精品解析：福建省莆田第八中学2025-2026学年高二上学期第一次月考数学试题

2025-2026学年高二上第一次月考数学试卷 命题：程金镇 审核：高二数学备课组 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 若直线l经过点，，则直线l的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设直线l的倾斜角为，先求出直线的斜率，再由，即可得出答案. 【详解】设直线l的倾斜角为，， 直线l经过点，，则直线l的斜率为：， 所以，所以. 故选：D. 2. 在等差数列中，，，则（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式，求得数列的公差，结合，即可求解 【详解】因为等差数列中，，， 可得公差， 所以． 故选：B． 3. 已知数列为等差数列，，，，，设，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】结合等差数列和常数数列的性质，分别从充分性和必要性两个方面分析即可. 【详解】当数列是等差数列时，根据等差数列的性质，当时，有，所以是的充分条件； 当数列是等差数列且为常数数列时，由于是恒成立的，所以未必成立，所以是的不必要条件. 综上可知：是的充分不必要条件. 故选：A 4. 如图所示，直线与的图象可能是（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据斜截式方程的系数的几何意义，逐一判断各选项即得. 【详解】对于A，由的图象，可知，，即，， 而由的图象，可知，，产生矛盾，故A错误； 对于B，由的图象，可知，，即，， 而由的图象，可知，，产生矛盾，故B错误； 对于C，由的图象，可知，，即，， 此时由的图象，可知，，两者一致，故C正确； 对于D，由的图象，可知，，即，， 而由的图象，可知，，产生矛盾，故B错误. 故选：C. 5. 在等比数列中，是方程的两个实数根，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】利用韦达定理得到，，进而判断出，再利用等比中项性质求出，最后得到目标式的值即可. 【详解】由题意得在等比数列中，是方程的两个实数根， 则由韦达定理得，，故，得到， 由等比中项性质得，解得，得到，故A正确. 故选：A 6. 已知数列是公比为的等比数列.设甲：；乙：数列单调递增，则甲是乙的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】利用等比数列通项公式以及函数性质，分别对首项和公比分类讨论举反例可得结论. 【详解】当首项时，若，此时数列单调递减， 如，因此充分性不成立； 若数列单调递增，当首项，时，满足题意， 如，可知必要性不成立； 综上可知，甲是乙的既不充分也不必要条件. 故选：D 7. 已知直线l：的倾斜角为，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据倾斜角求出直线斜率，利用斜率建立方程求解即可. 【详解】因为直线l的倾斜角为，所以直线l的斜率为， 而直线的斜率为，所以，解得. 故选：B 8. 若a，b是方程的两个根，且a，b，2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则的值为 A. -4 B. -3 C. -2 D. -1 【答案】D 【解析】 【分析】 由韦达定理确定 ，，利用已知条件讨论成等差数列和等比数列的位置，从而确定的值． 【详解】由韦达定理得： ， ，所以 ， 由题意 这三个数可适当排序后成等比数列，且，则2一定在中间 所以，即 因为 这三个数可适当排序后成等差数列，且，则2一定不在 的中间 假设 ，则 即 故选D 【点睛】本题考查了等差数列和等比数列的基本性质，解决本题的关键是要掌握三个数成等差数列和等比数列的性质，如成等比数列，且 ，，则2必为等比中项，有． 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 已知数列的前项和为，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据递推公式计算出数列的前项，可判断AB选项；利用数列的周期性可判断C选项；利用数列的周期性求出的值，可判断D选项. 【详解】因为，，所以，，，，故A正确，B错误； 所以数列是以为周期的周期数列，则，故C正确； ，故D错误. 故选：AC. 10. 已知公差不为的等差数列的前项和为，且，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 是递减数列 D. 若，则的最大值是 【答案】BC 【解析】 【分析】根据等差数列的求和公式以及等差数列的性质求出的值，可判断B选项；由可判断A选项；利用数列的单调性可判断C选项；求出的表达式，解不等式可判断D选项. 【详解】对于AB选项，，解得，故，A错B对； 对于C选项，， 所以，故， 令，故， 所以，数列是递减数列，C对； 对于D选项，令，即，解得， 因为，故的最大值为，D错. 故选：BC. 11. 已知数列的前n项和是，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则是等差数列 B. 若，，则是等比数列 C. 若是等差数列，则，，成等差数列 D. 若是等比数列，则，，成等比数列 【答案】ABC 【解析】 【分析】求出通项公式判断AB；利用数列前n项和的意义、结合等差数列推理判断C；举例说明判断D作答. 【详解】对于A，，时，，解得，因此，，是等差数列，A正确； 对于B，，，则，而，是等比数列，B正确； 对于C，设等差数列的公差为，首项是， ， ， 因此，则 ，成等差数列，C正确； 对于D，若等比数列的公比，则 不成等比数列，D错误. 故选：ABC 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 已知为数列的前n项积，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】分和两种情况，结合的定义运算求解. 【详解】当时，则； 当时，则； 注意到也符合上式，所以. 故答案为：. 13. 等差数列中，若为的前项和，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先由等差数列的性质得，再由求和公式求解即可. 【详解】由等差数列性质可知，则， 所心. 故答案为：. 14. 已知数列的前项和为，且.若，则的最小值为__________. 【答案】7 【解析】 【分析】降次作差得，构造数列，求出，则得到，作差构造新数列，再证明其单调性即可得到答案. 【详解】因为， 两式相减得：，即. 两边同除以可得， 又，得，满足， 所以数列是首项为，公差为的等差数列，故， 即，所以， 因为， 令，则， 所以数列单调递增，因为， 所以当时，，即； 当7时，， 即.所以的最小值为7. 故答案为：7. 【点睛】关键点点睛：本题的关键首先是作差得到，然后是构造等差数列，从而得到，最后作差并结合数列的单调性即可. 四、解答题（共77分） 15. 已知正项等比数列{}满足 （1）求{}的通项公式： （2）求数列{}的前n项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等比数列的性质得到，从而求出公比，得到通项公式；（2）利用分组求和，等比数列求和公式进行计算. 【小问1详解】 由，得，解得： 又，所以，因为，所以，所以 【小问2详解】 16. 设数列的前项和为，若，. （1）证明：数列是等差数列； （2）求. 【答案】（1） ， 当时，， 两式相减得， 又 ， 故，且， 所以数列是以3为首项，公差为2的等差数列. （2）210 【解析】 【分析】（1）降次作差得，再升次作差即可； （2）直接累加并利用等差数列求和公式即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知， 所以 . 17. 设是数列的前n项和，. （1）求的通项公式，并求的最小值； （2）设，求数列的前n项和. 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（1）代入计算，当时，令，计算结果即可求出的通项公式； （2）写出数列与数列的关系，结合数列的前n项和公式即可求出数列的前n项和. 【小问1详解】 由数列的前n项和， 当时，； 当时， ； 令时，，满足题意， 所以数列的通项公式， 由得， ∴时，时， ∴的最小值为. 【小问2详解】 由（1）知，当时，； 时，，， 当时，. 当时，， ∴. 18. 已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程： （1）过定点A（－3，4）； （2）斜率为． 【答案】（1）2x＋3y－6＝0或8x＋3y＋12＝0；（2）x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0． 【解析】 【详解】试题分析：（1）要求直线方程，关键是求得直线的斜率，为此设直线方程为y＝k（x＋3）＋4，求出直线的横、纵截距，再利用直线与坐标轴围成的三角形面积为3求出k；（2）已知直线斜率，只要设直线方程为y＝x＋b，同样求得横截距是－6b，由|－6b·b|＝6，求得b值，得直线方程． 试题解析：（1）设直线l的方程是y＝k（x＋3）＋4，它在x轴，y轴上的截距分别是－－3，3k＋4， 由已知，得（3k＋4）＝±6，解得k1＝－或k2＝－． 故直线l的方程为2x＋3y－6＝0或8x＋3y＋12＝0． （2）设直线l在y轴上的截距为b，则直线l的方程是 y＝x＋b，它在x轴上的截距是－6b，由已知，得|－6b·b|＝6，∴b＝±1． ∴直线l的方程为x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0． 考点：直线方程． 19. 已知数列的前n项和满足． （1）求的通项公式； （2）若，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据数列前项和与通项的关系来求解数列的通项公式，最后需要检验时的情况是否满足时的通项公式． （2）已知条件得到关于的不等式，通过构造数列，求出数列的最小值，进而确定的取值范围． 【小问1详解】 ，则当时，， 当时，，不符合， 所以． 【小问2详解】 因为，，所以，． 令，则， 当时，不妨设的第n项的值最小， 只需令， 解得， 又， 所以的最小值为， 所以，即的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二上第一次月考数学试卷 命题：程金镇 审核：高二数学备课组 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 若直线l经过点，，则直线l的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 在等差数列中，，，则（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 3. 已知数列为等差数列，，，，，设，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 如图所示，直线与的图象可能是（   ） A. B. C. D. 5. 在等比数列中，是方程的两个实数根，则（ ） A. B. C. D. 3 6. 已知数列是公比为的等比数列.设甲：；乙：数列单调递增，则甲是乙的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知直线l：的倾斜角为，则（ ） A. B. 1 C. D. 8. 若a，b是方程的两个根，且a，b，2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则的值为 A. -4 B. -3 C. -2 D. -1 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 已知数列的前项和为，，，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知公差不为的等差数列的前项和为，且，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 是递减数列 D. 若，则的最大值是 11. 已知数列的前n项和是，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则是等差数列 B. 若，，则是等比数列 C. 若是等差数列，则，，成等差数列 D. 若是等比数列，则，，成等比数列 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 已知为数列的前n项积，且，则______． 13. 等差数列中，若为的前项和，则______． 14. 已知数列的前项和为，且.若，则的最小值为__________. 四、解答题（共77分） 15. 已知正项等比数列{}满足 （1）求{}的通项公式： （2）求数列{}的前n项和. 16. 设数列的前项和为，若，. （1）证明：数列是等差数列； （2）求. 17. 设是数列的前n项和，. （1）求的通项公式，并求的最小值； （2）设，求数列的前n项和. 18. 已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程： （1）过定点A（－3，4）； （2）斜率为． 19. 已知数列的前n项和满足． （1）求的通项公式； （2）若，恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $