、平行线的性质． （1）根据非负数的性质分别求出a、b，即可得点A、B、C的坐标； （2）过点作于点，分两种情况讨论：①如图，当点在点上方时；②如图，当点在点下方时；分别根据三角形的面积公式求出，得到点P的坐标； （3）分点Q在点C的上方、点Q在点C的下方两种情况，根据平行线的性质解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得，，， 则，，； （2）解：如图，过点作于点， 设时间经过秒，三角形的面积是三角形面积的4倍，则，，，， 三角形的面积是：， 分以下两种情况： ①如图，当点在点上方时， ， 三角形的面积是：， ， 解得， ， ， 点的坐标为； ②如图，当点在点下方时， ， 三角形的面积是：， ， 解得， ， ， 点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或； （3）解：或．理由如下： 过点作， ， ，， ， 分以下两种情况讨论： ①如图，当点在点上方时， 有， ； ②如图，当点在点下方时， 有， ， ， 综上所述，或． 11．如图，在平面直角坐标系中，，，且满足． (1)求，两点的坐标； (2)如图，若是线段上任意一点，探究与的数量关系； (3)如图，是线段上一点，将点向右平移个单位长度到点，若点，三角形的面积为，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，绝对值的非负性，坐标的平移，三角形的面积，掌握以上知识点是解题的关键． （）利用非算术平方根的非负性，绝对值的非负性解答即可； （）连接，利用，得到，然后即可求解； （）连接，根据平移性质得，设，根据求出的值即可求解； 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴，； （2）解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵， ， ∴, ∴ ∴； （3）解：连接， 根据平移性质得，， ∵点， ∴， 根据（2）中线段上任意一点纵、横坐标的关系可设， ∵， ∴， 解得， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 平面直角坐标系重难点题型汇编 【题型1 两点间距离】..........................................................................................................1 【题型2 求平面直角坐标系中动点问题的面积】.................................................................5 【题型3 平面直角坐标系中规律题探究】..........................................................................7 【题型4 等腰三角形个数讨论问题】...................................................................................11 【题型1 两点间距离】 1．阅读一段文字，再回答下列问题：已知在平面内两点的坐标为，则该两点间距离公式为，同时，当两点在同一坐标轴上或所在直线平行于轴或平行于轴时，两点间的距离公式可化简成或． (1)若已知两点，试求两点间的距离； (2)已知点在平行于轴的直线上，点的纵坐标为7，点的纵坐标为，试求，两点间的距离； (3)已知一个三角形各顶点的坐标为，，请求出该图形的面积． 2．阅读材料，在平面直角坐标系中，已知轴上两点、的距离记作，如果、是平面上任意两点，我们可以通过构造直角三角形来求间的距离．如图，过、分别向轴、轴作垂线、和、，垂足分别是、、、，直线交于点，在中，，，．由此可以得到平面直角坐标系内任意两点、间的距离公式． 利用上面公式解决下列问题： (1)直接应用平面内两点间距离公式计算点，之间的距离． (2)已知点，且，求的值； (3)在平面直角坐标系中的两点，，为轴上任一点，求的最小值； (4)应用平面内两点间的距离公式，求代数式的最小值． 3．阅读下列一段文字，然后回答问题． 已知在平面内两点，，其两点间的距离，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为或． (1)已知、，则　　　　　　； (2)已知轴，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为，则　　　　　　． (3)已知一个三角形各顶点坐标为、、，请判定此三角形的形状，并说明理由． 【答案】(1)13 4．先阅读下列一段文字，再回答后面的问题：已知在平面直角坐标系内两点，其两点间的距离，同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为或． (1)已知两点间的距离为__________； (2)已知线段轴，，若点M的坐标为，则点N的坐标为_____________________； (3)已知一个三角形各顶点坐标为，此三角形的形状是__________三角形． (4)在平面直角坐标系中的两点为x轴上任一点，则的最小值为__________． 5．阅读下列一段文字，然后回答下列问题． 已知在平面内有两点、，其两点间的距离，同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可化简为或． (1)已知，试求A、B两点间的距离______； (2)已知M、N在平行于y轴的直线上，点M的纵坐标为4，点N的纵坐标为，试求M、N两点的距离为______； (3)已知一个三角形各顶点坐标为，你能判定此三角形的形状吗？说明理由； (4)在（3）的条件下，平面直角坐标系中，在x轴上找一点P，使的长度最短，求的最短长度． 6．阅读下列一段文字，然后回答下列问题．已知在平面内两点，，其两点间的距离．同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为或． (1)已知，，试求、两点间的距离； (2)求代数式的最小值． (3)已知，在轴上是否存在一点，使为等腰三角形，若存在请直接写出点的坐标；若不存在说明理由． 【题型2 求平面直角坐标系中动点问题的面积】 1．如图，在长方形中，为平面直角坐标系的原点，点的坐标为，点的坐标为，且、满足，点在第一象限内，点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线运动，回到点，停止移动．设点运动的时间为； (1)点的坐标为______；当点运动5秒时，点的坐标为______． (2)在点运动过程中，当的面积为一个定值时，则的取值范围是______； (3)在路线的运动过程中，是否存在某个时刻，使的面积是？若存在，求出点运动的时间；若不存在，请说明理由． 2．在如图所示的平面直角坐标系中，已知点． (1)求的面积； (2)若是轴上一动点，当时，求点的坐标． 3．在平面直角坐标系中、，a、b满足． (1)如图1，求点A、B的坐标； (2)如图2，y轴上有一点E，的面积是6，求点E的坐标； (3)如图3，将线段沿x轴的正方向平移4个单位长度，过A、B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为D、C，在坐标平面内是否存在点，使得与的面积相等，且与的面积相等？若存在，请求P点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，平面直角坐标系中中，点，点，且，满足，线段与轴相交于点，点在轴上， (1)求，的值； (2)如图1，若三角形的面积大于，求的取值范围； (3)如图2，点，点在线段上，若，求点的坐标． 5．如图，在长方形中，点O为平面直角坐标系的原点，点A的坐标为，点C的坐标为，且a，b满足．点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O→C→B→A→O的线路移动． (1)点B的坐标为__________；当点P移动5秒时，点P的坐标为__________； (2)在移动过程中，当点P到x轴的距离为4个单位长度时，求点P移动的时间； (3)在的线路移动过程中，是否存在点P使的面积是20，若存在，直接写出点P移动的时间；若不存在，请说明理由． 【题型3 平面直角坐标系中规律题探究】 1．如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如，，，，，，…根据这个规律，第2025个点的横坐标为（   ） A．42 B．43 C．44 D．45 2．如图，一些点按照一定的规律排列：点，点，点，点，点，…，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在平面直角坐标系中，轴，轴，点D，C，P，H在x轴上，，，，，，把一条长为2023个单位长度且没有弹性的细线（线段粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按的规律紧绕在图形“凸”的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 4．如图，在平面直角坐标系中，半径均为个单位的半圆，，，，组成一条平滑的曲线．点从原点出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位，则第秒时，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 5．在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点出发，按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点，第二次移动到点……第次移动到点，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 6．如图，正方形中顶点，轴且边长为2，规定把正方形先沿x轴翻折，再向左平移1个单位长度为一次变换，连续经过2024次变换后，正方形的顶点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 7．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次平移，每次移动一个单位，得到点，，那么点的坐标为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在平面直角坐标系中，，把一根长为2021个单位长度且没有弹性的细线(线的粗细忽略不计)的一端固定在点处，并按的规律绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 9．如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为个单位长度，，，，均在格点上，其顺序按图中“”方向排列．如：，，，，，，，根据这个规律，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 10．如图，在平面直角坐标系中，设一质点自处向上运动个单位至，然后向左运动个单位至处，再向下运动个单位至处，再向右运动个单位至处，再向上运动个单位至处，…，如此继续运动下去，则的坐标为（　　） A． B． C． D． 11．如图，在平面直角坐标系中，从点 ， ，依此扩展下去，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 12．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“”方向排列，如，，，，，，…根据这个规律探究可得，第210个点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【题型4 等腰三角形个数讨论问题】 1．在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴上运动，当以点、，为顶点的三角形为等腰三角形时，点的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，点C是x轴上的一个动点． (1)当是以为腰的等腰三角形时，求点C的坐标； (2)当点C在x轴上运动时，是否存在一点C，使得的值最小？若存在，求出此时点C的坐标及的最小值；若不存在，请说明理由． 3．已知：抛物线经过点，与轴交于点 (1)求抛物线的解析式； (2)是轴上一点，且是等腰三角形，直接写出点的坐标． 4．如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，一次函数图象与y轴的交点为，与x轴的交点为D． (1)求一次函数解析式； (2)一次函数的图象上是否存在一点P，使得，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； (3)如果在一次函数的图象存在一点Q，使是等腰三角形，请直接写出点Q的坐标． 5．如图所示，在平面直角坐标系中，直线与分别交轴于点和点，点是直线与轴的交点． (1)求点B、C、D的坐标； (2)设是直线上一点，的面积为，请求出与的函数关系式；探究当点运动到什么位置时，的面积为10，并说明理由． (3)在线段上是否存在点，使为等腰三角形，如果存在，直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 6．如图，直线：交y轴于点，直线：交x轴于点，两直线交于点P，解答下列问题： (1)求m，n的值和点P的坐标； (2)若E是x轴上的动点，当以A，P，E为顶点的三角形是直角三角形时，求点E的坐标； (3)若F是y轴上的动点，当以A，P，F为顶点的三角形是以AP为腰的等腰三角形时，请直接写出满足条件的点F的坐标． 7．如图，直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，，是直线上的一个动点（点A与C不重合）． (1)求直线BC的解析式． (2)试写出△AOC的面积S与a的函数关系式． (3)①当点A在第一象限且△AOC的面积是2时，求A点的坐标． ②在①的条件下，y轴上是否存在一点M，使△MOA是等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的所有M点的坐标；若不存在，请说明理由． 8．如图1，在平面直角坐标系中，直线与过点和，与互相垂直，且相交于点，D为x轴上一动点． (1)求直线与直线的函数表达式； (2)如图2，当D在x轴负半轴上运动时，若△BCD的面积为8，求D点的坐标； (3)如图3，过D作x轴垂线，与于点M．在x轴正半轴上是否存在点D使△BOM为等腰三角形？若存在，请直接写出D点坐标． 9．综合与探究 如图①，在平面直角坐标系中，点，且a，b满足，点C在x轴正半轴上，．动点P从点B出发，以1个单位长度/秒的速度沿x轴向点C运动，运动到点C停止，设点P的运动时间为t秒，连接，过点C作的垂线交射线于点M，交y轴于点N． (1)点A的坐标为______，点B的坐标为______； (2)当点P在线段上时，如图②所示，求线段的长度（用含t的式子表示）； (3)若，则t的值为______； (4)若，是否存在以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 1．如图，一个点在第一象限及x轴，y轴上移动，在第一秒钟，它从原点移动到点，然后按照图中箭头所示方向移动，即→→→→→…，且每秒移动一个单位，那么第20秒时，点所在位置的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，对于点，我们把叫做点的伴随点，已知点的伴随点为的伴随点为这样依次得到点，若点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在平面直角坐标系中，从点，，，，，，…依次扩展下去，则的坐标为（　　） A． B． C． D． 4．如图长方形的各边分别平行于x轴或y轴，物体甲和物体乙都从点同时出发，沿长方形的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2024次相遇点的坐标是（    ） A． B． C． D． 5．如图，将边长为1的正方形沿轴正方向连续翻转2027次，点依次落在点的位置，则点的横坐标为（    ） A．2025 B．2026 C．2027 D．不能确定 6．如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点在轴正半轴上，平移线段到线段，使点的对应点为，点的对应点为，连接，． (1)点的坐标为________，点的坐标为_______； (2)如图2，连接，与轴交于点，连接，，求与的数量关系； (3)在（2）的条件下，在轴上是否存在一点，使与的面积之比为？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 7．如图，平面直角坐标系中，，，，，． (1)求的面积； (2)如图2，点以每秒个单位的速度向下运动至，与此同时，点从原点出发，以每秒2个单位的速度沿轴向右运动至，秒后，，，在同一直线上，求的值； (3)如图3，点在线段上，将点向右平移4个单位长度至点，若的面积大于14，求点横坐标的取值范围． 8．如图，在平面直角坐标系中，长方形的边、 分别在x轴、y轴上，B点在第一象限，点A的坐标是，． (1)直接写出点B、点C的坐标． (2)点P从原点O出发，在边上以每秒1个单位长度的速度匀速向C点运动，同时点Q从点B出发，在边上以每秒2个单位长度的速度匀速向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t秒，探究下列问题： ①当t为多少时，直线轴？ ②在运动过程中，当点Q到y轴的距离为2个单位长度时，求t的值． ③在整个运动过程中，能否使得四边形的面积是长方形面积的？若能，请求出P、Q两点的坐标；若不能，说明理由． 9．在平面直角坐标系中，如图①，将线段平移至线段，连结． (1)直接写出图中相等的线段、平行的线段； (2)已知，点在轴的正半轴上．点在第一象限内，且，求点的坐标； (3)如图②，在平面直角坐标系中，已知一定点，两个动点，请你探索是否存在以两个动点为端点的线段平行于线段且等于线段．若存在，求由点为顶点的四边形的面积，若不存在，请说明理由． 10．如图，在平面直角坐标系中，点，，，且满足，P点从点A出发沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度移动，点Q从点O出发沿y轴负方向以每秒1个单位长度匀速运动． (1)求点的坐标和点的坐标； (2)在点P，Q运动的过程中，连接，，使三角形的面积是三角形面积的4倍，求出点P的坐标； (3)在点P，Q运动的过程中，当时，请探究和的数量关系，并说明理由． 11．如图，在平面直角坐标系中，，，且满足． (1)求，两点的坐标； (2)如图，若是线段上任意一点，探究与的数量关系； (3)如图，是线段上一点，将点向右平移个单位长度到点，若点，三角形的面积为，求点的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $