精品解析：山西省晋中市寿阳县2025-2026学年上学期九年级10月月考数学试题

2025年10月九年级数学检测试题（卷） （时间120分钟，满分120分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把正确答案的标号用2B铅笔填(涂)在答题卡内相应的位置上） 1. 将一元二次方程化成一般形式是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程配方后可化为（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 4. 不透明的袋子中装有一个红色小球和一个白色小球，除颜色外两个小球无其它差别．从中随机取出一个小球后，放回并摇匀，再从中随机取出一个小球，则两次都取到白色小球的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 一个木匠要制作矩形踏板，如图，他先在一个对边平行的长木板的一边做一个点标记A，然后在对边任一点再做一个标记B，连接，取中点O，则以下操作与判断正确的是（ ） A. 过点O作任意直线交木板两边于、，得到矩形 B. 过点O作的垂线l交木板两边于、，得到矩形 C. 在木板上任意找两点、，使得，得到矩形 D. 分别过点、作垂线，交对边于、，连接、，得到矩形 6. 如图，是矩形的一条对角线，点E，F分别是的中点．若，则的长为（　　） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 7. 如图，以正方形的一边向形外作等边，与交于点，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，中，，，，点P从点B出发向终点C以每秒1个单位长度的速度移动，点Q从点C出发向终点A以每秒2个单位长度的速度移动，P，Q两点同时出发，其中一点先到达终点时，P，Q两点同时停止移动．则当的面积等于4时，经过了（ ） A. 1秒 B. 4秒 C. 6秒 D. 1秒或4秒 9. 我们都知道，四边形具有不稳定性．老师制作了一个正方形教具用于课堂教学，数学课代表小亮在取道具时不小心使教具发生了形变（如图），若正方形道具边长为，，则四边形的面积减少了（ ） A. B. C. D. 10. 我国古代数学著作《增减算法统宗》记载“圆中方形”问题：“今有圆田一段，中间有个方池．丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边三步无疑．内方圆径若能知，堪作算中第一”．其大意思为：有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好是81平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远，如图，设正方形的边长是x步，则列出的方程是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若，则代数式的值是______． 12. 根据物理学定律，若把一个物体从地面以的速度竖直上抛，那么物体经过秒离地面的高度（单位：）为．那么物体经过________秒落回地面． 13. 小刚将二维码打印在面积为10的正方形纸片上，如图所示．为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复实验，多次试验后获得如下数据： 重复试验次数 30 50 100 300 800 点落在阴影部分次数 19 32 59 183 483 “点落在阴影部分”的频率（结果保留两位小数） 0.67 0.64 0.59 0.61 0.60 由此可以估计此二维码中黑色阴影部分的面积为_____．（结果保留整数） 14. 如图，矩形对角线相交于点O，与的夹角为，点E、F、G分别为中点，当四边形周长为8时，则矩形的面积是_____． 15. 如图，菱形的边长为2，，对角线相交于点．过点作的平行线交的延长线于点，连接．则的长为___________． 三、解答题：本大题共8小题，共75分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 用适当的方法解一元二次方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 17. 如图，，，． （1）求的值； （2）求证：． 18. 已知关于的一元二次方程有实根． （1）求的取值范围； （2）当取最大整数时，求该方程的两个根． 19. 盛大的阅兵仪式，每一位学生都感到无比骄傲和自豪，宸宸和点点两位同学想观看电影《南京照相馆》，由于观影人数较多，他们相约各自在网上购买同一场次的票，选座时只剩如图所示的五个空座位了． （1）若宸宸随机选择座位，选择座位1的概率为_______；（直接填空） （2）宸宸和点点各自随机选择座位（同一时间没有其他人在线选座），用列表或画树状图的方法求两位同学选择的座位左右相邻的概率． 20. 如图，在菱形中，对角线，交于点O，交延长线于E，交延长线于点F． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 21. 根据以下素材，探索完成任务． 素材1 泥塑，俗称“彩塑”，泥塑艺术是中国民间传统的一种古老常见的民间艺术．某泥塑作坊制作泥塑进行销修，7月份制作泥塑1000件，同年9月份制作泥塑1440件． 素材2 泥塑的制作成本为30元/件，销售一段时间后发现，该泥塑每月的销售量m（件）与每件售价n（元）之间符合一次函数关系． 问题解决 任务1 求该泥塑作坊7月份到9月份制作泥塑数量的月平均增长率； 任务2 为使月销售利润达到6000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该泥塑的售价应定为多少元/件？ 22. 三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了用几何法对一元二次方程进行求解的方法，以为例，大致过程如下： 第一步：将原方程变形为．即． 第二步：构造一个长为x，宽为的长方形，长比宽大2，且面积为3，如图①所示． 第三步：用四个这样的长方形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，如图②所示． 第四步：将大正方形边长用含x的代数式表示为______．小正方形边长为常数______，长方形面积之和为常数______．由观察可得，大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和，得方程__________，两边开方可求得，． （1）单选题：这一过程体现的数学思想是（ ） A．统计思想 B．化归思想 C．分类讨论思想 D．数形结合思想 （2）第四步中横线上应依次填入______，______，______，______； （3）请参考古人的思考过程，画出示意图，写出步骤，解方程． 23. 在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动，现有矩形纸片，其中，． （1）【操作发现】如图1，将矩形纸片纸片沿对角线折叠，使点B落在点处，将纸片展平后再次折叠，使点A与点C重合，折痕为，然后展平得到图2，则以点A，F，C，E为顶点的四边形是什么特殊四边形？并说明理由． （2）【实践探究】如图3，在矩形纸片中，点为的中点，将纸片沿折叠，使点B落在点处，连接． ①与折痕的位置关系为________； ②求的长． （3）【拓展应用】将矩形纸片裁剪为，，在图3的情形下，若点G为上任意一点，其他条件不变，当点A与点的距离最小时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年10月九年级数学检测试题（卷） （时间120分钟，满分120分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把正确答案的标号用2B铅笔填(涂)在答题卡内相应的位置上） 1. 将一元二次方程化成一般形式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的一般式，移项，将方程化为的形式即可． 【详解】解：， ∴； 故选D． 2. 一元二次方程配方后可化为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．根据配方法的步骤解题即可． 【详解】解：， ， ， ， 故选：D． 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式与根的情况的关系是解题的关键．通过计算一元二次方程根的判别式的值，来判断方程根的情况． 【详解】解：对于一元二次方程，其中，，． ∵， ∴方程有两个相等的实数根． 故选：B． 4. 不透明的袋子中装有一个红色小球和一个白色小球，除颜色外两个小球无其它差别．从中随机取出一个小球后，放回并摇匀，再从中随机取出一个小球，则两次都取到白色小球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，解题的关键在于掌握概率所求情况数与总情况数之比． 根据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率，即可解题． 【详解】解：画树状图如下： 由图知，共有4种等可能的结果，其中两次都取到白色小球的结果有1种， 两次都取到白色小球的概率为． 故选：D． 5. 一个木匠要制作矩形踏板，如图，他先在一个对边平行的长木板的一边做一个点标记A，然后在对边任一点再做一个标记B，连接，取中点O，则以下操作与判断正确的是（ ） A. 过点O作任意直线交木板两边于、，得到矩形 B. 过点O作的垂线l交木板两边于、，得到矩形 C. 在木板上任意找两点、，使得，得到矩形 D. 分别过点、作垂线，交对边于、，连接、，得到矩形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定，熟练掌握四边形的判定方法是解题的关键．根据题意画出图形，依次逐一判断是否正确即可． 【详解】解：A、如图， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 故选项A错误，不符合题意； B、如图， 同选项A可得四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， 故选项B错误，不符合题意； C、如图， ∵，， ∴四边形是平行四边形， 故选项C错误，不符合题意； D、如图， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， 故选项D正确，符合题意； 故选：D． 6. 如图，是矩形的一条对角线，点E，F分别是的中点．若，则的长为（　　） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】先根据三角形中位线定理得到的长，再根据直角三角形斜边上中线的性质可得的长，最后代入计算即可解答． 【详解】解：∵点E，F分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， 又∵E是的中点， ∴中，， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、三角形中位线定理、直角三角形的性质等知识点，掌握“在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半”和“三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半”成为解答本题的关键． 7. 如图，以正方形的一边向形外作等边，与交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，先由正方形的性质得到，，再证明得到，由等边三角形的性质推出，，据此求出的度数，进而求出的度数，即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， 又∵， ∴， ∴； ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 8. 如图，中，，，，点P从点B出发向终点C以每秒1个单位长度的速度移动，点Q从点C出发向终点A以每秒2个单位长度的速度移动，P，Q两点同时出发，其中一点先到达终点时，P，Q两点同时停止移动．则当的面积等于4时，经过了（ ） A. 1秒 B. 4秒 C. 6秒 D. 1秒或4秒 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设运动时间为秒，则，，求出，再根据得出，求解即可，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． 【详解】解：设运动时间为秒， 由题意得：，， ∴， ∴， 解得：或， ∵， ∴， ∴， ∴当的面积等于4时，经过了1秒， 故选：A． 9. 我们都知道，四边形具有不稳定性．老师制作了一个正方形教具用于课堂教学，数学课代表小亮在取道具时不小心使教具发生了形变（如图），若正方形道具边长为，，则四边形的面积减少了（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，菱形的判定与性质，直角三角形的性质． 过点作交延长线于E，先证明四边形是菱形，得，则，利用直角三角形的性质得求得，然后用正方形的面积减去菱形的面积即可． 【详解】解：过点作交延长线于E，如图， ∵正方形， ∴ ∴ ∴四边形是菱形， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴四边形的面积减少了， 故选：A． 10. 我国古代数学著作《增减算法统宗》记载“圆中方形”问题：“今有圆田一段，中间有个方池．丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边三步无疑．内方圆径若能知，堪作算中第一”．其大意思为：有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好是81平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远，如图，设正方形的边长是x步，则列出的方程是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，直接利用圆的面积减去正方形面积，进而得出答案． 【详解】解：根据题意，得：． 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若，则代数式的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质．设，，代入即可求解． 【详解】解：∵，即 ∴设，， ∴． 故答案为：． 12. 根据物理学定律，若把一个物体从地面以的速度竖直上抛，那么物体经过秒离地面的高度（单位：）为．那么物体经过________秒落回地面． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的时间应用，根据落回地面时，物体的高度为0列出方程求解即可． 【详解】解：当时， 解得：（舍去）， 即物体经过秒落回底面． 故答案为：． 13. 小刚将二维码打印在面积为10的正方形纸片上，如图所示．为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复实验，多次试验后获得如下数据： 重复试验次数 30 50 100 300 800 点落在阴影部分次数 19 32 59 183 483 “点落在阴影部分”的频率（结果保留两位小数） 0.67 0.64 0.59 0.61 0.60 由此可以估计此二维码中黑色阴影部分的面积为_____．（结果保留整数） 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，熟练掌握用频率估计概率是解题的关键．根据总面积乘以“点落在阴影部分”的频率的稳定值即可得到答案． 【详解】解：估计此二维码中黑色阴影部分的面积为， 故答案为：． 14. 如图，矩形对角线相交于点O，与的夹角为，点E、F、G分别为中点，当四边形周长为8时，则矩形的面积是_____． 【答案】 【解析】 【分析】由矩形的性质可证是等边三角形，可得 ，由三角形中位线定理可得，可求，由勾股定理可求的长，即可求解． 【详解】∵四边形是矩形， ， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵点E、F、G分别为中点， ∴， ∴， ∵四边形周长为8 ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积， 故答案为． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识，灵活运用这些性质是解题的关键． 15. 如图，菱形的边长为2，，对角线相交于点．过点作的平行线交的延长线于点，连接．则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，先证明为等边三角形，进而得到，三线合一求出的长，证明四边形为平行四边形，进而得到，推出，再利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵菱形的边长为2，， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴四边形为平行四边形，， ∴， ∴； 故答案为：． 三、解答题：本大题共8小题，共75分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 用适当的方法解一元二次方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）； （2）； （3）原方程没有实数根； （4）． 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，正确计算是解题的关键． （1）根据直接开平方法求解； （2）根据因式分解法求解； （3）根据公式法求出解； （4）根据因式分解法求解． 【小问1详解】 解：∵， 开平方，得， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， 分解因式，得， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵， 化简得：， 即， ∴原方程没有实数根； 【小问4详解】 解：∵， 分解因式，得， ∴， ∴． 17. 如图，，，． （1）求的值； （2）求证：． 【答案】（1）6； （2） 证明：∵， ∴， 又∵， ∴ ∴，即． 【解析】 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解答的关键． （1）根据平行线分线段成比例可得，再结合已知数据求解即可； （2）根据平行线分线段成比例定理得到、，进而证明结论． 【小问1详解】 解：∵， ∴ 又∵， ∴ ∴， ∴． 【小问2详解】 略 18. 已知关于的一元二次方程有实根． （1）求的取值范围； （2）当取最大整数时，求该方程的两个根． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程． （1）根据一元二次方程根的判别式，列不等式即可； （2）由（1）求出k，代入原方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：一元二次方程有实根， ， 即， ， ； 【小问2详解】 解：取最大整数， ， 原方程为， ∴， 解得：． 19. 盛大的阅兵仪式，每一位学生都感到无比骄傲和自豪，宸宸和点点两位同学想观看电影《南京照相馆》，由于观影人数较多，他们相约各自在网上购买同一场次的票，选座时只剩如图所示的五个空座位了． （1）若宸宸随机选择座位，选择座位1的概率为_______；（直接填空） （2）宸宸和点点各自随机选择座位（同一时间没有其他人在线选座），用列表或画树状图的方法求两位同学选择的座位左右相邻的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了列表格法或画树状图法求概率，利用概率公式计算是解答此题的关键． （1）根据概率公式计算可得； （2）列表格列出所有的等可能结果，从中找到左右相邻的两数的结果数，利用概率公式计算可得． 【小问1详解】 解：∵共有5个座位， ∴宸宸抽出座位1的概率为， 【小问2详解】 解：根据题意列表如下： 宸宸 点点 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 由表格可知共有20种结果，且每种结果出现的可能性是相同的，其中两位同学选择的座位左右相邻的有6种，分别是，所以两位同学选择的座位左右相邻的概率是． 20. 如图，在菱形中，对角线，交于点O，交延长线于E，交延长线于点F． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是菱形， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，再证明其有一个内角是直角即可证明四边形是矩形； （2）根据菱形的性质，得到，结合，利用勾股定理得，继而得到，再次使用勾股定理即可求的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 21. 根据以下素材，探索完成任务． 素材1 泥塑，俗称“彩塑”，泥塑艺术是中国民间传统的一种古老常见的民间艺术．某泥塑作坊制作泥塑进行销修，7月份制作泥塑1000件，同年9月份制作泥塑1440件． 素材2 泥塑的制作成本为30元/件，销售一段时间后发现，该泥塑每月的销售量m（件）与每件售价n（元）之间符合一次函数关系． 问题解决 任务1 求该泥塑作坊7月份到9月份制作泥塑数量的月平均增长率； 任务2 为使月销售利润达到6000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该泥塑的售价应定为多少元/件？ 【答案】任务一：7月份到9月份制作泥塑数的月平均增长率为；任务二：该泥塑的售价应定为50元件 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 任务1：设7月份到9月份制作泥塑数的平均增长率为x，利用9月份制作泥塑数=该车间7月份制作泥塑数该车间4月份到6月份制作泥塑数的平均增长率，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； 任务2：该泥塑每件的售价为n元，则每件的销售利润为元，利用总利润=每个的销售利润×月销售量，可列出关于n的一元二次方程，解之可得出n的值，再结合要尽可能让顾客得到实惠，即可确定结论． 【详解】解：任务1：设7月份到9月份制作泥塑数量的月平均增长率为x， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：7月份到9月份制作泥塑数的月平均增长率为． 任务2：该泥塑每件的售价为n元，则每件的销售利润为元， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 又尽可能让顾客得到实惠， ． 该泥塑的售价应定为50元/件． 22. 三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了用几何法对一元二次方程进行求解的方法，以为例，大致过程如下： 第一步：将原方程变形为．即． 第二步：构造一个长为x，宽为的长方形，长比宽大2，且面积为3，如图①所示． 第三步：用四个这样的长方形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，如图②所示． 第四步：将大正方形边长用含x的代数式表示为______．小正方形边长为常数______，长方形面积之和为常数______．由观察可得，大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和，得方程__________，两边开方可求得，． （1）单选题：这一过程体现的数学思想是（ ） A．统计思想 B．化归思想 C．分类讨论思想 D．数形结合思想 （2）第四步中横线上应依次填入______，______，______，______； （3）请参考古人的思考过程，画出示意图，写出步骤，解方程． 【答案】（1）D （2），2，12， （3） 解：第一步：将原方程变形为，即， 第二步：构造成一个长为，宽为的长方形，长比宽大1，且面积为3， 第三步：用四个这样的长方形围城一个大正方形，中间是一个小正方形，如图所示， 第四步：将大正方形边长用含的代数式表示为， 小正方形边长为常数， 长方形面积之和为常数， 由观察可得，大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和， 得方程， 两边开方可求得，． 【解析】 【分析】（1）根据题意求解即可； （2）根据题意，表示出大正方形的边长，小正方形的边长，长方形面积之和，再由大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和列出方程即可得到答案； （3）先将原方程变形，构造出一个长为，宽为的长方形，长比宽大1，且面积为3，再用四个这样的长方形围城一个大正方形，中间是一个小正方形，然后根据大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和，得出一个方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 ∵用几何法对一元二次方程进行求解的方法， ∴这一过程体现的数学思想是数形结合思想 故选：D； 【小问2详解】 解：根据题意可得： 大正方形的边长为：， 小正方形的边长为：， 长方形面积之和为：， 大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和， ； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，用到的知识点是长方形、正方形的面积公式，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程． 23. 在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动，现有矩形纸片，其中，． （1）【操作发现】如图1，将矩形纸片纸片沿对角线折叠，使点B落在点处，将纸片展平后再次折叠，使点A与点C重合，折痕为，然后展平得到图2，则以点A，F，C，E为顶点的四边形是什么特殊四边形？并说明理由． （2）【实践探究】如图3，在矩形纸片中，点为的中点，将纸片沿折叠，使点B落在点处，连接． ①与折痕的位置关系为________； ②求的长． （3）【拓展应用】将矩形纸片裁剪为，，在图3的情形下，若点G为上任意一点，其他条件不变，当点A与点的距离最小时，直接写出的长． 【答案】（1） 菱形，理由如下： 如图2，连接，，设与交于点， 由翻折可知：，， 是的垂直平分线， ，， 四边形是矩形， ∴， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）①；② （3） 【解析】 【分析】（1）连接，，设与交于点，证明四边形是平行四边形，由翻折性质可得，所以四边形是菱形； （2）①证明是的中位线，进而可以解决问题；②如图，连接交于点，由翻折可得垂直平分，利用三角形的面积求出的长，再利用勾股定理即可解决问题； （3）如图，连接，利用勾股定理求出的长，当，，在同一条直线上时，点与点距离最小，此时，设，则，根据勾股定理列出方程求出的值，进而可以解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①，理由如下：连接交于点， 由翻折可知：垂直平分， ，， 点为的中点， 是的中位线， ∴， ∴； ②如图，连接交于点， 由翻折可知：垂直平分， ，， 在矩形纸片中，，， 点为的中点， ， ， ， ， ， ， ∵，， ， ； 【小问3详解】 解：如图，连接， 在矩形中，，， ， ， 当，，在同一条直线上时，点与点距离最小，此时， 设，则， 由翻折可知：， ， ， ， ． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，翻折变换，三角形中位线定理，勾股定理，三角形的面积，解决本题的关键是熟练掌握有关基础知识． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $