4.4 幂函数（题型专练）数学人教B版2019必修第二册

4.4 幂函数 题型一 幂函数解析式与求值 1．（24-25高一上·山西阳泉·期中）已知幂函数满足，求的值（   ） A．3 B． C．4 D． 2．（23-24高一上·贵州黔南·期末）已知幂函数的图象过点，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·全国·单元测试）若函数是幂函数，且，则 ． 4．（24-25高一下·河南·开学考试）已知函数，且的图象恒过定点，且点在幂函数的图象上，则 ． 题型二 根据幂函数求参数 1．（24-25高一下·辽宁朝阳·阶段练习）已知幂函数，则 . 2．（24-25高一上·江苏镇江·期末）已知幂函数经过点，则的值是 ． 3．（2025·全国·模拟预测）若函数（且）的图象过定点A，且点A在幂函数上，则 ． 题型三 幂函数相关定义域问题 1．（23-24高一上·广东广州·期中）幂函数图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．（2023高二下·浙江·学业考试）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·山西吕梁·阶段练习）已知幂函数的图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 4.（24-25高一上·上海·随堂练习）函数的定义域为 ． 题型四 幂函数相关值域（最值）问题 1．（24-25高一上·湖南怀化·期中）下列命题中，正确的是（    ） A． 的图象是一条直线 B．幂函数图象不过第四象限 C．若函数的定义域是，则它的值域是 D．若函数的定义域是，则它的值域是 2．（24-25高一上·辽宁盘锦·阶段练习）下列四组函数中，同组两个函数的值域相同的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 3．（23-24高一上·江苏宿迁·阶段练习）已知函数，则（    ） A．的最大值为 B．的最大值为1 C．的最小值为1 D．的最小值为0 4．（22-23高一上·湖北襄阳·期末）下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·上海·期末）函数的定义域是，则它的值域是 . 6．（2024高三·全国·专题练习）设函数，的值域是 ． 7．（23-24高一下·山东淄博·期中）函数图象的对称中心坐标是 ；函数的值域是 ． 8．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）函数的最大值是 . 题型五 根据函数定义域、值域（最值）求参数 1．（25-26高一上·全国·课前预习）已知函数在区间上的最大值为，则（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 2．（24-25高一上·湖南·阶段练习）已知幂函数的定义域是，则 ． 3．（24-25高一上·上海·课后作业）若幂函数（为整数）的定义域为，则的值为 ． 题型六 幂函数的图象及其应用 1．（24-25高一上·四川泸州·期末）已知函数过定点P，幂函数的图象经过点P，则该幂函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·江苏淮安·期末）已知幂函数的图象经过点，则函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   3．（24-25高一上·安徽合肥·期末）函数（且）的图象恒过定点，若点在幂函数的图象上，则幂函数的图象大致是（   ） A．   B．   C．   D．   4．（24-25高一上·河南焦作·期末）已知幂函数的图象分别经过两点，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·上海长宁·期末）如图是4个幂函数在第一象限内的图像，则（    ） A． B． C． D． 6．（2025高一上·广东·专题练习）在同一坐标系内，函数和的图象可能是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·全国·课前预习）如图，函数在上的图象对应的编号依次为（    ）    A．②①③ B．②③① C．①③② D．①②③ 8．（多选）（2025高三·全国·专题练习）已知幂函数的图象经过点，，是函数图象上的任意不同两点，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 9．（24-25高一下·云南楚雄·期中）已知幂函数的图象关于轴对称，则 . 10．（25-26高一上·全国·单元测试）若幂函数的图象经过，，这三个点中的两个点，则 . 题型七 幂函数单调性判断与单调区间 1．（24-25高一上·云南昭通·阶段练习）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·全国·课前预习）已知幂函数在上单调递增，则函数在上单调 （填“递增”或“递减”）． 题型八 幂函数奇偶性问题 1．（24-25高一下·安徽马鞍山·开学考试）已知点在幂函数的图象上，则是（   ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．在上单调递减 2．（25-26高一上·全国·课前预习）已知幂函数是奇函数，则（    ） A． B．1 C．2 D．或2 3．（24-25高一上·重庆·期中）已知函数是幂函数，且为奇函数，则实数（    ） A．或 B． C． D． 题型九 幂函数单调性、奇偶性综合问题 1．（24-25高一上·海南·期末）幂函数是（   ） A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．减函数 2．（多选）（25-26高一上·全国·单元测试）已知，则（    ） A．当时，的定义域为 B．当时， C．当时，是偶函数 D．当时，是奇函数 3．（24-25高一上·河北秦皇岛·期末）已知幂函数为偶函数. (1)求的值； (2)若函数在区间上单调，求实数的取值范围. 4．（24-25高一上·北京通州·期中）已知幂函数的图象过点. (1)求的值； (2)求在区间上的最大值； (3)设函数，判断的奇偶性. 题型十 幂函数图象和性质综合问题 1．（25-26高一上·全国·课前预习）如图，函数在上的图象对应的编号依次为（    ）    A．②①③ B．②③① C．①③② D．①②③ 2．（22-23高一上·河南·期中）已知函数满足下列3个条件： ①函数的图象关于轴对称； ②函数在上单调递增； ③函数无最值． 请写出一个满足题意的函数的解析式： ． 题型十一 根据幂函数单调性求参数 1．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知函数是幂函数，且在上递增，则实数（    ） A．2 B． C．1 D．1或 2．（24-25高一下·四川南充·阶段练习）已知幂函数在上是增函数，则（    ） A．或3 B． C．3 D．1 3．（24-25高一下·广东湛江·阶段练习）已知幂函数在定义域内单调递增，则（   ） A． B． C． D．2 题型十二 幂函数与其它函数的综合问题 1．（24-25高一上·福建龙岩·期末）若幂函数在区间上单调递增，则函数的过定点（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·湖北恩施·期中）已知函数（，）的图像恒过定点P，P在幂函数图象上，则的值为（   ） A．8 B．4 C． D． 3．（多选）（24-25高一下·河南驻马店·阶段练习）已知幂函数（，为常数），则下列说法正确的有（   ） A． B．若，则与表示同一个函数 C．若，则为奇函数 D．若，则为偶函数 4．（24-25高三下·海南·阶段练习）已知函数的图象经过定点，且幂函数的图象过点，则 ． 5．（21-22高二下·辽宁抚顺·阶段练习）已知函数，且． (1)求的解析式； (2)求函数在上的值域． 题型一 比较大小问题 1．（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知幂函数的图象经过点与点，若，，，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·全国·单元测试）已知点在幂函数的图象上，设，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·山东济宁·期末）已知幂函数的定义域为，记，，，则（    ） A． B． C． D． 题型二 不等式求解问题 1．（24-25高一下·湖北·阶段练习）已知幂函数是偶函数，则不等式的解集为 ． 2．（25-26高一上·河南南阳·阶段练习）已知幂函数f(x)的图象经过点，则不等式的解集是 . 3．（25-26高一上·全国·课前预习）已知幂函数的图象经过点，则不等式的解集为 ． 4．（2025高一上·全国·专题练习）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的实数的取值范围为 ． 5．（24-25高一下·上海宝山·阶段练习）已知幂函数的图像经过点. (1)求此幂函数的表达式和定义域； (2)若，求实数的取值范围. 题型三 幂函数图象和性质综合应用问题 1．（多选）（24-25高一下·江西·阶段练习）已知幂函数，则下列说法正确的是（   ） A． B．函数为偶函数 C．不等式的解集为 D．若函数在上单调递增，则实数的取值范围为 2．（24-25高一下·广东·阶段练习）已知幂函数的定义域不为. (1)求的解析式； (2)若不等式恒成立，求a的取值范围. 3．（25-26高一上·全国·单元测试）已知幂函数在区间上单调递减． (1)判断函数的奇偶性； (2)若，求的取值范围． 1．（24-25高一下·安徽·开学考试）已知函数若正实数，满足则的最小值为（    ） A．2 B．5 C．6 D．9 2．（24-25高一上·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知幂函数，对任意且，都有，若，则的值（    ） A．恒大于0 B．等于0 C．恒小于0 D．无法判断 3．（24-25高二下·云南临沧·期末）已知，函数在上是单调函数，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 4.（多选）（24-25高二下·辽宁鞍山·期末）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．两个幂函数的图像最多只有5个交点，且交点关于原点中心对称 D．当时，越小，越大 5．（多选）（24-25高一下·四川眉山·期末）已知幂函数的图象经过点，则（    ） A．的最小值为0 B．为偶函数 C．若，则 D．是在上的减函数 6．（25-26高一上·全国·课前预习）已知幂函数在上单调递增． (1)求的值； (2)当时，求函数的最小值． 7．（25-26高一上·全国·单元测试）已知幂函数的图象不关于原点对称. (1)求函数的解析式； (2)设函数，用单调性的定义证明：在上单调递增. 8．（24-25高一上·北京·期中）已知幂函数在定义域上不单调． (1)求函数的解析式； (2)函数是否具有奇偶性？请说明理由； (3)若，求实数的取值范围． 9．（24-25高三上·江西宜春·期末）已知幂函数在上单调递增，二次函数. (1)求实数的值. (2)当时，的图象恒在图象的下方，求的取值范围. 10．（23-24高一上·云南昭通·期中）已知幂函数在上单调递减. (1)求的值并写出的解析式； (2)已知，，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围. 11．（25-26高一上·广东广州·开学考试）已知为幂函数． (1)求的解析式； (2)用定义法证明：在上是减函数； (3)①若，求实数的取值范围； ②若恒成立，求实数的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.4 幂函数 题型一 幂函数解析式与求值 1．（24-25高一上·山西阳泉·期中）已知幂函数满足，求的值（   ） A．3 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】设幂函数的一般式，代入题干即可求解. 【详解】设幂函数的解析式为，，所以. 故选：D 2．（23-24高一上·贵州黔南·期末）已知幂函数的图象过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，结合可求得的值，可得出函数的解析式，代值计算可得出的值. 【详解】设，则，所以，故， 因此. 故选：A. 3．（25-26高一上·全国·单元测试）若函数是幂函数，且，则 ． 【答案】64 【分析】由题意求得，代入即可得解. 【详解】设，由，得，解得，所以，所以． 故答案为：64. 4．（24-25高一下·河南·开学考试）已知函数，且的图象恒过定点，且点在幂函数的图象上，则 ． 【答案】 【分析】先根据解析求出定点，再将点的坐标代入到幂函数中去可求得结果. 【详解】令，解得，此时， 所以函数（，且）的图象恒过定点， 设幂函数，则，解得， 所以． 故答案为：. 题型二 根据幂函数求参数 1．（24-25高一下·辽宁朝阳·阶段练习）已知幂函数，则 . 【答案】 【分析】由幂函数定义可得，然后可得答案. 【详解】由幂函数定义可得，则， 则. 故答案为： 2．（24-25高一上·江苏镇江·期末）已知幂函数经过点，则的值是 ． 【答案】 【分析】由题意得，求出，再把点的坐标代入函数中可求出，从而可求出的值. 【详解】因为函数为幂函数， 所以，得，所以， 因为幂函数的图象过点， 所以，则，得，解得， 所以. 故答案为： 3．（2025·全国·模拟预测）若函数（且）的图象过定点A，且点A在幂函数上，则 ． 【答案】 【分析】根据幂函数的定义得到，，根据指数函数的性质得到定点为，从而代入求解，得到. 【详解】是幂函数，则，所以，． 在中，令，得，所以定点为， 故，又，解得． 故答案为： 题型三 幂函数相关定义域问题 1．（23-24高一上·广东广州·期中）幂函数图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出幂函数，代入点坐标得到函数解析式，确定函数定义域，得到，解得答案. 【详解】设幂函数为，则，故，， 则的定义域为， 故满足，解得. 故选：A 2．（2023高二下·浙江·学业考试）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数函数中真数大于0与零次幂中底数不等于0列式求解即可. 【详解】由题意知，且， 故函数的定义域为. 故选：B. 3．（23-24高一上·山西吕梁·阶段练习）已知幂函数的图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依据题意设出解析式，求出解析式后求解具体函数定义域即可. 【详解】是幂函数，设，将代入解析式， 得，解得，故，则， 故，解得 故选：B 4.（24-25高一上·上海·随堂练习）函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】由二次根式有意义的条件列出不等式即可求解. 【详解】要使有意义，则，解得. 故答案为：. 题型四 幂函数相关值域（最值）问题 1．（24-25高一上·湖南怀化·期中）下列命题中，正确的是（    ） A． 的图象是一条直线 B．幂函数图象不过第四象限 C．若函数的定义域是，则它的值域是 D．若函数的定义域是，则它的值域是 【答案】B 【分析】根据可得选项A错误；根据幂函数的性质可得选项B正确；根据指数函数的单调性可得选项C错误；根据幂函数的单调性可得选项D错误. 【详解】A.，图象为一条直线去掉一个点，选项A错误. B. 幂函数解析式为，当时，，故图象不过第四象限，选项B正确. C. 函数在为增函数，由得，故值域为，选项C错误. D.函数在上为减函数，由得，，故值域为，选项D错误. 故选：B. 2．（24-25高一上·辽宁盘锦·阶段练习）下列四组函数中，同组两个函数的值域相同的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】根据幂函数的性质逐项分析即得. 【详解】对于A，的定义域为，∵，∴的值域为， 的定义域和值域均为，故A错误； 对于B，的定义域为，其值域为， 的定义域为，其值域为，故B错误； 对于C，的定义域为，其值域为， 的定义域为，其值域为，故C正确； 对于D，的定义域为，其值域为， 的定义域和值域均为，故D错误， 故选：C. 3．（23-24高一上·江苏宿迁·阶段练习）已知函数，则（    ） A．的最大值为 B．的最大值为1 C．的最小值为1 D．的最小值为0 【答案】B 【分析】求出函数定义域，结合复合函数单调性即可求得函数的最值. 【详解】因为，所以定义域为， 由复合函数单调性可知，在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递增， 所以当时，， 当时，. 故选：B. 4．（22-23高一上·湖北襄阳·期末）下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的定义域、幂函数的性质、以及基本不等式可直接求得选项中各函数的值域进行判断即可. 【详解】由已知值域为，故A错误； 时，等号成立，所以的值域是，B错误； 因为定义域为， ，函数值域为，故C正确； ，，，所以，故D错误. 故选：C. 5．（24-25高一上·上海·期末）函数的定义域是，则它的值域是 . 【答案】 【分析】设，由可得，将求函数在上的值域转化为求二次函数在上的值域来解决. 【详解】由， 设，因，则， 而函数在上单调递减，在上单调递增， 则，故函数的值域为. 故答案为：. 6．（2024高三·全国·专题练习）设函数，的值域是 ． 【答案】 【分析】对于分段函数的值域，两段分别求出值域，然后求解并集即可. 【详解】当时，单调递减，所以， 故的值域为：， 当时，单调递增，，故的值域为：， 综上，的值域为. 故答案为：. 7．（23-24高一下·山东淄博·期中）函数图象的对称中心坐标是 ；函数的值域是 ． 【答案】 【分析】将函数解析式变形为，结合图象的平移得到其对称中心；又，结合不等式的性质求出函数的值域. 【详解】因为， 将奇函数图象向左平移个单位，再向上平移个单位得到图象， 所以图象的对称中心为； ，因为，所以， 则，所以. 故答案为：； 8．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）函数的最大值是 . 【答案】/0.25 【分析】求出定义域，令，结合幂函数和二次函数性质求解. 【详解】，解得.定义域为. , 令.则. ，在单调递增，在单调递减. 则，，则. 故答案为：. 题型五 根据函数定义域、值域（最值）求参数 1．（25-26高一上·全国·课前预习）已知函数在区间上的最大值为，则（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】利用基本不等式求得最值，列式求解即可. 【详解】因为， 当时，，当且仅当时等号成立， 所以，故，解得， 故选：C 2．（24-25高一上·湖南·阶段练习）已知幂函数的定义域是，则 ． 【答案】 【分析】根据幂函数的系数为，求出的值，再结合幂函数的定义域进行检验即可. 【详解】因为函数为幂函数，则，即， 解得或， 当时，函数的定义域为，合乎题意； 当时，函数的定义域为，舍去. 综上所述，. 故答案为: 3．（24-25高一上·上海·课后作业）若幂函数（为整数）的定义域为，则的值为 ． 【答案】1 【分析】根据已知条件列出约束式即可求解. 【详解】若幂函数（为整数）的定义域为，则，解得， 而是整数，则只能，经检验符合题意. 故答案为：1 题型六 幂函数的图象及其应用 1．（24-25高一上·四川泸州·期末）已知函数过定点P，幂函数的图象经过点P，则该幂函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数型函数恒过定点求出，代入幂函数解析式得，进而可得图象. 【详解】因为，当时，，所以过定点， 设幂函数，幂函数的图象经过点P，代入，即，解得， 所以幂函数为，定义域，结合定义域和图象，可知C正确， 故选：C. 2．（24-25高一上·江苏淮安·期末）已知幂函数的图象经过点，则函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据幂函数图象上的点求出幂函数的解析式， 方法一：排除法，根据函数的定义域及偶函数图象特征排除，即可判断； 方法二：排除法，根据幂函数的单调性和函数值的符号排除，即可判断． 【详解】设幂函数的解析式为，由其图象经过点，得，解得， 于是． 方法一：函数的定义域为，关于原点对称，排除A，D； 因为，所以函数为偶函数， 图象关于轴对称，排除C． 方法二：因为，所以在上单调递减，排除A，D； 又，排除C． 故选：B． 3．（24-25高一上·安徽合肥·期末）函数（且）的图象恒过定点，若点在幂函数的图象上，则幂函数的图象大致是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】先找到定点的坐标，通过点坐标求解幂函数的解析式，进而得到大致图象． 【详解】函数（且）中由得， 则函数过定点， 设，代入可得，解得， 故幂函数，则B选项图象符合. 故选：B. 4．（24-25高一上·河南焦作·期末）已知幂函数的图象分别经过两点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将两点的坐标分别代入的解析式中，得到关于的式子，再利用指数幂的运算法则化简即可求解. 【详解】因为幂函数的图象分别经过两点， 所以把两点分别代入可得， 故，故. 故选：B. 5．（24-25高一上·上海长宁·期末）如图是4个幂函数在第一象限内的图像，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根已知幂函数图象在或时图象上下关系，结合构造函数，利用指数函数的单调性做出判断. 【详解】由已知图象可知当时，， 当时，， 而函数在底数时为的单调增函数， 在底数满足时为的单调减函数， . 故选：A 6．（2025高一上·广东·专题练习）在同一坐标系内，函数和的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂函数和一次函数的单调性判断的正负，可判断ABC，再由一次函数与坐标轴交点坐标及单调性判断D. 【详解】对于A，函数，，函数，；二者矛盾，不可能成立； 对于B，函数，，函数，；二者矛盾，不可能成立； 对于C，函数，，函数，；可能成立； 对于D，函数，，函数，，，矛盾，不可能成立． 故选：C． 7．（25-26高一上·全国·课前预习）如图，函数在上的图象对应的编号依次为（    ）    A．②①③ B．②③① C．①③② D．①②③ 【答案】B 【分析】根据幂函数的单调性判断即可. 【详解】根据幂函数的单调性， 当时，在上单调递增， 且时，在上的图象增长速度越来越快， 时，在上的图象匀速增长， 时，在上的图象的图象增长速度越来越慢， 当时，在上单调递减， 因为，所以②为的图象，③为的图象，①为的图象． 故选：B. 8．（多选）（2025高三·全国·专题练习）已知幂函数的图象经过点，，是函数图象上的任意不同两点，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】设，根据幂函数所过的点求出的解析式，设，，由幂函数的性质可判断与的单调性，由单调性比较大小得到正确答案即可. 【详解】因为是幂函数，可设， 因为幂函数的图象经过点， 所以，即，解得，所以，定义域为， 设，定义域为，因为， 所以由幂函数性质得在上单调递增， 若，则有，即，故A错误，B正确； 设，定义域为， 因为，所以由幂函数性质得在上单调递减， 若，则有，即，故C正确，D错误. 故选：BC 9．（24-25高一下·云南楚雄·期中）已知幂函数的图象关于轴对称，则 . 【答案】 【分析】根据幂函数的定义即可求，再根据的图像关于轴对称即可求解. 【详解】由题意有，即，解得或， 又的图象关于轴对称，所以，即. 故答案为：. 10．（25-26高一上·全国·单元测试）若幂函数的图象经过，，这三个点中的两个点，则 . 【答案】16 【分析】根据幂函数的概念及性质，先确定幂函数的解析式，再求的值. 【详解】因为点为第四象限的点，所以幂函数的图象不过点. 设幂函数，其图象经过点和， 所以，解得，所以. 所以. 故答案为：16. 题型七 幂函数单调性判断与单调区间 1．（24-25高一上·云南昭通·阶段练习）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，可得的定义域，利用复合函数的单调性可求得的单调递减区间. 【详解】由，可得，解得或， 所以函数的定义域为， 又，所以在上单调递减，在上单调递增， 又在上单调递增， 所以由复合函数的单调性可得在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递减区间为. 故选：A. 2．（25-26高一上·全国·课前预习）已知幂函数在上单调递增，则函数在上单调 （填“递增”或“递减”）． 【答案】递减 【分析】根据幂函数的单调性求出，再根据，判断的单调性. 【详解】由幂函数的性质得，解得， 因为，所以，则，故在，上单调递减． 故答案为：递减. 题型八 幂函数奇偶性问题 1．（24-25高一下·安徽马鞍山·开学考试）已知点在幂函数的图象上，则是（   ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．在上单调递减 【答案】A 【分析】根据已知求出，从而函数，根据奇偶性定义以及反比例函数得到答案． 【详解】∵点在幂函数的图象上，设， ∴，解得， ∴函数，定义域为，关于原点对称， ∴， ∴函数是奇函数，根据反比例图象在上单调递减． 故选：A． 2．（25-26高一上·全国·课前预习）已知幂函数是奇函数，则（    ） A． B．1 C．2 D．或2 【答案】A 【分析】根据幂函数的定义求出的可能值，再结合奇偶性即可得出结果． 【详解】由为幂函数得，即，解得或． 当时，，，原幂函数为偶函数，所以； 当时，，，原幂函数为奇函数，故． 故选：A． 3．（24-25高一上·重庆·期中）已知函数是幂函数，且为奇函数，则实数（    ） A．或 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用幂函数的定义及奇函数的概念即可求解. 【详解】由题意得，所以，所以， 解得或， 当时，，为偶函数，故不符合题意， 当时，，为奇函数，故符合题意. 综上所述：. 故选：B. 题型九 幂函数单调性、奇偶性综合问题 1．（24-25高一上·海南·期末）幂函数是（   ） A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．减函数 【答案】C 【分析】根据函数为幂函数得，进而判断幂函数的奇偶性和单调性，即可得答案. 【详解】由题设，则为非奇非偶函数，且在上单调递增. 故选：C 2．（多选）（25-26高一上·全国·单元测试）已知，则（    ） A．当时，的定义域为 B．当时， C．当时，是偶函数 D．当时，是奇函数 【答案】BC 【分析】由幂函数的性质逐一判断各个选项即可求解. 【详解】A错误，当时，，此时的定义域为； B正确，当时，在上单调递增，所以； C正确，当时，，所以是偶函数； D错误，当时，，则，定义域不关于原点对称所以不是奇函数. 故选：BC. 3．（24-25高一上·河北秦皇岛·期末）已知幂函数为偶函数. (1)求的值； (2)若函数在区间上单调，求实数的取值范围. 【答案】(1)2； (2) 【分析】（1）根据幂函数的定义可得或，再根据奇偶性可得； （2）利用二次函数单调性列不等式，可得解. 【详解】（1）由幂函数的定义，有，解得或， ①当时，，函数为奇函数，不合题意； ②当时，，函数为偶函数，满足题意； 由上知，实数的值为2. （2）由（1）知，，有， 又由函数的对称轴方程为. 若函数在区间上单调，有或. 可得或. 故实数的取值范围为. 4．（24-25高一上·北京通州·期中）已知幂函数的图象过点. (1)求的值； (2)求在区间上的最大值； (3)设函数，判断的奇偶性. 【答案】(1) (2) (3)为奇函数. 【分析】（1）根据幂函数的知识求得的解析式，进而求得. （2）根据函数的单调性来求得最大值. （3）根据函数的奇偶性的定义进行判断. 【详解】（1）设幂函数，因为的图象过点， 所以，得.所以.所以. （2）因为， 所以在区间上单调递增. 所以在区间上的最大值为. （3）因为函数， 所以. 因为的定义域为， 所以. 所以为奇函数. 题型十 幂函数图象和性质综合问题 1．（25-26高一上·全国·课前预习）如图，函数在上的图象对应的编号依次为（    ）    A．②①③ B．②③① C．①③② D．①②③ 【答案】B 【分析】根据幂函数的单调性判断即可. 【详解】根据幂函数的单调性， 当时，在上单调递增， 且时，在上的图象增长速度越来越快， 时，在上的图象匀速增长， 时，在上的图象的图象增长速度越来越慢， 当时，在上单调递减， 因为，所以②为的图象，③为的图象，①为的图象． 故选：B. 2．（22-23高一上·河南·期中）已知函数满足下列3个条件： ①函数的图象关于轴对称； ②函数在上单调递增； ③函数无最值． 请写出一个满足题意的函数的解析式： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】结合函数的对称性、单调性及常见函数即可求解. 【详解】由的图象关于轴对称知为偶函数，在上单调递增，无最值， 根据幂函数的性质可知满足题意的一个函数为. 故答案为：（答案不唯一） 题型十一 根据幂函数单调性求参数 1．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知函数是幂函数，且在上递增，则实数（    ） A．2 B． C．1 D．1或 【答案】B 【分析】利用幂函数的定义及性质即可得到判断. 【详解】由题意幂函数可得，解得， 当时，在上单调递减，不合题意，故舍去； 当时，在上单调递增，满足题意，故； 故选：B. 2．（24-25高一下·四川南充·阶段练习）已知幂函数在上是增函数，则（    ） A．或3 B． C．3 D．1 【答案】C 【分析】根据是幂函数，解得或，分别代入检验是否在上是增函数，从而得到答案. 【详解】因为是幂函数，所以，解得或， 当时，在上是增函数，符合题意， 当时，在上是减函数，不符合题意，舍去， 所以， 故选：C. 3．（24-25高一下·广东湛江·阶段练习）已知幂函数在定义域内单调递增，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据幂函数的定义与性质得到方程（不等式）组，解得即可. 【详解】因为为幂函数，且在定义域内单调递增， 所以，解得. 故选：C 题型十二 幂函数与其它函数的综合问题 1．（24-25高一上·福建龙岩·期末）若幂函数在区间上单调递增，则函数的过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂函数的性质得到方程，求出，从而，由指数函数性质得到所过定点坐标. 【详解】为幂函数，且在区间上单调递增， 由题意得且，解得， 故， 令得，则， 所以的过定点. 故选：B 2．（24-25高一上·湖北恩施·期中）已知函数（，）的图像恒过定点P，P在幂函数图象上，则的值为（   ） A．8 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】根据对数函数和幂函数的图象特点和定义求解即可. 【详解】因为函数的图象恒过点， 令，即时. 所以点的坐标为. 又点在幂函数的图象上，设， 则，所以，所以. 所以. 故选：C. 3．（多选）（24-25高一下·河南驻马店·阶段练习）已知幂函数（，为常数），则下列说法正确的有（   ） A． B．若，则与表示同一个函数 C．若，则为奇函数 D．若，则为偶函数 【答案】BD 【分析】由幂函数的性质，奇偶性的定义，逐项判断即可. 【详解】由为幂函数， 可得：，即，故A错误； 对于B：若，则，，故B正确； 对于C：若，则， 所以，定义域为， 显然是偶函数，故C错误； 对于D：若，则， 所以，定义域为， 又 ，故是偶函数，故D正确. 故选：BD 4．（24-25高三下·海南·阶段练习）已知函数的图象经过定点，且幂函数的图象过点，则 ． 【答案】3 【分析】利用对数型函数图象特征求出点坐标，进而求出的值. 【详解】函数中，当，即时，恒有，则点， 由幂函数的图象过点，得. 故答案为：3 5．（21-22高二下·辽宁抚顺·阶段练习）已知函数，且． (1)求的解析式； (2)求函数在上的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题目条件代入即可求得，从而求出，即可求出的解析式. （2）由（1）可知，，由二次函数求值域即可求出函数在上的值域. 【详解】（1）因为，所以， 整理得，即或（舍去）， 则，故． （2）由（1）可知，． 因为，所以，，所以． 故在上的值域为． 题型一 比较大小问题 1．（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知幂函数的图象经过点与点，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据求出的值，进而可求得的值，然后利用指数函数和对数函数的单调性可得出、、的大小关系. 【详解】设，由题意可得，则，解得， 所以，，故， 所以，，，所以． 故选：D． 2．（25-26高一上·全国·单元测试）已知点在幂函数的图象上，设，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由幂函数的单调性比较大小、求幂函数的解析式 【分析】根据已知条件求出的解析式，利用幂函数的单调性即可判断选项. 【详解】由于点在幂函数的图象上，所以在上单调递减． 由于，所以， 又，所以， 所以，即 故选：D 3．（24-25高一上·山东济宁·期末）已知幂函数的定义域为，记，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据幂函数的定义求出的值，确定函数的表达式，再分析函数的单调性，最后根据函数单调性比较、、的大小. 【详解】因为是幂函数，根据幂函数的定义，即. 解得或. 当时，，其定义域为，不满足定义域为，舍去. 当时，，定义域为，符合题意. 所以，. 对于函数，其图象是开口向上的抛物线，对称轴为轴. 所以在上单调递减，在上单调递增. 已知，，. 因为是偶函数，所以. ，则. 因为，. 根据函数在上单调递增，可得，即. 故选：D. 题型二 不等式求解问题 1．（24-25高一下·湖北·阶段练习）已知幂函数是偶函数，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据幂函数的定义，结合是偶函数，可得，再根据单调性解不等式即可. 【详解】幂函数是偶函数， ，解得或， 当时，为奇函数，不符合题意， 当时，为偶函数，符合题意， ,在内单调递增，且为偶函数， 可化为， 两边取平方可得：， 整理的，解得， 的解集为. 故答案为：. 2．（25-26高一上·河南南阳·阶段练习）已知幂函数f(x)的图象经过点，则不等式的解集是 . 【答案】 【分析】求出幂函数解析式，利用幂函数的单调性列不等式求解即可. 【详解】设幂函数为，代入可得， 即，解得，所以， 由函数在上单调递增，得，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为： 3．（25-26高一上·全国·课前预习）已知幂函数的图象经过点，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】利用是幂函数和图象经过点得到解析式，再根据单调性列不等式求解即可. 【详解】因为是幂函数且图象经过点， 所以，解得，所以， 易知在上单调递增，则由得， 解得，故原不等式的解集为， 故答案为： 4．（2025高一上·全国·专题练习）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先根据幂函数单调性和对称性求得，然后探究函数的性质，利用单调性解不等式组即可求解. 【详解】因为幂函数在上单调递减，所以，解得， 又，所以． 又幂函数的图象关于轴对称，所以为偶数， 所以，故不等式为， 因为函数的定义域为，且在和上单调递减， 当时，，当时，， 故不等式可化为或或，解得或，即实数的取值范围为． 故答案为： 5．（24-25高一下·上海宝山·阶段练习）已知幂函数的图像经过点. (1)求此幂函数的表达式和定义域； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据幂函数定义借助待定系数法计算即可得其解析式，计算即可得其定义域； （2）结合函数单调性与定义域要求计算即可得. 【详解】（1）设，则有，解得， 故，其定义域为； （2）由，则在上单调递减， 故有，即，即. 题型三 幂函数图象和性质综合应用问题 1．（多选）（24-25高一下·江西·阶段练习）已知幂函数，则下列说法正确的是（   ） A． B．函数为偶函数 C．不等式的解集为 D．若函数在上单调递增，则实数的取值范围为 【答案】BC 【分析】利用幂函数的概念求解析式，从而可判断ABC，利用分段函数单调性，结合分界点的端点值大小比较，可判断D. 【详解】由幂函数的定义，知，故，所以，A错误； 由，得函数为偶函数，B正确； 由，得，解得，C正确； 若函数在上单调递增，必有解得，D错误. 故选：BC. 2．（24-25高一下·广东·阶段练习）已知幂函数的定义域不为. (1)求的解析式； (2)若不等式恒成立，求a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由幂函数定义求得或，再结合幂函数定义域不为验证即可； （2）结合幂函数的奇偶性、单调性列不等式求解. 【详解】（1）由幂函数的定义可得，解得或， 若，则的定义域为，不符合题意， 若，则的定义域为，符合题意， 所以的解析式为. （2）由（1）得，的定义域关于原点对称，且， 所以为奇函数， 由可得， 因为在上递减且恒负，在上递减且恒正， 所以或或， 解得或， 所以a的取值范围为． 3．（25-26高一上·全国·单元测试）已知幂函数在区间上单调递减． (1)判断函数的奇偶性； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)为奇函数． (2) 【分析】（1）由幂函数的定义可得，结合单调性解出的值，然后根据奇偶性定义判断奇偶性. （2）由（1）得,由定义域和单调性可得答案. 【详解】（1）由幂函数的定义得， 解得或，又由幂函数在区间上单调递减得指数，即， 故，则， 又为奇函数． （2）由（1）得，因为函数在区间和上单调递减， 当时，无解，舍去； 当时，解得； 当时，解得． 综上，的取值范围是． 1．（24-25高一下·安徽·开学考试）已知函数若正实数，满足则的最小值为（    ） A．2 B．5 C．6 D．9 【答案】D 【分析】利用函数的奇偶性，结合解不等式求解即可. 【详解】由题可知函数为奇函数，所以 又因为为单调递增函数，所以 所以 所以即，当时等号成立. 故选：D. 2．（24-25高一上·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知幂函数，对任意且，都有，若，则的值（    ） A．恒大于0 B．等于0 C．恒小于0 D．无法判断 【答案】C 【分析】由函数为幂函数可得或，再结合函数的性质确定，结合单调性的性质可得结论. 【详解】因为函数为幂函数， 所以， 解得或； 因为对任意且，都有， 可知函数在上单调递增， 当时，，此时函数在上单调递减，矛盾， 当时，，函数在上单调递增，满足条件， 所以，， 函数为奇函数，函数在上单调递增， 由，可得，所以，即， 所以. 故选：C. 3．（24-25高二下·云南临沧·期末）已知，函数在上是单调函数，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用相关幂函数及复合函数性质得，，在上单调递增，结合已知列不等式求参数范围. 【详解】对于，，结合相关幂函数性质，易知其在上单调递增，故函数在R上单调递增， 所以，即. 故选：D. 4.（多选）（24-25高二下·辽宁鞍山·期末）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．两个幂函数的图像最多只有5个交点，且交点关于原点中心对称 D．当时，越小，越大 【答案】AD 【分析】结合幂函数的定义和性质，对选项进行逐一分析. 【详解】选项A:对任意，，恒成立，故A对； 选项B:时，无意义，故B错； 选项C：两个幂函数和的交点满足，解得（仅当指数非负时）、、.实数范围内最多有3个交点，且当函数为奇函数时交点关于原点对称.故C错. 选项D:当时，的值随的减小而增大，如，故D对. 故选:AD. 5．（多选）（24-25高一下·四川眉山·期末）已知幂函数的图象经过点，则（    ） A．的最小值为0 B．为偶函数 C．若，则 D．是在上的减函数 【答案】ACD 【分析】设.根据幂函数的定义即可求得.由即可判断选项A；根据偶函数的定义即可判断选项B；作差法比较与大小即可判断选项C；对变形得，由函数单调性的性质即可判断选项D. 【详解】∵函数是幂函数，∴设. ∵幂函数的图象经过点，∴，∴，∴. ∵，当且仅当时等号成立，∴的最小值为0，故选项A正确； ∵的定义域为，关于原点不对称，∴函数是非奇非偶函数，故选项B错误； ∵，∴. ∵，∴， ∴，∴，故选项C正确； ∵， ∴由函数单调性的性质可知：函数是在上的减函数，故选项D正确. 故选：ACD. 6．（25-26高一上·全国·课前预习）已知幂函数在上单调递增． (1)求的值； (2)当时，求函数的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据幂函数的定义以及单调性求得的值.（2）讨论对称轴与区间的关系，根据函数的单调性求得在上的最小值． 【详解】（1）由幂函数的定义及单调性得 解得故． （2）由（1）知，则，对称轴为直线， 当，即时，在上单调递增，所以； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 所以； 当，即时，在上单调递减，所以． 综上所述， 7．（25-26高一上·全国·单元测试）已知幂函数的图象不关于原点对称. (1)求函数的解析式； (2)设函数，用单调性的定义证明：在上单调递增. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据幂函数定义列出方程，解得m，将m的值代入检验，得出符合题意的函数解析式； （2）由（1）可知，，利用单调性的定义证明在上的单调性即可. 【详解】（1）因为为幂函数，所以，解得或. 当时，，定义域为R，关于原点对称， 显然成立，故为奇函数，其图象关于原点对称，所以不符合题意； 当时，， 此时的定义域为，不关于原点对称， 故不是奇函数，其图象不关于原点对称，所以符合题意. 故. （2）由（1）可知，，则， 任取，，且， 则 . 因为，所以，， 则，，所以， 则， 所以， 则，即， 故在上单调递增. 8．（24-25高一上·北京·期中）已知幂函数在定义域上不单调． (1)求函数的解析式； (2)函数是否具有奇偶性？请说明理由； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)奇函数，理由见解析； (3). 【分析】（1）由幂函数的定义可得或，结合函数的单调性验证得解. （2）结合奇函数和偶函数的定义，判断函数的奇偶性； （3）利用奇函数的性质化简不等式，再结合函数的单调性通过讨论化简不等式求其解. 【详解】（1）由幂函数，得，解得或， 若，则在定义域内单调递增，不合题意； 若，则在定义域内单调递减， 但在定义域内不单调，符合题意； 所以函数的解析式为. （2）函数为奇函数，理由如下： 函数的定义域关于原点对称， 且，所以函数为奇函数. （3）由及为奇函数， 得， 即， 而在上递减且恒负，在上递减且恒正， 所以或或，解得或， 所以实数的取值范围. 9．（24-25高三上·江西宜春·期末）已知幂函数在上单调递增，二次函数. (1)求实数的值. (2)当时，的图象恒在图象的下方，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由幂函数的定义与单调性，分别建立方程与不等式，可得答案； （2）由题意等价转化为不等式恒成立问题，分一次函数与二次函数两种情况，分别求得不等式所构造的函数的最值，可得答案. 【详解】（1）由幂函数在上单调递增， 则且，整理可得且， 解得. （2）由（1）可知，由，则， 由题意可得在上恒成立，即， 当时，不等式为在上显然成立，符合题意； 当时，令， 当且时，可得，解得，所以； 当时，二次函数的对称轴为直线，则， 可得，解得，此时. 综上可得. 10．（23-24高一上·云南昭通·期中）已知幂函数在上单调递减. (1)求的值并写出的解析式； (2)已知，，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2)或. 【分析】（1）由条件得到求解即可； （2）由条件得到的值域为值域的子集.再分类讨论求解； 【详解】（1）因为幂函数在上单调递减， 所以 解得：， 所以. （2）， 当时，， 易得的值域为. ，总存在，使， 的值域为值域的子集. ， ①当时，， 则； ②当时，， 则； ③当时，，不符合题意. 综上，或. 11．（25-26高一上·广东广州·开学考试）已知为幂函数． (1)求的解析式； (2)用定义法证明：在上是减函数； (3)①若，求实数的取值范围； ②若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)① ；② 【分析】（1）由幂函数定义求解； （2）取值-做差-变形-判断符号-结论； （3）①由单调性求解；②分离参数，利用基本不等式求最值得范围. 【详解】（1）由题意得，解得，则． （2）由（1）知，，任取，且， 则， 因为，所以，， 所以，即， 所以在上是减函数． （3）①由（2）知，在上是减函数． 因为，则， 解得，所以实数的取值范围． ②因为恒成立，即恒成立，即恒成立， 令． 当且仅当，即时等号成立， 则，所以，则实数的取值范围是． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $