精品解析：江苏省南京市溧水区第一初级中学2025-2026学年八年级上学期10月月考数学试题

2025-2026学年溧水一初中八上第一次数学节点练习 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1. 下列长度的三条线段能围成三角形的是（　　） A. 2，3，6 B. 3，4，7 C. 5，6，9 D. 5，7，13 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查构成三角形的条件，比较两较短线段的长度和与最长线段的长之间的关系，进行求解即可． 【详解】解：A、，不能构成三角形，不符合题意； B、，不能构成三角形，不符合题意； C、，能构成三角形，符合题意； D、，不能构成三角形，不符合题意； 故选C． 2. 如图，△ABE≌△ACF，若AB=5，AE=2，则EC的长度是（ 　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据△ABE≌△ACF，可得三角形对应边相等，由EC=AC-AE即可求得答案． 【详解】解：∵△ABE≌△ACF，AB＝5，AE＝2， ∴AB＝AC＝5， ∴EC=AC-AE=5-2=3， 故选：B． 【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键． 3. 如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据全等三角形的知识很快就画出了一个书上完全一样的三角形，小明画图的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据图形可知两角及夹边分别相等即可判断． 【详解】解：小明画图的依据是两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，即． 4. 到三角形三边距离相等的点是这个三角形的（ ） A. 三条高的交点 B. 三条内角平分线的交点 C. 三条中线的交点 D. 三条边的垂直平分线的交点 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．根据角平分线的性质，角平分线上的点到角的两边距离相等，因此到三角形三边距离相等的点是三个内角平分线的交点． 【详解】解：∵ 角平分线上的点到角的两边距离相等， ∴ 三个内角平分线的交点到三角形的三边距离相等， ∴ 该点是三条内角平分线的交点． 故选：B． 5. 如图，点B，F，C，E共线，∠B=∠E，BF=EC，添加一个条件，不能判断△ABC≌△DEF的是（ ） A. AB=DE B. ∠A=∠D C. AC=DF D. AC∥FD 【答案】C 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定与性质逐一分析即可解题． 【详解】解：BF=EC， A. 添加一个条件AB=DE， 又 故A不符合题意； B. 添加一个条件∠A=∠D 又 故B不符合题意； C. 添加一个条件AC=DF ，不能判断△ABC≌△DEF ，故C符合题意； D. 添加一个条件AC∥FD 又 故D不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查添加条件使得三角形全等即全等三角形的判定，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 6. 如图，是等边的边上的高，以点为圆心，长为半径作弧交的延长线于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由等边三角形的性质求解，再利用等腰三角形的性质可得，从而可得答案． 【详解】解：∵是等边的边上的高， ∴， ∵， ∴， 故选C 【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟记等边三角形与等腰三角形的性质是解本题的关键． 7. 已知，用尺规作图的方法在上确定一点P，使，则符合要求的作图痕迹是（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图—线段的垂直平分线的基本作图，熟练掌握线段的垂直平分线的基本作图是解题的关键．根据，结合图形分析可得，只需作线段的垂直平分线，分析选项即可得出结论． 【详解】解：根据题意，， 由图可知，， ， 故符合要求的作图是作线段的垂直平分线， 由作图痕迹可知，只有B选项符合题意． 故选：B． 8. 如图，A．B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形、点C也在格点上，且△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C共有______个． 【答案】9 【解析】 【分析】根据已知条件，可知按照点C所在的直线分两种情况：①点C以点A为标准，AB为底边；②点C以点B为标准，AB为等腰三角形的一条边． 【详解】解：①点C以点A为标准，AB为底边，符合点C的有5个； ②点C以点B为标准，AB为等腰三角形的一条边，符合点C的有4个． 所以符合条件的点C共有9个． 【点睛】此题考查了等腰三角形的判定来解决特殊的实际问题，其关键是根据题意，结合图形，再利用数学知识来求解．注意数形结合的解题思想． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 9. 为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背面加钉了一根木条这样做的道理是___________________ 【答案】三角形具有稳定性 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形具有稳定性的应用，用木条固定矩形门框，即是组成三角形，故可用三角形的稳定性解释． 【详解】解：加上木条后，原不稳定的四边形中具有了稳定的三角形，故这种做法根据的是三角形的稳定性． 故答案为：三角形具有稳定性． 10. 一个等腰三角形的底角为，则这个三角形的顶角为_______． 【答案】##80度 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的定义以及三角形内角和定理，解题的关键是掌握等腰三角形的两个底角相等，三角形的内角和是．利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：等腰三角形的一个底角是，则顶角的度数是， 故答案为：． 11. 图中的两个三角形全等，则∠α＝___ °． 【答案】55 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质解答． 【详解】解：∵两个三角形全等，为边a与c的夹角， ∴， 故答案为：55． 【点睛】此题考查全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等． 12. 如图，一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸．已知，点D为边的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则_________cm． 【答案】3 【解析】 【分析】先读尺确定，再根据直角三角形的性质即可求出答案． 【详解】根据刻度尺可知． 在中，点D是的中点， ∴． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，理解“直角三角形的斜边中线是斜边的一半”是解题的关键． 13. 如图，，相交于点O，请添加一个条件_______，使得． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查添加条件使三角形全等，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键，根据对顶角相等，，已知一角及其对边，利用可判定，添加条件即可． 【详解】解：∵， ∴当或时，； 故答案为：或． 14. 如图用尺规作与“已知角相等的角”的过程中，作出的依据是________（填“”或“”或“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定，掌握知识点的应用是解题的关键． 由作图可知，，，根据证明三角形全等即可解决问题． 【详解】解：由作图可知，，， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在△中，，，，的垂直平分线分别交、于点、，的垂直平分线分别交、于点、，则的周长为________． 【答案】7 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质， 根据线段垂直平分线的性质得，进而得的周长为，则此题可解. 【详解】解：∵是的垂直平分线，是的垂直平分线， ∴， ∴的周长为. 故答案为：7. 16. 如图，在中，，平分交于点D，若，，则点D到的距离为_______． 【答案】4 【解析】 【分析】此题主要考查角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．由角平分线的性质可得点D到的距离等于，根据已知求得即可． 【详解】解：∵，平分， ∴点D到的距离等于， ∵，， ∴， ∴点D到的距离是4． 故答案为：4． 17. 如图，在，，，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接．那么的度数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等边对等角，求出，由题意得：，推出即可求解． 【详解】解：∵，， ∴； 由题意得：， ∴， ∴， 故答案为：． 18. 如图，在中，，将绕点按顺时针方向旋转到的位置，连接．若，则的面积为________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了三角形的全等的判定和性质，过点A作于点E，过点D作，交的延长线于点F，证明，，得到，根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：过点A作于点E，过点D作，交的延长线于点F， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 的面积为：． 故答案为：4． 三、解答题（本大题共8小题，共64分） 19. 如图，点D在上，点E在上，，． （1）求证：； （2）可以通过_______变换得到（填“平移”或“轴对称”或“旋转”）． 【答案】（1） 证明：在和中， ， ∴； （2）轴对称 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键： （1）利用证明即可； （2）观察图形可知，可以通过轴对称变换得到，作答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 观察图形可知，可以通过轴对称变换得到， 故答案为：轴对称． 20. 已知：如图，点、在上，且，，． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1） 证明：， ， ， ， ， 在和中，， ； （2） 证明：由可知， ， ． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质． 根据，可知，根据两直线平行，内错角相等，可证，利用可证结论成立； 根据可知，根据内错角相等，两直线平行，可证结论成立． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 利用网格画图并填空： （1）在上找一点，使点到和的距离相等； （2）在射线上找一点，使． （3）若正方形网格的边长为1，则点到的距离为______． 【答案】（1） 点P即为所求： （2） 点Q即为所求： （3） 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质等知识点，正确找出格点是解题的关键． （1）取格点M，L，使，连接交于点P，即可； （2）在射线上找一点，使，即可； （3）设点到的距离为h，则点到的距离为h，根据，求出h的值，即可． 【小问1详解】 解：理由：由作法得：， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 即平分， ∴点到和的距离相等； 【小问2详解】 解：理由：取格点H，K，使， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：设点到的距离为h，则点到的距离为h， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， 即点到的距离为． 22. 如图，在中，，． （1）求证：； （2）若是的中线，求证：是的中点． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2） 证明：∵，是的中线， ∴， ∴， ∵， 由（1）知：，， ∴， ∴， ∴，即是的中点． 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等边对等角，等角对等边是解题的关键： （1）等边对等角，得到，平行线的性质，得到，进而得到，即可得证； （2）根据三线合一和等角的余角相等，得到，进而得到，结合（1）中结论，得到，即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 如图，在中，MD是BC的垂直平分线交的平分线于点D，于点E，，交AC的延长线于点F． （1）求证：； （2）若，求AE的长． 【答案】（1） 证明：连接DC、DB，如图所示： ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∵是的平分线，，， ∴， ∴（HL）， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）连接DC、DB，由角平分线和线段垂直平分线的性质可知，，然后根据“HL”可证，进而问题可求证； （2）由（1）易证，则有，然后根据线段的和差关系可得，进而问题可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知：， ∵， ∴（HL）， ∴， ∵，， ∴，即， ∵，， ∴． 【点睛】本题主要考查线段垂直平分线、角平分线的性质定理及全等三角形的判定与性质，熟练掌握线段垂直平分线、角平分线的性质定理及全等三角形的判定与性质是解题的关键． 24. 如图，已知中，，，，点为的中点．点在线段上以固定的速度由点向点运动，同时，点在线段上以固定的速度由点向点运动． （1）若点和点的运动速度都为，经过秒后，与_______（填“全等”或“不全等”），请说明理由； （2）若点的运动速度为，当点的运动速度为_______时，能够使与全等． 【答案】（1） 解：全等，理由如下： 经过2秒，可得则， ∵点D是的中点，且， ∴. 在和中， ， ∴； （2）或2 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定， 对于（1），先求出相应的线段长，再根据“边角边”证明即可； 对于（2），先设当点Q以运动，运动时间为时，能使和全等，可得，分两种情况：当时，且，此时，可得，求出答案； 当时，且，此时，可得，求出解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：当点Q以运动，运动时间为时，能使和全等，可知， 当时，且， ∴， 即， 解得， 所以当点Q以运动，能使和全等； 当时，且， ∴， 即， 解得， 所以当点Q以运动，能使和全等. 所以当点Q以或运动，能使和全等. 故答案为：或. 25. 如图，在中，于点，于点，点，分别是，的中点． （1）求证：； （2）若，则_______． 【答案】（1） 证明：连接， ∵， ， ∵M是的中点， ∴， ∴ ， ∵N是的中点， ∴； （2）45 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握直角三角形的性质，等腰三角形的性质与判定是解题的关键． （1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，再根据等腰三角形三线合一的性质证明即可； （2）根据等腰直角三角形的性质以及三角形外角的性质可得，再证明均为等腰直角三角形，可得，从而得到，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵，N是的中点， ∴， ∵， ∴均为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：45 26. 探究等边三角形“手拉手”问题． （1）如图，已知，均为等边三角形，点在线段上，且不与点、点重合，连接，则与的位置关系是_____，请说明理由； （2）如图，已知、均为等边三角形，连接、，若，求证：（即、、在同一条直线上）； （3）如图，已知点在等边三角形外，点、点位于线段的异侧，连接、，若，则线段、、三者之间的数量关系是______，请说明理由． 【答案】（1） 平行，理由如下： ∵都是等边三角形， ∴， ∴， 即， ∴， ∴ ， ∴， ∴； （2） 证明： ∵都是等边三角形， ∴， ∴， 即. ∵， ∴， ∴， ∴, ∴； （3） ，理由如下： 在线段上取一点H，使得，设交于点O， ∵都是等边三角形， ∴. ∵， ∴. ∵， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴. 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，平行线的判定， 对于（1），根据“边角边”证明，再根据全等三角形的性质得，然后根据平行线的判定定理得出结论； 对于（2），根据题意可知，再证明，可得，进而得出答案； 对于（3），在线段上取一点H，使得，再证明，可得，然后证明是等边三角形，根据等边三角形的性质得，结合图形可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年溧水一初中八上第一次数学节点练习 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1. 下列长度的三条线段能围成三角形的是（　　） A. 2，3，6 B. 3，4，7 C. 5，6，9 D. 5，7，13 2. 如图，△ABE≌△ACF，若AB=5，AE=2，则EC的长度是（ 　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据全等三角形的知识很快就画出了一个书上完全一样的三角形，小明画图的依据是（ ） A. B. C. D. 4. 到三角形三边距离相等的点是这个三角形的（ ） A. 三条高的交点 B. 三条内角平分线的交点 C. 三条中线的交点 D. 三条边的垂直平分线的交点 5. 如图，点B，F，C，E共线，∠B=∠E，BF=EC，添加一个条件，不能判断△ABC≌△DEF的是（ ） A. AB=DE B. ∠A=∠D C. AC=DF D. AC∥FD 6. 如图，是等边的边上的高，以点为圆心，长为半径作弧交的延长线于点，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知，用尺规作图的方法在上确定一点P，使，则符合要求的作图痕迹是（   ） A. B. C. D. 8. 如图，A．B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形、点C也在格点上，且△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C共有______个． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 9. 为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背面加钉了一根木条这样做的道理是___________________ 10. 一个等腰三角形的底角为，则这个三角形的顶角为_______． 11. 图中的两个三角形全等，则∠α＝___ °． 12. 如图，一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸．已知，点D为边的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则_________cm． 13. 如图，，相交于点O，请添加一个条件_______，使得． 14. 如图用尺规作与“已知角相等的角”的过程中，作出的依据是________（填“”或“”或“”或“”）． 15. 如图，在△中，，，，的垂直平分线分别交、于点、，的垂直平分线分别交、于点、，则的周长为________． 16. 如图，在中，，平分交于点D，若，，则点D到的距离为_______． 17. 如图，在，，，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接．那么的度数是______． 18. 如图，在中，，将绕点按顺时针方向旋转到的位置，连接．若，则的面积为________． 三、解答题（本大题共8小题，共64分） 19. 如图，点D在上，点E在上，，． （1）求证：； （2）可以通过_______变换得到（填“平移”或“轴对称”或“旋转”）． 20. 已知：如图，点、在上，且，，． （1）求证：； （2）求证：． 21. 利用网格画图并填空： （1）在上找一点，使点到和的距离相等； （2）在射线上找一点，使． （3）若正方形网格的边长为1，则点到的距离为______． 22. 如图，在中，，． （1）求证：； （2）若是的中线，求证：是的中点． 23. 如图，在中，MD是BC的垂直平分线交的平分线于点D，于点E，，交AC的延长线于点F． （1）求证：； （2）若，求AE的长． 24. 如图，已知中，，，，点为的中点．点在线段上以固定的速度由点向点运动，同时，点在线段上以固定的速度由点向点运动． （1）若点和点的运动速度都为，经过秒后，与_______（填“全等”或“不全等”），请说明理由； （2）若点的运动速度为，当点的运动速度为_______时，能够使与全等． 25. 如图，在中，于点，于点，点，分别是，的中点． （1）求证：； （2）若，则_______． 26. 探究等边三角形“手拉手”问题． （1）如图，已知，均为等边三角形，点在线段上，且不与点、点重合，连接，则与的位置关系是_____，请说明理由； （2）如图，已知、均为等边三角形，连接、，若，求证：（即、、在同一条直线上）； （3）如图，已知点在等边三角形外，点、点位于线段的异侧，连接、，若，则线段、、三者之间的数量关系是______，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $