第3章 一次方程与方程组 全章综合训练-【初中必刷题】2026-2027学年七年级上册数学同步课件（沪科版·新教材）
2026-10-15
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教辅
摘要：
该初中数学单元复习课件系统梳理了一次方程与方程组的解法及应用，通过考点分类将一元一次方程解法、实际应用、二元一次方程组解法及应用串联，结合中考真题和实际情境构建知识网络，体现知识点间的逻辑联系。
其亮点在于融入传统文化与现实问题，如《九章算术》凫雁相遇问题、汽车排放标准应用题，培养学生用数学眼光观察现实世界的意识。章测题分层设计选择、填空、解答题，搭配关键点拨和归纳总结，助力学生巩固知识，教师可精准把握学情提升复习效率。
内容正文：
数 学
七年级上册 HK
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第3章 一次方程与方程组
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全章综合训练
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中考
考点1 一元一次方程的解法
1.【2025贵州中考】已知是关于的方程的解，则 的值为( )
C
A.3 B.4 C.5 D.6
【解析】把代入关于的方程，得，解得 .故选C.
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2.【2024新疆中考】解方程： .
【解】，，， .
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考点2 一元一次方程的实际应用
3. 传统文化 【2025江苏连云港中考】《九章算术》中有一个问题：“今有
凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？”
（凫：野鸭．所提问题即“野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过多少天能够
相遇？”）如果设经过 天能够相遇，根据题意，得( )
A
A. B. C. D.
【解析】将南海与北海之间的距离看作“1”，则野鸭每天能飞，大雁每天能飞 .
根据野鸭天飞的距离大雁天飞的距离 南海与北海之间的距离得
． 故选A.
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4.【2024北京中考】为防治污染，保护和改善生态环境，自2023年7月1日起，我
国全面实施汽车国六排放标准 阶段（以下简称“标准”）.对某型号汽车，“标
准”要求A类物质排放量不超过 ，A，B两类物质排放量之和不超过
.
已知该型号某汽车的A，B两类物质排放量之和原为 .经过一次技术改进，
该汽车的A类物质排放量降低了，B类物质排放量降低了 ，A，B两类物质
排放量之和为 .判断这次技术改进后该汽车的A类物质排放量是否符合
“标准”，并说明理由.
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【解】这次技术改进后该汽车的A类物质排放量符合“标准”.
理由：设技术改进后该汽车的A类物质排放量为 ，则B类物质排放量为
由题意得，解得 .
因为 ，所以这次技术改进后该汽车的A类物质排放量符合“标准”.
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考点3 二元一次方程组的解法
5.【2025江苏徐州中考】若二元一次方程组的解为则 的
值为___．
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【解析】因为二元一次方程组的解为 所以
得，解得.将代入①得 ，所以
，故答案为1．
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6.【2025山东淄博中考】解方程组：
【解】
由①得 ，③
把③代入②得 ，
所以 .
把代入③得 ，
所以原方程组的解为
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考点4 二元一次方程（组）的实际应用
7.【2025河北中考】甲、乙两张等宽的长方形纸
条，长分别为,.如图,将甲纸条的与乙纸条的
叠合在一起，形成长为81的纸条，则 ____.
99
【解析】因为甲纸条的与乙纸条的叠合在一起，所以，则设 ，
.因为重叠后的总长度为81，所以，所以 ，所
以，所以，所以， ，所以
，故答案为99.
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关键点拨
根据题意得到 是解题的关键.
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8.【2024安徽中考】乡村振兴战略实施以来，很多外出人员返乡创业.某村有部分
返乡青年承包了一些田地.采用新技术种植A,B两种农作物.种植这两种农作物每公
顷所需人数和投入资金如下表：
农作物品种 每公顷所需人数 每公顷所需投入资金（万元）
A 4 8
B 3 9
已知农作物种植人员共24位，且每人只参与一种农作物种植，投入资金共60万元.
问A,B这两种农作物的种植面积各多少公顷?
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【解】设A种农作物的种植面积是公顷，B种农作物的种植面积是 公顷.
根据题意得
解得
答：A种农作物的种植面积是3公顷，B种农作物的种植面积是4公顷.
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一、选择题（36分）
1.【2026宁夏银川质检】等式的性质在生活中广泛应用．如图，， 分别表示两
位同学的身高，表示台阶的高度，左边同学比右边同学高 ，图中两人的对话
体现的数学原理可表示为( )
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A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
【解析】根据等式的基本性质1，将的两边同时加 ，得
，所以A选项符合题意，B、C、D选项不符合题意．故选A.
√
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2. 【2026安徽宣城期中】随着通讯市场竞争日益激烈，某公司的手机话费
收费标准在原标准的基础上每分钟降低了元后，再次下调 ，现在的收费标
准是每分钟 元，则原收费标准是每分钟( )
A
A.元 B.元 C.元 D. 元
【解析】设原收费标准是每分钟元.由题意可得 ，解得
，故选A.
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关键点拨
理解题意并正确列出方程是解题的关键．
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3.【2026安徽六安期末】若关于的一元一次方程 的解为
，则关于的一元一次方程 的解为( )
B
A. B. C. D.
【解析】设，则方程可化为 .因为方程
的解为，所以，解得，所以关于 的
一元一次方程的解为 ．故选B.
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4.【2026安徽蚌埠期末】我国古代著作《九章算术》中，一次方程组是由算筹布
置而成的．如图（1），图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数， 的系
数与相应的常数项，得到方程组为 则根据图（2）所示的算筹图，
列出方程组为( )
A
图（1）
图（2）
A. B. C. D.
【解析】根据题意可列方程组为 故选A.
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5.【2026河北邢台调研】如图，从左上角标注2的圆圈开始，顺时
针按的规律表示前一个圆圈中的数字，，是常数 转换后
得到下一个圆圈中的数，直到得到“？”表示的数为止，则标注
“？”的圆圈中的数应是( )
A
A.122 B.66 C.178 D.以上答案都错误
【解析】根据题意得解得所以顺时针按 的规律转换后
得到下一个圆圈中的数，当时，；当 时，
，故标注“？”的圆圈中的数应是122，故选A.
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6.【2026安徽合肥质检】小张在某月的月历上圈出了相邻的三个数，， ，并求
出了它们的和为33，这三个数在日历中的排布不可能是( )
B
A. B. C. D.
【解析】A选项，设最小的数是，则，所以 ，故本
选项不符合题意．B选项，设最小的数是，则 ，所以
，故本选项符合题意．C选项，设最小的数是，则 ，
所以，故本选项不符合题意．D选项，设最小的数是 ，则
，所以 ，故本选项不符合题意．故选B.
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归纳总结
月历中的每个数都是整数且上下相邻相差7，左右相邻相差1．
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二、填空题（24分）
7.【2026安徽阜阳期末】若是方程的解，则
___．
1
【解析】把代入方程中，得 ，所以
，故答案为1．
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8.【2025安徽池州期末】若规定符号“ ”的运算为，则关于 的
方程 的解是______.
【解析】因为，所以， ，
，，故答案为 .
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9.【2026安徽滁州调研】已知则用表示 的关系式为___________．
【解析】由①得，③将③代入②，得 ，
即．故答案为 ．
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10. 【2026安徽六安期中】如图，在每个格子中都填入一个整数，从左边第
一个格子开始向右数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等.
1 5 …
（1） ____；
【解析】由任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，得
，解得，由 ，解得
，故答案为 .
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（2）若前个格子中所填整数之和为，则 的最小值为_______.
2 021
【解析】由,解得;由，解得 ；
由，解得；由，解得 ,
所以从左边第一个格子开始向右数，格子中的数为1，5， 一循环，每3个相邻
格子所填整数之和为 .
设前个格子中所填整数之和为.若为正整数，则 ；若
，则；若，则.令 ，
当时，，解得,；当 时，
，解得，舍去；当时， ，解得
，.因为,所以前 个格子所填整数
之和为2 025时， 的最小值为2 021.故答案为2 021．
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【解析】设5所在格子后面的三个相邻格子中的整数分别为,, .
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三、解答题（40分）
11.解方程（组）
（1） .
【解】去分母得 .
去括号得 .
移项得 .
合并同类项得，解得 .
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（2）
【解】得 .
把代入①得，解得 ，
则方程组的解为
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12. 数学文化 把这九个数填入 方格中，使其每一横行、每一竖列
以及两条斜对角线上的3个数之和都相等（记这个和为 ），这样便构成了一个九
宫格，它源于我国古代的洛书，是世界上最早的幻方.图（1）是仅可以看到部分
数字的九宫格，尝试解决下列问题：
图（1）
图（2）
图（3）
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（1）这九个数的和是____，所以每一横行的3个数之和 等于____；
45
15
【解析】，所以每一横行的3个数之和等于 ，
故答案为45，15.
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（2）如图（2），将，， ，
四个式子相加后，结合
，可求得 ___，
结合（1）的结论可将图（1）中的九宫格补充完整，故图（1）中 ___；
5
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图（1）
【解析】由题意可得 ，
所以，所以 ，故题图（1）补充完整如图（1）：
则 ，故答案为5，9.
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（3）如图（3），将改为其他9个整数，其余要求不变，请求出图（3）中
的值．
【解】如图（2），由题意得
，整理得
，所以 ．
图（2）
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13.【2025陕西榆林期末】2024年12月4日，“春节”列入联合国教科文组织人类
非物质文化遗产代表作名录，中国的春节文化将更好地走向世界.2025年春节临近，
某商家购进了一批春联和灯笼进行销售，已知2副春联和1个灯笼的总售价为24元；
1副春联和3个灯笼的总售价为42元.
（1）请你分别求出1副春联和1个灯笼的售价；
【解】设1副春联售价为元，1个灯笼售价为元.根据题意得 解得
所以1副春联售价为6元，1个灯笼售价为12元.
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（2）已知商家实际销售期间每副春联盈利3元，每个灯笼盈利5元，某个时段内该
商家通过销售这批春联和灯笼共盈利40元，且春联和灯笼都有销售，请你求出该
商家在这个时段内所有可能的销售方案（即销售了多少副春联和多少个灯笼）.
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【解】设该商家在这个时段内销售了春联副，灯笼个.根据题意得 .
因为,都是正整数，所以，即是3的倍数，当 时，
,，不符合题意；当时，, ，不符合题意；当
时，,，不符合题意；当时，, ，
不符合题意；当时，,，符合题意；当 时，
,，不符合题意；当时，, ，不符合题意；当
时，,，不符合题意；当时，, ，
不符合题
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意；当时，,，符合题意；当时， ,
，不符合题意；当时，, ，不符合题意；
当时，, ，不符合题意.综上所述，该商家在这个时段内
所有可能的销售方案有2种，方案一：销售了春联5副，灯笼5个；方案二：销售了
春联10副，灯笼2个.
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14.小东同学在解一元一次方程时，发现这样一种特殊现象：
的解为，而 ；
的解为，而 .
于是，小东将这种类型的方程作如下定义：
若一个关于的一元一次方程的解为 ，则称之为“奇异
方程”.请你和小东一起进行以下探究：
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（1）若 ，有符合要求的“奇异方程”吗？若有，求出该方程的解；若没有，
请说明理由.
【解】没有符合要求的“奇异方程”.理由如下：
把代入 ,
解得 .
若为“奇异方程”，则 .
因为 ，所以不符合“奇异方程”定义，故没有符合要求的“奇异方程”.
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（2）若关于的方程为“奇异方程”，解关于 的方程
.
【解】因为 为“奇异方程”，
所以，所以，则，所以 ，
所以方程可化为 ，
所以，所以 ，
解得 .
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思路分析 利用“奇异方程”的定义求出原方程的根，利用方程根的意义将方程的
根代入原方程得到,的关系式，利用, 的关系式通过整体代入化简，即可解关
于 的方程.
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