第10讲 幂函数讲义（知识清单+9题型讲解练+强化训练）2025-2026学年高一数学考试满分全攻略同步备考系列（沪教版2020必修一）

第10讲 幂函数 知识清单 知识点01：幂函数的概念 1 知识点02：幂函数的图象 2 知识点03：幂函数的性质 2 题型归纳 题型01 幂函数的概念 2 题型02 幂函数的图象的判断及应用 6 题型03 幂函数图象过定点问题 10 题型04 判断幂函数的单调性 12 题型05 由幂函数的单调性求参数 15 题型06 由幂函数的单调性解不等式 19 题型07 由幂函数的单调性比较大小 23 题型08 判断五种常见幂函数的奇偶性 25 题型09 幂函数性质应用 28 强化训练 31 知识点01：幂函数的概念 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 知识点02：幂函数的图象 在同一平面直角坐标系中，画出幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x－1的图象如图所示： 知识点03：幂函数的性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增函数 x∈[0，＋∞)时，增函数 x∈(－∞，0]时，减函数 增函数 增函数 x∈(0，＋∞)时，减函数 x∈(－∞，0)时，减函数 题型01 幂函数的概念 【例1-1】（24-25高一上·上海·随堂练习）下列函数是幂函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据幂函数的定义，A、B、C均不是幂函数，只有D选项，形如（为常数），是幂函数，所以D正确 故选：D. 【例1-2】（24-25高一上·上海宝山·期末）幂函数的图像过点，则的值为（    ） A．64 B．2 C．16 D．8 【答案】B 【详解】设幂函数的解析式为，则，解得， 所以，. 故选：B. 【例1-3】（24-25高一上·上海宝山·期中）幂函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数的定义域为. 故选：B 【变式1-1】（24-25高一上·上海徐汇·期末）已知幂函数的图像经过点，则 . 【答案】 【详解】依题意，设，由，得，解得，即， 所以. 故答案为： 【变式1-2】（22-23高一上·上海青浦·阶段练习）函数的定义域是 ． 【答案】 【详解】，，解得：， 的定义域为. 故答案为：. 【变式1-3】（24-25高一上·上海·期中）已知幂函数的图像与坐标轴没有交点，则 ． 【答案】. 【详解】由幂函数， 故有，则 解得，或， 当时，与坐标轴有交点不合题意. 所以，，满足条件， 故答案为：． 【变式1-4】（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）幂指数为整数的幂函数的图像关于y轴成轴对称，且与x轴、y轴均无公共点，则m的取值集合为 . 【答案】 【详解】由于幂函数的图像与x轴、y轴均无公共点， 所以， 幂函数的图像关于y轴成轴对称，所以为偶数， 令，方程有解，则，则， 故，则，，或， 当时，或， 当时，或， 当时，， 故m的取值集合为. 故答案为：. 【变式1-5】（22-23高一上·上海松江·期末）若关于的不等式的解集为R，则实数能取到的最小值为 . 【答案】3 【详解】设，，则不等式变为， 若，则， 若，则， 即，， 作出的图象，实线部分即为， 要想保证，只需最小值大于等于1， 由图可知：，故只需即可，即，解得：. 故答案为：3 题型02 幂函数的图象的判断及应用 【例2-1】（24-25高一上·上海奉贤·期中）下列图象中，最符合函数的图象的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，函数的定义域为，排除BC， 因为，所以函数的图象呈现下凸的趋势，排除D. 故选：A. 【例2-2】（23-24高一上·上海·阶段练习）已知幂函数的图象不经过坐标原点，则（    ） A． B．3 C．1或 D．或3 【答案】A 【详解】令，解得或， 当时，，图象经过坐标原点，不合要求， 当时，，图象不经过坐标原点，满足要求. 故选：A 【例2-3】（24-25高一上·上海杨浦·期中）命题m：两个幂函数有三个公共点，命题n：两个幂函数相同，则命题m是命题n的（    ） A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既不充分也非必要 【答案】B 【详解】若两个幂函数相同，则它们的图像完全重合，有无数个公共点， 自然也满足有三个公共点（这是一种特殊情况包含在其中），所以； 反之，若两个幂函数有三个公共点，例如和， 它们有三个公共点，，，但这两个幂函数并不相同，所以. 综上所述，命题是命题的必要不充分条件. 故选：B 【变式2-1】（24-25高一上·上海·期中）如图是幂函数的部分图像，已知分别取这四个值，则与曲线相应的依次为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，幂函数在上单调递增， 当时，幂函数在上单调递减， 并且在直线的右侧，图象自下而上所对应的函数的幂指数依次增大， 所以，所以. 故选：A 【变式2-2】（23-24高一上·上海·期末）已知幂函数的图象过原点，则 ． 【答案】 【详解】因为幂函数的图象过原点，则，解得. 故答案为：. 【变式2-3】（24-25高一上·上海闵行·期末）对任意的，幂函数的图象一定不经过第 象限 【答案】四 【详解】当时，若，则，此时幂函数经过第二象限， 若，则，此时幂函数经过第三象限， 当时，恒成立，此时幂函数经过第一象限， 故图象一定不经过第四象限. 故答案为：四 【变式2-4】（24-25高一上·上海·期中）对任意的，，函数和的图象的公共点个数可能是 ． 【答案】1或2或3 【详解】函数的图象过原点，在第一、三象限，且图象关于原点对称， 任意的，，函数是幂函数，由幂函数图象都过点， 得函数的图象与的图象在第一象限有1个公共点， 当是0或负偶数时，的图象关于轴对称，不过原点，因此它们只在第一象限有1个公共点； 当是正偶数时，的图象关于轴对称，过原点，因此它们的图象有2个公共点； 当是负奇数时，的图象关于原点对称，不过原点，因此它们的图象有2个公共点； 当是正奇数时，的图象关于原点对称，过原点，因此它们的图象有3个公共点， 所以公共点个数可能是1或2或3. 故答案为：1或2或3 题型03 幂函数图象过定点问题 【例3】（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）幂函数的图象不可能在第四象限，但所有图象过定点，定点坐标为 . 【答案】 【详解】因为对任意实数，当时，， 所以所有幂函数的图象都过点. 故答案为： 【变式3-1】（24-25高一上·上海·期中）函数（是有理数）的图象过一定点，则的坐标为 . 【答案】 【知识点】幂函数图象过定点问题 【分析】根据幂函数恒过定点求解. 【详解】由幂函数的性质可知，恒过定点， 故答案为： 【变式3-2】（22-23高一上·上海静安·期中）不论实数取何值，函数恒过的定点坐标是 ． 【答案】 【详解】因为，故当，即时，， 即函数恒过定点. 故答案为：. 【变式3-3】（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）已知关于x的幂函数 (1)求证：幂函数在第一象限内一定有图像. (2)命题m：两个幂函数有三个公共点，命题n：两个幂函数相同；判断命题m是命题n的什么条件并说明理由. (3)求证：除原点外，幂函数的图像一定与坐标轴无交点. 【详解】（1）对于幂函数，当时，无论取何值（），都有意义. 例如当时，， 当时，，当时，等，在时都有对应的值.所以幂函数在第一象限内一定有图像. （2）若两个幂函数相同，设这两个幂函数为和，它们的图像完全重合，有无数个公共点， 当然也满足有三个公共点（这是一种特殊情况包含在其中），所以. 反之，若两个幂函数有三个公共点，例如和， 它们有三个公共点，，，但这两个幂函数并不相同，所以. 综上，命题是命题的必要不充分条件. （3）对于幂函数，当时，，当时，； 当时，无意义（除时，但），所以幂函数图像过原点. 对于轴上除原点外的点，即且， 对于幂函数，当时，除（且）外，要么为要么无意义， 所以除原点外幂函数图像与轴无交点. 对于轴上的点，令，当时，若，无解； 若，；若，无解，所以除原点外幂函数图像与轴无交点. 题型04 判断幂函数的单调性 【例4-1】（24-25高一上·上海浦东新·期中）图中、、分别为幂函数，，在第一象限内的图象，则，，依次可以是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【详解】由幂函数在第一象限，在部分图象由下向上，逐渐增大， 且时在第一象限递增，且递增速度以为界点，时在第一象限递减， 所以，故A满足. 故选：A 【例4-2】（22-23高一上·上海浦东新·期末）函数在其定义域上的单调性是 . 【答案】单调递增 【详解】幂函数，定义域，指数为，满足， 故函数在其定义域上的单调性是单调递增， 故答案为：单调递增. 【例4-3】（22-23高一下·上海黄浦·期末）已知和，其中，若对任意的成立，则所有的的值为 ． 【答案】、、 【详解】因为在上单调递增，且幂函数恒过点， 当时在上单调递减， 当时在上单调递增，且越大在上增长趋势越快， 所以要使对任意的成立，则，故符合题意的有、、. 故答案为：、、 【变式4-1】（24-25高一上·上海·期中）下列关于幂函数的描述中，正确的是（    ） A．幂函数的图象都经过点和； B．幂函数的图象不经过第三象限； C．当指数取1，3，时，幂函数是其定义域上的严格增函数； D．若幂函数的图象过点，则它的图象也经过点. 【答案】C 【详解】当时，幂函数不过原点，故A错误； 当时，幂函数过第三象限，故B错误； 当，幂函数为，在定义域单调递增， 当，幂函数为，在定义域单调递增， 当，幂函数为，在定义域单调递增，故C正确； 若幂函数的图象过点，则， 所以幂函数为，当时，此时，故D错误. 故选:C 【变式4-2】（24-25高一上·上海奉贤·阶段练习）如图是幂函数的部分图像，已知分别取这四个值，则与曲线相应的依次为 . 【答案】 【详解】当时，突函数在上单调递减， 当时，幂函数在上单调递增， 并且在直线的右侧，图象自下而上所对应的函数的幂指数依次增大 故与曲线相应的依次为. 故答案为： 【变式4-3】（23-24高一上·上海·期末）已知，若函数的值域为，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】函数在上单调递增，函数值集合为， 由函数的值域为，得函数在时的取值集合包含 当时，在上单调递减，函数值集合为，不符合题意， 当时，，函数值集合为，不符合题意， 当时，在上单调递增，函数值集合为， 由，得，解得，由，得，因此， 所以的取值范围是. 故答案为： 题型05 由幂函数的单调性求参数 【例5-1】（23-24高一上·上海·期末）已知幂函数为偶函数，且在上严格单调递减，则实数m的值为 ． 【答案】 【详解】因为是幂函数，所以，解得或. 又因为在上严格单调递减，所以，解得，故而. 而且当时，是偶函数，符合题意，从而实数m的值为. 故答案为：. 【例5-2】（23-24高一上·上海·期末）已知幂函数在区间上是严格增函数，则 . 【答案】 【详解】因为幂函数在区间上是严格增函数， 所以，解得. 故答案为： 【例5-3】（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，满足任意，，，都有，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】依题意，满足任意，，，都有， 所以在上单调递增， 所以，解得， 所以的取值范围是. 故答案为： 【例5-4】（23-24高一上·上海普陀·期中）已知幂函数在上为严格减函数. (1)求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 【详解】（1）因为函数是幂函数， 所以，得或， 因为幂函数在上为严格减函数，所以不符合题意， 所以. （2）由（1）可得 设函数， 因为函数在上严格单调递减， 所以或或，得或. 所以实数的取值范围是. 【变式5-1】（24-25高一上·上海·期末）已知幂函数，且在严格递减，则 . 【答案】 【详解】因为是幂函数，所以，解得或， 又在严格递减，所以. 故答案为：. 【变式5-2】（24-25高一上·上海·期末）已知幂函数在上是严格减函数，则 . 【答案】 【详解】由题意，可得，解得. 故答案为：. 【变式5-3】（24-25高一上·上海黄浦·期中）已知，，，幂函数在区间上是严格增函数． (1)求函数的表达式； (2)若关于的不等式的解集中有且仅有个整数，求实数的范围； (3)若，关于的方程的两实根分别为，（其中），求的值． 【详解】（1）由题意知，，即，解得， 又因为，所以，所以； （2）不等式为，即；所以， 解得， 所以不等式的解集为，其中； 因为不等式的解集中有且仅有个整数，则这个整数分别为2，3，4，5，6； 所以，即，解得； 所以的取值范围是； （3）由题意知，方程为，所以， 即； 由根与系数的关系知，，； 解方程，得； 因为，且， 所以，； 因为， 所以， 因为， 所以， 所以． 题型06 由幂函数的单调性解不等式 【例6-1】（23-24高一上·上海浦东新·期中）不等式的解集为 ． 【答案】 【详解】函数的定义域为且在为减函数， 则由， 得或，或, 解得或, 所以不等式的解集为. 故答案为：. 【例6-2】（24-25高一上·上海·期末）已知，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】函数的定义域为， 且为偶函数，在上单调递减，在上单调递增， 所以，等价于， 所以， 即 即且， 故实数a的取值范围是， 故答案为：. 【例6-3】（24-25高一上·上海·阶段练习）已知幂函数的图像关于原点对称，且在区间上是严格增函数． (1)求幂函数的表达式； (2)令，求满足不等式的实数a的取值范围． 【详解】（1）因为幂函数在区间上是严格增函数， 所以，解得， 又因为，所以或或， 当或时，为奇函数，图象关于原点对称； 当时，为偶函数，图象关于轴对称，图象不关于原点对称，不符合题意； 综上所述，. （2）由（1）得为奇函数，且在区间上是严格增函数， 则由得， 即， 所以满足的实数的取值范围为. 【变式6-1】（24-25高一上·上海·期中）不等式 的解集为 ． 【答案】 【详解】因为在上单调递增，， 所以，解得. 故答案为： 【变式6-2】（24-25高一上·上海·期中）不等式的解集为 【答案】 【详解】因为函数在上是严格增函数， 故，可得：，解得：. 故答案为： 【变式6-3】（23-24高一上·上海·阶段练习）不等式的解集为 . 【答案】 【详解】构造函数，该函数的定义域为， 且，即函数为奇函数， 因为函数在上为增函数，则该函数在上也为增函数， 所以，函数为上的增函数， 由可得，可得，解得， 因此，不等式的解集为. 故答案为：. 【变式6-4】（23-24高一上·上海静安·期中）已知幂函数的图象关于点中心对称; (1)求该幂函数的解析式； (2)设函数，在直角坐标系中做出函数的图像； (3)根据中图像，直接写出不等式的解集， 【详解】（1）解：因为函数 是幂函数， 所以 解得 或 ①当 时，函数 定义域是 f（x）的图象关于原点对称， ②当 时，函数的图象关于y轴对称， 则 所以幂函数f（x）的解析式是； （2）由（1）知，其的定义域是 在定义域上的图象，如图所示.      （3）观察（2）中图象得，故函数g（x）的单调递增区间是：和单调递减区间是： 不等式的解集是. 题型07 由幂函数的单调性比较大小 【例7】（24-25高一上·上海·期中）比较下列两数的大小关系， 的大小（填、或符号） 【答案】 【详解】由， ， 且， 又函数在上单调递增， 所以， 即， 故答案为：. 【变式7-1】（23-24高一上·上海·期中）若对任意，都有成立，则的值可能是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【详解】显然当或时，，则，不满足题意， 若，则也不满足题意， 只有适合，实际上，此时， ，， 故选：A． 【变式7-2】（23-24高一·上海·课堂例题）比较下列各题中两个数的大小： (1)与； (2)与． 【详解】（1）在上单调递减， 因为，所以； （2）在上单调递增， 因为，所以. 【变式7-3】（2023高一上·上海·专题练习）比较下列各组数的大小. (1)与； (2)与. 【详解】（1）（1）根据题意，结合幂函数的单调性，即可求解； （2）根据题意，结合函数的单调性，即可求解. （2）（1）解：由幂函数在定义域为单调递减函数， 因为，所以. （2）解：由幂函数的定义域为， 且在为单调递减函数，又由， 所以函数为奇函数，所以在为递减函数， 又因为，所以. 题型08 判断五种常见幂函数的奇偶性 【例8-1】（24-25高一上·上海·期中）在区间上是严格增函数，且图象关于轴成轴对称的幂函数可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于幂函数，在时函数在上是严格增函数，D不符； 又的定义域不关于原点对称，是奇函数，A、B不符； 由的定义域为R，且为偶函数，C符合. 故选：C 【例8-2】（22-23高一下·上海宝山·期末）若幂函数为奇函数，则该函数的表达式 . 【答案】 【详解】由为幂函数，得，解得或， 当时，，函数是偶函数，不符合题意， 当时，，函数是奇函数，符合题意， 所以. 故答案为： 【变式8-1】（22-23高一·上海·单元测试）已知，若函数在上y随x增大而减小，且图象关于y轴对称，则 ． 【答案】 【详解】因为函数在上y随x增大而减小， 所以，则或， 当时，为偶函数，符合题意； 当时，为奇函数，不符合题意. 综上所述，. 故答案为：. 【变式8-2】（23-24高一上·上海奉贤·期中）下列幂函数在区间上是严格增函数，且图像关于原点成中心对称的有 ．（请填入全部正确的序号） ①；②；③；④ 【答案】①③ 【详解】根据幂函数性质，因为幂函数在区间上单调递增， 所以，此时有①②③满足， 又因为函数图象关于原点成中心对称， 所以该幂函数为奇函数， 根据奇函数的性质， 又因为的定义域为，所以图象不关于原点成中心对称，故②不满足题意， 故答案为：①③. 【变式8-3】（22-23高一上·上海徐汇·期末）设（为常数），则“函数的图象经过点”是“函数为偶函数”的 条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要””、“既不充分也不必要”） 【答案】充要 【详解】若函数的图象经过点，即， 对任意的，则， 对任意的，则， 此时函数为偶函数， 所以，“函数的图象经过点”“函数为偶函数”； 若函数为偶函数，又因为，则， 所以，“函数的图象经过点”“函数为偶函数”. 所以，“函数的图象经过点”是“函数为偶函数”的充要条件. 故答案为：充要. 题型09 幂函数性质应用 【例9-1】（24-25高一上·上海·随堂练习）已知，若幂函数的图像关于原点对称，且在上是严格减函数；则取值的集合是 ． 【答案】 【详解】因为， 幂函数的图像关于原点对称，且在上单调递减， 所以α是奇数，且，所以． 故答案为：. 【例9-2】（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，设幂函数的图象关于原点中心对称，且与x轴及y轴均无交点，则k的值为 ． 【答案】1或3或5 【详解】由题意，令，解得，因为，所以； 当时，，幂函数为，图象关于原点成中心对称，且与x轴及y轴均无交点，满足题意； 当时，，幂函数为，图象关于y轴成轴对称，不关于原点对称，不满足题意； 当时，，幂函数为，图象关于原点成中心对称，且与x轴及y轴均无交点，满足题意； 当k＝4时，，幂函数为，图象关于y轴成轴对称，不关于原点对称，不满足题意； 当时，，幂函数为，图象关于原点成中心对称，且与x轴及y轴均无交点，满足题意； 综上，k的值为1或3或5． 故答案为：1或3或5． 【例9-3】（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知幂函数在区间上是严格增函数，且的图象关于y轴对称，求m的值． 【答案】 【详解】由幂函数在区间上是严格增函数， 可得，即， 解得且，即， 当时，可得，此时函数为奇函数，图象关于原点对称，不符合题意； 当时，可得，此时函数为偶函数，图象关于对称，符合题意； 当时，可得，此时函数为奇函数，图象关于原点对称，不符合题意， 综上可得，实数的值为. 【变式9-1】（23-24高一上·上海虹口·期末）设，若幂函数的图像关于轴对称，且在区间上是严格增函数，则实数 ． 【答案】 【详解】， 若幂函数的图像关于轴对称，则， 又幂函数在区间上是严格增函数，则. 故答案为：. 【变式9-2】（22-23高一上·上海长宁·期末）已知幂函数在区间是严格减函数，且图像关于轴对称，写出一个满足条件的 ． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：幂函数在区间上是严格减函数，， 又图像关于y轴对称，可以为偶数， 故满足条件a的值可以为． 故答案为：-2 【变式9-3】（23-24高一上·上海·期中）幂函数的图象关于y轴成轴对称，且与x轴、y轴均无交点，求m的值. 【答案】或或. 【详解】由幂函数的图像与x轴、y轴均无交点， 得，解得，又， 所以. 当或时，，定义域为， 即函数，其图象关于轴对称，满足题意； 当或时，，即， 设，由， 故其图象不关于轴对称，不满足题意； 当时，，即，定义域为， 设，则， 故是偶函数，则图象关于轴对称，满足题意. 综上所述，或或. 一、单选题 1．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知点在幂函数的图象上，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】由幂函数定义求得，再代入点的坐标求得即可得结论． 【详解】由题意，则， ，， 所以， 故选：B． 2．（24-25高一上·江苏淮安·期中）已知幂函数的图象与坐标轴没有公共点，则实数m的取值为（   ） A．2 B． C．0或 D．0或2 【答案】C 【分析】根据幂函数的定义及性质得解. 【详解】由题意可知，，解得或， 故选：C 3．设，若，均有成立，则k的取值个数是（    ）个． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】令，根据题意得幂函数的图像在图像的上方，再依次讨论求解即可. 【详解】解：令，由成立得幂函数的图像在图像的上方， 当时，在上单调递增，在上单调递减，满足图像在图像的上方； 当时，在和上都是单调递减函数，不满足图像在图像的上方； 当时，，满足图像在图像的上方； 当时，在上单调递增且，不满足图像在图像的上方； 当时，在上单调递减，在上单调递增且为凸函数，满足图像在图像的上方； 当当时，在上单调递减，在上单调递增且为凹函数，不满足图像在图像的上方； 故满足条件的为 故选：A 4．设和是两个不同的幂函数，则它们图像交点的个数为（    ） A．1或2或0 B．1或2或3 C．1或2或3或4 D．0或1或2或3 【答案】B 【分析】由幂函数过点，根据两个幂函数的定义域的情况进行分类分析可得答案. 【详解】和是两个不同的幂函数，设， 由幂函数过点， 当和的定义域均为时，它们的图象的交点有，，还可能有 当和中至少有一个的定义域为时，它们的图象的交点有 当和中一个的定义域为，另一个的定义域为时，它们的图象的交点有. 所以它们图像交点的个数为1或2或3 故选：B 二、填空题 5．（24-25高一上·上海·期中）若幂函数的图象经过点，则此幂函数的表达式是 【答案】 【分析】根据幂函数所过的点求参数，即可得表达式. 【详解】由题设，故幂函数表达式为. 故答案为： 6．（24-25高一上·上海金山·期中）函数是幂函数，则 . 【答案】1 【分析】利用幂函数的定义解题即可. 【详解】根据幂函数的定义可知：，解得或， 当时，无意义，舍去， 所以：. 故答案为：1. 7．（24-25高一上·上海松江·阶段练习）若函数是幂函数，则= ． 【答案】2 【分析】由幂函数的定义可得，进而求函数值即可. 【详解】由是幂函数，则，， 所以，. 故答案为：2. 8．（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）若幂函数的图像经过点，则 【答案】/ 【分析】将已知点坐标代入函数解析式，结合指数式的运算，可得答案. 【详解】将代入，可得，解得. 故答案为：. 9．（24-25高一上·上海松江·期末）已知幂函数 在 上是严格减函数，则实数 【答案】1 【分析】利用幂函数的定义及单调性，列式求解即得. 【详解】由幂函数 在 上是严格减函数， 得，解得， 所以实数. 故答案为：1 10．（24-25高一上·上海·期末）已知幂函数图象经过点，则= . 【答案】 【分析】代入求解幂函数的解析式，即可代入求解. 【详解】将代入中可得，故，故 因此， 故答案为： 11．（24-25高一上·上海杨浦·期中）幂函数的图像关于y轴成轴对称，且与x轴、y轴均无公共点，则m的值为 . 【答案】0或2或4. 【分析】由幂函数与x轴、y轴均无交点得，再根据求出m的值，结合幂函数的图象和性质分类验证是否满足题意即可. 【详解】解：由幂函数的图像与x轴、y轴均无交点， 得，解得，又， 所以. 当时，，定义域为， 即函数，其图象关于y轴对称，满足题意； 当m＝1或3时，，即， 设，由，， 故其图象不关于y轴对称，不满足题意； 当m＝2时，，即，定义域为， 设，则， 所以是偶函数，则图象关于y轴对称，满足题意. 综上，m的值为0或2或4. 故答案为：0或2或4. 12．（24-25高一上·上海·期中）已知，，则关于x的不等式的解集为 . 【答案】 【分析】由不等式的性质及幂函数的单调性求解. 【详解】由知， 所以，即 所以，即，解得， 所以不等式的解集为， 故答案为： 13．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由幂函数的奇偶性，单调性即可求解. 【详解】由于幂函数，定义域为，偶函数，且在单调递减， 所以由， 可得：，且， 对平方可得：， 解得：，又， 所以实数的取值范围是， 故答案为： 三、解答题 14．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知函数的表达式为是幂函数，且当时，函数是严格增函数，求的解析式． 【答案】 【分析】由幂函数的定义和性质求解即可． 【详解】由已知可得，所以或， 当时，函数，当时，函数不是严格增函数， 当时，函数，当时，函数是严格增函数， 所以． 15．（24-25高一上·上海金山·期中）已知幂函数经过点. (1)求此幂函数的表达式和定义域； (2)已知点，点在此幂函数的图象上，且满足，求实数的取值范围. 【答案】(1)，定义域为 (2) 【分析】（1）依题意可得，求出的值，即可求出函数解析式及定义域； （2）首先判断函数的单调性，即可得到，解得即可. 【详解】（1）幂函数经过点， ，即，解得， ； 因为，所以的定义域为. （2）由于函数在其定义域上单调递减， 又因为点，点在此幂函数的图象上，且满足， 可得，解得， 所以. 16．（22-23高一上·上海普陀·阶段练习）设，已知幂函数是偶函数. (1)求的值； (2)设，若函数的最小值为，求的值. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）由已知结合幂函数的定义以及性质即可求解； （2）由已知结合二次函数的性质讨论，和，即可得出答案. 【详解】（1）因为幂函数是偶函数， 所以且为偶数，解得：或（舍）， 则，所以. （2）令的开口向上，对称轴， ①当即，在上单调递增，所以， 所以； ②当即，在上单调递减，在上单调递增， 所以， 解得：或，不满足题意舍去； ③当即，在上单调递减， 所以，解得： 所以. 综上：或. 17．（24-25高一上·上海·期中）已知幂函数 ，且该函数在上是严格增函数. (1)求此幂函数的表达式； (2)求关于的不等式 的解， 其中. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由及可得； （2）根据与0的大小分类讨论解二次不等式． 【详解】（1）因为 是幂函数且该函数在上是严格增函数. 所以，所以， 所以； （2）不等式为，即， 时，解为，解集为； 时，解为或，解集为； 时，解为或，解集为． 18．（24-25高一上·上海奉贤·期中）已知幂函数在上为严格增函数． (1)求的解析式； (2)若对任意x都成立，求k的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据幂函数的定义以及单调性列式求解即可； （2）分析可知原题意即为对任意x都成立，分和两种情况，结合一元二次不等式恒成立问题列式求解即可. 【详解】（1）由题意可得：，解得， 所以. （2）因为，即，可得， 原题意即为对任意x都成立， 若，即时，不恒成立，不合题意； 若，即时，则，解得， 所以k的取值范围为. 19．（24-25高一上·上海杨浦·阶段练习）已知函数（常数） (1)求证：是偶函数的充要条件是为幂函数 (2)若，将的图象向左平移一个单位得到，求证：在上为严格减函数 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据偶函数的定义求的值，确定函数的解析式后再判断其为幂函数. （2）先确定的解析式，再利用函数单调性的定义证明函数在上为严格减函数. 【详解】（1）因为函数的定义域为， 先证充分性：若为幂函数，则，所以，则，所以为偶函数； 再证必要性：若为偶函数，则对恒成立， 所以对恒成立，所以. 此时为幂函数. 所以“为幂函数”是“是偶函数”的充要条件. （2）当时，，所以. 设，则 . 因为，所以，，， 所以，所以， 所以，即. 所以在上为严格减函数. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 幂函数 知识清单 知识点01：幂函数的概念 1 知识点02：幂函数的图象 2 知识点03：幂函数的性质 2 题型归纳 题型01 幂函数的概念 2 题型02 幂函数的图象的判断及应用 3 题型03 幂函数图象过定点问题 5 题型04 判断幂函数的单调性 6 题型05 由幂函数的单调性求参数 7 题型06 由幂函数的单调性解不等式 8 题型07 由幂函数的单调性比较大小 10 题型08 判断五种常见幂函数的奇偶性 10 题型09 幂函数性质应用 11 强化训练 12 知识点01：幂函数的概念 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 知识点02：幂函数的图象 在同一平面直角坐标系中，画出幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x－1的图象如图所示： 知识点03：幂函数的性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增函数 x∈[0，＋∞)时，增函数 x∈(－∞，0]时，减函数 增函数 增函数 x∈(0，＋∞)时，减函数 x∈(－∞，0)时，减函数 题型01 幂函数的概念 【例1-1】（24-25高一上·上海·随堂练习）下列函数是幂函数的是（　　） A． B． C． D． 【例1-2】（24-25高一上·上海宝山·期末）幂函数的图像过点，则的值为（    ） A．64 B．2 C．16 D．8 【例1-3】（24-25高一上·上海宝山·期中）幂函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25高一上·上海徐汇·期末）已知幂函数的图像经过点，则 . 【变式1-2】（22-23高一上·上海青浦·阶段练习）函数的定义域是 ． 【变式1-3】（24-25高一上·上海·期中）已知幂函数的图像与坐标轴没有交点，则 ． 【变式1-4】（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）幂指数为整数的幂函数的图像关于y轴成轴对称，且与x轴、y轴均无公共点，则m的取值集合为 . 【变式1-5】（22-23高一上·上海松江·期末）若关于的不等式的解集为R，则实数能取到的最小值为 . 题型02 幂函数的图象的判断及应用 【例2-1】（24-25高一上·上海奉贤·期中）下列图象中，最符合函数的图象的是（   ） A． B． C． D． 【例2-2】（23-24高一上·上海·阶段练习）已知幂函数的图象不经过坐标原点，则（    ） A． B．3 C．1或 D．或3 【例2-3】（24-25高一上·上海杨浦·期中）命题m：两个幂函数有三个公共点，命题n：两个幂函数相同，则命题m是命题n的（    ） A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既不充分也非必要 【变式2-1】（24-25高一上·上海·期中）如图是幂函数的部分图像，已知分别取这四个值，则与曲线相应的依次为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24高一上·上海·期末）已知幂函数的图象过原点，则 ． 【变式2-3】（24-25高一上·上海闵行·期末）对任意的，幂函数的图象一定不经过第 象限 【变式2-4】（24-25高一上·上海·期中）对任意的，，函数和的图象的公共点个数可能是 ． 题型03 幂函数图象过定点问题 【例3】（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）幂函数的图象不可能在第四象限，但所有图象过定点，定点坐标为 . 【变式3-1】（24-25高一上·上海·期中）函数（是有理数）的图象过一定点，则的坐标为 . 【变式3-2】（22-23高一上·上海静安·期中）不论实数取何值，函数恒过的定点坐标是 ． 【变式3-3】（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）已知关于x的幂函数 (1)求证：幂函数在第一象限内一定有图像. (2)命题m：两个幂函数有三个公共点，命题n：两个幂函数相同；判断命题m是命题n的什么条件并说明理由. (3)求证：除原点外，幂函数的图像一定与坐标轴无交点. 题型04 判断幂函数的单调性 【例4-1】（24-25高一上·上海浦东新·期中）图中、、分别为幂函数，，在第一象限内的图象，则，，依次可以是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【例4-2】（22-23高一上·上海浦东新·期末）函数在其定义域上的单调性是 . 【例4-3】（22-23高一下·上海黄浦·期末）已知和，其中，若对任意的成立，则所有的的值为 ． 【变式4-1】（24-25高一上·上海·期中）下列关于幂函数的描述中，正确的是（    ） A．幂函数的图象都经过点和； B．幂函数的图象不经过第三象限； C．当指数取1，3，时，幂函数是其定义域上的严格增函数； D．若幂函数的图象过点，则它的图象也经过点. 【变式4-2】（24-25高一上·上海奉贤·阶段练习）如图是幂函数的部分图像，已知分别取这四个值，则与曲线相应的依次为 . 【变式4-3】（23-24高一上·上海·期末）已知，若函数的值域为，则的取值范围是 . 题型05 由幂函数的单调性求参数 【例5-1】（23-24高一上·上海·期末）已知幂函数为偶函数，且在上严格单调递减，则实数m的值为 ． 【例5-2】（23-24高一上·上海·期末）已知幂函数在区间上是严格增函数，则 . 【例5-3】（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，满足任意，，，都有，则实数的取值范围为 . 【例5-4】（23-24高一上·上海普陀·期中）已知幂函数在上为严格减函数. (1)求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 【变式5-1】（24-25高一上·上海·期末）已知幂函数，且在严格递减，则 . 【变式5-2】（24-25高一上·上海·期末）已知幂函数在上是严格减函数，则 . 【变式5-3】（24-25高一上·上海黄浦·期中）已知，，，幂函数在区间上是严格增函数． (1)求函数的表达式； (2)若关于的不等式的解集中有且仅有个整数，求实数的范围； (3)若，关于的方程的两实根分别为，（其中），求的值． 题型06 由幂函数的单调性解不等式 【例6-1】（23-24高一上·上海浦东新·期中）不等式的解集为 ． 【例6-2】（24-25高一上·上海·期末）已知，则实数的取值范围是 ． 【例6-3】（24-25高一上·上海·阶段练习）已知幂函数的图像关于原点对称，且在区间上是严格增函数． (1)求幂函数的表达式； (2)令，求满足不等式的实数a的取值范围． 【变式6-1】（24-25高一上·上海·期中）不等式 的解集为 ． 【变式6-2】（24-25高一上·上海·期中）不等式的解集为 【变式6-3】（23-24高一上·上海·阶段练习）不等式的解集为 . 【变式6-4】（23-24高一上·上海静安·期中）已知幂函数的图象关于点中心对称; (1)求该幂函数的解析式； (2)设函数，在直角坐标系中做出函数的图像； (3)根据中图像，直接写出不等式的解集， 题型07 由幂函数的单调性比较大小 【例7】（24-25高一上·上海·期中）比较下列两数的大小关系， 的大小（填、或符号） 【变式7-1】（23-24高一上·上海·期中）若对任意，都有成立，则的值可能是（    ） A． B． C．1 D．2 【变式7-2】（23-24高一·上海·课堂例题）比较下列各题中两个数的大小： (1)与； (2)与． 【变式7-3】（2023高一上·上海·专题练习）比较下列各组数的大小. (1)与； (2)与. 题型08 判断五种常见幂函数的奇偶性 【例8-1】（24-25高一上·上海·期中）在区间上是严格增函数，且图象关于轴成轴对称的幂函数可以是（    ） A． B． C． D． 【例8-2】（22-23高一下·上海宝山·期末）若幂函数为奇函数，则该函数的表达式 . 【变式8-1】（22-23高一·上海·单元测试）已知，若函数在上y随x增大而减小，且图象关于y轴对称，则 ． 【变式8-2】（23-24高一上·上海奉贤·期中）下列幂函数在区间上是严格增函数，且图像关于原点成中心对称的有 ．（请填入全部正确的序号） ①；②；③；④ 【变式8-3】（22-23高一上·上海徐汇·期末）设（为常数），则“函数的图象经过点”是“函数为偶函数”的 条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要””、“既不充分也不必要”） 题型09 幂函数性质应用 【例9-1】（24-25高一上·上海·随堂练习）已知，若幂函数的图像关于原点对称，且在上是严格减函数；则取值的集合是 ． 【例9-2】（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，设幂函数的图象关于原点中心对称，且与x轴及y轴均无交点，则k的值为 ． 【例9-3】（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知幂函数在区间上是严格增函数，且的图象关于y轴对称，求m的值． 【变式9-1】（23-24高一上·上海虹口·期末）设，若幂函数的图像关于轴对称，且在区间上是严格增函数，则实数 ． 【变式9-2】（22-23高一上·上海长宁·期末）已知幂函数在区间是严格减函数，且图像关于轴对称，写出一个满足条件的 ． 【变式9-3】（23-24高一上·上海·期中）幂函数的图象关于y轴成轴对称，且与x轴、y轴均无交点，求m的值. 一、单选题 1．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知点在幂函数的图象上，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．（24-25高一上·江苏淮安·期中）已知幂函数的图象与坐标轴没有公共点，则实数m的取值为（   ） A．2 B． C．0或 D．0或2 3．设，若，均有成立，则k的取值个数是（    ）个． A．4 B．3 C．2 D．1 4．设和是两个不同的幂函数，则它们图像交点的个数为（    ） A．1或2或0 B．1或2或3 C．1或2或3或4 D．0或1或2或3 二、填空题 5．（24-25高一上·上海·期中）若幂函数的图象经过点，则此幂函数的表达式是 6．（24-25高一上·上海金山·期中）函数是幂函数，则 . 7．（24-25高一上·上海松江·阶段练习）若函数是幂函数，则= ． 8．（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）若幂函数的图像经过点，则 9．（24-25高一上·上海松江·期末）已知幂函数 在 上是严格减函数，则实数 10．（24-25高一上·上海·期末）已知幂函数图象经过点，则= . 11．（24-25高一上·上海杨浦·期中）幂函数的图像关于y轴成轴对称，且与x轴、y轴均无公共点，则m的值为 . 12．（24-25高一上·上海·期中）已知，，则关于x的不等式的解集为 . 13．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，则实数的取值范围是 . 三、解答题 14．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知函数的表达式为是幂函数，且当时，函数是严格增函数，求的解析式． 15．（24-25高一上·上海金山·期中）已知幂函数经过点. (1)求此幂函数的表达式和定义域； (2)已知点，点在此幂函数的图象上，且满足，求实数的取值范围. 16．（22-23高一上·上海普陀·阶段练习）设，已知幂函数是偶函数. (1)求的值； (2)设，若函数的最小值为，求的值. 17．（24-25高一上·上海·期中）已知幂函数 ，且该函数在上是严格增函数. (1)求此幂函数的表达式； (2)求关于的不等式 的解， 其中. 18．（24-25高一上·上海奉贤·期中）已知幂函数在上为严格增函数． (1)求的解析式； (2)若对任意x都成立，求k的取值范围． 19．（24-25高一上·上海杨浦·阶段练习）已知函数（常数） (1)求证：是偶函数的充要条件是为幂函数 (2)若，将的图象向左平移一个单位得到，求证：在上为严格减函数 1 学科网（北京）股份有限公司 $