第16章整式的乘法单元测试卷 2025-2026学年人教版数学八年级上册

2025-2026学年人教版八年级上册数学单元测试卷 第16章 整式的乘法 （满分：120分；考试时间：120分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分，以下每小题的四个选项中只有一个是正确的） 1．下列各式中，计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．，则括号内应填的代数式是（    ） A． B． C． D． 3．若，，则的值为（   ） A．6 B．9 C．12 D．18 4．计算的结果不含项，那么m的值为（    ） A． B．4 C． D．12 5．若是完全平方式，则的值为（   ） A．7或 B．或5 C．11或 D．或13 6．如果，那么a、b的值分别是（    ） A． B． C． D． 7．如图，在边长为a的正方形正中间剪去一个边长为b的小正方形，把剩下的部分按照图中的线段分割成四等腰梯形，将四个等腰梯形拼成一个大平行四边形．剪拼前后的两个图形可以验证的乘法公式是（   ） A． B． C． D． 8．已知关于x的多项式除以余1 ，除以余4，则除以的余式为（   ） A．4 B．3 C． D． E． 9．实数，，满足，，，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 10．已知关于x的多项式M和N如下：，，则下列三个说法中正确的有（    ） ①； ②若无论x取何值，的值恒为正数，则； ③若多项式，其中A为整式，则． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．计算= 12．已知无意义，则的值为 ． 13．世界上最大的金字塔−−胡夫金字塔高达米，底边长米，用了约块大石块，每块重约千克．则胡夫金字塔总重约为 千克． 14．若关于x的二次三项式，则的值是 ． 15．观察下列各式及其展开式： …… 请你猜想的展开式中含项的系数是 ． 16．有两个正方形，将放在的内部得图1，将并列放置后构造一个大正方形得图2．若图1和图2中阴影部分的面积分别为6和54，则图2中大正方形的面积为 ． 三、解答题（共72分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6分）计算： (1)； (2)． 18．（6分）（1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中． 19．（6分）甲、乙二人共同计算时，均出现了失误：甲由于抄错了第一个多项式中的运算符号，即把“”抄成“”，得到的结果为；乙由于抄漏了第二个多项式中的系数，即把“”抄成“”，得到的结果为． (1)求出，的值． (2)在（1）的条件下，试求的正确结果． 20．（6分）【阅读理解】若满足，求的值． 解：设，，则，， ． 【迁移运用】 请仿照上面的方法求解下面问题： (1)若满足，求的值； (2)如图，已知正方形的边长为，，分别是，上的点，且，，长方形的面积是，分别以，为边作正方形和正方形，则阴影部分的面积是______． 21．（8分）“整体思想”在数学中应用极为广泛． 例如：已知，求的值． 解：∵，∴，∴． 请尝试应用“整体思想”解决以下问题： (1)已知，求的值； (2)若（，都是正整数）能被整除，试说明也能被整除． 22．（8分）观察下列各式： ； ； ； … (1)根据以上规律可知，______； (2)你能否由此归纳出一般性规律：______； (3)根据以上规律解决： ①计算：______； ②； ③，则______． 23．（8分）有一张边长为厘米的正方形木板，现需要将边长增加厘米，木工师傅设计了如图①所示的三种方案： 上述三种方案都可以利用图形面积关系来验证完全平方公式． 如方案一：大正方形的面积可以看成，也可以看成， 故． 解答下列问题： 【公式验证】 （1）请根据方案二、方案三，分别写出公式的验证过程． 方案二： 方案三： 【公式应用】（2）若边长a，b之间的关系为，．求的值； （3）将两块形状相同的直角三角板，按图②所示的方式放置，点A，O，D在同一直线上，连接，，若，，直接写出图中阴影部分的面积． 24．（12分）定义：若一个整数能表示成（a，b为整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如：5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”． (1)尝试：已知25是“完美数”，请将它写成（a，b为正整数）的形式_______； (2)探究：请将表示成“完美数”的形式，并求出其最小值； (3)应用：已知（x，y为整数，k是常数），要使S为“完美数”，求k的值，并说明理由． 25．（12分）我们知道，在学习了课本阅读材料：《综合与实践—面积与代数恒等式》后，利用图形的面积能解释与得出代数恒等式，请你解答下列问题： (1)下图给出的甲、乙、丙3个正方形分割方案，分别验证了以下乘法公式， ①②③ 甲、乙、丙3个图形对应的乘法公式序号按顺序排列为_________________； (2)利用（1）中所得到的等式，解决下面的问题： ①已知，，，求的值； ②若x满足，求的值； (3)如图，长方形中，，，，长方形的面积是200，四边形和都是正方形，四边形是长方形．延长至T，使，延长至O，使，过点O、T作的垂线，两垂线相交于点R，请直接写出四边形的面积．（结果必须是一个具体的数值）． 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年人教版八年级上册数学单元测试卷 第16章 整式的乘法 （满分：120分；考试时间：120分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分，以下每小题的四个选项中只有一个是正确的） 1．下列各式中，计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘除运算法则、合并同类项法则，直接利用幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘除运算法则、合并同类项法则分别计算得出答案． 【详解】解：A. 与不是同类项，不能合并，故该选项不正确，不符合题意；     B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意；     D. ，故该选项正确，符合题意． 故选：D． 2．，则括号内应填的代数式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了计算单项式除以单项式，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据题意列出算式，再计算即可． 【详解】解：∵， ∴括号内应填的代数式是， 故选：C． 3．若，，则的值为（   ） A．6 B．9 C．12 D．18 【答案】D 【分析】此题主要考查了同底数幂的乘除法和幂的乘方． 根据同底数幂的除法、幂的乘方可得，然后再将，代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：D． 4．计算的结果不含项，那么m的值为（    ） A． B．4 C． D．12 【答案】D 【分析】本题考查了多项式的乘法． 先计算，再根据结果不含项计算即可． 【详解】 ， ∵的结果不含项， ∴， 即． 故选：D． 5．若是完全平方式，则的值为（   ） A．7或 B．或5 C．11或 D．或13 【答案】D 【分析】本题主要考查完全平方式，解决问题的关键是根据两平方项确定出这两个数，再根据乘积二倍项求解． 依据完全平方公式，这里首末两项分别是和3的平方，那么中间项为加上或减去和3的乘积的2倍． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， ∴ 解得或． 故选D． 6．如果，那么a、b的值分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了完全平方公式，掌握完全平方公式的结构特点是解题的关键． 根据完全平方公式展开，然后对比求解即可． 【详解】解：∵， ， ∴． 故选D． 7．如图，在边长为a的正方形正中间剪去一个边长为b的小正方形，把剩下的部分按照图中的线段分割成四等腰梯形，将四个等腰梯形拼成一个大平行四边形．剪拼前后的两个图形可以验证的乘法公式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，利用两种方法表示出图形的面积，即可得解． 【详解】解：在边长为a的正方形正中间剪去一个边长为b的小正方形， ∴第一个图形中剩余的面积为：， 由第一个图形可知，大平行四边形的高为：, ∴第二个图形的大平行四边形的面积为， ∴； 故选：C． 8．已知关于x的多项式除以余1 ，除以余4，则除以的余式为（   ） A．4 B．3 C． D． E． 【答案】D 【分析】本题主要考查了多项式除以多项式， 先确定的表达式，再结合余式的表达式，根据多项式除法的余式性质求解. 【详解】解：设， 则. 设，由题意可知为一次多项式，设余式为，则， 则有，， 即， 解得， 所以余式是. 故选：D. 9．实数，，满足，，，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的除法，根据已知得出，，进而得到，，再代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 10．已知关于x的多项式M和N如下：，，则下列三个说法中正确的有（    ） ①； ②若无论x取何值，的值恒为正数，则； ③若多项式，其中A为整式，则． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查了整式的加减与乘法运算．先根据多项式的乘法法则求出a、b、c、d的值可判断①；将化为，根据得到，进而可判断②；先由题意得到e、f、m、n值，设，进而由 可求得，，进而可求解． 【详解】解：∵ ∴，，，， ∴，，， ∴，故①错误， ∵，，，， ∴， ∵，的值恒为正数， ∴， 则， ， ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵ ∴，，，， 设， ∴ ， ∴，， ∴， ∴， ∴，故③错误， ∴正确的个数为1， 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．计算= 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂的乘法和除法，解题的关键是熟练掌握以上运算法则． 先进行幂的乘方，再进行同底数幂的乘法和除法． 【详解】解：， 故答案为：． 12．已知无意义，则的值为 ． 【答案】34 【分析】本题考查代数式求值，涉及零指数幂的定义、乘法公式等知识，熟练掌握零指数幂的定义、乘法公式是解决问题的关键． 先由零指数幂的定义求出，再由完全平方和公式、平方差公式化简，最后将代入化简结果即可得到答案． 【详解】解：由零指数幂的定义，当无意义时，， 解得， ， 把代入，原式． 13．世界上最大的金字塔−−胡夫金字塔高达米，底边长米，用了约块大石块，每块重约千克．则胡夫金字塔总重约为 千克． 【答案】 【分析】本题考查的是同底数幂的乘法运算，科学记数法的含义，根据同底数幂的乘法进行法则进行计算，将最后的结果写成科学记数法的形式即可得出答案． 【详解】解：由题意，得： （千克） 答：胡夫金字塔总重约为千克． 故答案为：． 14．若关于x的二次三项式，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘多项式，多项式相等的条件，代数式求值． 按照运算法则计算，根据对应项系数相等，可得和，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴的值是． 故答案为：． 15．观察下列各式及其展开式： …… 请你猜想的展开式中含项的系数是 ． 【答案】60 【分析】本题考查了多项式乘法中的规律性问题，归纳总结出展开式中项的系数变化规律是解题的关键．由题意得，的展开式中含项的系数是，再结合的展开式的特点，即可求解． 【详解】解：的展开式中含项的系数是， 的展开式中含项的系数是， 的展开式中含项的系数是， 的展开式中含项的系数是， ∴的展开式中含项的系数是， ∴的展开式中含项为 ∴的展开式中含项的系数是60． 故答案为：60． 16．有两个正方形，将放在的内部得图1，将并列放置后构造一个大正方形得图2．若图1和图2中阴影部分的面积分别为6和54，则图2中大正方形的面积为 ． 【答案】114 【分析】设正方形的边长分别为x，y，根据题意，得，，，解答即可． 本题考查完全平方公式的变形计算，熟练掌握性质和公式的变形是解题的关键． 【详解】设正方形的边长分别为x，y， 图1可得，， ∴， 图2可得，， ∴，即， 故， 故， 故图2中大正方形的面积为114， 故答案为：114． 三、解答题（共72分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6分）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了同底数幂的乘法、积的乘方、幂的乘方等知识，熟练掌握运算法则是关键． （1）先计算幂的乘方，再根据同底数幂相乘的运算法则计算即可得答案； （2）同底数幂的乘法、积的乘方、幂的乘方计算后，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．（6分）（1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）（2），28 【分析】此题考查了单项式乘以多项式，多项式除以单项式，多项式乘以多项式以及代数求值，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先计算单项式乘以多项式，然后计算多项式除以单项式； （2）首先计算多项式乘以多项式，然后去括号合并，然后代数求解即可． 【详解】解：（1） ； （2） ， 将代入，原式． 19．（6分）甲、乙二人共同计算时，均出现了失误：甲由于抄错了第一个多项式中的运算符号，即把“”抄成“”，得到的结果为；乙由于抄漏了第二个多项式中的系数，即把“”抄成“”，得到的结果为． (1)求出，的值． (2)在（1）的条件下，试求的正确结果． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了计算多项式乘多项式，加减消元法，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）根据甲抄错与乙抄漏，列出关于、的方程组求解； （2）将代入式子中，再利用多项式乘多项式法则计算即可． 【详解】（1）解：由题意，得， ， ， 解得∶， ；； （2）解：由（1）得， 原式． 20．（6分）【阅读理解】若满足，求的值． 解：设，，则，， ． 【迁移运用】 请仿照上面的方法求解下面问题： (1)若满足，求的值； (2)如图，已知正方形的边长为，，分别是，上的点，且，，长方形的面积是，分别以，为边作正方形和正方形，则阴影部分的面积是______． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了完全平方公式变形求值，平方差公式，完全平方公式与图形的面积，熟练掌握完全平方公式以及平方差公式是解题的关键． （1）设，，则，，进而根据完全平方公式变形求值，即可求解； （2）根据题意可表示出和的长，进而可表示出阴影部分的面积，然后利用平方差公式和完全平方公式进行变形求解即可． 【详解】（1）解：设，，则： ， ， ． （2）解：由题意可得，，， 则阴影部分的面积为， 长方形的面积是， ， 设，，则，， ． 即阴影部分的面积为． 故答案为：． 21．（8分）“整体思想”在数学中应用极为广泛． 例如：已知，求的值． 解：∵，∴，∴． 请尝试应用“整体思想”解决以下问题： (1)已知，求的值； (2)若（，都是正整数）能被整除，试说明也能被整除． 【答案】(1)； (2)见解析． 【分析】本题考查了代数式求值，同底数幂相乘逆用，整体代入思想，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由，得，把变形为，然后代入即可求解； （）先由变形为，又（，都是正整数）能被整除，能被整除，从而可得也能被整除． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴ ； （2）解：由 ， ∵（，都是正整数）能被整除，能被整除， ∴能被整除， ∴也能被整除． 22．（8分）观察下列各式： ； ； ； … (1)根据以上规律可知，______； (2)你能否由此归纳出一般性规律：______； (3)根据以上规律解决： ①计算：______； ②； ③，则______． 【答案】(1) (2) (3)①；②；③2或0 【分析】本题考查了探索规律，体现了由一般到特殊的应用，解题的关键是探索出规律，根据规律答题． （1）由题意可知每一个式子的结果为两项的差，被减数的指数比第二个因式中第一项的指数大1，减数都为1，根据这个规律即可直接写出答案； （2）根据式子总结归纳出式子规律即可； （3）①把，代入所得的规律中即可得到答案； ②把，代入所得的规律中即可得到答案； ③根据规律可求得，代入求解即可． 【详解】（1）解：根据规律可得， 故答案为：； （2）解：观察归纳规律可得， 故答案为：； （3）解：①由（2）可知，， 当，时， ， 即， 故答案为：； ②同①，当，时， ， 即； ③∵， ∴，即， ∴当时，， 当时，， 故答案为：2或0． 23．（8分）有一张边长为厘米的正方形木板，现需要将边长增加厘米，木工师傅设计了如图①所示的三种方案： 上述三种方案都可以利用图形面积关系来验证完全平方公式． 如方案一：大正方形的面积可以看成，也可以看成， 故． 解答下列问题： 【公式验证】 （1）请根据方案二、方案三，分别写出公式的验证过程． 方案二： 方案三： 【公式应用】（2）若边长a，b之间的关系为，．求的值； （3）将两块形状相同的直角三角板，按图②所示的方式放置，点A，O，D在同一直线上，连接，，若，，直接写出图中阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析；（2）8；（3）20 【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，完全平方公式的变形求值，熟知完全平方公式是解题的关键． （1）方案二：大正方形面积可以看成一个边长为的正方形面积加上一个边长为b的小正方形的面积再加上两个小长方形的面积，也看作一个边长为的大正方形的面积，从而得出；方案三：大正方形面积可以看成一个边长为的正方形面积加上两个上底为，下底为，高为的梯形面积，从而得出答案； （2）根据完全平方公式变形求值即可； （3）先求出，，再根据求解即可． 【详解】解：（1）方案二：∵大正方形面积可以看成， 又可以看成， ∴可以得出； 方案三：∵大正方形面积可以看成， 又可以看成， ∴； （2）∵，， ， （负值已舍去）． （3）根据题意设， 则，， 故，， 则 ． 24．（12分）定义：若一个整数能表示成（a，b为整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如：5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”． (1)尝试：已知25是“完美数”，请将它写成（a，b为正整数）的形式_______； (2)探究：请将表示成“完美数”的形式，并求出其最小值； (3)应用：已知（x，y为整数，k是常数），要使S为“完美数”，求k的值，并说明理由． 【答案】(1) (2)，的最小值为1； (3)当时，S为“完美数”． 【分析】本题考查完全平方公式的运用，阅读理解题目表述的意思是本题的关键． （1）利用“完美数”的定义可得； （2）利用配方法，将其配成完美数，可求出最小值； （3）根据完全平方公式，将其配成完美数，可求的值． 【详解】（1）解：25是“完美数”，将它写成（，是正整数）的形式为：， 故答案为：； （2）解：， ， ， ∴的最小值为1； （3）解： ， ，是整数， ，也是整数， 要使S为“完美数”， ∴， 解得：， ∴当时，S为“完美数”． 25．（12分）我们知道，在学习了课本阅读材料：《综合与实践—面积与代数恒等式》后，利用图形的面积能解释与得出代数恒等式，请你解答下列问题： (1)下图给出的甲、乙、丙3个正方形分割方案，分别验证了以下乘法公式， ①②③ 甲、乙、丙3个图形对应的乘法公式序号按顺序排列为_________________； (2)利用（1）中所得到的等式，解决下面的问题： ①已知，，，求的值； ②若x满足，求的值； (3)如图，长方形中，，，，长方形的面积是200，四边形和都是正方形，四边形是长方形．延长至T，使，延长至O，使，过点O、T作的垂线，两垂线相交于点R，请直接写出四边形的面积．（结果必须是一个具体的数值）． 【答案】(1)①、③、② (2)①；②25 (3)1856． 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，用两种方法表示同一个图形面积是求解本题的关键． （1）结合题意，根据正方形面积，利用割补法进行分析，即可得到答案； （2）①直接利用题中所给的运算方法解题即可； ②设，，利用题中所给的运算方法解题即可； （3）用表示出大正方形的边长，进而表示面积，利用完全平方公式和它的变形解题即可． 【详解】（1）解：图甲中，由图可知，，也可以表示为， ∴，即； 图乙中，由图可知，，也可以表示为， ∴； 图丙中阴影部分的面积可以表示为． 也可以表示为即， ∴； 甲、乙、丙3个图形对应的乘法公式序号按顺序排列为①、③、②； 故答案为：①、③、②； （2）解：①∵，，， ∴， ∵， ∴； ②设，； 则，， ； （3）解：由题意得：，， ， 长方形的面积是200， ，即， 设， 则，， ． 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $