2025-2026学年级湖北省襄阳地区人教版九年级数学上学期期中测试题（21-23章）

2025-2026学年人教版九年级数学上册期中测试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分 测试范围：21-23章） 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意， 故选：A． 2．（本题3分）已知m，n是方程的两个实数根，则的值为（   ） A．2 B．6 C． D．0 【答案】B 【分析】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记“是一元二次方程的两根时，，”是解题的关键． 利用一元二次方程的解及根与系数的关系，可得出，将其代入中即可求出结论． 【详解】解：m，n是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 3．（本题3分）如图，在中，，将绕着点O逆时针旋转后得到．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，掌握旋转的性质是关键；由旋转的性质得；由平行线的性质得，即可求得结果． 【详解】∵将绕着点O逆时针旋转后得到， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 4．（本题3分）函数与在同一平面直角坐标系中的大致图像可能是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是一次函数的图像与二次函数的图像，理解掌握函数图像的性质是解此题的关键．先根据一次函数的性质确定与两种情况分类讨论抛物线的顶点位置即可得出结论． 【详解】解：A．函数图像可得，则开口方向向下正确，但顶点坐标应交于原点，而不是交轴正半轴，故选项A不正确； B．函数图像可得，则开口方向向下正确，顶点坐标为，故选项B正确； C．函数图像可得，则开口方向向上正确，但顶点坐标应交于原点，故选项C不正确； D．函数图像可得，则开口方向向上正确，但顶点坐标应交于原点，故选项D不正确； 故选：B． 5．（本题3分）如图：某广场有一喷水池，水从地面喷出，水在空中划出的曲线是抛物线（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是（　　） A．4米 B．3米 C．2米 D．1米 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的最值，掌握相关知识是解决问题的关键．把解析式化为顶点式即可判断． 【详解】解：， ∵抛物线开口向下， ∴二次函数有最大值为4， ∴水喷出的最大高度是4米． 故选：A． 6．（本题3分）如图，已知抛物线与直线交于，两点，则关于的不等式的解集是（   ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根据函数图象交点求不等式的解集．不等式的解集是抛物线在直线上方相对应的自变量x的取值范围，根据函数图象及其交点即可解答． 【详解】解：∵抛物线与直线交于，两点， ∴由图象可得，不等式的解集是． 故选：C． 7．（本题3分）2025年7月15日第三届“齐河三中杯”乒乓球交流赛在欢呼声中圆满落幕．据悉，中学组的x支队伍，每两支队伍之间各赛一场，共进行了45场比赛，问：中学组共有几支参赛队伍？则可列方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找到等量关系是解题的关键．根据每两队之间都赛一场，设邀请个球队参加比赛，则每一个球队都会比赛场，剔除重复的一半，即可解题． 【详解】解：设应邀请个球队参加比赛， 由题可知，， 故选：C． 8．（本题3分）对于一元二次方程，某学习小组给出了下列结论： 甲：两根之和是    乙：两根之积是5 丙：没有实数根    丁：有两个不相等的实数根 老师看后说只有一个同学的结论是正确的，则这位同学是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式及一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键，根据一元二次方程根的判别式及一元二次方程根与系数的关系分析即可得解． 【详解】解：∵方程中，， ， ∴此方程没有实数根， ∴四位同学中只有丙说法正确， 故选：C． 9．（本题3分）如图，抛物线与轴交于点，其对称轴为直线，结合图象判断以下结论：①；②；③，其中正确的结论有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数图象和性质． 利用二次函数的图象和性质逐项进行判断即可． 【详解】解：①∵抛物线开口向上， ∴； ∵抛物线与轴交于负半轴， ∴； ∴， 该选项正确，符合题意； ②∵抛物线与轴有两个交点， ∴， ∴该选项错误，不符合题意； ③根据对称轴为直线，得点的对称点坐标为， 当时，， ∴该选项错误，不符合题意； 综上，正确选项为①， 故选：B． 10．（本题3分）如图，在菱形中，，点E从点B出发，沿以每秒1个单位长度的速度运动到点C，同时点F从点C出发，沿以每秒1个单位长度的速度运动到点D．在此过程中的面积y与运动时间t的函数关系大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点F作交的延长线于H，连接，由菱形的性质得是等边三角形，进而可证明，得；在中求得，利用得到关于t的二次函数，结合t的范围即可确定函数的图象． 【详解】解：如图，过点F作交的延长线于H，连接， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 由题意可知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由题意知，， ∴，， ∴， ∵ ， ∵， ∴， ∴的面积y与运动时间t的函数关系是抛物线的一部分， 当时，则， 当时，，最小， 当时，则， 即选项C符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，含30度角直角三角形性质，勾股定理，二次函数的图象，熟练掌握这些知识，表示出的面积是解题的关键． 二、填空题（共15分） 11．（本题3分）点与点关于原点对称，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 根据关于原点对称的点的坐标特征求出a，b的值，进而代入计算即可． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴， ∴． 故答案为：． 12．（本题3分）已知，是抛物线上的两点，则的大小关系是 ．（用“”、“”或“”填空） 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数图象上的点满足二次函数解析式是解题的关键．将，两点代入抛物线求出和，即可得解． 【详解】解：，是抛物线上的两点， ，， ， 故答案为：． 13．（本题3分）抛物线先向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度后，得到的抛物线是 ． 【答案】（或） 【分析】此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．根据平移的规律：左加右减，上加下减，可得到的抛物线的解析式． 【详解】解：抛物线先向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度后，得到的抛物线是，即， 故答案为：（或）． 14．（本题3分）“科技兴则民族兴，科技强则国家强．”某品牌无人机六月份销售了400万台，七月份、八月份销售量连续增长，八月份销售量达到676万台，设该品牌无人机这两个月销售量的月平均增长率为，则根据题意可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意；因此此题可根据增长率问题列出方程即可． 【详解】解：由题意可得方程为； 故答案为． 15．（本题3分）如图，点是正方形的边上一点，把绕点顺时针旋转到的位置．过点作于点，连接，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质，旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质，综合运用相关知识是解题的关键． 由正方形的性质得到，，，由旋转得到，，进而根据“三线合一”得到点是的中点，运用勾股定理在中，求得，进而根据直角三角形斜边上中线的性质即可解答． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ， 由旋转得到， ，， ， 点是的中点， ，， ， ， 点是的中点， 故答案为： 三、解答题（共75分） 16．（本题8分）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)原方程无解 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）根据因式分解法求解即可； （2）根据公式法求解即可． 【详解】（1）解：， ， 或， ； （2）解：， ， ， ∴原方程无解． 17．（本题6分）关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根为非负数，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，因式分解法解一元二次方程，理解题意，掌握以上知识点是解题的关键． （1）先表示出一元二次方程根的判别式，根据判别式大于等于0证明即可； （2）先用因式分解法解一元二次方程，或，由题意可知，然后解不等式即可． 【详解】（1）证明：， ， 方程总有两个实数根； （2）解：， ， 或， 方程有一个根为非负数， ， ． 18．（本题6分）如图，已知抛物线的顶点为A，它与y轴的交点为B． (1)求点A，点B的坐标以及点B关于对称轴的对称点的坐标； (2)若点在该抛物线上，且，求n的取值范围． 【答案】(1)；； (2) 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是根据数形结合求解． （1）根据抛物线即可求出点的坐标，再根据对称性直接求对称轴即可； （2）令时，令时，求出值，通过抛物线的性质和图像可得求解. 【详解】（1）解：∵ ∴化为顶点式为： ∴ 当，则， ∴ ∵抛物线对称轴为：， ∴ （2）令时，则 ； 令时，则 ； ∵过最低点， ∴当时，取最小， ∴. 19．（本题8分）如图，在中，，，，动点从点出发，沿方向运动，动点从点出发，沿方向运动，如果点，的运动速度均为． (1)设点，点运动时间为，则______，______； (2)点，运动几秒时，它们相距？ 【答案】(1)； (2)9秒或12秒 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理. （1）根据路程速度时间，即可求解； （2）设运动秒时，，两点相距15厘米，利用勾股定理结合，可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意得，，， ∴ 故答案为：，； （2）解：设运动秒时，，两点相距15厘米， ∵， ∴， 即， 解得：，， 运动9秒或12秒时，，两点相距15厘米． 20．（本题8分）如图，对称轴为的抛物线与轴相交于、两点，其中点的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)求直线的解析式； (3)求出的面积． 【答案】(1) (2) (3)6 【分析】本题考查了求抛物线与x轴的交点，待定系数法求二次函数的解析式、一次函数的解析式以及三角形的面积等知识．解题的关键是： （1）根据二次函数的对称轴可求出，然后把点A的坐标代入求解即可； （2）先求出点C的坐标，然后根据待定系数法求解即可； （3）先求出点B的坐标，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为， ∴， ∴， ∴， 又抛物线经过， ∴， ∴， ∴； （2）解：当时，， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴； （3）解：对于， 当，则， 解得，， ∴， ∴． 21．（本题8分）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是． (1)将以点C为旋转中心旋转，画出旋转后对应的；平移，若点的对应点的坐标为，画出平移后对应的； (2)若将绕某一点旋转可以得到；请直接写出旋转中心的坐标； (3)在轴上有一点，使得的值最小，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了利用旋转变换作图，利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键． （1）根据旋转及平移作出图形即可； （2）根据旋转的定义结合图形，连接两对对应点，交点即为旋转中心； （3）作点关于轴对称点，再利用两点间线段最短即可解答． 【详解】（1）如图所示: ,即为所求； （2）如图所示：旋转中心的坐标为: ； （3）如图所示：点P的坐标为: ． 22．（本题9分）某商品的进价为每件35元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖7件（每件单价不能高于70元），每件商品的售价上涨x元（x为正整数），则每个月的销售利润为y元． (1)若上涨5元，每个月可卖出_______件，则每个月的销售利润为______元； (2)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围； (3)每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？ 【答案】(1)175，3500 (2)（且为整数） (3)当售价定为每件57或58元，每个月的利润最大，最大的月利润是3542元 【分析】本题考查一元二次函数的实际应用： （1）根据题意直接求解即可； （2）根据题意每件商品的售价上涨x元，则每件利润为元，销量减少为件，从而可求出总利润y，根据每件单价不能高于70元可求x的范围； （3）根据二次函数图像的性质即可求出最大利润及此时的销售定价． 【详解】（1）解：若上涨5元，每个月可卖出（件）， 每个月的销售利润为（元）， 故答案为：175，3500； （2）解：由题意得：， 由知， 又为正整数， 故（且为整数）； （3）解：二次函数图像的对称轴为， ， ∴二次函数图像开口向下， 根据二次函数图像的对称性可知，当或时，二次函数取到最大值， ∴当售价定为每件57或58元，每个月的利润最大，最大的月利润是3542元． 23．（本题10分）如图，在正方形中，E、F是对角线上的两点，连接，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接． 如图，在正方形中，，是对角线上两点，，将绕点顺时 (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用，解题的关键是利用旋转和正方形的性质推导相等的边与角，证明全等三角形，再通过角度转化得到直角三角形，进而用勾股定理计算线段长度． （1）由线段绕点A顺时针旋转得，故且；因四边形是正方形，故且，从而，两边同时减去得；结合、，根据“”可证； （2）由(1)中全等三角形的性质得，且；因正方形对角线平分内角，故，从而，进而，即是直角三角形；已知、，代入勾股定理得，计算得． 【详解】（1）证明：∵将线段绕点A顺时针旋转得到线段， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：由(1)得， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴在中，． 24．（本题12分）如图，以矩形的顶点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，已知，将矩形绕点逆时针方向旋转得到矩形． (1)当点恰好落在轴上时，点的坐标为___________． (2)连接，当点恰好落在对角线上时，如图2，连接，求点的坐标． (3)在旋转过程中，点是直线与直线的交点，点是直线与直线的交点，若，请求出的长度． 【答案】(1) (2) (3)或． 【分析】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解一元二次方程，还考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用，添加恰当辅助线是解本题的关键． （1）由旋转的性质可得，，，由勾股定理可求的长，即可求点坐标； （2）连接交于点，由旋转的性质可得，，，，，，可得，进而得，由可证；通过证明点，点关于对称，可求点坐标，进而根据矩形的性质求得点的坐标，即可求解； （3）分两种情况讨论，由面积法可求，由勾股定理可求的值，即可求解． 【详解】（1）解：四边形是矩形， ，，， 将矩形绕点逆时针方向旋转得到矩形， ，，， ， 点， 故答案为：； （2）连接交于点，如图所示：   四边形是矩形， ，， ，且， ， 将矩形绕点逆时针方向旋转得到矩形 ，，，，，， ， ，， ，， ， ， ， 又， ， ， ， ， 点，点，点共线， ，， 点，点关于对称，且，， 点，， ，， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 设， ∵， ∴， 解得：,(舍去)， ∴， 设的坐标为，连接，交于点，    ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 解得：， ∴． （3）如图所示，当点在点右侧，连接，过点作于， ， 设，则，， ，， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 负值舍去， ； 如图所示，若点在点左侧，连接，过点作于，   ， 设，则，， ，， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述：点或． 试卷第22页，共22页 试卷第21页，共21页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年人教版九年级数学上册期中测试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分 测试范围：21-23章） 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．（本题3分）已知m，n是方程的两个实数根，则的值为（   ） A．2 B．6 C． D．0 3．（本题3分）如图，在中，，将绕着点O逆时针旋转后得到．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 4．（本题3分）函数与在同一平面直角坐标系中的大致图像可能是（   ）． A．B．C．D． 5．（本题3分）如图：某广场有一喷水池，水从地面喷出，水在空中划出的曲线是抛物线（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是（　　） A．4米 B．3米 C．2米 D．1米 6．（本题3分）如图，已知抛物线与直线交于，两点，则关于的不等式的解集是（   ） A．或 B．或 C． D． 7．（本题3分）2025年7月15日第三届“齐河三中杯”乒乓球交流赛在欢呼声中圆满落幕．据悉，中学组的x支队伍，每两支队伍之间各赛一场，共进行了45场比赛，问：中学组共有几支参赛队伍？则可列方程为(    ) A． B． C． D． 8．（本题3分）对于一元二次方程，某学习小组给出了下列结论： 甲：两根之和是    乙：两根之积是5 丙：没有实数根    丁：有两个不相等的实数根 老师看后说只有一个同学的结论是正确的，则这位同学是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 9．（本题3分）如图，抛物线与轴交于点，其对称轴为直线，结合图象判断以下结论：①；②；③，其中正确的结论有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 10．（本题3分）如图，在菱形中，，点E从点B出发，沿以每秒1个单位长度的速度运动到点C，同时点F从点C出发，沿以每秒1个单位长度的速度运动到点D．在此过程中的面积y与运动时间t的函数关系大致是（　　） A．B．C． D． 二、填空题（共15分） 11．（本题3分）点与点关于原点对称，则 ． 12．（本题3分）已知，是抛物线上的两点，则的大小关系是 ．（用“”、“”或“”填空） 13．（本题3分）抛物线先向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度后，得到的抛物线是 ． 14．（本题3分）“科技兴则民族兴，科技强则国家强．”某品牌无人机六月份销售了400万台，七月份、八月份销售量连续增长，八月份销售量达到676万台，设该品牌无人机这两个月销售量的月平均增长率为，则根据题意可列方程为 ． 15．（本题3分）如图，点是正方形的边上一点，把绕点顺时针旋转到的位置．过点作于点，连接，若，，则的长为 ． 三、解答题（共75分） 16．（本题8分）解方程： (1)； (2)． 17．（本题6分）关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根为非负数，求的取值范围． 18．（本题6分）如图，已知抛物线的顶点为A，它与y轴的交点为B． (1)求点A，点B的坐标以及点B关于对称轴的对称点的坐标； (2)若点在该抛物线上，且，求n的取值范围． 19．（本题8分）如图，在中，，，，动点从点出发，沿方向运动，动点从点出发，沿方向运动，如果点，的运动速度均为． (1)设点，点运动时间为，则______，______； (2)点，运动几秒时，它们相距？ 20．（本题8分）如图，对称轴为的抛物线与轴相交于、两点，其中点的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)求直线的解析式； (3)求出的面积． 21．（本题8分）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是． (1)将以点C为旋转中心旋转，画出旋转后对应的；平移，若点的对应点的坐标为，画出平移后对应的； (2)若将绕某一点旋转可以得到；请直接写出旋转中心的坐标； (3)在轴上有一点，使得的值最小，请直接写出点的坐标． 22．（本题9分）某商品的进价为每件35元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖7件（每件单价不能高于70元），每件商品的售价上涨x元（x为正整数），则每个月的销售利润为y元． (1)若上涨5元，每个月可卖出_______件，则每个月的销售利润为______元； (2)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围； (3)每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？ 23．（本题10分）如图，在正方形中，E、F是对角线上的两点，连接，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接． 如图，在正方形中，，是对角线上两点，，将绕点顺时 (1)求证：； (2)若，求的长． 24．（本题12分）如图，以矩形的顶点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，已知，将矩形绕点逆时针方向旋转得到矩形． (1)当点恰好落在轴上时，点的坐标为___________． (2)连接，当点恰好落在对角线上时，如图2，连接，求点的坐标． (3)在旋转过程中，点是直线与直线的交点，点是直线与直线的交点，若，请求出的长度． 第6页，共7页 第5页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $