九年级数学上学期期中模拟卷·拔尖卷（人教版，举一反三）

九年级数学上学期期中模拟卷·拔尖卷 【人教版】 时间：120分钟 满分：120分 测试范围：第21章 一元二次方程~第23章 旋转 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共25题，单选10题，填空6题，解答9题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（2024·广东·模拟预测）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a，c的值可以是（   ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，点的坐标是，将点绕点顺时针旋转90°得到点．若点的坐标是，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 3．关于x的方程的两个根满足，且，则m的值为（　　） A． B．1 C．3 D．9 4．（2025·福建三明·一模）已知方程的三个互不相等的实数根可作为三角形的三边边长，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·陕西·模拟预测）已知二次函数，顶点为A，作该函数关于原点对称的新函数，顶点为B，若点B在函数L上，则的长为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·浙江·模拟预测）设关于x的方程有两个不相等的实数根，，且，那么实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 7．（2025·广东东莞·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点作轴的垂线，交抛物线另一侧于点，点，在线段上，且关于轴对称，分别过点，作轴的垂线交抛物线于，两点，则四边形周长的最大值为（   ） A．8 B．10 C． D． 8．（2024·贵州遵义·一模）如图，E是正方形的边上的一点，以点A为旋转中心，把顺时针旋转得到，连接．若的面积为，比长3，则正方形的边长为（    ）    A．5 B．4 C．3 D．2 9．（2025·浙江杭州·模拟预测）关于x的二次函数与x轴有两个交点，，关于x的方程有两个非零实数根， ，则下列关系式不成立的是（    ） A． B． C． D． 10．（2025·山东青岛·模拟预测）若二次函数可通过配方法转化为顶点式，且图象与x轴的一个交点的横坐标为，则下列说法：①；②图象与y轴交于；③；④若方程的两个根为，，且，则，；⑤若二次函数图象上存在一个横坐标为的点，使得，则n一定等于2，正确的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（2025·江苏苏州·模拟预测）若是方程的根，则代数式的值是 ． 12．如图，在正方形网格中，线段绕某点顺时针旋转角得到线段，点与点是对应点，点与点是对应点，则等于 ． 13．（2025·河北邯郸·模拟预测）如图，抛物线L：（为常数），当抛物线L经过点，时． （1）抛物线L的顶点坐标为 ． （2）若时，函数的最大值与最小值的差总为，n的取值范围 ． 14．若关于x的一元二次方程，当时，相应的一元二次方程的两根分别记为则的值为 ． 15．（2024·江西九江·二模）在平面直角坐标系中，点在直线上，点的横坐标为，若线段绕点旋转后，得到点的对应点，且点在第一象限内，则点的坐标为 ． 16．（2025·宁夏·模拟预测）在平面直角坐标系中，将抛物线（其中，，是常数，且）以原点为中心，旋转得到抛物线，则称是的“中心对称抛物线” ．已知抛物线，将抛物线向左平移个单位长度，与轴的交点从左到右依次为，．将抛物线的“中心对称抛物线”向右平移个单位长度，与轴的交点从左到右依次为，．当时，的值为 ． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分） 17．（6分）（24-25九年级上·福建宁德·期中）已知：实数满足． (1)求证：； (2)若，都是奇数，关于的方程是否有整数根？并说明理由； (3)若，，，求的值． 18．（6分）（2025·浙江·模拟预测）已知二次函数（是常数，）的图象经过． (1)若二次函数图象经过，，求该二次函数解析式； (2)若二次函数图象的顶点落在x轴上，求证：； (3)若二次函数图象的对称轴为直线，当时，求的最小值． 19．（6分）在等腰三角形和等腰三角形中，，．将绕点逆时针旋转，连接，点为线段的中点，连接，． (1)如图，当点旋转到边上时，请直接写出线段与的关系为 ； (2)在的基础上，绕点逆时针继续旋转，中的结论是否成立？若成立，请画出图形并写出证明过程；若不成立，请说明理由； (3)若，，在绕点逆时针旋转的过程中，当时，请直接写出线段的长． 20．（8分）根据以下素材，完成下列任务． 背景素材 背景 随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少二氧化碳气体的排放，从而达到保护环境的目的，在国家积极政策的鼓励下，新能源汽车的市场需求逐年上升． 素材1 某品牌新能源汽车1月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到万辆． 素材2 某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为万元/辆时，平均每周售出8辆，售价每降低万元，平均每周多售出1辆，若该店计划下调售价，使平均每周的销售利润为万元． 问题解决 任务1 根据素材1，求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率． 任务2 根据素材2，为了推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价. 21．（8分）（2025·陕西·二模）圆弧形拱桥和抛物线形拱桥是常见的拱桥结构．坐落在河北省赵县洨河上的赵州桥的主桥拱便是圆弧形，北京八景之一“卢沟晓月”中卢沟桥的主桥拱可以近似看作抛物线． (1)如图1左图，甲桥主桥拱是圆弧形，已知跨度，拱顶C到水面的距离为，求这座桥主桥拱的半径； (2)如图1右图，乙桥的主桥拱是抛物线形，若水面宽，拱顶P到水面的距离为，按照如图2所示的方式建立平面直角坐标系，求桥拱所在抛物线的解析式； (3)在图1的基础上，某时刻桥拱和桥拱的桥下水位均上升了，求此时两桥的水面宽度； (4)如图3，将桥拱所在抛物线设为L，L在x轴下方部分与桥拱在平静水面中的倒影组成一个新函数图象．将新函数图象向右平移个单位长度，平移后的函数图象在时，y的值随x值的增大而减小，结合函数图象，直接写出满足条件的整数m的值． 22．（9分）（2025·湖南长沙·二模）我们知道：关于的一元二次方程（，，，均为整数），如果时，这个方程的实数根就可以表示为，其中就叫做一元二次方程根的判别式，我们用表示，即，通过观察公式，我们可以发现，如果的值是一个完全平方数（若（为整数），则是一个完全平方数）时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数． 例：方程，，的值是一个完全平方数，但是该方程的根为，，不都为整数；方程的两根，，都为整数，此时，的值是一个完全平方数． 我们定义：两根都为整数的一元二次方程（，，，均为整数）称为“幸运方程”，两整数根称为“幸运根”，代数式的值为该“幸运方程”的“幸运数”，用表示，即．若有另一个“幸运方程”（，，，均为整数）的“幸运数”为，若，则称与互为“开心数”． (1)关于的一元二次方程是一个“幸运方程”． ①当时，该幸运方程的“幸运数”是______； ②若该幸运方程的“幸运数”是，则的值为______． (2)若关于的一元二次方程（为整数，且）是“幸运方程”，求的值及该方程的“幸运数”； (3)若关于的一元二次方程与（、均为整数）都是“幸运方程”，且其“幸运数”互为“开心数”，求的值． 23．（9分）（2025·辽宁·模拟预测）在平面直角坐标系中，过原点的抛物线经过点，与轴相交于另一点． (1)求抛物线的解析式及点的坐标； (2)将抛物线向右平移3个单位长度，得到一个新的抛物线，已知抛物线与轴交于两点，其中右边的交点为点C．点从点O出发沿轴向终点运动，过点作轴的垂线，交直线于点D，以为边在的右侧作正方形． ①当点在抛物线上时，求点的坐标； ②若点在线段上，过点作轴的垂线，与抛物线相交于点，以为边作正方形，设经过Q，M两点的直线为，在点运动的过程中，当正方形与抛物线，有三个公共点时，结合函数图象求的取值范围． 24．（10分）（2025·广东珠海·三模）在，中，，，，连接、，取的中点 (1)【观察猜想】 如图1中，若O、C、A在一条直线上，线段与的数量关系是______，位置关系是______． (2)【探究证明】 若将旋转到图2的位置，判定中（1）的结论是否仍然成立，并说明理由． (3)【拓展延伸】 设交与G，若将由图1的位置绕O顺时针旋转，且，，是否存在角度使得？若存在，请直接写出此时的面积；若不存在，请说明理由． 25．（10分）（2025·辽宁大连·模拟预测）已知抛物线（b为常数）与x轴有且只有一个交点．将抛物线平移后得到抛物线． (1)求物线的解析式； (2)若原点在抛物线上，点M是第四象限内一点，抛物线经过点M，连结并延长，交抛物线于点N．规定：点M的坐标为，点N的坐标为． ①求的值； ②设抛物线的顶点为E，交x轴于点K，连结并延长交抛物线于点Q，过点Q作x轴的平行线交抛物线于点R，请判断四边形的形状并说明理由； (3)设抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，点E是抛物线的顶点，点F是抛物线对称轴上一点，．设F的坐标为，求a与h之间的数量关系． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学上学期期中模拟卷·拔尖卷 【人教版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（2024·广东·模拟预测）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a，c的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了根的判别式，利用一元二次方程根的判别式，得出，再进行计算判断即可． 【详解】解：由题知， 因为关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， 所以且， ∴， 当时，，故选项A不符合题意； 当时，，故选项B不符合题意； 当时，，故选项C符合题意； 当时，，故选项D不符合题意； 故选：C． 2．在平面直角坐标系中，点的坐标是，将点绕点顺时针旋转90°得到点．若点的坐标是，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点的坐标为，由旋转的性质可得，，列出等式，把每个选项的横坐标代入验证即可． 【详解】解：设点的坐标为， ∵点的坐标是，点的坐标是， ∴由旋转的性质可得，， 即， 整理得， 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得； 故只有选项A的坐标满足题意，选项B、C、D都不满足题意， 故选：A 【点睛】本题考查了旋转的性质，理解掌握对应点到旋转中心的距离相等是解题的关键． 3．关于x的方程的两个根满足，且，则m的值为（　　） A． B．1 C．3 D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程的根．根据，得到，由可得m的方程，解m的方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得． 故选：C． 4．（2025·福建三明·一模）已知方程的三个互不相等的实数根可作为三角形的三边边长，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的一元二次方程根的判别式的应用，根与系数的关系，三角形三边关系的应用，先解方程得到一个解为，结合题意可得方程有两个不相等的正实数根，且，再进一步解答即可． 【详解】解：∵， ∴或， 当时，则， 当时，结合题意可得方程有两个不相等的正实数根， ∴，，， 解得：， ∵方程的三个互不相等的实数根可作为三角形的三边边长， ∴， ∴， ∴， 解得：， 综上：， 故选：C 5．（2025·陕西·模拟预测）已知二次函数，顶点为A，作该函数关于原点对称的新函数，顶点为B，若点B在函数L上，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】该题考查了二次函数的图象和性质，先求出原函数 L 的顶点 A ，再确定关于原点对称的新函数及其顶点 B ，代入到原函数中解出a ，最后计算的距离． 【详解】解：∵函数为， ∴顶点横坐标为，代入得纵坐标， 故顶点为， 关于原点对称后，函数的顶点横坐标为，纵坐标， 故顶点B为． 将代入L的方程得：， 解得：， 当时， ，， 距离为：， 故选：B． 6．（2025·浙江·模拟预测）设关于x的方程有两个不相等的实数根，，且，那么实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，以及不等式的综合应用．根据一元二次方程的根的判别式，建立关于a的不等式，求出a的取值范围．又因为，所以，即，利用根与系数的关系， 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴且， ∴， 解得， ∵，， 又∵， ∴，， ∴， ∴，即， 解得， ∴a的取值范围是． 故选：D． 7．（2025·广东东莞·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点作轴的垂线，交抛物线另一侧于点，点，在线段上，且关于轴对称，分别过点，作轴的垂线交抛物线于，两点，则四边形周长的最大值为（   ） A．8 B．10 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的性质、抛物线的对称性及四边形周长的计算，熟练掌握二次函数的表达式求解与最值分析是解题的关键．先求出抛物线表达式，设出点坐标，进而表示出其他点坐标，得出四边形周长的表达式，再利用二次函数性质求最大值． 【详解】解：点在抛物线上， 把代入，得， 解得， 抛物线表达式为． 设（ ）， 点，关于轴对称， ． 过点作轴垂线交抛物线于，则；过点作轴垂线交抛物线于，则． ∴，， ∴，． 四边形周长， ． ∵上述函数中二次项系数，开口向下，对称轴为直线． ∴当时，． 故选：． 8．（2024·贵州遵义·一模）如图，E是正方形的边上的一点，以点A为旋转中心，把顺时针旋转得到，连接．若的面积为，比长3，则正方形的边长为（    ）    A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】先结合正方形的性质得，故，根据旋转的性质得，，则，又因为的面积为，所以，再解得（舍去），即可作答． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 设， ∵比长3， ∴， ∴， ∵以点A为旋转中心，把顺时针旋转得到， ∴，， ∴， 即， ∴的面积， ∵的面积为， ∴， 整理得， 解得（舍去）， ∴， 故选：A 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 9．（2025·浙江杭州·模拟预测）关于x的二次函数与x轴有两个交点，，关于x的方程有两个非零实数根， ，则下列关系式不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，先确定， 是直线与抛物线的交点的横坐标，再画出大致图象即可得到，最后推理判断即可． 【详解】解：的对称轴为直线，开口向下， ∵关于x的二次函数与x轴有两个交点，， ∴、是方程的两个不相等的实数根， ∴，， 当时，，整理得， ∵关于x的方程有两个非零实数根， ， ∴， 是直线与抛物线的交点的横坐标，， 的大致图象如下： 由函数图象可得，，故选项A正确，不合题意； ∵可能是正数也可能是负数， ∴与的大小不能确定，故选项B不正确，符合题意； ∵， ∴， ∴，故选项C正确，不合题意； ∵，， ∴， ∴，故D成立，不符合题意； 故选：B． 10．（2025·山东青岛·模拟预测）若二次函数可通过配方法转化为顶点式，且图象与x轴的一个交点的横坐标为，则下列说法：①；②图象与y轴交于；③；④若方程的两个根为，，且，则，；⑤若二次函数图象上存在一个横坐标为的点，使得，则n一定等于2，正确的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据抛物线的对称性，抛物线与x轴的交点，对称轴的两种表示方法，抛物线的增减性等解答即可. 本题考查了抛物线的对称性，抛物线与坐标轴的交点，抛物线与各项系数的符号关系，抛物线的增减性，熟练掌握性质是解题的关键. 【详解】解：∵二次函数可通过配方法转化为顶点式，且图象与x轴的一个交点的横坐标为， ∴，对称轴为直线， ∴, ∴， ∴即， ∴； 故①正确； ∵二次函数，，， ∴， 图象与y轴交于， 故②错误； ∵二次函数可通过配方法转化为顶点式，且过， ∴， ∴ 故③正确； 设抛物线与x轴的另一个交点为， ∵对称轴为直线， ∴， 解得， 故的两个根分别是， 故的两个根分别是， ∵方程， ∴， 此即抛物线在的情形， ∵， ∴抛物线满足对称轴的右侧，y随x的增大而增大，对称轴的左侧，y随x的增大而减小， ∵对称轴的右侧，时，函数值为0，时，函数值为1，且函数值增大， ∴； ∵对称轴的左侧，时，函数值为0，时，函数值为1，且函数值增大， ∴； 故④正确； 由二次函数图象上存在一个横坐标为的点，使得， ∴， ∴， ∴， ∴， 故⑤正确； 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（2025·江苏苏州·模拟预测）若是方程的根，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，涉及方程根的定义、整体代入法求代数式值、分式的混合运算等知识，根据题中所给代数式的结构特征，结合已知条件，恒等变形代值求解即可得到答案，熟练掌握分式混合运算法则化简求值是解决问题的关键． 【详解】解： 是方程的根， ，即， ， 故答案为：． 12．如图，在正方形网格中，线段绕某点顺时针旋转角得到线段，点与点是对应点，点与点是对应点，则等于 ． 【答案】90° 【分析】连接BB1、AA1，再分别作两线段的中垂线，两中垂线的交点得出旋转中心，连接AO、A1O，结合网格特点可得旋转角； 【详解】解：如图所示，点O为旋转中心，∠AOA1=α=90°． 故答案为：90° 【点睛】本题主要考查作图-旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的定义和性质． 13．（2025·河北邯郸·模拟预测）如图，抛物线L：（为常数），当抛物线L经过点，时． （1）抛物线L的顶点坐标为 ． （2）若时，函数的最大值与最小值的差总为，n的取值范围 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系，熟知上述性质是解题的关键． （1）利用点两点关于对称轴对称，可得顶点坐标，且可求得b的值，再解方程即可求得抛物线L与x轴在原点右侧的交点坐标； （2）利用二次函数的性质，进行解答即可． 【详解】解：（1）抛物线L经过点， ∴抛物线L的对称轴为直线， ， 的函数表达式为． 当时，． ∴抛物线L的顶点坐标为， 故答案为：； （2）与y轴交于点， 则点D关于直线的对称点为， 抛物线L的开口向上， ∴当时，抛物线L上的最高点的纵坐标总是， 最低点总是，两个点的竖直距离总为， 当时，函数的最大值与最小值的差总为． 故答案为：． 14．若关于x的一元二次方程，当时，相应的一元二次方程的两根分别记为则的值为 ． 【答案】 【分析】利用根与系数的关系得到，；，；…，；把原式变形，再代入，即可求出答案． 【详解】解：∵，， ∴由根与系数的关系得：，；，；…，； ∴原式 故答案为： 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，． 15．（2024·江西九江·二模）在平面直角坐标系中，点在直线上，点的横坐标为，若线段绕点旋转后，得到点的对应点，且点在第一象限内，则点的坐标为 ． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，坐标与图形变化—旋转，勾股定理，全等三角形的性质与判定，先求出点A的坐标，设，根据两点距离公式得到，解方程得到或；过点作轴， 过点A、分别作直线的垂线，垂足分别为E、F，由旋转的性质可得，证明，得到，则，同理可得，． 【详解】解：在中，当时，， ∴， 设， ∵， ∴， 解得或， ∴或； 如图所示，过点作轴， 过点A、分别作直线的垂线，垂足分别为E、F， 由旋转的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 同理可得，；    综上所述，点C的坐标为或或； 故答案为：或或． 16．（2025·宁夏·模拟预测）在平面直角坐标系中，将抛物线（其中，，是常数，且）以原点为中心，旋转得到抛物线，则称是的“中心对称抛物线” ．已知抛物线，将抛物线向左平移个单位长度，与轴的交点从左到右依次为，．将抛物线的“中心对称抛物线”向右平移个单位长度，与轴的交点从左到右依次为，．当时，的值为 ． 【答案】 【分析】先求出抛物线与轴交点，平移后得到、坐标；再根据中心对称求出解析式，进而得到与轴交点，平移后得到、坐标；然后表示出、、的长度，最后根据列方程求解 ． 【详解】当时，，解得，， 抛物线与轴的交点坐标为，． 抛物线向左平移个单位长度，与轴的交点从左到右依次为，， ，． ， 抛物线的顶点坐标为， 点关于原点的对称点为， 抛物线的“中心对称抛物线”的解析式为， 当时，， 解得，， 抛物线与轴的交点坐标为，． 抛物线向右平移个单位长度，与轴的交点从左到右依次为，， ，， ，，． ， ， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了抛物线的平移、中心对称变换，以及抛物线与轴交点问题，熟练掌握抛物线的平移规律、中心对称性质及利用交点求线段长度的方法是解题的关键． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分） 17．（6分）（24-25九年级上·福建宁德·期中）已知：实数满足． (1)求证：； (2)若，都是奇数，关于的方程是否有整数根？并说明理由； (3)若，，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)无整数根，见解析 (3) 【分析】本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程的根的判别式、一元二次方程根与系数的关系． （1）根据一元二次方程根的判别式可得，即可得证； （2）利用反证法求解即可； （3）先证明出m、是方程的两根，再由一元二次方程根与系数的关系得出，，代入计算即可得解． 【详解】（1）解：∵实数m满足， ∴关于m的方程有解， ∴， ∴ （2）解：无整数根，理由如下： 假设有整数根， 若m为奇数时， ∵a，b都是奇数， ∴为奇数，与相矛盾； 若m为偶数时， ∵a，b都是奇数， ∴为奇数，与相矛盾； ∴假设错误， 综上所述，方程无整数根； （3）解：若，，则， ∵， ∴， ∴m、是方程的两根，    ∴，， ∴． 18．（6分）（2025·浙江·模拟预测）已知二次函数（是常数，）的图象经过． (1)若二次函数图象经过，，求该二次函数解析式； (2)若二次函数图象的顶点落在x轴上，求证：； (3)若二次函数图象的对称轴为直线，当时，求的最小值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)有最小值 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数的最值，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意，通过待定系数法即可计算得解； （2）依据题意，由抛物线的顶点落在x轴上，则，又，且，可得，从而可以得解； （3）依据题意，对称轴为直线，且，先求出，从而，再求出c的范围，然后根据，从而可以计算得解． 【详解】（1）解：图象过， ， 又图象过，， ， ， ； （2）证明：顶点落在x轴上， ， ，且， ， ； （3）解：抛物线的对称轴为直线，且， ， ， ， ， 又， ， 将，代入得， 当时，有最小值． 19．（6分）在等腰三角形和等腰三角形中，，．将绕点逆时针旋转，连接，点为线段的中点，连接，． (1)如图，当点旋转到边上时，请直接写出线段与的关系为 ； (2)在的基础上，绕点逆时针继续旋转，中的结论是否成立？若成立，请画出图形并写出证明过程；若不成立，请说明理由； (3)若，，在绕点逆时针旋转的过程中，当时，请直接写出线段的长． 【答案】(1)，； (2)仍然成立，图见解析，证明见解析； (3)线段的长为或． 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可知，，所以可得； 延长交于点，连接，根据等腰直角三角形的性质可证，四边形是矩形，利用可证，根据全等三角形的性质可证； 当时，要分在左侧时和在右侧两种情况求解，当边在边的左侧时，连接，作垂足为点，利用勾股定理和含角的直角三角形中边之间的关系求解即可；当边在边的右侧时，，过作，与交于点，连接，利用勾股定理和含角的直角三角形中边之间的关系求解即可． 【详解】（1）解：是等腰三角形，， ， ， ， 点是的中点， 在中，， ， ， 又，点是的中点， ， ， ，， ； 故答案为：，； （2）解：仍然成立， 理由如下： 如下图所示，延长交于点，连接， 和是等腰直角三角形，， ， ， ， 点为线段的中点， ，，， ， ， ， 四边形是矩形， ， 在和中，， ， ，， ， ，， 中关系仍然成立； （3）解：如下图所示，当边在边的左侧时，连接，作垂足为点， ， 和是等腰直角三角形， ，， 又， ， ， ， ， 在中，， 由可知，， ； 如下图所示，当边在边的右侧时，，过作，与交于点，连接， 和是等腰直角三角形， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 是的垂直平分线， ， 由可知，， ； 综上所述，的长度为或. 【点睛】本题主要考查了图形的旋转变换、直角三角形的性质、三角形全等判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理，解决本题的关键是作辅助线构造特殊的直角三角形，利用直角三角形的性质求解． 20．（8分）根据以下素材，完成下列任务． 背景素材 背景 随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少二氧化碳气体的排放，从而达到保护环境的目的，在国家积极政策的鼓励下，新能源汽车的市场需求逐年上升． 素材1 某品牌新能源汽车1月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到万辆． 素材2 某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为万元/辆时，平均每周售出8辆，售价每降低万元，平均每周多售出1辆，若该店计划下调售价，使平均每周的销售利润为万元． 问题解决 任务1 根据素材1，求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率． 任务2 根据素材2，为了推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价. 【答案】任务1：从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为；任务2：下调后每辆汽车的售价为万元 【分析】本题考查了增长率问题(一元二次方程的应用)，营销问题(一元二次方程的应用)，解题关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程． 任务1：设从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为x,根据某品牌新能源汽车1月份销售量为3万辆，3月份的销售量达到万辆，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设下调后每辆汽车的售价为y万元，则每辆汽车的销售利润为万元，平均每周可售出辆，根据使平均每周的销售利润为万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】任务1：解：设从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为x, 根据题意得：， 解得：，（舍去）， 答：从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为； 任务2：设下调后每辆汽车的售价为y万元．则每辆汽车的销售利润为万元，平均每周可售出辆， 根据题意得：， 解得：，， ∵此次销售尽量让利于顾客， ∴， 答：下调后每辆汽车的售价为万元． 21．（8分）（2025·陕西·二模）圆弧形拱桥和抛物线形拱桥是常见的拱桥结构．坐落在河北省赵县洨河上的赵州桥的主桥拱便是圆弧形，北京八景之一“卢沟晓月”中卢沟桥的主桥拱可以近似看作抛物线． (1)如图1左图，甲桥主桥拱是圆弧形，已知跨度，拱顶C到水面的距离为，求这座桥主桥拱的半径； (2)如图1右图，乙桥的主桥拱是抛物线形，若水面宽，拱顶P到水面的距离为，按照如图2所示的方式建立平面直角坐标系，求桥拱所在抛物线的解析式； (3)在图1的基础上，某时刻桥拱和桥拱的桥下水位均上升了，求此时两桥的水面宽度； (4)如图3，将桥拱所在抛物线设为L，L在x轴下方部分与桥拱在平静水面中的倒影组成一个新函数图象．将新函数图象向右平移个单位长度，平移后的函数图象在时，y的值随x值的增大而减小，结合函数图象，直接写出满足条件的整数m的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)5，6，7，8 【分析】（1）设主桥拱的半径是，根据勾股定理可得，即可解得答案； （2）如图，建立直角坐标系，设桥拱抛物线的解析式为，用待定系数法可得桥拱抛物线的解析式为； （3）甲桥的桥下水位上升了到，连接，连接与交于点E．求出甲桥此时的水面宽度为，再列出，解方程求解即可； （4）根据倒影与桥对称，先求出倒影的解析式，再平移m个单位，根据二次函数的性质求出m的取值范围即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，O为圆弧的圆心，连接与交于点D，连接． 在中，，，， ， 解得， 即这座桥的主拱桥的半径为； （2）解：依题意可知：抛物线的顶点为，， 设抛物线的解析式为， 将代入解析式，得， 解得， 抛物线的解析式为； （3）解：如图，水位上升到，连接，连接与交于点E． 在中，，， ， 解得， ，即甲桥此时的水面宽度为； 由，解得，， ∵， 乙桥此时的水面宽度为； （4）解：抛物线在x轴上方的部分与桥拱在平静水面中的倒影关于x轴成轴对称． 平移后函数图象的对称轴是直线， 当或时，y的值随x值的增大而减小， 当时，y的值随x值的增大而减小， 结合函数图象，①当且时满足题意，解得； ②当时满足题意，解得（舍）． 综上所述，m的取值范围是， 所以,整数m的值为5，6，7，8 【点睛】本题考查二次函数的应用和圆的性质及应用，解题的关键是掌握待定系数法和圆的相关性质，待定系数法求二次函数解析式、拱桥问题(实际问题与二次函数)、用勾股定理解三角形、垂径定理的实际应用． 22．（9分）（2025·湖南长沙·二模）我们知道：关于的一元二次方程（，，，均为整数），如果时，这个方程的实数根就可以表示为，其中就叫做一元二次方程根的判别式，我们用表示，即，通过观察公式，我们可以发现，如果的值是一个完全平方数（若（为整数），则是一个完全平方数）时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数． 例：方程，，的值是一个完全平方数，但是该方程的根为，，不都为整数；方程的两根，，都为整数，此时，的值是一个完全平方数． 我们定义：两根都为整数的一元二次方程（，，，均为整数）称为“幸运方程”，两整数根称为“幸运根”，代数式的值为该“幸运方程”的“幸运数”，用表示，即．若有另一个“幸运方程”（，，，均为整数）的“幸运数”为，若，则称与互为“开心数”． (1)关于的一元二次方程是一个“幸运方程”． ①当时，该幸运方程的“幸运数”是______； ②若该幸运方程的“幸运数”是，则的值为______． (2)若关于的一元二次方程（为整数，且）是“幸运方程”，求的值及该方程的“幸运数”； (3)若关于的一元二次方程与（、均为整数）都是“幸运方程”，且其“幸运数”互为“开心数”，求的值． 【答案】(1) ； 或； (2)，该方程的“幸运数”为 (3)或 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及“幸运方程”的定义，解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系； （1）把代入方程得到方程，根据“幸运数”的定义即可求解； 根据“幸运数”的定义可得方程，解方程可求得的值； （2）通过的取值范围确定根的判别式的范围，继而根据“整数根”特点确定根的判别式的取值，最后结合为整数确定取值，按照“幸运数”定义求解即可； （3）根据是“幸运方程”得出的两个根为整数，设方程的两个分别为，根据根与系数的关系得出，进而根据为整数，得出的值为或，求得，根据与互为“开心数”得出方程，进而分或，分别代入，解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解：当时，代入得，， ∴，即， 故答案为：； 依题意， ， 整理得，， 解得，， 故答案为：或； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵是“幸运方程”， ∴是完全平方数， 即是完全平方数， ∴或或， 解得或或， ∵为整数， ∴， 当时，方程化为， ∴； ∴方程的“幸运数”为； （3）解：∵是“幸运方程” ∴的两个根为整数， 设方程的两个根分别为， ∴ ∴ ∴， ∴ ∵为整数， 当时，则，此时， 当时，则，此时， 当时，则，此时， 当时，则，此时， 综上所述，的值为或； 方程的“幸运数”为， 当时， 当时， ∴ 方程的“幸运数”为 ∵与互为“开心数”， ∴，即 当时，方程为： 解得：或（舍去，不是整数） 当时，方程为： 解得： 综上所述，或 23．（9分）（2025·辽宁·模拟预测）在平面直角坐标系中，过原点的抛物线经过点，与轴相交于另一点． (1)求抛物线的解析式及点的坐标； (2)将抛物线向右平移3个单位长度，得到一个新的抛物线，已知抛物线与轴交于两点，其中右边的交点为点C．点从点O出发沿轴向终点运动，过点作轴的垂线，交直线于点D，以为边在的右侧作正方形． ①当点在抛物线上时，求点的坐标； ②若点在线段上，过点作轴的垂线，与抛物线相交于点，以为边作正方形，设经过Q，M两点的直线为，在点运动的过程中，当正方形与抛物线，有三个公共点时，结合函数图象求的取值范围． 【答案】(1)， (2)①；②或或 【分析】本题是二次函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式、二次函数图象的平移、正方形的性质、坐标与图形等知识，熟练掌握数形结合思想和分类讨论是解答的关键． （1）利用待定系数法求函数解析式，再令求解x值即可； （2）①先求得平移后的函数解析式，令求得点C坐标，进而求得直线的解析式；设点的坐标为则结合正方形性质得到． 由点在抛物线上求解m值即可； （3）分当时和时两种情况，结合图象寻找临界点，进而根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：将点代入， 得， 解得． 抛物线的解析式为． 令，得． 解得． 点的坐标为． （2）解：①， ． 令，得． 解得 ． 设直线的解析式为． 将点代入，得． 直线的解析式为． 设点的坐标为（m，0）． ． 四边形是正方形， ． ． 当点在抛物线上时， ． 解得（不合题意，舍去），． 点的坐标为． ②， 抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为 四边形是正方形， ． 当时，点在轴上方． 当点在抛物线上时， 如图1，此时点关于直线对称． ． 解得（不合题意，舍去）． 当点与点重合时，如图2． 此时． 解得（不合题意，舍去）． 的取值范围是． 当点与抛物线的顶点重合时，如图3，此时． 当点与点重合时，． 的取值范围是． 当时，点在轴下方． 当点与点重合时，如图4． 此时． 解得（不合题意，舍去）． 的取值范围是． 综上所述，的取值范围是或或． 24．（10分）（2025·广东珠海·三模）在，中，，，，连接、，取的中点 (1)【观察猜想】 如图1中，若O、C、A在一条直线上，线段与的数量关系是______，位置关系是______． (2)【探究证明】 若将旋转到图2的位置，判定中（1）的结论是否仍然成立，并说明理由． (3)【拓展延伸】 设交与G，若将由图1的位置绕O顺时针旋转，且，，是否存在角度使得？若存在，请直接写出此时的面积；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)（1）的结仍然成立，理由见解析； (3)或． 【分析】（1）先由证得，得到和，再结合是的中点得出，进而得，最后通过角的等量代换证明． （2）通过延长至使，先由证得且，进而推出，再由证，最后通过角的关系证明结论． （3）分两种情况，通过作于，利用解直角三角形和直角三角形中角的性质求出相关线段长度，再根据不同情况的面积和差关系计算的面积． 【详解】（1）解：，，， ， ，， 点是的中点， ， ，， ， ， ． 故答案为：，． （2）解：（1）的结论仍然成立，理由如下： 如图2中，延长到，使得，设交于，交于， ，，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ∵， ， ， ， ， ∴． 综上，（1）的结论，仍然成立． （3）解：①如图，当，作于，连接， ，，， ∴ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，即， ， ； ②如图，过点作的延长线于，连接， 同①可知，，， ∵， ∴， ∴， ． 综上所述，的面积为或． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、直角三角形的性质（角所对直角边是斜边的一半）、三角形面积的计算、解直角三角形及分类讨论思想；掌握通过角的等量代换证明两条线段垂直、通过延长中线构造全等三角形转化线段和角的关系、根据不同位置关系分类讨论并利用角度关系转化线段长度是解题的关键． 25．（10分）（2025·辽宁大连·模拟预测）已知抛物线（b为常数）与x轴有且只有一个交点．将抛物线平移后得到抛物线． (1)求物线的解析式； (2)若原点在抛物线上，点M是第四象限内一点，抛物线经过点M，连结并延长，交抛物线于点N．规定：点M的坐标为，点N的坐标为． ①求的值； ②设抛物线的顶点为E，交x轴于点K，连结并延长交抛物线于点Q，过点Q作x轴的平行线交抛物线于点R，请判断四边形的形状并说明理由； (3)设抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，点E是抛物线的顶点，点F是抛物线对称轴上一点，．设F的坐标为，求a与h之间的数量关系． 【答案】(1) (2)①；②菱形，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据抛物线x轴有且只有一个交点得到，得到，即可得到答案； （2）①求出直线的解析式为，求出抛物线，由N点为延长线和抛物线的交点，则，解得，即可得到答案；②求出顶点，点K的坐标为，，用勾股定理求出，即可得到结论； （3）求出，连接，由， 由垂直平分交于点，F点横坐标点横坐标，进一步得到，即可求出答案． 【详解】（1）解：抛物线（n为常数）与x轴有且只有一个交点， 一元二次方程只有一个实数根， 即， 解得， ． （2）①由（1）得，抛物线， 则点M的坐标为，且， 设直线的解析式为， 将M点坐标代入可得，， 即直线的解析式为， 抛物线经过原点， ， 解得， ， ， 即抛物线， N点为延长线和抛物线的交点， ， 解得， 点在的延长线上， 不符合题意， ， ， ②四边形是菱形，理由如下： 抛物线的顶点， 当时，，解得或 ∴点K的坐标为， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， 由解得或 ∴点， ∵过点Q作x轴的平行线交抛物线于点R， ∴ 解得或， ∴, ∴，，，， ∴ 四边形是菱形； （3）由题可知，点在线段的垂直平分线上， ， 解得， 即， 连接， ， 根据二次函数性质可得，两点关于对称， 即顶点E在的垂直平分线上， 垂直平分交于点， F点横坐标点横坐标， ， ， ， ， 即， 解得． 【点睛】此题考查二次函数的图象和性质、抛物线与坐标轴的交点问题、菱形的判定和性质、勾股定理、二次函数的平移等知识，综合性强，计算量大，熟练掌握二次函数的图象和性质是关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $