4.2 指数函数（分层作业）数学人教A版2019必修第一册

4.2 指数函数 知识点1 指数函数的概念辨析 1．下列各函数中，是指数函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·吉林延边·月考）给出下列函数，其中是指数函数的是（    ） A． B． C． D． 3．判断函数是指数函数的是（    ） A． B． C． D．（，且） 4．（24-25高一上·湖南·月考）“”是“为指数函数”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 知识点2 利用指数函数的概念求参数 1．函数是指数函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·广西南宁·月考）已知函数（且），若，则 . 3．（24-25高一上·青海西宁·月考）已知指数函数，则的值为 . 4．（24-25高一上·广东湛江·月考）（多选）是指数函数，则的值不可以是（    ） A． B． C． D． 知识点3 求指数函数的解析式 1．（24-25高一上·新疆·月考）若指数函数的图象过点，则的解析式为 . 2．（24-25高一上·北京丰台·期末）已知指数函数的图象过点，则该指数函数的解析式为 ． 3．（23-24高一上·云南红河·期末）函数且的图象经过点，则 . 4．已知指数函数的图象过点，则函数的解析式为 ． 知识点4 指数函数过定点问题 1．（24-25高一上·吉林通化·月考）函数，（，且）的图象必经过一个定点，则这个定点的坐标是 . 2．（24-25高一下·山西朔州·月考）已知函数（，且）的图象恒过定点，则点的坐标为 . 3．（24-25高一上·北京顺义·期中）函数（且）的图象必过定点的坐标是 . 4．（24-25高一上·浙江·期中）已知曲线且过定点，若且，则的最小值为 . 知识点5 指数函数的图象辨析 1．（24-25高一上·安徽六安·月考）设指数函数：，：，：的图象如图，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·广东东莞·期中）函数（，且）的图象可能是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·广东佛山·月考）二次函数与指数函数的图象可以是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·四川绵阳·零诊）已知函数（，且）与函数（，且）的图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 知识点6 比较指数幂的大小 1．（24-25高一上·重庆·月考）设，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·天津·期中）若，，，则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·河北张家口·月考）已知，，，则三个数的大小关系是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·广东汕头·期中）（多选）下列各式比较大小，正确的是（    ） A． B． C． D． 知识点7 解指数型不等式 1．（25-26高一上·全国·课后作业）若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·浙江杭州·期末）若，则的取值范围为 ． 3．（23-24高一上·江西上饶·期中）已知指数函数经过点(2,9)，则不等式的解集为 ． 4．（24-25高一上·上海·期中）关于的不等式的解集为 . 知识点8 指数型复合函数的单调性 1．（24-25高一上·江苏连云港·月考）函数单调递减区间是 ． 2．（24-25高一下·河北保定·月考）函数的单调递减区间是 ． 3．（24-25高一上·山东日照·期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·湖北·月考）已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 知识点9 指数型复合函数的奇偶性 1．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数是定义域为R的偶函数，则 ． 2．（24-25高二下·上海·开学考试）已知函数是奇函数，则实数的值为 ． 3．（23-24高一下·江西宜春·月考）已知函数是奇函数，则的值为 . 4．（24-25高一上·福建福州·月考）已知函数（且）是奇函数，则（    ） A．2 B． C．3 D．4 知识点10 指数型复合函数的值域 1．（24-25高一上·新疆乌鲁木齐·月考）函数的值域为 . 2．（24-25高一上·山东青岛·月考）函数的值域是 . 3．（24-25高一上·河北沧州·月考）函数在上的值域是 ． 4．（24-25高一上·广东·期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 1．（24-25高一下·云南·月考）已知函数（且）在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·江苏盐城·月考）已知函数的值域为M.若，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·河南驻马店·期末）（多选）已知曲线（且）过定点，且的坐标满足方程，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 4．（24-25高一下·贵州都匀·月考）已知函数． (1)证明：函数为奇函数； (2)判断函数在R上的单调性，并用单调性定义证明； (3)若不等式恒成立，求实数m的取值范围． 1．（24-25高一上·山东青岛·月考）已知函数是定义在上的奇函数，是定义在上的为偶函数，为自然对数的底数，…，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·福建三明·月考）已知是定义在上的奇函数，当时，，函数，如果对于任意，存在，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·辽宁·期末）已知函数，若，则m的取值范围 . 4．（24-25高一下·黑龙江绥化·开学考试）设函数，． (1)解方程：； (2)令，求的值 (3)若是实数集上的奇函数，且对任意实数恒成立，求实数的取值范围 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.2 指数函数 知识点1 指数函数的概念辨析 1．下列各函数中，是指数函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据指数函数的定义形如且为指数函数判断： 对于A：为幂函数，故A错误； 对于B：中不能作为底数，故B错误； 对于C：中系数不为1，故C错误； 对于D：是指数函数，故D正确；故选：D 2．（23-24高一上·吉林延边·月考）给出下列函数，其中是指数函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，是幂函数，故错误， 对于B，显然前面系数不为1，故错误， 对于C，显然前面系数不为1，故错误， 对于D，符合指数函数定义，故正确.故选：D 3．判断函数是指数函数的是（    ） A． B． C． D．（，且） 【答案】D 【解析】指数函数是指形如且的函数. 则四个选项中，只有D满足条件.故选：D 4．（24-25高一上·湖南·月考）“”是“为指数函数”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】当时，是指数函数 若是底数为的指数函数．则，且，解得， 故“”是“为指数函数”的充分不必要条件．故选：C. 知识点2 利用指数函数的概念求参数 1．函数是指数函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由指数函数的定义得，解得，且， 故的取值范围是．故选：C 2．（24-25高一下·广西南宁·月考）已知函数（且），若，则 . 【答案】4 【解析】因为函数，，所以，解得， 又∵且，∴， 3．（24-25高一上·青海西宁·月考）已知指数函数，则的值为 . 【答案】27 【解析】因为为指数式，则，解得或， 又因为且，可得，即， 所以. 4．（24-25高一上·广东湛江·月考）（多选）是指数函数，则的值不可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】因为函数是指数函数， 则，解得.故选：ACD. 知识点3 求指数函数的解析式 1．（24-25高一上·新疆·月考）若指数函数的图象过点，则的解析式为 . 【答案】 【解析】由题意设，且， ∵的图象过点，∴，解得， 则的解析式为. 2．（24-25高一上·北京丰台·期末）已知指数函数的图象过点，则该指数函数的解析式为 ． 【答案】 【解析】设（且），将代入得，解得，负值舍去， 故该指数函数的解析式为. 3．（23-24高一上·云南红河·期末）函数且的图象经过点，则 . 【答案】 【解析】因为函数且的图象经过点， 所以，解得，所以. 4．已知指数函数的图象过点，则函数的解析式为 ． 【答案】 【解析】设（且），将点代入，得到， 解得，所以， 知识点4 指数函数过定点问题 1．（24-25高一上·吉林通化·月考）函数，（，且）的图象必经过一个定点，则这个定点的坐标是 . 【答案】 【解析】根据指数的性质有，即函数的图象过定点. 2．（24-25高一下·山西朔州·月考）已知函数（，且）的图象恒过定点，则点的坐标为 . 【答案】 【解析】令，解得，此时， 所以函数（，且）的图象恒过定点. 3．（24-25高一上·北京顺义·期中）函数（且）的图象必过定点的坐标是 . 【答案】 【解析】令，则，所以， 所以图象所过定点坐标为. 4．（24-25高一上·浙江·期中）已知曲线且过定点，若且，则的最小值为 . 【答案】16 【解析】根据指数型函数定点问题，求，再结合基本不等式求最值. 因为且过定点， 则，， 若且， 则 ， 当且仅当 且，即， 时取等号． 所以的最小值为16. 知识点5 指数函数的图象辨析 1．（24-25高一上·安徽六安·月考）设指数函数：，：，：的图象如图，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图： 做直线，得到直线与三个指数函数图象的交点分别为，，， 由图可知：.故选：A 2．（24-25高一上·广东东莞·期中）函数（，且）的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为函数（，且）， 当时，是增函数，并且恒过定点， 又因为的图象在的基础上向下平移超过1个单位长度，故D错误，C正确； 当时，是减函数，并且恒过定点， 又的图象在的基础上向下平移了不到1个单位长度，故A，B错误.故选：C. 3．（24-25高一上·广东佛山·月考）二次函数与指数函数的图象可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由选项中指数函数图象可知：， 令，解得：或， ，，可排除ABC.故选：D. 4．（25-26高三上·四川绵阳·零诊）已知函数（，且）与函数（，且）的图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由图得，，所以. 因为函数（，且）的图象与函数（且）的图象关于轴对称， 如图所示， 由图可知：，则.故选：A. 知识点6 比较指数幂的大小 1．（24-25高一上·重庆·月考）设，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由单调递减可得：， 且，又， 所以.故选：C 2．（24-25高一上·天津·期中）若，，，则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，，则.故选：D. 3．（24-25高一上·河北张家口·月考）已知，，，则三个数的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， 因为单调递增，，所以，即， ，所以.故选：A 4．（24-25高一上·广东汕头·期中）（多选）下列各式比较大小，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】对于A，因为在上单调递增，且，所以，所以A错误， 对于B，，因为在上单调递减，且， 所以，即，所以B正确， 对于C，，因为在上单调递增，且， 所以，即，所以C正确， 对于D，因为在上单调递增，且，所以， 因为在上单调递减，且，所以， 所以，所以D正确.故选：BCD 知识点7 解指数型不等式 1．（25-26高一上·全国·课后作业）若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因，则， 即，解得， 所以的取值范围为．故选：B． 2．（24-25高一上·浙江杭州·期末）若，则的取值范围为 ． 【答案】. 【解析】由题意，即，根据指数函数单调性可得. 3．（23-24高一上·江西上饶·期中）已知指数函数经过点(2,9)，则不等式的解集为 ． 【答案】(1,2) 【解析】设且，所以有，解得，即， 因此函数为R上的增函数， 因为，所以，解得， 4．（24-25高一上·上海·期中）关于的不等式的解集为 . 【答案】 【解析】， 当时，，所以此时不等式无解； 当时，； 当时，，所以此时不等式无解. 综上可知，原不等式的解集为. 知识点8 指数型复合函数的单调性 1．（24-25高一上·江苏连云港·月考）函数单调递减区间是 ． 【答案】 【解析】因为内层函数的单调递减区间为，单调递增区间为， 外层函数在上为增函数，故函数单调递减区间. 2．（24-25高一下·河北保定·月考）函数的单调递减区间是 ． 【答案】 【解析】函数的定义域为R，令， 函数在上单调递减，在上单调递增， 函数在R上单调递增，因此函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递减区间是.故选： 3．（24-25高一上·山东日照·期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令，对称轴为，又是R上增函数， 因为是上的增函数， 所以，即， 所以实数的取值范围为.故选：A. 4．（24-25高一下·湖北·月考）已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题设，函数在上单调递增， 易知在上单调递减， 当时，满足题设， 当时，或， 综上，.故选：B. 知识点9 指数型复合函数的奇偶性 1．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数是定义域为R的偶函数，则 ． 【答案】 【解析】法一：由函数是定义域为R的偶函数，得恒成立， 即恒成立，即恒成立， 又不恒为0，所以，则； 法二：，，因为函数是定义域为R的偶函数， 所以，即，解得， 经检验，此时为偶函数，故， 所以． 2．（24-25高二下·上海·开学考试）已知函数是奇函数，则实数的值为 ． 【答案】 【解析】对任意的，，即函数的定义域为， 因为函数是奇函数，则，解得， 此时，，则, 故函数为奇函数，故. 3．（23-24高一下·江西宜春·月考）已知函数是奇函数，则的值为 . 【答案】 【解析】因函数的定义域为， 由，可得 ，解得. 4．（24-25高一上·福建福州·月考）已知函数（且）是奇函数，则（    ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】B 【解析】因为函数是奇函数，定义域为， 所以，即，即， 又，故解得，此时， 则， 所以函数是奇函数，满足题意， 所以.故选：B. 知识点10 指数型复合函数的值域 1．（24-25高一上·新疆乌鲁木齐·月考）函数的值域为 . 【答案】 【解析】令，则， 因为在上单调递减，所以，且当时，， 所以的值域为， 2．（24-25高一上·山东青岛·月考）函数的值域是 . 【答案】 【解析】由题意可得：， 因为时，则， 根据二次函数的单调性知， 时，y取得最小值为；时，y取得最大值为； 所以函数y的值域是 3．（24-25高一上·河北沧州·月考）函数在上的值域是 ． 【答案】 【解析】令，因为，所以， 则， 令，， 所以当时取得最小值，且，又，， 所以，即函数在上的值域是. 4．（24-25高一上·广东·期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，则，则原函数可化为 ， 因为，所以，当且仅当即时取等号， 所以当时，；当时，， 所以函数的值域为；故选：C. 1．（24-25高一下·云南·月考）已知函数（且）在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，，所以外函数是单调递减的指数函数， 此时要使得函数在区间上单调递增， 则满足二次函数在区间上单调递减， 即满足对称轴，解得，结合，可得； 当时，，所以外函数是单调递增的指数函数， 此时要使得函数在区间上单调递增， 则满足二次函数在区间上单调递增， 即满足对称轴，解得，结合，可得； 综上可得a的取值范围是或，故选：A. 2．（24-25高一上·江苏盐城·月考）已知函数的值域为M.若，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，可知有解，且无最大值， 即有解，且无最大值， 当时，有解，无最大值，符合题意； 当时，有解，但有最大值，不符合题意； 当时，有解需满足，解得， 此时无最大值，满足题意. 综上，实数a的取值范围是.故选：A 3．（24-25高一上·河南驻马店·期末）（多选）已知曲线（且）过定点，且的坐标满足方程，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】ACD 【解析】A选项，令，即，此时，故， 由题意得， 由基本不等式得，即，解得， 当且仅当，即时，等号成立，A正确； B选项，，故，解得， 则， 故当时，取得最小值，最小值为，B错误； C选项，， 因为，， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为，C正确； D选项，因为，， 所以， 故 ， 当且仅当，即时，等号成立，D正确.故选：ACD. 4．（24-25高一下·贵州都匀·月考）已知函数． (1)证明：函数为奇函数； (2)判断函数在R上的单调性，并用单调性定义证明； (3)若不等式恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)证明见解析；(2)单调递增，证明见解析；(3)或 【解析】（1）由题意可知：的定义域为R， 且，所以是奇函数． （2）因为， 设且， 则， 因为，则，可得，， 则，即， 故在R上的单调递增． （3）由（2）知在R上的单调递增，且 因为，则原不等式等价于， 即，可得且，解得或 所以实数m的取值范围为：或． 1．（24-25高一上·山东青岛·月考）已知函数是定义在上的奇函数，是定义在上的为偶函数，为自然对数的底数，…，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为函数是定义在上的奇函数，是定义在上的为偶函数， 所以，所以， 则函数， 因为，所以， 令， 根据二次函数的性质可知，当时，函数取得最大值， 当时，函数取得最小值，即，故选：B. 2．（24-25高一上·福建三明·月考）已知是定义在上的奇函数，当时，，函数，如果对于任意，存在，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由奇函数的定义域为，则，所以，， 当时，，则， 由函数为奇函数，则，则，， 可得，根据指数函数的图象以及函数图象变换，可得： 由图象可得的值域为， 由，令，由，则， 则， 由题意可得，则，解得.故选：A 3．（24-25高一上·辽宁·期末）已知函数，若，则m的取值范围 . 【答案】 【解析】令，则的定义域为， 且， 所以为奇函数， 又，，均在上单调递减，所以在上单调递减， 则在上单调递减，又为连续函数，所以在上单调递减， 又， 所以不等式，即， 即，即， 所以，即，解得， 所以的取值范围为. 4．（24-25高一下·黑龙江绥化·开学考试）设函数，． (1)解方程：； (2)令，求的值 (3)若是实数集上的奇函数，且对任意实数恒成立，求实数的取值范围 【答案】(1)；(2)9；(3) 【解析】（1）因为，，， 所以，即，即， 解得，或（舍），所以． （2）由， 则， 故 ． （3）由题知 因为是实数集上的奇函数， 所以，所以，解得， 所以， 又因为， 所以，即解得． 即，经检验是实数集上的奇函数， 所以，在实数集上单调递增． 由得， 又因为是实数集上的奇函数，所以， 又因为在实数集上单调递增，所以， 即对任意的都成立， 即对任意的都成立， 因为，当且仅当时取等号，所以． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $