第2章 函数 章末达标检测(Word练习)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第一册(北师大版)

[时间：120分钟　满分：150分] 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(北京卷)已知函数f(x)＝，则对任意的实数x，有(　　) A．f(－x)＋f(x)＝0 B．f(－x)－f(x)＝0 C．f(－x)＋f(x)＝1 D．f(－x)－f(x)＝ 解析　由f(x)＝，可得f(－x)＝＝，所以得f(－x)＋f(x)＝＝1. 答案　C 2．已知f(x)＝x3＋2x，则f(a)＋f(－a)＝(　　) A．0　　　　　　　　 B．－1 C．1 D．2 解析　f(x)＝x3＋2x是R上的奇函数， 故f(－a)＝－f(a)，∴f(a)＋f(－a)＝0. 答案　A 3．在同一坐标系中，函数y＝xa(a≠0)和y＝ax－的图象可能是(　　) 解析　对于选项A和D，由于幂函数的图象过第一象限，且是减函数，a＜0，与一次函数是增函数和一次函数在y轴上的截距为负矛盾，故错误； 对于选项B，由于幂函数的图象过第一、三象限，且是增函数，a＞1，与一次函数的图象不相符，故错误； 对于选项C，由于幂函数图象过第二象限，且是偶函数，a＞0，与一次函数的图象相符，故正确． 答案　C 4．(2025·北京东城区联考)下列函数既是奇函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的是(　　) A．y＝－x2 B．y＝ C．y＝ D．y＝ 解析　A错误，函数y＝－x2的定义域是R，且是偶函数．B正确，函数y＝的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，且是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减．C错误，y＝的定义域为[0，＋∞)，不关于原点对称，不是奇函数．D错误，函数y＝的定义域为{x|x≠－1}，不关于原点对称，不是奇函数． 答案　B 5．如果偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数且最小值是2，那么f(x)在(－∞，0]上是(　　) A．减函数且最小值是2 B．减函数且最大值是2 C．增函数且最小值是2 D．增函数且最大值是2 解析　由偶函数图象关于y轴对称，可知偶函数在原点两侧的对称区间上单调性相反，所以函数f(x)在(－∞，0]上为减函数，且最小值为2. 答案　A 6．若函数f(x)＝满足对任意实数x1≠x2，都有＞0成立，则实数a的取值范围是(　　) A．(1，＋∞) B．[1,3) C. D．(－∞，3) 解析　∵对任意实数x1≠x2，都有＞0成立， ∴f(x)在R上是增函数， ∴ 解得－≤a＜3.故选C. 答案　C 7．已知函数f(x)＝若f(a－1)＞f(－a)，则实数a的取值范围是(　　) A．a＞ B．a＞1 C．a＜ D．a＜1 解析　因为函数f(x)＝ 所以函数在R上是减函数， 因为f(a－1)＞f(－a)， 所以a－1＜－a，所以a＜. 答案　C 8．已知定义域为R的函数f(x)在区间(4，＋∞)上单调递减，且函数y＝f(x＋4)为偶函数，则(　　) A．f(2)＞f(3) B．f(2)＞f(5) C．f(3)＞f(5) D．f(3)＞f(6) 解析　∵y＝f(x＋4)为偶函数， ∴f(－x＋4)＝f(x＋4)． 令x＝2，得f(2)＝f(－2＋4)＝f(2＋4)＝f(6)，同理，f(3)＝f(5)． 又知f(x)在(4，＋∞)上单调递减， ∵5＜6，∴f(5)＞f(6)． ∴f(2)＜f(3)，f(2)＝f(6)＜f(5)， f(3)＝f(5)＞f(6)．故选D. 答案　D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．(2025·青岛二中月考)若函数f(x)同时满足：①对于定义域上的任意x，恒有f(x)＋f(－x)＝0；②对于定义域上的任意x1，x2，当x1≠x2时，恒有＜0，则称函数f(x)为“理想函数”．下列函数是“理想函数”的有(　　) A．f(x)＝ B．f(x)＝x2 C．f(x)＝ D．f(x)＝－x 解析　①要求函数f(x)为奇函数，②要求函数f(x)为减函数，选项A中的函数是奇函数但在整个定义域上不是减函数；选项B中的函数是偶函数而且也不是减函数；选项C和D中的函数既是奇函数又是减函数． 答案　CD 10．定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋1)＝f(1－x)，且在[－1,0]上单调递增，则(　　) A．f(x)的图象关于直线x＝1对称 B．f(x)在[0,1]上单调递增 C．f(x)在[1,2]上单调递减 D．f(1)＝f(5) 解析　A正确，因为f(x＋1)＝f(1－x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．B错误，由偶函数在对称区间上的单调性相反，得f(x)在[0,1]上单调递减．C错误，因为函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，且f(x)在[0,1]上单调递减，所以f(x)在[1,2]上单调递增．D正确，由f(x＋1)＝f(1－x)，得f(x＋2)＝f(－x)＝f(x)，所以f(1)＝f(3)，f(3)＝f(5)，所以f(1)＝f(5)． 答案　AD 11．(2025·河北张家口月考)若定义域为R的函数f(x)满足f(x＋1)为奇函数，且对任意x1，x2∈[1，＋∞)，都有>0，则下列说法正确的是(　　) A．f(x)的图象关于点(－1,0)对称 B．f(x)在R上是增函数 C．f(x)＋f(2－x)＝2 D．关于x的不等式f(x)<0的解集为(－∞，1) 解析　由定义域为R的函数f(x)满足f(x＋1)为奇函数，得f(－x＋1)＝－f(x＋1)，因此函数f(x)的图象关于点(1,0)对称．由对任意x1，x2∈[1，＋∞)，都有>0，得f(x)在[1，＋∞)上单调递增，由函数图象的对称性知，f(x)在(－∞，1]上单调递增，因此f(x)在R上是增函数，B正确；由f(x)的图象关于点(1,0)对称，且f(x)在R上是增函数，知f(x)的图象不关于点(－1,0)对称，A错误；由f(x)的图象关于(1,0)对称，得f(x)＋f(2－x)＝0，C错误；因为f(1)＝0，且f(x)在R上是增函数，所以由f(x)<0，得x<1，D正确． 答案　BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知幂函数f(x)＝xα的图象经过点(9,3)，则f＝________，函数f的定义域为________．(本题第一空2分，第二空3分) 解析　幂函数f(x)的图象经过点(9,3)，所以3＝9α，∴α＝，所以幂函数为y＝，故f＝＝.由－1≥0，解得0＜x≤1，所以定义域为(0,1]． 答案　　(0,1] 13．已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋2)为偶函数，f(x)在[2，＋∞)上单调递减，则不等式f(－x2)＞f(－1)的解集为________． 解析　∵f(x＋2)是偶函数，∴f(x＋2)的图象关于直线x＝0对称， ∴f(x)的图象关于直线x＝2对称， 又f(x)在[2，＋∞)上单调递减， ∴f(x)在(－∞，2]上单调递增． 又－x2，－1∈(－∞，2]，f(－x2)＞f(－1)， ∴－x2＞－1，即x2＜1，∴－1＜x＜1， ∴原不等式的解集为(－1,1)． 答案　(－1,1) 14．(2024·广东肇庆期末)已知函数f(x)的定义域D＝(－∞，0)∪(0，＋∞)，对任意x1，x2∈D，都有f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)＋2，且对任意x3，x4∈(2，＋∞)，都有(x3－x4)[f(x3－2)－f(x4－2)]<0.若f(m)>－2，则实数m的取值范围是________． 解析　在f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)＋2中， 令x1＝x2＝1，得f(1)＝－2， 令x1＝x2＝－1，得f(－1)＝－2， 令x1＝x，x2＝－1，得f(－x)＝f(x)， 又f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， 所以f(x)为偶函数． 又对任意x3，x4∈(2，＋∞)， 都有(x3－x4)[f(x3－2)－f(x4－2)]<0， 即对任意x3，x4∈(2，＋∞)，都有[(x3－2)－(x4－2)][f(x3－2)－f(x4－2)]<0， 所以y＝f(x－2)在(2，＋∞)上单调递减，所以y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递减．又f(1)＝－2，f(m)>－2，f(x)为偶函数，所以|m|<1且m≠0，解得－1<m<0或0<m<1，所以m的取值范围为(－1,0)∪(0,1)． 答案　(－1,0)∪(0,1) 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)函数f(x)＝－(x>0)． (1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数； (2)若函数f(x)的定义域与值域都是，求a的值． (1)证明　任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝－－＝－＝. ∵x1<x2，∴x1－x2<0. 又∵x1，x2∈(0，＋∞)，∴x1x2>0， ∴f(x1)－f(x2)<0，∴f(x1)<f(x2)， 即f(x)在(0，＋∞)上是增函数． (2)解析　由(1)知，f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以若函数f(x)的定义域与值域都是，则即 解得a＝. 16．(15分)已知函数f(x)是定义在区间[－1,1]上的奇函数，对于任意的m，n∈[－1,1]，有＞0(m＋n≠0)． (1)判断函数f(x)的单调性； (2)解不等式f＜f(1－x)． 解析　(1)设x1＝m，x2＝－n，且x1＜x2， 由已知可得＞0， 即f(x1)＜f(x2)． 由函数单调性的定义可得函数f(x)在区间[－1,1]上是增函数． (2)由(1)知函数在区间[－1,1]上是增函数． 又由f＜f(1－x)， 得解得0≤x＜. 所以不等式f＜f(1－x)的解集为. 17．(15分)已知二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝－2x＋1，且f(2)＝15. (1)求函数f(x)的解析式； (2)令g(x)＝(1－2m)x－f(x)． ①若函数g(x)在区间[0,2]上不是单调函数，求实数m的取值范围； ②求函数g(x)在区间[0,2]上的最小值． 解析　(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 则f(x＋1)－f(x)＝2ax＋b＋a＝－2x＋1， ∴2a＝－2，a＋b＝1， ∴a＝－1，b＝2.又f(2)＝15. ∴c＝15，∴f(x)＝－x2＋2x＋15. (2)g(x)＝(1－2m)x－f(x)＝x2－(2m＋1)x－15，其图象的对称轴为直线x＝m＋. ①∵g(x)在[0,2]上不单调， ∴0＜m＋＜2， ∴m∈. ②当m＋≤0，即m≤－时， g(x)min＝g(0)＝－15； 当0＜m＋＜2，即－＜m＜时， g(x)min＝g＝－m2－m－； 当m＋≥2，即m≥时， g(x)min＝g(2)＝－4m－13. 综上，g(x)min＝ 18．(17分)对于区间[a，b]和函数y＝f(x)，若同时满足：①f(x)在[a，b]上是单调函数；②函数y＝f(x)，x∈[a，b]的值域还是[a，b]，则称区间[a，b]为函数f(x)的“不变”区间． (1)求函数y＝x2(x≥0)的所有“不变”区间； (2)函数y＝x2＋m(x≥0)是否存在“不变”区间？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由． 解析　(1)易知函数y＝x2(x≥0)单调递增， 故有解得a＝0或1，b＝0或1， 又因为a＜b， 所以 所以函数y＝x2(x≥0)的“不变”区间为[0,1]． (2)易知函数y＝x2＋m(x≥0)单调递增， 若函数y＝x2＋m(x≥0)存在“不变”区间， 则有b＞a≥0，且 消去m得a2－b2＝a－b， 整理得(a－b)(a＋b－1)＝0. 因为a＜b，所以a＋b－1＝0，即b＝1－a. 又由b＞a≥0，得1－a＞a≥0，所以0≤a＜， 所以m＝－a2＋a＝－2＋， 所以0≤m＜. 综上所述，当0≤m＜时，函数y＝x2＋m(x≥0)存在“不变”区间． 19．(17分)(2025·辽宁名校联考)函数y＝f(x)的图象关于原点中心对称的充要条件是函数y＝f(x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y＝f(x)的图象关于点P(m，n)中心对称的充要条件是函数y＝f(x＋m)－n为奇函数．若函数f(x)的图象关于点(1,1)中心对称，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x2－2ax＋2a. (1)求f(0)＋f(2)的值； (2)设函数g(x)＝. (ⅰ)证明：函数g(x)的图象关于点(2，－1)中心对称； (ⅱ)若对任意的x1∈(0,2)，总存在x2∈(0,2)，使得f(x1)＝g(x2)成立，求实数a的取值范围． (1)解析　由题意得，y＝f(x＋1)－1为奇函数， 所以f(x＋1)－1＝－f(－x＋1)＋1， 得f(x＋1)＋f(1－x)＝2， 令x＝1，得f(0)＋f(2)＝2. (2)(ⅰ)证明　令y＝g(x＋2)＋1＝＋1＝－. 因为y＝－为奇函数，即y＝g(x＋2)＋1为奇函数， 所以函数g(x)的图象关于点(2，－1)中心对称． (ⅱ)解析　g(x)＝－1在(0,2)上单调递增，所以g(x)在(0,2)上的值域为(0，＋∞)． 记f(x)在(0,2)上的值域为B， 由∀x1∈(0,2)，∃x2∈(0,2)，使得f(x1)＝g(x2)成立，知B⊆(0，＋∞)． 当a≤0时，f(x)在(0,1)上单调递增，由f(1)＝1及f(x)的图象关于点(1,1)中心对称知，f(x)在(0,2)上单调递增， 所以B＝(f(0)，f(2))． 只需f(0)＝2a≥0即可，得a≥0， 又a≤0，所以a＝0满足题意． 当0<a<1时，f(x)在(0，a)上单调递减，在(a,1)上单调递增，由中心对称性知，f(x)在(0，a)，(2－a,2)上单调递减，在(a,2－a)上单调递增， 所以B＝[f(a)，f(2－a)]或B＝(f(2)，f(0))． 此时f(a)＝－a2＋2a>0，f(2)＝2－f(0)＝2－2a>0，满足B⊆(0，＋∞)， 所以0<a<1满足题意． 当a≥1时，f(x)在(0,1)上单调递减，由对称性知，f(x)在(0,2)上单调递减，所以B＝(f(2)，f(0))． 只需f(2)＝2－2a≥0即可，得a≤1， 又a≥1，所以a＝1满足题意． 综上所述，实数a的取值范围为[0,1]． 学科网（北京）股份有限公司 $$