专题10 二元一次方程组实际问题十一大题型（专项训练）数学沪科版2024七年级上册

专题10 二元一次方程组实际问题十一大题型 目录 A题型建模・专项突破 题型一、方案选择 1 题型二、行程问题 5 题型三、工程问题 7 题型四、数字问题 11 题型五、年龄问题 14 题型六、分配问题 16 题型七、销售利润问题 19 题型八、和差倍分问题 22 题型九：几何问题 25 题型十：图表问题 28 题型十一：古代问题 32 B综合攻坚・能力跃升 题型一、方案选择 1．一家公司加工蔬菜，有粗加工和精加工两种方式．如果进行粗加工，每天可加工15吨；如果进行精加工，每天可加工5吨．该公司从市场上收购蔬菜150吨，并用14天加工完这批蔬菜．问精加工和粗加工蔬菜各多少吨？ 【答案】粗加工蔬菜为120吨，精加工蔬菜为30吨． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设粗加工蔬菜为x吨，精加工蔬菜为y吨，根据14天要加工完成150吨蔬菜，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设粗加工蔬菜为x吨，精加工蔬菜为y吨， 根据题意得：， 解得：． 答：粗加工蔬菜为120吨，精加工蔬菜为30吨． 2．某公司后勤部准备去超市购买牛奶和咖啡若干箱，现有两种不同的购买方案，如表： 牛奶（箱） 咖啡（箱） 金额（元） 方案一 20 10 1100 方案二 25 20 1750 (1)求牛奶与咖啡每箱的价格分别为多少元． (2)超市中该款咖啡和牛奶有部分因保质期临近，进行打六折的促销活动，后勤部根据需要选择原价或打折的咖啡和牛奶，此次购买共花费了1200元，其中购买打折的牛奶箱数是所有牛奶、咖啡的总箱数的，则此次按原价购买的咖啡有_____箱 【答案】(1)每箱牛奶价格为30元，每箱咖啡价格是50元 (2)6 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，实际问题与一元一次方程； （1）设每箱牛奶价格为x元，每箱咖啡价格是y元，根据题意列出二元一次方程组，计算求解即可； （2）根据题意得到打折的咖啡的价格与牛奶的原价相同，设打折的牛奶买了m箱，打折的咖啡和原价的牛奶共买了n箱，根据题意列出二元一次方程，计算求解即可． 【详解】（1）解：设每箱牛奶价格为x元，每箱咖啡价格是y元， 根据题意得： ， 解得， 答：每箱牛奶价格为30元，每箱咖啡价格是50元． （2）解：， ∴打折的咖啡的价格与牛奶的原价相同． 设打折的牛奶买了m箱，打折的咖啡和原价的牛奶共买了n箱， 则原价的咖啡买了（箱）． 根据题意得 ∴． 又∵均为非负整数， ∴， ∴ （箱）， ∴此次按原价购买的咖啡有6箱． 故答案为：6． 3．某公司需要将120吨物资从A市运往B市，现有甲、乙、丙三种车型供运输选择，每辆车的运载能力和运费如下表： 车型 甲 乙 丙 运载量（吨／辆） 5 8 10 运费（元／辆） 450 600 700 (1)若选用甲、丙两种车型一次性运完，如果甲车有11辆，则丙车至少需要多少辆？ (2)若选用甲、乙两种车型一次性运完，且每辆车均满载，需运费9600元，则甲、乙两种车型各需多少辆？ (3)若选用甲车辆、乙车辆、丙车若干辆一次性运完，且每辆车均满载，已知三种车辆共14辆，直接写出a、b的值和总运费． 【答案】(1)丙车至少需要7辆 (2)甲型车有8辆，乙型车有10辆 (3)、，8800元 【分析】本题考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出方程即可求解． （1）根据甲型车运载量是5吨/辆，丙型车运载量是10吨/辆，再根据总吨数，即可求出丙型车的车辆数； （2）设甲种车型需辆，乙种车型需辆，根据运费9600元，总吨数是120，列出方程组，再进行求解即可； （3）设甲车有辆，乙车有辆，则丙车有辆，列出等式，再根据、、均为正整数，求出，的值，从而得出答案． 【详解】（1）解：， 答：丙型车至少需要辆． （2）解：设甲种车型需辆，乙种车型需辆， 根据题意得：， 解得：， 答：甲种车型需8辆，乙种车型需10辆． （3）解：设甲车有辆，乙车有辆，则丙车有辆， 由题意得， 即， ∵、、均为正整数， ∴只能等于5， ∴， ， ∴甲车2辆，乙车5辆，丙车7辆， 则需运费（元）， 答：甲车2辆，乙车5辆，丙车7辆，此时的总运费为8800元． 4．乐乐购买3件A商品和2件B商品应付80元，购买4件A商品和1件B商品应付65元． (1)A商品和B商品的单价分别是多少元？ (2)商场现推出两种优惠方案： 方案一：累计购物超过100元后，超出100元的部分按九折收费； 方案二：累计购物超过50元后，超出50元的部分按收费． 如果乐乐需要购买3件商品和6件商品，应选择哪个方案更省钱？说明理由． 【答案】(1)A商品的单价是10元，B商品的单价是25元； (2)选择方案一更省钱． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）设A商品的单价是x元，B商品的单价是y元，根据“购买3件A商品和2件B商品应付80元，购买4件A商品和1件B商品应付65元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）利用总价=单价×数量，可求出按原价后面所需费用，结合商场给出的两种优惠方案，可分别求出选择各方案所需费用，比较后，即可得出结论． 【详解】（1）解：设A商品的单价是x元，B商品的单价是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：A商品的单价是10元，B商品的单价是25元； （2）解：选择方案一更省钱，理由如下： 按原价购买所需费用为（元）； 选择方案一购买所需费用为（元）； 选择方案二购买所需费用为（元）， ∵， ∴选择方案一更省钱． 题型二、行程问题 5．某人骑自行车从甲地到乙地，先以的速度下山，再以的速度通过平路到达乙地，共用；他返回时，先以的速度通过平路，再以的速度上山回到甲地，用了．求甲、乙两地之间的距离． 【答案】甲、乙两地之间的距离为9千米 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．设山路长为，平路长为，根据先下山后走平路，到乙地用了，后回到甲地用了，列方程组求解． 【详解】解：设山路长为，平路长为， 由题意得，， 解得：， 则． 答：甲、乙两地之间的距离为9千米． 6．(24-25七上·安徽亳州蒙城县·月考)甲、乙两地相距千米，一列慢车从甲地开出，一列快车从乙地开出，如果两车同向而行，快车小时追上慢车：如果两车相向而行，小时后两车相遇，试问： (1)两车的速度分别是多少？ (2)若两车同时相向而行，多少时间可以相距千米？ 【答案】(1)快车、慢车的速度分别为 (2)1小时或者3小时 【分析】本题考查了二元一次方程组，一元一次方程的应用； （1）设快车、慢车的速度分别为根据题意列出方程组，方程组即可求解． （2）设时间为小时，根据相距100千米，分情况讨论，列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：设快车、慢车的速度分别为则由题意，得 解得 答：快车、慢车的速度分别为． （2）设解：时间为小时，则由题意，得 或 解得或 答：两车相向而行，1小时或者3小时可以相距． 7．(23-24七下·海南海口丰南中学·期中)甲、乙两车分别从相距千米的，两地相向而行． (1)两车均保持匀速行驶且甲车的速度是乙车速度的2倍，若甲车比乙车提前2小时出发，则甲车出发后3小时两车相遇．求甲、乙两车的速度分别是多少（单位：千米/小时）？ (2)如果甲、乙两车保持（1）中的速度，两车同时出发相向而行，求经过多少小时两车相距30千米？ 【答案】(1)甲车的速度是60千米/小时，乙车的速度是30千米/小时 (2)小时或小时 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次方程的实际应用，正确理解题意，根据题意找出等量关系是解题的关键． （1）设甲车的速度是千米/小时，乙车的速度是千米/小时，根据题意列出方程组求解即可； （2）设经过小时两车相距30千米，然后进行分类讨论：当两车未相遇时，当两车相遇后，分别列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设甲车的速度是千米/小时，乙车的速度是千米/小时， 根据题意，得 解得， 答：甲车的速度是60千米/小时，乙车的速度是30千米/小时． （2）解：设经过小时两车相距30千米， 根据题意，得： 当两车未相遇时，， 解得， 当两车相遇后，， 解得， 答：经过2小时或小时两车相距30千米． 8．(23-24七·青岛版·期中)青藏铁路全线有一座大桥—拉萨河大桥全长920多米，其中主桥长800米，小明在去年暑假乘次列车从北京到拉萨游玩，小明为了探究次列车的长度与速度，记录了以下两个数据： （1）火车完全在主桥上的时间为35秒． （2）火车上主桥到完全通过主桥用了45秒． 知道这两个数据后，小明就会算出了次列车的长度与速度吗？ 【答案】次列车的长度为，速度为． 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确得出等式是解题关键． 直接利用火车完全在主桥上的时间为35秒，火车上主桥到完全通过主桥用了45秒，主桥长800米，分别得出等式组成方程组，求出答案． 【详解】解：设次列车的长度为，速度为根据题意可得： ， 解得： 答：次列车的长度为，速度为 题型三、工程问题 9．为打造一河两岸景观带，需对一段长350米的河边道路进行整治，任务由，两个工程队先后接力完成，工程队每天整治15米，工程队每天整治10米，共用时30天，求两工程队用时的天数． (1)根据题意，甲、乙两位同学分别列出了如下不完整的方程组： 甲：    乙： 根据申、乙两同学所列的方程组，指出未知数的含义： 甲：表示______________；乙：表示_______________． (2)从上述方程组中任选一组，将其补全，解答问题． 【答案】(1)工程队用时的天数；工程队整治道路的总长度 (2)见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）读懂题意，联系上下文得甲：表示工程队用时的天数，乙：表示工程队整治道路的总长度；即可作答． （2）分别解出甲乙两个的方程组，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，甲：表示工程队用时的天数， 乙：表示工程队整治道路的总长度； （2）解：选第一种：， 解得， 答：工程队用时10天，工程队用时20天； 选第二种：， 解得：， 工程队用时：， 工程队用时：， 答：工程队用时10天，工程队用时20天． 10．某工程公司承建的一段路基工程的施工土方量为120万立方，原计划由公司的甲、乙两个工程队从公路的两端同时相向施工150天完成．由于特殊情况，公司抽调甲队外援施工，由乙队先单独施工40天后甲队返回，两队又共同施工了110天，这时甲、乙两队共完成土方量103.2万立方．甲、乙两队原计划平均每天的施工土方量分别为多少万立方？ 【答案】甲队原计划平均每天的施工土方量为0.42万立方，乙队原计划平均每天的施工土方量为0.38万立方． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设甲队原计划平均每天的施工土方量为x万立方，乙队原计划平均每天的施工土方量为y万立方，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解即可得出结果． 【详解】解：设甲队原计划平均每天的施工土方量为x万立方， 乙队原计划平均每天的施工土方量为y万立方， 根据题意，得 解得： 所以，甲队原计划平均每天的施工土方量为0.42万立方，乙队原计划平均每天的施工土方量为0.38万立方． 11．古运河是扬州的母亲河．为打造古运河风光带，现有一段长为180米的河道整治任务由A、B两工程队先后接力完成．A工程队每天整治12米，B工程队每天整治8米，共用时20天． (1)根据题意，甲、乙两名同学分别列出尚不完整的方程组如下： 甲：；乙： 根据甲、乙两名同学所列的方程组，请你分别指出未知数x、y表示的意义，然后在括号内补全甲、乙两名同学所列的方程组： 甲：x表示______，y表示_______； 乙：x表示______，y表示______． (2)求A、B两工程队分别整治河道多少米．（写出完整的解答过程） 【答案】(1)补全方程组见解析；A工程队用的时间，B工程队用的时间；A工程队整治河道的米数，B工程队整治河道的米数； (2)A工程队整治河道60米，B工程队整治河道120米． 【分析】此题主要考查二元一次方程组的应用． （1）此题蕴含两个基本数量关系：A工程队用的时间工程队用的时间天，A工程队整治河道的米数工程队整治河道的米数，由此进行解答即可； （2）选择其中一个方程组解答解决问题． 【详解】（1）解：甲同学：设A工程队用的时间为x天，B工程队用的时间为y天，由此列出的方程组为 ； 乙同学：A工程队整治河道的米数为x，B工程队整治河道的米数为y，由此列出的方程组为 ； 故答案为：A工程队用的时间，B工程队用的时间；A工程队整治河道的米数，B工程队整治河道的米数； （2）解：选甲同学所列方程组解答如下： ， 得， 解得， 把代入①得， 所以方程组的解为， A工程队整治河道的米数为：， B工程队整治河道的米数为：； 答：A工程队整治河道60米，B工程队整治河道120米． 选乙同学所列方程组解答如下： 由题意可得， 解得， 答：A工程队整治河道60米，B工程队整治河道120米． 12．某县在创建省级卫生文明县城中，对县城内的河道进行整治．现有一段长为180米的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天整治8米，乙工程队每天整治12米，共用时20天， (1)小明、小华两位同学提出解题思路如下： 小明同学：设整治任务完成后甲工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米． 根据题意， 小华同学：设整治任务完成后，m表示__________，n表示__________； 得 请补全括号及横线部分的内容． (2)求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？请从中任选一个方程组求解．（写出完整的解答过程） 【答案】(1) ，，甲工程队工作的时间，乙工程队工作的时间； (2)甲工程队整治河道120米，乙工程队整治河道60米． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）小明同学：设整治任务完成后，甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米．根据甲、乙两队共完成120米的整治河道任务且共同时20天，即可得出关于，的二元一次方程组；小华同学：根据小华同学所列的方程组，找出，表示的意义； （2）任选一位同学的思路，解方程组即可得出结论． 【详解】（1）小明同学： 设整治任务完成后，甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米． 根据题意，得； 小华同学： 设整治任务完成后，表示甲工程队工作的时间，表示乙工程队工作的时间． 根据题意，得：． 故答案为： ，，甲工程队工作的时间，乙工程队工作的时间； （2）小明同学： 设整治任务完成后，甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米． 根据题意，得， 解之，得． 答：甲工程队整治河道120米，乙工程队整治河道60米． 小华同学： 设整治任务完成后，甲工程队工作了天，乙工程队工作了天， 根据题意，得， 解之，得， ，． 答：甲工程队整治河道120米，乙工程队整治河道60米． 题型四、数字问题 13．一个两位数的十位数字比个位数字大2，如果将十位数字与个位数字交换位置，所得新数和原数的和是66，求原来的两位数是几？ 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设原来的两位数的十位数字为x，个位数字为y，根据十位数字比个位数字大2得到方程，根据将十位数字与个位数字交换位置，所得新数和原数的和是66可得方程，据此列出方程组求解即可． 【详解】解：设原来的两位数的十位数字为x，个位数字为y， 由题意得，， 解得， ∴原来的两位数为． 14．一个两位数，十位上的数与个位上的数之和是8，个位数字与十位数字交换后所得新数比原数大．求这个两位数． 【答案】这个两位数为 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y.可列方程组求解． 【详解】解：设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y．      依题意，得：      解得：                   答：这个两位数为． 15．注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路按下面的要求填空，完成本题的解答，也可以选用其他的解题方案，此时不必填空，只需按照解答题的一般要求进行解答． 运输的化肥，装载了节火车车厢和15辆汽车；运输的化肥，装载了节火车车厢和辆汽车，每节火车车厢与每辆汽车平均各装多少吨？ 解题方案：设每节火车车厢平均装吨化肥，每辆汽车平均装吨化肥． (1)根据题意，列出方程组：　　； (2)解这个方程组，得 ； (3)答：每节火车车厢平均装 吨化肥，每辆汽车平均装 　　吨化肥（用数字作答）． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）根据题意：运输的化肥，装载了节火车车厢和15辆汽车；运输的化肥，装载了节火车车厢和辆汽车，列出方程组即可； （2）由加减消元法解这个方程组即可； （3）写出答案即可． 【详解】（1）解：设每节火车车厢平均装吨化肥，每辆汽车平均装吨化肥． 根据运输的化肥，装载了节火车车厢和15辆汽车,可列， 根据运输的化肥，装载了节火车车厢和辆汽车，可列， 即可列出方程组：， 故答案为：． （2）解：． 可得， 可得，即， 将代入①，可得， 故这个方程组的解为， 故答案为：． （3）答：每节火车车厢平均装吨化肥，每辆汽车平均装吨化肥， 故答案为：，． 16．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图1就是一个幻方．图2、图3、图4分别是未完成的幻方． 4 9 2 3 5 7 8 1 6 图1 0 2 a 图2 m 8 20 16 n 图3 图4 (1)如图2，将、、、、0、1、2、3、4这9个数填入图2的幻方中，其中、0、2已填入，则a的值是______． (2)如图3，则______． (3)如图4，直接写出图中y的值是______． 【答案】(1) (2)4 (3) 【分析】（1）设每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和为t，分别用含有t的式子表示每一空格的数，再根据第三行的和等于第二行的和列方程求解即可； （2）由每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，表示出最中间的数和最右下角的数，列出二元一次方程组求得m、n的值，即可求解； （3）根据第一行的和等于第三列的和可得关于x的一元二次方程，求得x的值，再根据第二行的和与对角线的和相等即可求解． 【详解】（1）解：设每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和为t， 则每一空格如图所示， 0 2 3 a ∴， ∴，， 故答案为：； （2）解：∵每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等， ∴最左下角的数为：， ∴最中间的数为：或， ∴最右下角的数为：或， ∴， 解得， ∴， 故答案为：4； （3）解：∵每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等， ∴， 整理得，， ∵， 整理得，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，找准等量关系列方程是解题的关键． 题型五、年龄问题 17．(23-24七上·福建三明三元区景润杯·期中)在我国传统文化中，“喜寿”、“米寿”、“白寿”分别是岁、岁、岁的雅称．小花在她年龄是她妈妈年龄的时，曾为奶奶贺喜寿，她在年龄为妈妈年龄的时，又为奶奶贺米寿，则小花在 岁时，将为奶奶贺白寿． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设小花为奶奶贺喜寿时年龄为岁，此时妈妈的年龄为岁，奶奶的年龄为岁，根据“喜寿”、“米寿”、“白寿”代表的年龄和小花与妈妈年龄的关系列出方程组． 【详解】解：设小花为奶奶贺喜寿时年龄为岁，此时妈妈的年龄为岁，奶奶的年龄为岁， 根据题意得： 解得： ∴当奶奶岁时，小花的年龄为， ∴小花岁时将为奶奶贺白寿， 故答案为：． 18．某学生想知道李老师的年龄，李老师说：“我像你这么大时，你才2岁，你长到我这么大时，我就35岁了．”请你算一算，今年李老师、该学生各多少岁． 【答案】今年李老师24岁，该学生13岁 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，理解题意设该学生今年x岁，李老师今年y岁，则根据该学生和李老师的年龄差不变，建立方程组求解即可． 【详解】解：设该学生今年x岁，李老师今年y岁，则 相据该学生和李老师的年龄差不变， 可得 解得 答：今年李老师24岁，该学生13岁． 19．今年（2022年）4月20日，是云大附中建校95周年暨云大附中恢复办学40周年校庆日，我校初一年级数学兴趣小组的小明同学发现这样一个有趣的巧合；小明的爸爸和爷爷都是云附的老校友，且爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40．已知小明今年13岁，妹妹今年4岁． (1)求今年小明的爸爸和爷爷的年龄分别是多少岁？（要求用二元一次方程组解答） (2)假如小明的爸爸和爷爷都是15岁初中毕业的，请问小明的爸爸和爷爷分别是哪一年毕业的云附学子？ 【答案】(1)爸爸36岁，爷爷76岁 (2)爸爸是2001年毕业，爷爷是1961年毕业的云附学子 【分析】（1）设今年小明的爸爸x岁，爷爷y岁，根据“爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40”列出二元一次方程组求解即可． （2）用现在年份减去年龄加15即可得到答案． 【详解】（1）设今年小明的爸爸x岁，爷爷y岁． ． 解得： 答：今年小明的爸爸36岁，爷爷76岁； （2）（年） （年） 小明的爸爸是2001年毕业，爷爷是1961年毕业的云附学子． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，正确找出等量关系是解答本题的关键． 20．根据小头爸爸与大头儿子的对话，求出大头儿子现在的年龄． 小头爸爸：儿子，现在我的年龄比你大23岁． 大头儿子：5年后，您的年龄比我的年龄的2倍还多8岁． 【答案】大头儿子现在的年龄为10岁 【分析】设大头儿子现在的年龄是x岁，爸爸的年龄是y岁，根据题意列出二元一次方程组解得即可． 【详解】解：设大头儿子现在的年龄是x岁，爸爸的年龄是y岁， 由题意得：， 解得：， 答：大头儿子现在的年龄为10岁． 【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是根据题意列出二元一次方程组． 题型六、分配问题 21．在“科技冬奥”的助力下，吉林省冰刀鞋生产技术有了很大突破．某工厂一月份生产甲、乙两种冰刀鞋共800双，其中甲种冰刀鞋的产量比乙种冰刀鞋产量的2倍少100双．求该工厂一月份生产甲、乙两种冰刀鞋各多少双？ 【答案】该工厂一月份生产甲种冰刀鞋500双，乙种冰刀鞋300双 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设该工厂一月份生产甲种冰刀鞋x双，乙种冰刀鞋y双，根据题意，列出关于x，y的二元一次方程组，求解即可得出答案． 【详解】解：设该工厂一月份生产甲种冰刀鞋x双，乙种冰刀鞋y双， 根据题意，得， 解得． 答：该工厂一月份生产甲种冰刀鞋500双，乙种冰刀鞋300双． 22．某工厂加工螺栓、螺母，已知每块金属原料可以加工成3个螺栓或4个螺母（每块金属原料无法同时既加工螺栓又加工螺母），已知1个螺栓和2个螺母组成一个零件．若把26块相同的金属原料全部加工完，则加工的螺栓和螺母是否存在恰好配套？若存在恰好配套，请求出加工螺栓和螺母各需要的金属原料的块数；若不存在恰好配套，请说明理由． 【答案】不存在恰好配套，理由见解析． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设把x块金属原料加工成螺栓，y块金属原料加工成螺母恰好配套，根据配套可得出，解出x，y的值，即可判断出结果． 【详解】解：设把x块金属原料加工成螺栓，y块金属原料加工成螺母恰好配套， 依题意，得， 解得： 因为求出的x，y的值不是整数， 所以加工的螺栓和螺母不存在恰好配套． 23．小莉家用钢管做防盗窗，按设计要求，其中需要长为的钢管88根，长为的钢管36根（钢管的粗细均相同），并要求这些用料不能是焊接而成的．现钢材市场的这种规格的钢管每根都为． (1)试问一根6米长的钢管有哪些裁剪方法呢？请填写下空(余料作废)． 方法1：当只裁剪长为1.2米的用料时，最多可剪_____________根； 方法2：当先剪下1根2.3米的用料时，余下部分最多能剪1.2米长的用料_____________根； 方法3：当先剪下2根2.3米的用料时，余下部分最多能剪1.2米长的用料_____________根． (2)联合用（1）中的方法2和方法3各裁剪多少根6米长的钢管，才能刚好得到所需要的相应数量的材料？ (3)小明经过探究发现：如果联合（1）中的二种裁剪方法，还有一种不同于（2）中的方案能刚好得到所需要的相应数量的材料，请写出这个裁剪方案，并说理理由． 【答案】(1)；；； (2)方法2剪28根，方法3剪4根； (3)方法1剪14根，方法3剪18根． 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，根据题目中所给的信息合理列出方程是解题的关键． （1）由总数每份数份数解答即可； （2）设用方法2剪根，用方法3剪根，根据需要长为的钢管88根，长为的钢管36根列出方程运算即可； （3）设用方法1剪根，用方法3剪根，根据需要长为的钢管88根，长为的钢管36根列出方程运算即可． 【详解】（1）解：方法1：，最多可剪根； 方法2：，最多可剪根； 方法3：，最多可剪根； 故答案为：；；； （2）解：设用方法2剪根，用方法3剪根长的钢管才能刚好得到所需要的相应数量的材料， ∴， 解得：； ∴用方法2剪28根，方法3剪4根长的钢管，才能刚好得到所需要的相应数量的材料； （3）解：设用方法1剪根，用方法3剪根长的钢管才能刚好得到所需要的相应数量的材料， ∴， 解得：； ∴用方法1剪14根，方法3剪18根长的钢管，才能刚好得到所需要的相应数量的材料； 24．现欲将一批荔枝运往外地销售，若用2辆A型车和1辆B型车载满荔枝一次可运走10吨；1辆A型车和2辆B型车载满荔枝一次可运走11吨．现有荔枝31吨，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满荔枝．根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆A型车和1辆B型车都载满荔枝一次可分别运送多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计租车方案． 【答案】(1)1辆A型车载满荔枝一次可运送3吨，1辆B型车载满荔枝一次可运送4吨 (2)该物流公司共有3种租车方案，方案1：租用9辆A型车，1辆B型车；方案2：租用5辆A型车，4辆B型车；方案3：租用1辆A型车，7辆B型车． 【分析】（1）设1辆A型车载满荔枝一次可运送x吨，1辆B型车载满荔枝一次可运送y吨，由“用2辆A型车和1辆B型车载满荔枝一次可运走10吨；1辆A型车和2辆B型车载满荔枝一次可运走11吨”，列出二元一次方程组，解方程组即可得出结论； （2）由“现有荔枝31吨，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满荔枝”，列出二元一次方程，结合a、b均为非负整数，即可得出各租车方案． 【详解】（1）设1辆A型车载满荔枝一次可运送x吨，1辆B型车载满荔枝一次可运送y吨， 由题意得： ， 解得：， 答：1辆A型车载满荔枝一次可运送3吨，1辆B型车载满荔枝一次可运送4吨； （2）由题意得：， ∴， 又∵a、b均为非负整数， ∴或或， ∴该物流公司共有3种租车方案， 方案1：租用9辆A型车，1辆B型车； 方案2：租用5辆A型车，4辆B型车； 方案3：租用1辆A型车，7辆B型车． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)找准等量关系，正确列出二元一次方程． 题型七、销售利润问题 25．旅居海外的熊猫“丫丫”的健康牵动着亿万中国人的心．据报道，不少热心网友为丫丫送去了竹子．大熊猫常吃的竹子有筇竹和箭竹．若购买4根筇竹和2根箭竹共需70元，购买2根筇竹和3根箭竹共需65元．购买1根筇竹、1根箭竹各需多少元？ 【答案】购买1根笻竹需10元，1根箭竹需15元 【分析】设购买1根笻竹需元、1根箭竹需元， 根据题意得：，解方程组即可． 本题考查了方程组的应用，熟练掌握解方程组是解题的关键． 【详解】解：设购买1根笻竹需元、1根箭竹需元， 根据题意得：， 解得：， 答：购买1根笻竹需10元，1根箭竹需15元. 26．春节前夕，某商场用18000元购进A、B两种饮料共400箱，两种饮料的成本价与销售价如表所示： 类别 成本价(元/箱) 销售价(元/箱) A 30 45 B 50 80 求： (1)购进A、B两种饮料各多少箱？ (2)该商场售完这400箱饮料，可获利多少元？ 【答案】(1)购进A种饮料100箱，B种饮料300箱 (2)10500元 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是找准题干的等量关系． （1）设商场购进A品牌饮料x箱，B品牌饮料y箱，然后根据题意可列出方程组进行求解； （2）由(1)及题意可直接进行求解． 【详解】（1）解：设购进A、B两种饮料分别为x和y箱， 则，解方程组可得， 答∶该商场购进A种饮料100箱，B种饮料300箱； （2）解：（元）， 答：该商场售完这400箱饮料，可获利10500元． 27.某品牌制衣厂现有240名制作服装的工人，每天都制作某款运动服装T恤和短裤，每名工人每天可制作这种T恤3件或短裤5条． (1)若该厂要求每天制作的T恤和短裤数量相等，则应各安排多少名工人制作T恤和短裤？ (2)已知制作1件T恤可获利25元，制作1条短裤可获利18元．若该厂要求每天获得利润18900元，则需要安排多少名工人制作T恤？ 【答案】(1)应安排名工人制作掹，名工人制作短裤． (2)需要安排名工人制作恤． 【分析】（1）问根据恤和短裤数量相等的关系，设未知数建立方程求解； （2）问根据利润的关系，设未知数建立方程求解． 【详解】（1）解：（1）设应安排名工人制作恤，名工人制作短裤． 根据题意，得解得 答：应安排150名工人制作掹，90名工人制作短裤． （2）解：（2）设需要安排名工人制作恤，名工人制作短裤． 根据题意，得 即解得 答：需要安排名工人制作恤． 【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，掌握根据题目中的数量关系是解题的关键． 28．根据以下素材，探索完成任务； 生活中的数学问题 案材1 为了激发学生学习的积极性，李老师决定在某饮品店购买单价为8元和6元的饮品分别奖励在阶段性学习反馈中获得A+等级和A等级的学生； 素材2 李老师班第一次阶段性学习反馈中获得A+等级和A等级的学生共8人；一个月后李老师班第二次阶段性学习反馈中获得A+等级和A等的学生共11人，其中获得A+等级的有5人： 素材3 该饮品店推出优惠活动方案： 活动1：累计购买6元及6元以上饮品10杯可赠送1杯6元饮品； 活动2：一次性购买10杯以上（含10杯）单价为6元及6元以上的饮品的，单价8元一杯的饮品可打m折． 注：两种优惠活动不可同时使用，经计算，第二次阶段性学习反馈李老师用优惠活动1和活动2的花费是相同的． 问题解决 问题1 第一次阶段性学习反馈后，李老师买奖品共花了 54 元，则获得 A+等级和 A 等级的学生各有多少人? 问题2 请求出m的值； 问题3 若第二次阶段性学习反遗中李老师班获得A+等级和A等级的学生共11人，其中获得A+等级的有6人，选择哪个优惠活动更合算?请说明理由． 【答案】问题1：获得 A+等级的学生有3人，获得 A 等级的学生有5人 问题2： 问题3：活动2更合算，理由见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找出数量关系并列出方程． 问题1：设获得 A+等级的学生有x人，获得 A 等级的学生有y人，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可； 问题2：分别表示出李老师用优惠活动1和活动2的花费，根据“花费是相同”即可求出m的值； 问题3：根据题意求出李老师用优惠活动1和活动2的花费，再进行比较即可得出答案． 【详解】解：问题1：设获得 A+等级的学生有x人，获得 A 等级的学生有y人， 根据题意得，， 解得， 答：获得 A+等级的学生有3人，获得 A 等级的学生有5人； 问题2：根据题意，第二次阶段性学习反馈中获得A+等级和A等级的学生共11人，其中获得A+等级的有5人，则获得A等级的学生有6人， 活动1的花费：（元）， 李老师用优惠活动1和活动2的花费是相同的， 活动2的花费：， 解得 问题3：活动2更合算，理由如下： 第二次阶段性学习反遗中李老师班获得A+等级和A等级的学生共11人，其中获得A+等级的有6人，则获得A等级的学生有5人， 活动1的花费：（元）， 活动2的花费：（元）， ， 活动2更合算． 题型八、和差倍分问题 29．“体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想，体育强则中国强，国运兴则体育兴”．为引导学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质，某校开展了大课间活动，七年级一班拟组织学生参加跳绳活动，最初男生报名人数比女生多3人，后来又有15名女生报名参加了跳绳活动，这时女生人数恰好是男生人数的2倍，求最初报名时女生与男生各有多少人？ 【答案】最初报名时男生有12人，女生有9人． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设最初报名时女生有x人，男生有y人，由题意：男生报名人数比女生多3人，后来又报了15名女生，这时女生人数恰好是男生人数的2倍，列出方程组，解之即可． 【详解】解：设最初报名时女生有x人，男生有y人， 依题意，得：， 解得：， 答：最初报名时男生有12人，女生有9人． 30．为响应政府号召，陵水县圣女果种植户借助电商平台，在线下批发的基础上同步在电商平台“拼多多”上零售圣女果，已知线上零售40千克、线下批发圣女果80千克共获得销售额4000元；线上零售60千克和线下批发80千克圣女果的销售额相同．求线上零售和线下批发圣女果的单价分别为每千克多少元？ 【答案】线上零售圣女果单价为每千克40元，线下批发圣女果单价为每千克30 元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设线上零售圣女果单价为每千克x元，线下批发圣女果单价为每千克y 元，根据线上零售40千克、线下批发圣女果80千克共获得销售额4000元，线上零售60千克和线下批发80千克圣女果的销售额相同，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设线上零售圣女果单价为每千克x元，线下批发圣女果单价为每千克y 元． 根据题意得： 解得： 答：线上零售圣女果单价为每千克40元，线下批发圣女果单价为每千克30 元． 31．在一次葡萄酒展会上，为方便送达相应客户，某葡萄酒商人决定租用40辆无人车运送A，B，C三种葡萄酒共310箱，按计划，40辆无人车都要装运，每辆无人车只能装运同一种葡萄酒，且必须装满，根据如表提供的信息，解答下列问题： 葡萄酒种类 A B C 每辆无人车装载量（箱） 6 8 9 (1)如果装运C种葡萄酒需16辆无人车，那么装运A，B两种葡萄酒各需多少辆无人车？ (2)如果装运每种葡萄酒至少需要11辆无人车，那么无人车的装运方案有哪几种？ 【答案】(1)装运A种葡萄酒需13辆无人车，装运B种葡萄酒需11辆无人车； (2)无人车的装运方案共有3种， 方案1：用11辆无人车装运A种葡萄酒，17辆无人车装运B种葡萄酒，12辆无人车装运C种葡萄酒； 方案2：用12辆无人车装运A种葡萄酒，14辆无人车装运B种葡萄酒，14辆无人车装运C种葡萄酒； 方案3：用13辆无人车装运A种葡萄酒，11辆无人车装运B种葡萄酒，16辆无人车装运C种葡萄酒． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（或二元一次方程）是解题的关键． （1）设装运种葡萄酒需辆无人车，装运种葡萄酒需辆无人车，根据“葡萄酒商人决定租用40辆无人车运送，，三种葡萄酒共310箱，按计划，40辆无人车都要装运，每辆无人车只能装运同一种葡萄酒，且必须装满”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设用辆无人车装运种葡萄酒，用辆无人车装运种葡萄酒，则用辆无人车装运种葡萄酒，根据租用的40辆无人车恰好可以运送，，三种葡萄酒共310箱，可列出关于，的二元一次方程，结合，，均为不小于11的正整数，即可找出各装运方案． 【详解】（1）解：设装运种葡萄酒需辆无人车，装运种葡萄酒需辆无人车， 根据题意得：， 解得：． 答：装运种葡萄酒需13辆无人车，装运种葡萄酒需11辆无人车； （2）解：设用辆无人车装运种葡萄酒，用辆无人车装运种葡萄酒，则用辆无人车装运种葡萄酒， 根据题意得：， ， 又，，均为不小于11的正整数， 或或， 无人车的装运方案共有3种， 方案1：用11辆无人车装运种葡萄酒，17辆无人车装运种葡萄酒，12辆无人车装运种葡萄酒； 方案2：用12辆无人车装运种葡萄酒，14辆无人车装运种葡萄酒，14辆无人车装运种葡萄酒； 方案3：用13辆无人车装运种葡萄酒，11辆无人车装运种葡萄酒，16辆无人车装运种葡萄酒． 32．某商场从厂家购进了两种品牌篮球共80个，已知购买品牌篮球的总价比购买品牌篮球总价的2倍还多200元，品牌篮球每个进价100元，品牌篮球每个进价80元． (1)求购进两种品牌篮球各多少个？ (2)在销售过程中，品牌篮球每个售价150元，售出30个后出现滞销，商场决定打a折出售剩余的品牌篮球；品牌篮球每个按进价加价销售，很快全部售出，两种品牌篮球全部售出后共获利2080元，求的值． 【答案】(1)购进品牌篮球50个，购进品牌篮球30个 (2)7折 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用，掌握题意，找出题目中的等量关系，列出方程并解答是关键． （1）设购进品牌篮球个，则购进品牌篮球个，根据两种品牌篮球共80个和购买品牌篮球的总价比购买品牌篮球总价的2倍还多200元可列出方程组求解即可； （2）根据两种品牌篮球全部售出后共获利2080元列出方程解决问题． 【详解】（1）解：设购进品牌篮球个，则购进品牌篮球个， ， 解得， 故购进品牌篮球50个，购进品牌篮球30个； （2）解：依题意有： ， 解得：， 故品牌篮球打7折出售． 题型九：几何问题 33．在矩形中，放入六个形状、大小相同的长方形，所标尺寸如图所示．试求图中阴影部分的总面积（写出分步求解的简明过程）． 【答案】44平方厘米 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，以及学生对图表的阅读理解能力．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解． 设长方形的长和宽为未数，根据图示可得到关于x，y的两个方程，可求得解，从而可得到大长方形的面积，再根据阴影部分的面积大长方形的面积个小长方形的面积求解即可． 【详解】解：设小长方形的长为x，宽为y，如图可知， ，① ，即，② 得，，代入②得， 因此，大矩形的宽． 矩形面积（平方厘米）， 阴影部分总面积（平方厘米）． 34．如图，在长为，宽为的长方形的绿化带中划出三个形状、大小完全相同的小长方形花坛，其示意图如图所示．求小长方形花坛的长和宽． 【答案】小长方形花坛的长为，宽为 【分析】设小长方形花坛的长为，宽为，则长方形的绿化带的长是，宽为．构造方程组解答即可． 本题考查了方程组的应用，熟练掌握解方程组是解题的关键． 【详解】解：设小长方形花坛的长为，宽为，则长方形的绿化带的长是，宽为． 根据题意，得     解得 答：小长方形花坛的长为，宽为． 35．学校举办“数学艺术周”创意设计展览．小明、小聪、小方用一张大正方形纸片和四张相同的小正方形纸片，分别设计了图①、图②、图③三种图案： (1)根据图①、图②，求大正方形纸片和小正方形纸片的边长； (2)若图③中四个小正方形的重叠部分是三个相同的正方形，求图③阴影部分的面积． 【答案】(1)大正方形纸片边长为，小正方形纸片边长为； (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程组和方程是解题的关键． （1）设大正方形纸片的边长为，小正方形纸片的边长为，得到，解得，即可得到答案； （2）设重叠部分小正方形的边长为，得到，解得，求出阴影部分的面积为． 【详解】（1）解：设大正方形纸片的边长为，小正方形纸片的边长为， 根据题意，得 解得， 大正方形纸片边长为，小正方形纸片边长为； （2）解：设重叠部分小正方形的边长为， 根据题意，得． 解得， 阴影部分的面积为． 36．如图，长方形由7个正方形组成，已知正方形A的边长为，正方形B的边长为，求此长方形的面积．（只能用二元一次方程组解答） 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设正方形的边长分别为，根据长方形的对边相等，列出方程组求出的值，进而求出长方形的长和宽，再利用长方形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：设正方形的边长分别为， 由图可知：，解得：， ∴长方形的长为：，宽为：， ∴长方形的面积为：． 题型十：图表问题 37．某山区有若干名中学生、小学生因贫困失学需要捐助，资助一名中学生的学习费用需要a元，资助一名小学生的学习费用需要b元．某校学生积极捐款，初中各年级学生捐款数额与其捐助贫困中学生和小学生人数的部分情况如下表： 捐款数额/元 资助贫困中学生人数/名 资助贫困小学生人数/名 七年级 4000 2 4 八年级 4200 3 3 九年级 4000 (1)求a，b的值； (2)当地政府下达新政策给予补贴，秉持九年级学生捐多少补多少原则帮助贫困学生，与九年级学生的捐款总额恰好解决了剩余贫困中、小学生的学习费用（中小学生均要资助），请求出政府和九年级学生的捐款总额可捐助的贫困中、小学生人数的所有方案． 【答案】(1)a，b的值分别为800，600 (2)方案一：中学生7人，小学生4人；方案二：中学生4人，小学生8人；方案三：中学生1人，小学生12人 【分析】本题考查二元一次方程（组）的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解． （1）根据题意可知，本题中的相等关系是捐款额，列方程组求解即可． （2）利用九年级的捐款额8000列方程求人数． 【详解】（1）解：由题意得   解得： ∴a，b的值分别为800，600； （2）由题意得捐款总额为：（元） 设九年级资助贫困的中学生人数为x，资助贫困的小学生人数为y； 可得：；整理得：， 即； 又∵x、y均为正整数 ， ∴    ； 即方案一：中学生7人，小学生4人； 方案二：中学生4人，小学生8人； 方案三：中学生1人，小学生12人； 38．某商场从厂家批发电视机进行零售，批发价格与零售价格如下表：若商场购进甲、乙两种型号的电视机共50台，用去9万元． 电视机型号 甲 乙 批发价（元/台） 1500 2500 零售价批发价（元/台） 2025 3640 (1)求商场购进甲、乙型号的电视机各多少台？ (2)迎“国庆”商场决定进行优惠促销：以零售价的七五折销售乙种型号电视机，两种电视机销售完毕，商场共获利，求甲种型号电视机打几折销售？ 【答案】(1)购进甲型号电视机35台，乙型号电视机15台 (2)8折 【分析】（1）设商场购进甲型号电视机台，乙型号电视机台，根据“商场购进甲、乙两种型号的电视机共50台，用去9万元”列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设甲种型号电视机打折销售，根据“两种电视机销售完毕，商场共获利”列出一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设商场购进甲型号电视机台，乙型号电视机台， 由题意得：， 解得：， 答：商场购进甲型号电视机35台，乙型号电视机15台； （2）设甲种型号电视机打折销售， 由题意得：， 解得：， 答：甲种型号电视机打8折销售． 【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 39．(24-25七上·上海建平实验中学·期中)在的方格中，每行、每列及对角线上的3个代数式的和都相等，我们把这样的方格图叫做“等和格”．如图1的“等和格”中，每行、每列及对角线上的3个代数式的和都等于15 4 9 2 3 5 7 8 1 6 图1                        图2                  图3                            图4 (1)在图2的“等和格”方格图中，可得__________（用含的代数式表示）； (2)在图3的“等和格”方格图中，可得__________，__________； (3)在图4的“等和格”方格图中，可得__________． 【答案】(1) (2)；2 (3) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及列代数式，找准等量关系，找出关于a，b的方程（或方程组）是解题的关键． （1）根据“等和格”的定义，即可得出，变形后即可用含b的代数式表示出a； （2）根据“等和格”的定义，即可得出关于a，b的二元一次方程组，解之即可求出a，b的值； （3）根据“等和格”的定义，即可得出关于a，b的二元二次方程组，方程①变形后可得出方程③，方程②变形后可得出方程④，再将③代入④中即可求出b的值． 【详解】（1）解：依题意得：， ． 故答案为：． （2）依题意得：， 解得：． 故答案为：；2． （3）依题意得：， 由①可得：③， 由②可得：④， 将③代入④中得：． 故答案为：． 40．如图(甲)中，各行、各列及对角线上的三个数之和都相等. 3 2 y       甲           3 2 乙 (1)通过计算求x与y的值； (2)把满足（甲）的其他6个数填入图（乙）中的方格内. 【答案】(1)x与y的值分别为与1 (2)见解析 【分析】解答本题的关键是找出等量关系，列方程组求出、的值，再根据各行、各列及对角线上的三个数之和都相等这个已知条件求解即可． （1）由题意可以知道等量关系：即各行、各列及对角线上的三个数之和都相等．据此列方程组分别求得、的值； （2）根据题意，分别求得方格内的数即可． 【详解】（1）由题意可列方程组 解得． x与y的值分别为与1； （2）由题意可知：图中对角线从上到下的数依次为，，； 设第二行最前面的数位，第三行第一个和第二个数分别为、． 由第一行数的和第二行数的和得：，解得； 由第二列数的和第三列数的和得：，解得； 由第一列数的和第二列数的和得：，解得． 故第一行应填：；第二行依次应填：5，1；第三行依次应填：0，，4． 如图 题型十一：古代问题 41．《孙子算经》中有这样一题，原文：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．问长木几何？大意：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问长木多少尺？ 【答案】长木为6.5尺 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用 ，设绳子x尺，长木y尺．根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解即可得出答案． 【详解】解：设绳子x尺，长木y尺． 由题意可得 解得 答：长木为6.5尺． 42．明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题如图所示，其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两．问有多少人？所分的银子共有多少两？（注：明代时斤两，故有“半斤八两”这个成语） 【答案】有个人，两银子 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出方程组是解题的关键．设有个人，两银子，根据每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设有个人，两银子， 根据题意，得， 解得：， 答：有个人，两银子． 43．你看过《一千零一夜》吗？有个故事中有一个绝妙的谜语：有一群鸽子，飞过一棵高高的树，一部分鸽子落在树上，其他的停在树下，一只落在树上的鸽子对树下的鸽子说：“倘若你们当中有一只飞上来，你们的数目就是我们总数的；倘若我们中飞下去一只，我们的数目恰好和你们相同啦！”根据这段描述，请你算一算，有多少只鸽子在树上？多少只鸽子在树下？ 【答案】有只鸽子在树上，有只鸽子在树下 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设有只鸽子在树上，有只鸽子在树下，根据题意列出方程组即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设有只鸽子在树上，有只鸽子在树下， 由题意得，， 解得， 答：有只鸽子在树上，有只鸽子在树下． 44．程大位是我国明朝商人，珠算发明家，他60岁时完成的《直指算法统宗》是东方古代数学名著，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法，书中有如下问题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁，意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，大、小和尚各有多少人？请你解决这个问题．    【答案】小和尚有75人，大和尚有25人 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设小和尚有x人，大和尚有y人，由题意：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：设小和尚有x人，大和尚有y人， 依题意，得：， 解得：， 答：小和尚有75人，大和尚有25人． 1．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格，将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和均相等，图是一个未完成的幻方，则的值是（    ） A．0 B． C． D．32 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键. 设图中间的数为，第三行第一个数字为，根据每一横行、每一竖列以及两条对角线上的个数之和相等，列出二元一次方程组，求出，即可解决问题. 【详解】解：设图中间的数为，第三行第一个数字为， 由题意得：， 由①得： 由②得： ， ， 解得： ， 故选：B. 2．甲是乙现在的年龄时，乙15岁；乙是甲现在的年龄时，甲30岁，那么（   ） A．甲比乙大5岁 B．甲比乙大10岁 C．乙比甲大10岁 D．乙比甲大5岁 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设甲现在的年龄为岁，乙现在的年龄为岁，根据“甲是乙现在的年龄时，乙15岁；乙是甲现在的年龄时，甲30岁”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设甲现在的年龄为岁，乙现在的年龄为岁， 依题意，得：， 解得：． 甲现在的年龄为25岁，乙现在的年龄为20岁， 甲比乙大5岁 故选：A． 3．小青的爸爸到网上购买北京2022年冬奥会会徽和吉祥物冰墩墩徽章组合套装奥运纪念品，第一次他购买了2件该奥运纪念品，加上快递费共付款213元；因为大家都很喜爱该纪念品，于是第二次他购买了5件该奥运纪念品，且快递费与第一次购买时的相同，共付款510元，则两次的快递费一共为（    ） A．15元 B．30元 C．45元 D．60元 【答案】B 【分析】设1件该奥运纪念品价格为x元，每次快递费为y元，根据购买了2件该奥运纪念品，加上快递费共付款213元；购买了5件该奥运纪念品，加快递费共付款510元；分别为等量关系列出方程组，求解即可． 【详解】解：设1件该奥运纪念品价格为x元，每次快递费为y元，根据题意，得 ，解得：， 两次的快递费一共为2y=2×15=30(元), 故选：B． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，设恰当未知数，列出方程组是解题的关键． 4．如图，在大长方形中，放置6个形状、大小都相同的小长方形，则阴影部分的面积之和为（   ） A．54 B．50 C．43 D．34 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是要求学生会根据图示找出数量关系，然后利用数量关系列出方程组解决问题． 设小长方形的长、宽分别为，根据图示可以列出方程组 ，然后解这个方程组即可求出小长方形的面积，接着就可以求出图中阴影部分的面积． 【详解】解：设小长方形的长、宽分别为， 依题意得， 解得， ∴小长方形的长、宽分别为， ． 5．在《九章算术》中，二元一次方程组是通过“算筹”摆放的，如图1、图2所示．图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项．如图1所示的算筹图表示的方程组是，类似的，图2所示的算筹图表示的方程组是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据图形，结合题目所给的运算法则列出方程组即可； 【详解】解：由题意可得， 图②所示的算筹图可以表述为：， 故选：B． 6．将9个不同的整数填入方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则a和b的值分别是（    ） 12 7 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用；根据每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，列出二元一次方程组并求解即可． 【详解】解：由题意得：， 整理得：， 解得：， 即； 故选：C． 7．期中考试后，小明两次上街买奖品，第一次买了5支笔和10本笔记本共花了42元钱，第二次买了10支笔和5本笔记本共花了30元钱，则他买的笔和笔记本的单价分别是（   ） A．0.8元/支，2.6元/本 B．0.8元/支，3.6元/本 C．1.2元/支，2.6元/本 D．1.2元/支，3.6元/本 【答案】D 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用，利用两次买笔和笔记本所花钱数进而得出方程组是解题关键． 利用第一次买了5支笔和10本笔记本共花了42元钱，第二次买了10支笔和5本笔记本共花了30元钱，得出方程组求解即可． 【详解】解：设笔和笔记本的单价分别是元，元， 根据题意得：， 解得， 即买的笔和笔记本的单价分别是1.2元，3.6元． 故选：D． 8．某球迷协会组织36名球迷乘汽车赴比赛场地为国家男子足球队呐喊助威，可租用的汽车有两种：一种8座车，即每辆可乘8人，另一种4座车，即每辆可乘4人，要求租用的车子不留空座，也不超载． (1)请你给出所有可能的租车方案； (2)若8座车的租金是300元/天，4座车的租金是200元/天，请你设计费用最少的租车方案，并求出最少的租车费用． 【答案】(1)租车方案共有5种：8座车4辆，4座车1辆；8座车3辆，4座车3辆；8座车2辆，4座车5辆；8座车1辆，4座车7辆；8座车0辆，4座车9辆 (2)8座车4辆，4座车1辆，1400元 【分析】本题考查了二元一次方程的应用、有理数的混合运算的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）设8座车租x辆，4座车租y辆，根据题意列出二元一次方程，解方程即可得解； （2）根据题意列出式子，结合有理数的混合运算法则计算即可得解． 【详解】（1）解：设8座车租x辆，4座车租y辆， 则，即． 因为x，y为非负整数， 所以或或或或， 即租车方案共有5种：8座车4辆，4座车1辆；8座车3辆，4座车3辆；8座车2辆，4座车5辆；8座车1辆，4座车7辆；8座车0辆，4座车9辆． （2）额：因为8座车相对4座车平均每人的租车费用少， 所以欲使费用最少，则必须多租8座车， 所以符合要求的租车方案为8座车4辆，4座车1辆， 此时费用为（元）． 9．甲、乙两地相距74千米，途中有上坡、平路和下坡．一汽车从甲地下午1点出发到乙地是下午3点30分，停留30分钟后从乙地出发，6点48分返回甲地．已知汽车在上坡路每小时行驶20千米，平路每小时行驶30千米，下坡每小时行驶40千米，求甲地到乙地的行驶过程中平路、上坡、下坡分别是多少千米？ 【答案】甲地到乙地的行驶过程中平路是30千米，上坡路是16千米，下坡路是28千米． 【分析】设甲地到乙地的行驶过程中平路是x千米，上坡路是y千米，则下坡路是千米，再根据去与返回的时间建立方程组求解即可． 【详解】解：从下午1点到下午3点30分共2.5小时，从下午4点到下午6点48分共2.8小时． 设甲地到乙地的行驶过程中平路是x千米，上坡路是y千米，则下坡路是千米， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， ∴． 答：甲地到乙地的行驶过程中平路是30千米，上坡路是16千米，下坡路是28千米． 10．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车制造商开发了一款新能源汽车，计划一年生产安装360辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成安装任务，工厂决定招聘部分新工人，他们经过培训后也能独立进行新能源汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：1名熟练工和3名新工人每月可安装12辆新能源汽车；2名熟练工和5名新工人每月可以安装22辆新能源汽车． (1)每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆新能源汽车？ (2)如果工厂招聘n（）名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？ (3)在（2）的条件下，工厂给安装新能源汽车的每名熟练工人每月发放4000元的工资，给每名新工人每月发2400元的工资，那么工厂应招聘多少名新工人，使新工人的数量多于熟练工，同时工厂每月支出的工资总额W（元）尽可能少？ 【答案】(1)每名熟练工每月可以安装6辆电动汽车，每名新工人每月可以安装2辆电动汽车 (2)工厂有3种新工人的招聘方案：①新工人9人，熟练工2人；②新工人6人，熟练工3人；③新工人3人，熟练工4人 (3)应招聘6名新工人 【分析】本题主要考查二元一次方程组和二元一次方程的应用，解题的关键是要能够理解题意，正确找到等量关系和不等关系，熟练解方程组和根据条件分析不等式中未知数的值． （1）设每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车．根据“1名熟练工和3名新工人每月可安装12辆新能源汽车”和“2名熟练工和5名新工人每月可以安装22辆新能源汽车”列方程组求解． （2）设工厂有名熟练工．根据新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，根据，都是正整数和，进行分析的值的情况； （3）根据总费用熟练工人的费用新工人的费用列出代数式，分别代入（2）中方案，计算比较即可得出结论． 【详解】（1）解：设每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车． 根据题意得：， 解得：． 答：每名熟练工每月可以安装6辆电动汽车，每名新工人每月可以安装2辆电动汽车． （2）解：设工厂有名熟练工． 根据题意，得， ， ， 又，都是正整数，， 所以，6，3． 即工厂有3种新工人的招聘方案： ①，，即新工人9人，熟练工2人； ②，，即新工人6人，熟练工3人； ③，，即新工人3人，熟练工4人． （3）解：由（2）新工人的招聘方案：要使新工人的数量多于熟练工，则，或，； 根据题意得：． 当时，（元） 当时，（元） ， 当，时，即工厂应招聘6名新工人，使新工人的数量多于熟练工，同时工厂每月支出的工资总额（元）尽可能少． 11．(23-24七下·湖北恩施土家族苗族咸丰县民族中学·)阅读感悟：有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的一个代数式的值．如以下问题：已知实数x、y满足，，求和的值．本题常规思路是将①，②联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案．常规思路计算量比较大，其实本题还可以仔细观察两个方程未知数系数之间的关系，通过适当变形整体求得代数式的值，如由①②可得，由①②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 解决问题： (1)已知二元一次方程组，则___，__； (2)试说明在关于x、y的方程组中，不论a取什么实数，的值始终不变； (3)某班级组织活动购买小奖品，买3支铅笔、5块橡皮、1本笔记本共需21元，买5支铅笔、9块橡皮、1本笔记本共需28元，则购买1支铅笔、1块橡皮、1本笔记本共需多少元？ 【答案】(1)，3， (2)见解析； (3)14； 【分析】本题主要考查了运用整体思想求代数式的值，解题的关键是找到合适的整体式子； （1）求时，可以把两个二元一次方程直接相减；求可以把两个二元一次方程直接相加，再化简即可解决问题； （2）要求不论a取什么实数，的值始终不变，即想办法把a消去，得到的式子可以保证的值不变； （3）先设出未知数，列出方程，再运用整体思想解决问题即可； 【详解】（1）解：∵， 得：， 得： 则； （2）解：， 得：③， ∴得： ， 故不论a取什么实数，的值始终不变； （3）解：设购买1支铅笔为x元，1块橡皮为y元，1本笔记本为z元； 则 得：， ∴购买1支铅笔、1块橡皮、1本笔记本共需14元. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 二元一次方程组实际问题十一大题型 目录 A题型建模・专项突破 题型一、方案选择 1 题型二、行程问题 2 题型三、工程问题 3 题型四、数字问题 4 题型五、年龄问题 5 题型六、分配问题 5 题型七、销售利润问题 6 题型八、和差倍分问题 7 题型九：几何问题 8 题型十：图表问题 9 题型十一：古代问题 11 B综合攻坚・能力跃升 题型一、方案选择 1．一家公司加工蔬菜，有粗加工和精加工两种方式．如果进行粗加工，每天可加工15吨；如果进行精加工，每天可加工5吨．该公司从市场上收购蔬菜150吨，并用14天加工完这批蔬菜．问精加工和粗加工蔬菜各多少吨？ 2．某公司后勤部准备去超市购买牛奶和咖啡若干箱，现有两种不同的购买方案，如表： 牛奶（箱） 咖啡（箱） 金额（元） 方案一 20 10 1100 方案二 25 20 1750 (1)求牛奶与咖啡每箱的价格分别为多少元． (2)超市中该款咖啡和牛奶有部分因保质期临近，进行打六折的促销活动，后勤部根据需要选择原价或打折的咖啡和牛奶，此次购买共花费了1200元，其中购买打折的牛奶箱数是所有牛奶、咖啡的总箱数的，则此次按原价购买的咖啡有_____箱 3．某公司需要将120吨物资从A市运往B市，现有甲、乙、丙三种车型供运输选择，每辆车的运载能力和运费如下表： 车型 甲 乙 丙 运载量（吨／辆） 5 8 10 运费（元／辆） 450 600 700 (1)若选用甲、丙两种车型一次性运完，如果甲车有11辆，则丙车至少需要多少辆？ (2)若选用甲、乙两种车型一次性运完，且每辆车均满载，需运费9600元，则甲、乙两种车型各需多少辆？ (3)若选用甲车辆、乙车辆、丙车若干辆一次性运完，且每辆车均满载，已知三种车辆共14辆，直接写出a、b的值和总运费． 4．乐乐购买3件A商品和2件B商品应付80元，购买4件A商品和1件B商品应付65元． (1)A商品和B商品的单价分别是多少元？ (2)商场现推出两种优惠方案： 方案一：累计购物超过100元后，超出100元的部分按九折收费； 方案二：累计购物超过50元后，超出50元的部分按收费． 如果乐乐需要购买3件商品和6件商品，应选择哪个方案更省钱？说明理由． 题型二、行程问题 5．某人骑自行车从甲地到乙地，先以的速度下山，再以的速度通过平路到达乙地，共用；他返回时，先以的速度通过平路，再以的速度上山回到甲地，用了．求甲、乙两地之间的距离． 6．(24-25七上·安徽亳州蒙城县·月考)甲、乙两地相距千米，一列慢车从甲地开出，一列快车从乙地开出，如果两车同向而行，快车小时追上慢车：如果两车相向而行，小时后两车相遇，试问： (1)两车的速度分别是多少？ (2)若两车同时相向而行，多少时间可以相距千米？ 7．(23-24七下·海南海口丰南中学·期中)甲、乙两车分别从相距千米的，两地相向而行． (1)两车均保持匀速行驶且甲车的速度是乙车速度的2倍，若甲车比乙车提前2小时出发，则甲车出发后3小时两车相遇．求甲、乙两车的速度分别是多少（单位：千米/小时）？ (2)如果甲、乙两车保持（1）中的速度，两车同时出发相向而行，求经过多少小时两车相距30千米？ 8．(23-24七·青岛版·期中)青藏铁路全线有一座大桥—拉萨河大桥全长920多米，其中主桥长800米，小明在去年暑假乘次列车从北京到拉萨游玩，小明为了探究次列车的长度与速度，记录了以下两个数据： （1）火车完全在主桥上的时间为35秒． （2）火车上主桥到完全通过主桥用了45秒． 知道这两个数据后，小明就会算出了次列车的长度与速度吗？ 题型三、工程问题 9．为打造一河两岸景观带，需对一段长350米的河边道路进行整治，任务由，两个工程队先后接力完成，工程队每天整治15米，工程队每天整治10米，共用时30天，求两工程队用时的天数． (1)根据题意，甲、乙两位同学分别列出了如下不完整的方程组： 甲：    乙： 根据申、乙两同学所列的方程组，指出未知数的含义： 甲：表示______________；乙：表示_______________． (2)从上述方程组中任选一组，将其补全，解答问题． 10．某工程公司承建的一段路基工程的施工土方量为120万立方，原计划由公司的甲、乙两个工程队从公路的两端同时相向施工150天完成．由于特殊情况，公司抽调甲队外援施工，由乙队先单独施工40天后甲队返回，两队又共同施工了110天，这时甲、乙两队共完成土方量103.2万立方．甲、乙两队原计划平均每天的施工土方量分别为多少万立方？ 11．古运河是扬州的母亲河．为打造古运河风光带，现有一段长为180米的河道整治任务由A、B两工程队先后接力完成．A工程队每天整治12米，B工程队每天整治8米，共用时20天． (1)根据题意，甲、乙两名同学分别列出尚不完整的方程组如下： 甲：；乙： 根据甲、乙两名同学所列的方程组，请你分别指出未知数x、y表示的意义，然后在括号内补全甲、乙两名同学所列的方程组： 甲：x表示______，y表示_______； 乙：x表示______，y表示______． (2)求A、B两工程队分别整治河道多少米．（写出完整的解答过程） 12．某县在创建省级卫生文明县城中，对县城内的河道进行整治．现有一段长为180米的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天整治8米，乙工程队每天整治12米，共用时20天， (1)小明、小华两位同学提出解题思路如下： 小明同学：设整治任务完成后甲工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米． 根据题意， 小华同学：设整治任务完成后，m表示__________，n表示__________； 得 请补全括号及横线部分的内容． (2)求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？请从中任选一个方程组求解．（写出完整的解答过程） 题型四、数字问题 13．一个两位数的十位数字比个位数字大2，如果将十位数字与个位数字交换位置，所得新数和原数的和是66，求原来的两位数是几？ 14．一个两位数，十位上的数与个位上的数之和是8，个位数字与十位数字交换后所得新数比原数大．求这个两位数． 15．注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路按下面的要求填空，完成本题的解答，也可以选用其他的解题方案，此时不必填空，只需按照解答题的一般要求进行解答． 运输的化肥，装载了节火车车厢和15辆汽车；运输的化肥，装载了节火车车厢和辆汽车，每节火车车厢与每辆汽车平均各装多少吨？ 解题方案：设每节火车车厢平均装吨化肥，每辆汽车平均装吨化肥． (1)根据题意，列出方程组：　　； (2)解这个方程组，得 ； (3)答：每节火车车厢平均装 吨化肥，每辆汽车平均装 　　吨化肥（用数字作答）． 16．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图1就是一个幻方．图2、图3、图4分别是未完成的幻方． 4 9 2 3 5 7 8 1 6 图1 0 2 a 图2 m 8 20 16 n 图3 图4 (1)如图2，将、、、、0、1、2、3、4这9个数填入图2的幻方中，其中、0、2已填入，则a的值是______． (2)如图3，则______． (3)如图4，直接写出图中y的值是______． 0 2 3 a 题型五、年龄问题 17．(23-24七上·福建三明三元区景润杯·期中)在我国传统文化中，“喜寿”、“米寿”、“白寿”分别是岁、岁、岁的雅称．小花在她年龄是她妈妈年龄的时，曾为奶奶贺喜寿，她在年龄为妈妈年龄的时，又为奶奶贺米寿，则小花在 岁时，将为奶奶贺白寿． 18．某学生想知道李老师的年龄，李老师说：“我像你这么大时，你才2岁，你长到我这么大时，我就35岁了．”请你算一算，今年李老师、该学生各多少岁． 19．今年（2022年）4月20日，是云大附中建校95周年暨云大附中恢复办学40周年校庆日，我校初一年级数学兴趣小组的小明同学发现这样一个有趣的巧合；小明的爸爸和爷爷都是云附的老校友，且爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40．已知小明今年13岁，妹妹今年4岁． (1)求今年小明的爸爸和爷爷的年龄分别是多少岁？（要求用二元一次方程组解答） (2)假如小明的爸爸和爷爷都是15岁初中毕业的，请问小明的爸爸和爷爷分别是哪一年毕业的云附学子？ 20．根据小头爸爸与大头儿子的对话，求出大头儿子现在的年龄． 小头爸爸：儿子，现在我的年龄比你大23岁． 大头儿子：5年后，您的年龄比我的年龄的2倍还多8岁． 题型六、分配问题 21．在“科技冬奥”的助力下，吉林省冰刀鞋生产技术有了很大突破．某工厂一月份生产甲、乙两种冰刀鞋共800双，其中甲种冰刀鞋的产量比乙种冰刀鞋产量的2倍少100双．求该工厂一月份生产甲、乙两种冰刀鞋各多少双？ 22．某工厂加工螺栓、螺母，已知每块金属原料可以加工成3个螺栓或4个螺母（每块金属原料无法同时既加工螺栓又加工螺母），已知1个螺栓和2个螺母组成一个零件．若把26块相同的金属原料全部加工完，则加工的螺栓和螺母是否存在恰好配套？若存在恰好配套，请求出加工螺栓和螺母各需要的金属原料的块数；若不存在恰好配套，请说明理由． 23．小莉家用钢管做防盗窗，按设计要求，其中需要长为的钢管88根，长为的钢管36根（钢管的粗细均相同），并要求这些用料不能是焊接而成的．现钢材市场的这种规格的钢管每根都为． (1)试问一根6米长的钢管有哪些裁剪方法呢？请填写下空(余料作废)． 方法1：当只裁剪长为1.2米的用料时，最多可剪_____________根； 方法2：当先剪下1根2.3米的用料时，余下部分最多能剪1.2米长的用料_____________根； 方法3：当先剪下2根2.3米的用料时，余下部分最多能剪1.2米长的用料_____________根． (2)联合用（1）中的方法2和方法3各裁剪多少根6米长的钢管，才能刚好得到所需要的相应数量的材料？ (3)小明经过探究发现：如果联合（1）中的二种裁剪方法，还有一种不同于（2）中的方案能刚好得到所需要的相应数量的材料，请写出这个裁剪方案，并说理理由． 24．现欲将一批荔枝运往外地销售，若用2辆A型车和1辆B型车载满荔枝一次可运走10吨；1辆A型车和2辆B型车载满荔枝一次可运走11吨．现有荔枝31吨，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满荔枝．根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆A型车和1辆B型车都载满荔枝一次可分别运送多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计租车方案． 题型七、销售利润问题 25．旅居海外的熊猫“丫丫”的健康牵动着亿万中国人的心．据报道，不少热心网友为丫丫送去了竹子．大熊猫常吃的竹子有筇竹和箭竹．若购买4根筇竹和2根箭竹共需70元，购买2根筇竹和3根箭竹共需65元．购买1根筇竹、1根箭竹各需多少元？ 26．春节前夕，某商场用18000元购进A、B两种饮料共400箱，两种饮料的成本价与销售价如表所示： 类别 成本价(元/箱) 销售价(元/箱) A 30 45 B 50 80 求： (1)购进A、B两种饮料各多少箱？ (2)该商场售完这400箱饮料，可获利多少元？ 27.某品牌制衣厂现有240名制作服装的工人，每天都制作某款运动服装T恤和短裤，每名工人每天可制作这种T恤3件或短裤5条． (1)若该厂要求每天制作的T恤和短裤数量相等，则应各安排多少名工人制作T恤和短裤？ (2)已知制作1件T恤可获利25元，制作1条短裤可获利18元．若该厂要求每天获得利润18900元，则需要安排多少名工人制作T恤？ 28．根据以下素材，探索完成任务； 生活中的数学问题 案材1 为了激发学生学习的积极性，李老师决定在某饮品店购买单价为8元和6元的饮品分别奖励在阶段性学习反馈中获得A+等级和A等级的学生； 素材2 李老师班第一次阶段性学习反馈中获得A+等级和A等级的学生共8人；一个月后李老师班第二次阶段性学习反馈中获得A+等级和A等的学生共11人，其中获得A+等级的有5人： 素材3 该饮品店推出优惠活动方案： 活动1：累计购买6元及6元以上饮品10杯可赠送1杯6元饮品； 活动2：一次性购买10杯以上（含10杯）单价为6元及6元以上的饮品的，单价8元一杯的饮品可打m折． 注：两种优惠活动不可同时使用，经计算，第二次阶段性学习反馈李老师用优惠活动1和活动2的花费是相同的． 问题解决 问题1 第一次阶段性学习反馈后，李老师买奖品共花了 54 元，则获得 A+等级和 A 等级的学生各有多少人? 问题2 请求出m的值； 问题3 若第二次阶段性学习反遗中李老师班获得A+等级和A等级的学生共11人，其中获得A+等级的有6人，选择哪个优惠活动更合算?请说明理由． 题型八、和差倍分问题 29．“体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想，体育强则中国强，国运兴则体育兴”．为引导学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质，某校开展了大课间活动，七年级一班拟组织学生参加跳绳活动，最初男生报名人数比女生多3人，后来又有15名女生报名参加了跳绳活动，这时女生人数恰好是男生人数的2倍，求最初报名时女生与男生各有多少人？ 30．为响应政府号召，陵水县圣女果种植户借助电商平台，在线下批发的基础上同步在电商平台“拼多多”上零售圣女果，已知线上零售40千克、线下批发圣女果80千克共获得销售额4000元；线上零售60千克和线下批发80千克圣女果的销售额相同．求线上零售和线下批发圣女果的单价分别为每千克多少元？ 31．在一次葡萄酒展会上，为方便送达相应客户，某葡萄酒商人决定租用40辆无人车运送A，B，C三种葡萄酒共310箱，按计划，40辆无人车都要装运，每辆无人车只能装运同一种葡萄酒，且必须装满，根据如表提供的信息，解答下列问题： 葡萄酒种类 A B C 每辆无人车装载量（箱） 6 8 9 (1)如果装运C种葡萄酒需16辆无人车，那么装运A，B两种葡萄酒各需多少辆无人车？ (2)如果装运每种葡萄酒至少需要11辆无人车，那么无人车的装运方案有哪几种？ 32．某商场从厂家购进了两种品牌篮球共80个，已知购买品牌篮球的总价比购买品牌篮球总价的2倍还多200元，品牌篮球每个进价100元，品牌篮球每个进价80元． (1)求购进两种品牌篮球各多少个？ (2)在销售过程中，品牌篮球每个售价150元，售出30个后出现滞销，商场决定打a折出售剩余的品牌篮球；品牌篮球每个按进价加价销售，很快全部售出，两种品牌篮球全部售出后共获利2080元，求的值． 题型九：几何问题 33．在矩形中，放入六个形状、大小相同的长方形，所标尺寸如图所示．试求图中阴影部分的总面积（写出分步求解的简明过程）． 34．如图，在长为，宽为的长方形的绿化带中划出三个形状、大小完全相同的小长方形花坛，其示意图如图所示．求小长方形花坛的长和宽． 35．学校举办“数学艺术周”创意设计展览．小明、小聪、小方用一张大正方形纸片和四张相同的小正方形纸片，分别设计了图①、图②、图③三种图案： (1)根据图①、图②，求大正方形纸片和小正方形纸片的边长； (2)若图③中四个小正方形的重叠部分是三个相同的正方形，求图③阴影部分的面积． 36．如图，长方形由7个正方形组成，已知正方形A的边长为，正方形B的边长为，求此长方形的面积．（只能用二元一次方程组解答） 题型十：图表问题 37．某山区有若干名中学生、小学生因贫困失学需要捐助，资助一名中学生的学习费用需要a元，资助一名小学生的学习费用需要b元．某校学生积极捐款，初中各年级学生捐款数额与其捐助贫困中学生和小学生人数的部分情况如下表： 捐款数额/元 资助贫困中学生人数/名 资助贫困小学生人数/名 七年级 4000 2 4 八年级 4200 3 3 九年级 4000 (1)求a，b的值； (2)当地政府下达新政策给予补贴，秉持九年级学生捐多少补多少原则帮助贫困学生，与九年级学生的捐款总额恰好解决了剩余贫困中、小学生的学习费用（中小学生均要资助），请求出政府和九年级学生的捐款总额可捐助的贫困中、小学生人数的所有方案． 38．某商场从厂家批发电视机进行零售，批发价格与零售价格如下表：若商场购进甲、乙两种型号的电视机共50台，用去9万元． 电视机型号 甲 乙 批发价（元/台） 1500 2500 零售价批发价（元/台） 2025 3640 (1)求商场购进甲、乙型号的电视机各多少台？ (2)迎“国庆”商场决定进行优惠促销：以零售价的七五折销售乙种型号电视机，两种电视机销售完毕，商场共获利，求甲种型号电视机打几折销售？ 39．(24-25七上·上海建平实验中学·期中)在的方格中，每行、每列及对角线上的3个代数式的和都相等，我们把这样的方格图叫做“等和格”．如图1的“等和格”中，每行、每列及对角线上的3个代数式的和都等于15 4 9 2 3 5 7 8 1 6 图1                        图2                  图3                            图4 (1)在图2的“等和格”方格图中，可得__________（用含的代数式表示）； (2)在图3的“等和格”方格图中，可得__________，__________； (3)在图4的“等和格”方格图中，可得__________． 40．如图(甲)中，各行、各列及对角线上的三个数之和都相等. 3 2 y       甲           3 2 乙 (1)通过计算求x与y的值； (2)把满足（甲）的其他6个数填入图（乙）中的方格内. 题型十一：古代问题 41．《孙子算经》中有这样一题，原文：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．问长木几何？大意：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问长木多少尺？ 42．明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题如图所示，其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两．问有多少人？所分的银子共有多少两？（注：明代时斤两，故有“半斤八两”这个成语） 43．你看过《一千零一夜》吗？有个故事中有一个绝妙的谜语：有一群鸽子，飞过一棵高高的树，一部分鸽子落在树上，其他的停在树下，一只落在树上的鸽子对树下的鸽子说：“倘若你们当中有一只飞上来，你们的数目就是我们总数的；倘若我们中飞下去一只，我们的数目恰好和你们相同啦！”根据这段描述，请你算一算，有多少只鸽子在树上？多少只鸽子在树下？ 44．程大位是我国明朝商人，珠算发明家，他60岁时完成的《直指算法统宗》是东方古代数学名著，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法，书中有如下问题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁，意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，大、小和尚各有多少人？请你解决这个问题．    1．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格，将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和均相等，图是一个未完成的幻方，则的值是（    ） A．0 B． C． D．32 2．甲是乙现在的年龄时，乙15岁；乙是甲现在的年龄时，甲30岁，那么（   ） A．甲比乙大5岁 B．甲比乙大10岁 C．乙比甲大10岁 D．乙比甲大5岁 3．小青的爸爸到网上购买北京2022年冬奥会会徽和吉祥物冰墩墩徽章组合套装奥运纪念品，第一次他购买了2件该奥运纪念品，加上快递费共付款213元；因为大家都很喜爱该纪念品，于是第二次他购买了5件该奥运纪念品，且快递费与第一次购买时的相同，共付款510元，则两次的快递费一共为（    ） A．15元 B．30元 C．45元 D．60元 4．如图，在大长方形中，放置6个形状、大小都相同的小长方形，则阴影部分的面积之和为（   ） A．54 B．50 C．43 D．34 5．在《九章算术》中，二元一次方程组是通过“算筹”摆放的，如图1、图2所示．图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项．如图1所示的算筹图表示的方程组是，类似的，图2所示的算筹图表示的方程组是（   ） A． B． C． D． 6．将9个不同的整数填入方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则a和b的值分别是（    ） 12 7 A． B． C． D． 7．期中考试后，小明两次上街买奖品，第一次买了5支笔和10本笔记本共花了42元钱，第二次买了10支笔和5本笔记本共花了30元钱，则他买的笔和笔记本的单价分别是（   ） A．0.8元/支，2.6元/本 B．0.8元/支，3.6元/本 C．1.2元/支，2.6元/本 D．1.2元/支，3.6元/本 8．某球迷协会组织36名球迷乘汽车赴比赛场地为国家男子足球队呐喊助威，可租用的汽车有两种：一种8座车，即每辆可乘8人，另一种4座车，即每辆可乘4人，要求租用的车子不留空座，也不超载． (1)请你给出所有可能的租车方案； (2)若8座车的租金是300元/天，4座车的租金是200元/天，请你设计费用最少的租车方案，并求出最少的租车费用． 9．甲、乙两地相距74千米，途中有上坡、平路和下坡．一汽车从甲地下午1点出发到乙地是下午3点30分，停留30分钟后从乙地出发，6点48分返回甲地．已知汽车在上坡路每小时行驶20千米，平路每小时行驶30千米，下坡每小时行驶40千米，求甲地到乙地的行驶过程中平路、上坡、下坡分别是多少千米？ 10．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车制造商开发了一款新能源汽车，计划一年生产安装360辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成安装任务，工厂决定招聘部分新工人，他们经过培训后也能独立进行新能源汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：1名熟练工和3名新工人每月可安装12辆新能源汽车；2名熟练工和5名新工人每月可以安装22辆新能源汽车． (1)每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆新能源汽车？ (2)如果工厂招聘n（）名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？ (3)在（2）的条件下，工厂给安装新能源汽车的每名熟练工人每月发放4000元的工资，给每名新工人每月发2400元的工资，那么工厂应招聘多少名新工人，使新工人的数量多于熟练工，同时工厂每月支出的工资总额W（元）尽可能少？ 11．(23-24七下·湖北恩施土家族苗族咸丰县民族中学·)阅读感悟：有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的一个代数式的值．如以下问题：已知实数x、y满足，，求和的值．本题常规思路是将①，②联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案．常规思路计算量比较大，其实本题还可以仔细观察两个方程未知数系数之间的关系，通过适当变形整体求得代数式的值，如由①②可得，由①②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 解决问题： (1)已知二元一次方程组，则___，__； (2)试说明在关于x、y的方程组中，不论a取什么实数，的值始终不变； (3)某班级组织活动购买小奖品，买3支铅笔、5块橡皮、1本笔记本共需21元，买5支铅笔、9块橡皮、1本笔记本共需28元，则购买1支铅笔、1块橡皮、1本笔记本共需多少元？ 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $