精品解析：山东省潍坊市高密市知行学校2025-2026学年八年级上学期10月月考数学试题

知行初二学部10月份学情调研试题-数学 一、选择题（本题共10小题，每题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，选对得3分，选错、不选或多选均记0分．） 1. 下面四个图形是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨，点D，E分别是，的中点，、是连接弹簧和伞骨的支架，且，已知弹簧M在向上滑动的过程中，总有，其判定依据是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，OE是∠AOB的平分线，BD⊥OA，AC⊥OB，垂足分别为D、C，BD、AC都经过点E，则图中全等的三角形共有多少对（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4. 如图，等腰△中，点D，E分别在腰AB，AC上，添加下列条件，不能判定≌的是（ ） A. B. C. D. 5. 幸福小区的三个出口A，B，C的位置如图所示．物业公司计划在不妨碍小区规划的前提下，在小区内修建一个电动车充电桩，要求到3个出口的距离都相等以方便业主，则充电桩应建在的（ ） A. 3条高的交点处 B. 3条中线的交点处 C. 3条边的垂直平分线的交点处 D. 3个角的平分线的交点处 6. 根据下列已知条件，能画出唯一的是（ ） A. ，， B. ，， C. ， D. ，， 7. 下列命题的逆命题是真命题的是　　 A. 若，则 B. 等边三角形是锐角三角形 C. 相等的角是对顶角 D. 全等三角形的面积相等 8. 下列说法不正确的是(　　) A. 若两个相等的角有一组边平行,则另一组边也平行 B. 两条直线相交,所成的两组对顶角的平分线互相垂直 C. 两条平行线被第三条直线所截,同旁内角的平分线互相垂直 D. 经过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行 9. 如图，在中，，以点C为圆心，长为半径作弧交于点D，分别以点A和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点E，作直线，交于点F，则的度数是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，分别作AC，AB两边的垂直平分线PM、PN，垂足分别是点M、N，以下说法不正确的是（ ） A. B. C. D. 点P到点B和点C的距离相等 三、填空题（本大题共6小题，共18分） 11. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若，，则∠2的度数为______． 12. 如图，ABCDE是封闭折线，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=__________度． 13. 如图，在中，，、、分别是，，上的点，且，．若，则的大小为_______°． 14. 请写出“垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆定理：___________ 15. 要说明命题“一个角的补角大于这个角”是假命题，可举反例为_____． 16. 已知中，，求证：．下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤： ①所以，这与三角形内角和为矛盾； ②因此假设不成立，所以； ③假设在中，； ④由，得，即． 这四个步骤正确的顺序应是 _____．（填序号） 四、解答题（本题共7道大题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．） 17. 作图题 （1）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1．网格中有一个格点． ①画出关于直线MN的对称图形； ②在直线上找一点P，使的长度最短，在图中作出P点的位置． （2）如图，已知，线段a， 求作：，使，，（保留作图痕迹，不写作法） （3）如图，在中，． ①尺规作图：在上取一点E，使得，并说明作法的合理性；②在①的条件下，若的周长为16cm，，求的长度． 18. 证明命题 （1）求证：两角分别相等且其中一组等角的对边也相等的两个三角形全等． （2）说明“如果一个三位数的三个数位上的数字的和能被3整除，那么这个三位数也能被3整除”是真命题． 19. 如图，在和中，点B，F，C，E在同一条直线上，，． （1）请添加一个条件，使，这个添加的条件可以是________．（只需写一个，不添加辅助线） （2）请根据你添加的条件，写出证明过程． 20. 如图，已知，，E为线段上一点．请说明线段与的数量关系，并证明． 21. 和中，，，，与交于F． （1）如图1，当时，直接写出与的位置和数量关系_____； （2）如图2，当时，求出的度数． 22. 三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、直角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型）．解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等或相似三角形所需角的相等条件，利用全等或相似三角形解决问题． 【证明体验】 如图，中，，，直线MN过点C，且于D，于E． （1）当直线绕点C旋转到①的位置时，请直接写出、和的数量关系_____． （2）当直线绕点C旋转到②的位置时，请说明、和的数量关系，并证明； 【问题解决】 （3）如图是一个工业开发区局部的设计图，河的同一侧有两个工厂A和B，、的长表示两个工厂到河岸的距离，其中E是进水口，D、C为污水净化后的出口． ，，米，米，求两个出口之间的水平距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 知行初二学部10月份学情调研试题-数学 一、选择题（本题共10小题，每题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，选对得3分，选错、不选或多选均记0分．） 1. 下面四个图形是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意； B、是轴对称图形，故此选项符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不合题意； 故选：B． 【点睛】此题主要考查了轴对称图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合． 2. 如图是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨，点D，E分别是，的中点，、是连接弹簧和伞骨的支架，且，已知弹簧M在向上滑动的过程中，总有，其判定依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用SSS证得三角形全等得出答案即可． 【详解】解：∵、分别是的中点， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． 故选：C． 【点睛】此题考查三角形全等的判定，掌握三角形全等的判定方法是解决问题的关键． 3. 如图，OE是∠AOB的平分线，BD⊥OA，AC⊥OB，垂足分别为D、C，BD、AC都经过点E，则图中全等的三角形共有多少对（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】先根据角平分线的性质得到ED＝EC，则可利用“HL”判断Rt△OED≌Rt△OEC，则OD＝OC；再利用“ASA”判断△AED≌△BEC，则AD＝BC，然后根据“SAS”判断△OAE≌△OBE，△OAC≌△OBD． 【详解】解：∵OE是∠AOB的平分线，BD⊥OA，AC⊥OB， ∴ED＝EC，，， 在Rt△OED和△OEC中， ， ∴Rt△OED≌Rt△OEC（HL）； ∴OD＝OC， 在△AED和△BEC中， ， ∴△AED≌△BEC（ASA）； ∴AD＝BC， ∴OD＋AD＝OC＋BC，即OA＝OB， 在△OAE和△OBE中， ， ∴△OAE≌△OBE（SAS）， 在△OAC和△OBD中， ∴△OAC≌△OBD（SAS）． 故选B． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的性质：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是关键；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件． 4. 如图，等腰△中，点D，E分别在腰AB，AC上，添加下列条件，不能判定≌的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定方法逐项判断即得答案． 【详解】解： A、若添加，由于AB=AC，∠A是公共角，则可根据SAS判定≌，故本选项不符合题意； B、若添加，不能判定≌，故本选项符合题意； C、若添加，由于AB=AC，∠A是公共角，则可根据AAS判定≌，故本选项不符合题意； D、若添加，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ABE=∠ACD，由于∠A是公共角，则可根据ASA判定≌，故本选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和等腰三角形的性质，属于基本题型，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 5. 幸福小区的三个出口A，B，C的位置如图所示．物业公司计划在不妨碍小区规划的前提下，在小区内修建一个电动车充电桩，要求到3个出口的距离都相等以方便业主，则充电桩应建在的（ ） A. 3条高的交点处 B. 3条中线的交点处 C. 3条边的垂直平分线的交点处 D. 3个角的平分线的交点处 【答案】C 【解析】 【分析】线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，由此即可得到答案． 【详解】解：∵线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等， ∴要求充电桩到三个出口的距离都相等，则充电桩应建在三条边的垂直平分线的交点处． 6. 根据下列已知条件，能画出唯一的是（ ） A. ，， B. ，， C. ， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了作图——复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定．根据全等三角形的判定方法，逐一进行判断即可得到答案． 【详解】解：，，，两边及其中一边的对角不能画出唯一，故A不符合题意； ∵，，， ∴，故B不符合题意； ，，一边一角不能画出唯一，故C不符合题意； 当，，时，根据“”可判断的唯一性．故D符合题意； 故选D． 7. 下列命题的逆命题是真命题的是　　 A. 若，则 B. 等边三角形是锐角三角形 C. 相等的角是对顶角 D. 全等三角形的面积相等 【答案】C 【解析】 【分析】先写出各选项的逆命题，判断出其真假即可解答． 【详解】解：A、其逆命题是“若，则，当a,b互为相反数时，平方也相等，错误，故是假命题； B、其逆命题是“锐角三角形是等边三角形”锐角三角形的范围较大，不一定都是等边三角形，错误，故是假命题； C、其逆命题是“对顶角相等”正确，是真命题； D、其逆命题是“面积相等的三角形是全等三角形”，面积相等对应边不等也不是全等三角形，错误，故是假命题． 故选C． 【点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理也考查了逆命题． 8. 下列说法不正确的是(　　) A. 若两个相等的角有一组边平行,则另一组边也平行 B. 两条直线相交,所成的两组对顶角的平分线互相垂直 C. 两条平行线被第三条直线所截,同旁内角的平分线互相垂直 D. 经过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】A 【解析】 【分析】根据对顶角的定义，平行线的性质，垂线的性质分别进行分析即可． 【详解】A、若两相等的角有一边平行，则另一边也互相平行或者相交，所以说法错误； B、两条直线相交，所成的两组对顶角的平分线互相垂直，正确； C、两条平行线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直，正确； D、经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，正确， 故选A． 【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解对顶角的定义，平行线的性质，垂线的性质等知识，难度不大． 9. 如图，在中，，以点C为圆心，长为半径作弧交于点D，分别以点A和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点E，作直线，交于点F，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查尺规作图、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，熟练掌握垂线的基本作图方法是解答本题的关键．由尺规作图可知，，则，由，可得，即可得，在中，结合三角形内角和定理即可得出答案． 【详解】解：由尺规作图可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 10. 如图，在中，，分别作AC，AB两边的垂直平分线PM、PN，垂足分别是点M、N，以下说法不正确的是（ ） A. B. C. D. 点P到点B和点C的距离相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．根据垂直的定义、四边形内角和等于计算，判断选项A；根据线段垂直平分线的性质得到，，进而得到，，经过计算判断选项B；根据等腰三角形的性质判断选项C，根据线段垂直平分线的性质判断选项D． 【详解】解：∵垂直平分，垂直平分， ∴， 又， ∴，故选项A正确； ∵， ∴， ∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴，， ∴， ∴ ，故选项B正确； 若，则，即， ∴ 但是不一定是等腰三角形， ∴与的大小无法确定，故选项C错误； 连接、、， ∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴，即点P到点B和点C的距离相等，选项D正确， 故选：C. 三、填空题（本大题共6小题，共18分） 11. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若，，则∠2的度数为______． 【答案】##30度 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，对顶角的性质，关键是由平行线的性质求出的度数，由对顶角的性质得到的度数，由三角形外角的性质即可解决问题．由平行线的性质求出，由对顶角的性质得到，由三角形外角的性质即可求出的度数． 【详解】解：如图， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 12. 如图，ABCDE是封闭折线，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=__________度． 【答案】180 【解析】 【分析】连接AC，可以把要求的角都转换到△ABC中，根据三角形的内角和定理进行计算． 【详解】连接AC． 根据三角形的内角和定理，得： ∠D+∠E=∠CAE+∠ACD， ∴∠EAB+∠B+∠BCD+∠D+∠E=∠B+∠BAC+∠ACB=180°． 故答案为：180． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，要巧妙构造辅助线，能够把要求的角转换到一个三角形中，熟练运用三角形的内角和定理是解题的关键，难度适中． 13. 如图，在中，，、、分别是，，上的点，且，．若，则的大小为_______°． 【答案】70 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的外角性质、三角形内角和定理．证明，根据全等三角形的性质得到，根据三角形的外角性质求出，根据三角形内角和定理计算，得到答案． 【详解】解：在和中， ， ， ， 是的外角， ， ， ， ， 故答案为：70． 14. 请写出“垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆定理：___________ 【答案】 到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 【解析】 【分析】本题考查了逆定理的概念，熟练掌握逆定理的概念是解决本题的关键． 逆定理是通过将原定理的条件和结论互换得到的，即“如果点到线段两端的距离相等，那么点在线段的垂直平分线上”． 【详解】解：原定理表述为“垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”， 其逆命题表述为“到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”． 故答案为：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 15. 要说明命题“一个角的补角大于这个角”是假命题，可举反例为_____． 【答案】答案不唯一，如：角的补角是，而小于 【解析】 【分析】本题主要考查命题中关于假命题的知识，当一个命题是假命题时，可以举出很多例子与假命题所陈述的内容相悖，这个例子就叫做假命题的一个反例．根据题意所举的反例为一个角的度数为，则补角为，即可说明原命题是假命题． 【详解】解：设这个角度数为，当时，这个角的补角小于这个角. 故答案不唯一，如：角的补角是，而小于， 故答案为：答案不唯一，如：角的补角是，而小于． 16. 已知中，，求证：．下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤： ①所以，这与三角形内角和为矛盾； ②因此假设不成立，所以； ③假设在中，； ④由，得，即． 这四个步骤正确的顺序应是 _____．（填序号） 【答案】③④①② 【解析】 【分析】反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．根据反证法的一般步骤判断即可． 【详解】解：运用反证法证明这个命题的四个步骤： 1、假设在中，； 2、由，得，即， 3、所以，这与三角形内角和为矛盾； 4、因此假设不成立，所以． 故答案为：③④①②． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理以及反证法的应用，理解并掌握反证法的一般步骤是解题关键． 四、解答题（本题共7道大题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．） 17. 作图题 （1）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1．网格中有一个格点． ①画出关于直线MN的对称图形； ②在直线上找一点P，使的长度最短，在图中作出P点的位置． （2）如图，已知，线段a， 求作：，使，，（保留作图痕迹，不写作法） （3）如图，在中，． ①尺规作图：在上取一点E，使得，并说明作法的合理性；②在①的条件下，若的周长为16cm，，求的长度． 【答案】（1） ①如图，即为所求， ； ②如图，点P即为所求， （2） 如图，即为所求， ； （3） ①如图，点E即为所求， ， 理由：由作图知：垂直平分， ∴， 又， ∴； ② 【解析】 【分析】本题主要考查了作轴对称图形，最短路径问题，尺规作图等问题，解题的关键是： （1）①根据轴对称的性质找出对应点画即可； ②根据最短路径问题，连接与交于点P，点P即为所求； （2）先作线段，然后以B为端点，为边作，再以C为顶点，为边，在同侧作，与相交于A，即可； （3）①作线段的垂直平分线，交于点E，连接即可； ②结合①中可把的周长转化为，然后结合题意即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①略 ②∵的周长为16cm，， ∴， 又， ∴． 18. 证明命题 （1）求证：两角分别相等且其中一组等角的对边也相等的两个三角形全等． （2）说明“如果一个三位数的三个数位上的数字的和能被3整除，那么这个三位数也能被3整除”是真命题． 【答案】（1） 已知，如图，在和中，，，， 求证：． 证明：∵，，，， ∴， 在和中， ， ∴． （2） 解：该命题是真命题，理由如下： 设三位数的百位、十位、个位上的数字分别为a，b，c，则这个三位数为， 由题意知，为整数， ∴，也为整数， ∴这个三位数能被3整除，故该命题是真命题． 【解析】 【分析】本题考查了命题的证明，全等三角形的判定等知识，解题的关键是： （1）先画出图形，写出已知、求证，然后根据全等三角形的判定方法证明即可； （2）设三位数的百位、十位、个位上的数字分别为a，b，c，则这个三位数为，根据，进行判断作答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 如图，在和中，点B，F，C，E在同一条直线上，，． （1）请添加一个条件，使，这个添加的条件可以是________．（只需写一个，不添加辅助线） （2）请根据你添加的条件，写出证明过程． 【答案】（1） （2） 证明：∵， ∴，即 又， ∴ ∵， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，灵活掌握全等三角形的判定更是解答本题的关键． （1）根据已知条件可得有一组对应角和一组对应边相等，根据全等三角形的判定定理可再找一组对应边相等，根据证明即可； （2）运用证明全等即可． 【小问1详解】 解：添加的条件可以是， 故答案为：； 【小问2详解】 略． 20. 如图，已知，，E为线段上一点．请说明线段与的数量关系，并证明． 【答案】 解： 理由：在和中， ， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据证明，得出，，根据证明，得出即可． 【详解】略 21. 和中，，，，与交于F． （1）如图1，当时，直接写出与的位置和数量关系_____； （2）如图2，当时，求出的度数． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是： （1）利用角的和差关系可得，利用即可证明，设、交于点，由全等三角形的性质可得，，根据直角三角形两锐角互余及等量代换可得，即可得，即； （2）设、交于点，根据角的和差关系可得，利用可证明，可得，根据三角形内角和定理可得． 【小问1详解】 解： ，即， 又，， ，， 设、交于点， ，， ， ，即 【小问2详解】 解：设、交于点， ， ，即， 又，， ， ， ， 22. 三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、直角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型）．解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等或相似三角形所需角的相等条件，利用全等或相似三角形解决问题． 【证明体验】 如图，中，，，直线MN过点C，且于D，于E． （1）当直线绕点C旋转到①的位置时，请直接写出、和的数量关系_____． （2）当直线绕点C旋转到②的位置时，请说明、和的数量关系，并证明； 【问题解决】 （3）如图是一个工业开发区局部的设计图，河的同一侧有两个工厂A和B，、的长表示两个工厂到河岸的距离，其中E是进水口，D、C为污水净化后的出口． ，，米，米，求两个出口之间的水平距离． 【答案】（1）；（2）；（3）500米 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，全等三角形应用等知识，解题的关键是： （1）由，得，而于D，于E，则，根据等角的余角相等得到，易得，所以，，即可得到； （2）根据等角的余角相等得到，易得，得到，，所以； （3）根据证明与全等，再利用全等三角形的性质解答即可． 【详解】解：（1） 理由：∵， ∴， ∵于D，于E， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； 故答案为：； （2）， 理由：∵于D，于E，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴（米）． 答：两个排污口之间的水平距离为500米． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $