精品解析：山西省大同市第二中学校2025-2026学年高二上学期第一次学情检测数学试题

大同二中2025-2026学年高二年级第一学期 第一次学情检测数学试卷 考试时间：120分钟 考试分数：150分 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知是虚数单位，则复数的实部和虚部分别为 A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】先化简复数z,再确定复数z的实部和虚部. 【详解】由题得，所以复数z的实部和虚部分别为7和-3. 故答案为D 【点睛】(1)本题主要考查复数的除法运算和复数的实部虚部的概念，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算推理能力.(2) 注意复数的实部是a,虚部是“i”的系数b，不包含“i”,不能写成bi. 2. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，已知四棱锥是阳马，平面，且，若，则（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量加、减运算法则，以为基底表示出向量即可. 【详解】 . 故选：D 3. 已知，若过点的直线与线段相交，则该直线斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】数形结合，计算，判断斜率不存在的情况，从而写出斜率的取值范围. 【详解】如图所示，过点的直线与线段相交， ，； 又因为该直线与轴垂直时，斜率不存在， 所以过点与线段相交的直线斜率取值范围为. 故选：A. 【点睛】求解过定点与线段相交的直线斜率取值范围问题时，需要注意判断该直线有无斜率不存在的情况. 4. 已知为空间中四点，任意三点不共线，且，若四点共面，O不在该平面上，则最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量四点共面定理和基本不等式“1”的妙用求解即可. 【详解】因为四点共面， 所以由共面定理可得，，即， 所以， 因为， 当且仅当，即，即时，等号成立， 所以， 故选：C. 5. 若平面的法向量为，平面的法向量为，直线的方向向量为，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】利用平面的法向量、直线的方向向量逐项计算判断即得. 【详解】对于A，由，得，则，解得，A错误； 对于B，由，得，则，解得，B错误； 对于C，由，得，， 则，则或，C错误； 对于D，由，得，， 则，则，D正确. 故选：D 6. 已知为直线的一个方向向量，点，，则点P到直线的距离为（ ）. A. 4 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据点到直线的距离的向量求法计算可得结果. 【详解】，故， 所以， 设直线与直线所成角为， 则，可得， 因此点到直线的距离为． 故选：B. 7. 已知角是第三象限角，且满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用诱导公式求出，再根据平方关系及商数关系求出，再根据诱导公式即可得解. 【详解】因为， 所以，则， 又角是第三象限角，所以， 所以， 所以. 故选：D. 8. 在三棱柱中，与相交于点，，，，，则线段的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量加减、数乘几何意义，结合三棱柱中各线段的位置关系用、、表示出，再应用空间向量数量积的运算律求的模长，从而得解． 【详解】如下图所示： 因为，，，， 由空间向量数量积的定义可得，， 同理可得， 由题意可知，四边形是平行四边形， ， ， ， 故，则线段的长度为． 故选：C． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. （多选）下列四个命题中真命题有（ ） A. 直线，设两直线分别过定点，，直线和直线的交点为，则 B. 已知直线与直线平行，则平行线间的距离是. C. 点关于直线的对称点为 D. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为. 【答案】AC 【解析】 【分析】对A：先求出两定点，再根据两直线垂直即可判断求解；对B：根据直线平行求得参数，再利用平行线之间的距离公式求解两平行直线之间的距离，即可判断；对C：设出所求对称点，根据中点坐标满足直线，以及直线斜率之间的关系，即可求得结果，从而判断；对D：考虑直线经过原点的情况，即可判断； 【详解】A：由题直线，即，则，解得，所以. 直线，即，则，解得，所以. 当时，，，此时交点，且，则满足， 当时，直线的斜率为，直线的斜率为，此时，所以， 则当交点与定点或都不重合时，满足， 则当交点与定点或重合时，也满足， 综上可得：，故A正确； B：由两直线平行可得，得，此时直线为，化简为， 此时两直线距离为，故B错误； C：设点关于直线的对称点为，则，解得，所以点关于直线的对称点为，故C正确； D：当直线经过原点时方程为，故D错误. 故选：AC. 10. 给出下列命题，其中正确是（ ） A. 向量，若夹角为钝角，则实数t的取值范围为 B. 在空间直角坐标系中，点关于坐标平面的对称点是 C. 已知向量是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底 D. 已知，则向量在向量上的投影向量是 【答案】BC 【解析】 【分析】由共线反向得到可判断A，坐标系中点的对称，可判定B；根据共面向量定理，可判定C；根据投影向量的计算方法，可判定D. 【详解】对于A，当时，共线反向，故A错； 对于B，由对称坐标表示可知点关于坐标平面对称点是，B正确， 对于C，若共面，则存在，使得， 由，则，显然这两个未知量无实数解， 所以也是空间的一个基底，C正确； 对于D中，由，，， 可得，则， 所以向量在向量上的投影向量为，所以D错误. 故选：BC 11. 如图，四棱锥的底面为正方形，底面，，设平面与平面的交线为，Q为上的点，下列说法正确的为（ ） A. B. 平面 C. 四棱锥的体积随Q点的移动而改变 D. 直线与平面所成角正弦值的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据线面平行的性质定理、线面垂直、锥体体积、线面角等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】由于平面平面， 所以平面， 由于平面与平面的交线为，平面， 所以，所以A选项正确. 由于底面，平面，所以， 由于平面，所以平面， 由于，所以平面，B选项正确. 由于平面，平面，所以平面， ，所以无论在何处，到平面的距离不变， 而三角形的面积不变，所以三棱锥的体积不变，C选项错误. 由上述分析可知两两相互垂直，以为原点建立如图所示空间直角坐标系， ，，设， 设平面的法向量为， 则，故可设， 设直线与平面所成角为， 所以. 当时，；当时，； 当时，，当且仅当时等号成立. 综上所述，直线与平面所成角的正弦值的最大值为，D选项正确. 故选：ABD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 过点两点的直线与直线平行，直线的倾斜角为，则___________ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意,求出直线的斜率和直线的斜率，由，二者斜率相等构造方程解得答案. 【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率， 过两点的直线的斜率， 由直线与直线平行， 所以解得. 故答案为：. 13. 直线和直线分别过定点和，则|________． 【答案】 【解析】 【分析】求出直线、所过定点的坐标，再利用平面内两点间的距离公式可求得的值. 【详解】将直线的方程变形为，由，可得，即点， 将直线的方程变形为， 由，可得，即点， 所以，. 故答案为：. 14. 如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角两个面内，并且都垂直于棱．若二面角的平面角为，且，，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件用空间向量的模的公式求出的长. 【详解】由条件知， 又二面角的平面角为，则，所以 ， 所以． 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知向量，，. （1）当时，若向量与垂直，求实数的值； （2）若向量与向量、共面，求实数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由可求出的值，由题意可得出，结合空间向量数量积的坐标运算可求得实数的值； （2）设，根据空间向量的坐标运算可得出关于、、的方程组，即可解得实数的值. 【小问1详解】 因为，所以，解得，即. 由，且， 得，解得. 【小问2详解】 因为向量与向量、共面，所以设， 因此， 即，解得，故的值为. 16. 在中，设角所对的边长分别为，且． （1）求角； （2）若的面积，，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边化角，或余弦定理角化边解决即可； （2）根据题意与面积公式求得， ，结合余弦定理得，由正弦定理得，即可解决. 【小问1详解】 解法一： 因为， 由正弦定理得： 所以 因为， 所以，即 因为， 所以． 解法二： 因为， 由余弦定理得： 整理得，即 又由余弦定理得， 所以，即 因为， 所以． 【小问2详解】 由（1）得， 因为的面积， 所以， 所以， 由于， 所以， 又由余弦定理：， 所以． 所以， 所以由正弦定理得， 所以． 17. 已知的边所在直线的方程分别为，，点在边上． （1）若为直角三角形，求边所在直线的方程； （2）若为的中点，求边所在直线的方程． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）先判断角不是直角，在分别讨论角或角为直角的情况，利用题意求解即可 （2）由题意可设，再利用条件求出参数，然后求出边所在直线的斜率，最后利用公式求解直线方程即可. 【小问1详解】 由的边所在直线的方程分别为，, 可知角不是直角， 若角是直角，由点在边上， 得边所在直线的方程为； 若角是直角，由边所在直线的方程为， 得边所在直线的斜率为，又点在边上， 所以边所在直线的方程为，即． 【小问2详解】 由题意可设，由为的中点，得， 将点的坐标代入边所在直线的方程， 得， 所以，解得，所以， 得边所在直线的斜率为， 所以边所在直线的方程为， 即． 18. 正方体的棱长为4，分别为中点，． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）法一、利用正方形的性质先证明，再结合正方体的性质得出平面，利用线面垂直的性质与判定定理证明即可；法二、建立空间直角坐标系，利用空间向量证明线面垂直即可； （2）利用空间向量计算面面夹角即可； （3）利用空间向量计算点面距离，再利用锥体的体积公式计算即可. 【小问1详解】 法一、在正方形中， 由条件易知，所以， 则， 故，即， 在正方体中，易知平面，且， 所以平面， 又平面，∴， ∵平面，∴平面； 法二、如图以D为中心建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设是平面的一个法向量， 则，令，则，所以， 易知，则也是平面的一个法向量，∴平面； 【小问2详解】 同上法二建立的空间直角坐标系， 所以， 由（1）知是平面的一个法向量， 设平面的一个法向量为，所以， 令，则，即， 设平面与平面的夹角为， 则； 【小问3详解】 由（1）知平面，平面，∴， 易知， 又，则D到平面的距离为， 由棱锥的体积公式知：. 19. 如图，在正四棱锥中，各棱长均为，为侧棱上的点，是中点. （1）若是中点，求直线与平面所成角的正弦值； （2）是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）设，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，得到，求得向量和平面的法向量，结合向量的夹角公式，即可求解； （2）设，得到，求得平面的法向量为，根据平面，利用，列出方程，求得的值，即可求解. 【小问1详解】 解：如图所示，设， 以点为坐标原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 在正方形中，由，可得， 又因为，所以，所以，可得， 则， 因为分别为中点，可得， 可得， 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以， 设直线与平面所成角为， 可得， 所以直线与平面所成角的正弦值. 【小问2详解】 解：因为， 可得， 设，可得， 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以， 若平面，可得， 即可得，解得，所以， 即存在点，使得平面，此时的值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大同二中2025-2026学年高二年级第一学期 第一次学情检测数学试卷 考试时间：120分钟 考试分数：150分 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知是虚数单位，则复数的实部和虚部分别为 A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，已知四棱锥是阳马，平面，且，若，则（    ） A. B. C. D. 3. 已知，若过点直线与线段相交，则该直线斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知为空间中四点，任意三点不共线，且，若四点共面，O不在该平面上，则的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. D. 9 5. 若平面的法向量为，平面的法向量为，直线的方向向量为，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 已知为直线的一个方向向量，点，，则点P到直线的距离为（ ）. A. 4 B. C. D. 7. 已知角是第三象限角，且满足，则（ ） A. B. C. D. 8. 在三棱柱中，与相交于点，，，，，则线段的长度是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. （多选）下列四个命题中真命题有（ ） A. 直线，设两直线分别过定点，，直线和直线的交点为，则 B. 已知直线与直线平行，则平行线间的距离是. C. 点关于直线的对称点为 D. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为. 10. 给出下列命题，其中正确的是（ ） A. 向量，若夹角为钝角，则实数t的取值范围为 B. 在空间直角坐标系中，点关于坐标平面的对称点是 C. 已知向量是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底 D. 已知，则向量在向量上的投影向量是 11. 如图，四棱锥的底面为正方形，底面，，设平面与平面的交线为，Q为上的点，下列说法正确的为（ ） A. B. 平面 C. 四棱锥体积随Q点的移动而改变 D. 直线与平面所成角正弦值的最大值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 过点两点的直线与直线平行，直线的倾斜角为，则___________ 13. 直线和直线分别过定点和，则|________． 14. 如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角两个面内，并且都垂直于棱．若二面角的平面角为，且，，则___________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知向量，，. （1）当时，若向量与垂直，求实数的值； （2）若向量与向量、共面，求实数值. 16. 在中，设角所对的边长分别为，且． （1）求角； （2）若的面积，，求的值． 17. 已知的边所在直线的方程分别为，，点在边上． （1）若为直角三角形，求边所在直线的方程； （2）若为的中点，求边所在直线的方程． 18. 正方体棱长为4，分别为中点，． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求三棱锥的体积． 19. 如图，在正四棱锥中，各棱长均为，为侧棱上的点，是中点. （1）若是中点，求直线与平面所成角的正弦值； （2）是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $