专题05 相似与其他章节综合压轴题（折叠综合最值动点5类40道）（压轴题专项训练，重庆专用）数学人教版九年级下册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题05相似与其他章节综合压轴题 (折叠综合最值动点5类40道) 类型1相似相关几何求解 类型2相似与圆综合 相似与其他章节综合压 类型3相似与反比例函数综合 轴题 类型4相似与二次函数综合 类型5相似相关几何证明压轴题 目目 类型01 相似相关几何求解 1.如图，在正方形ABCD中，E、F分别为边AB、BC延长线上两点，连接DE、EF,LDEF=45°， DE交BC于点G,若CG=3BG,则GE的值为() CR D G A.5 B.5 C. D. 4 2 > 【答案】B 【详解】解：如图所示，连接BD, B 1/90 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :四边形ABCD是正方形， ∴BC=CD,∠DBC=45°，∠BCD=90°，AB∥CD, :CG=3BG, 可设CG=3x,BG=x, .CD=BC=x+3x=4x, DG=CG2+CD2=5x; AB∥CD, ∴.△CDGn△BEG, EG BG 1 DG CG3' EG- 5 :∠DEF=LDBG=45,∠BGD=∠EGF, ∴.△BGD∽△EGF, GF EG 5 GD BG 即GF_3, 5x x 25 ..GF= 3 X, 16 .CF=GF-CG= X, 3 GE -x 3 CF 16 16 故选：B. 2.在正方形ABCD中，点E为AB中点，点F在对角线BD上，且BD=6BF,连接EF,过点F作 EF⊥FM交CD于M, FM的值为() D 2/90 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D M A.V B.√2 C.2 D.5 【答案】D 【详解】解：如图，延长MF交AB于H,过H作HG⊥CD于G,设BH=x,EH=y, A 0 M E H B C :四边形ABCD是正方形， 四边形BCGH是矩形，AB∥CD,AB=BC=CD, :BH=CG=x,HG=BC, :E为AB的中点， .AB=2BE=2x+2y=CD=BC=HG, :BD=6BF,AB∥CD, .△BHF∽△DMF, HF BH BFBF 1 MF DM DF5BF=5' .DM =5x,MF =5HF, .MG=2x+2y-5x-x=2y-4x,HF= H, 6 :∠EFH=90°=LHGM=LEHG, .∠FEH=90°-LEHF=∠GHM, aEHF∽a△HMG, 3/90 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 EH HF HM MG .HF.HM y(2y-4x), .HM2=6y(2y-4x=12y2-24xy, (2x+2y)+(2y-4x)2=12y2-24xy, y2-4xy-5x2=0, 解得：y=5x或y=-x(舍去)， HM2=12×25x2-24x.5x=180x2, :HM=65x, :.FM=55x, FM_55x=5. DM 5x 故选：D 3.如图，在ABC中，∠ABC=45°，CD是AB边上的中线，将CD绕着点C顺时针旋转90°，得到CE, 连接BE,交CD于点F.若BC=6,SA4Bc=I2,则BE=() E D A.46 B.310 C.9 D.45 【答案】D 【详解】解：过E作EM⊥BC交BC延长线于M,过D作DN⊥BC,过A作AH⊥BC, E :BC=6,SA4Bc=12, B H M :S.ABC=BC.AH =3AH =12, 解得AH=4, 4/90 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :∠ABC=45°，AH1BC, .∠ABH=∠BAH=45°， .BH=AH=4, :DN⊥BC,AH⊥BC, .DN‖AH, BN BD HN AD 又D为AB中点， :BD AD, BN BD =1, “HNAD :BN =HN, :DN为中位线， :.DN=IAH=2, :CD绕着点C顺时针旋转90°， .∠DCE=90°，CD=CE, :∠NCD+∠ECM=90°， 又：EM⊥BC, :∠ECM+∠CEM=90°， ·.∠NCD=∠CEM, :DN⊥BC, :∠NCD+∠NDC=90°， .∠NDC=∠MCE, 在△CND和△EMC中， ∠NCD=∠CEM CD=CE ∠NDC=∠MCE ∴△CND≌AEMC(ASA), .∴.DN=CM=2,CN=EM=4, 5/90 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 在RtaBEM中，BE=VBM2+EM=V6+22+42-4V5 故选：D. 4.如图，在正方形ABCD中，点E是AB上一点，连接DE,CF⊥DE,连接BF,若BF=BC· BE的 D 值为() B.2 c.5 D. 3 5 【答案】D 【详解】解：过点B作BH⊥CF,如图所示： D F H C :四边形ABCD是正方形， AB=CB=CD=AD,∠A=∠BCD=90°，AB∥CD, 即∠1+∠2=90°，∠3=∠AED, :BF=BC,BH⊥CF, ∠BHC=90°，CH=FH, :CF⊥DE, ∴.∠CFD=90°，∠2+∠3=90°， ∠1=∠3， CB=CD,∠BHC=∠CFD=90°， .△BHC≌△CFD, .CH FD, CH=FH, 则CF=2DF, 设AB=CB=CD=AD=r, 6/90 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 在Rt△FDC中，CF2+FD2=CD2, (2FD)2+FD2=r2, 即5FD2=r2, FD= ,CF=2 5 :∠A=∠BCD=90°，∠3=∠AED, .△ADE∽△FCD, .AE=AD_ED FD FC CD AE=- ED .5r 2v5r r, 5 5 ÷AE=ED= 2 11 .BE=r-AE=r-二r=-r, 2 2 1 BE-2' 125 =一rX DE 5r 故选：D 5.如图，点E是正方形ABCD中CD上一点，当点E是CD的中点，连接BE,过点C作CH⊥BE于点F, 交对角线BD于点G,交AD边于点H,连接GE, GE的比值为(） G H B A. c D. 2 3 【答案】C 【详解】解：：四边形ABCD是正方形，CH⊥BE, ∴.∠DCH+∠BEC=90°，∠CBE+∠BEC=90°， ∠DCH=∠CBE, 又：DC=BC,∠HDC=∠ECB=90°， 7/90 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :△HDC≌△ECB(ASA), :DH =CE,CH=BE, :点E是CD的中点， 点H是AD的中点， .DH=DE, ∠HDG=∠EDG=45°，DH=DE,DG=DG, △HDG≌aEDG(SAS), .HG=GE, :AD//BC, .∠HDG=∠CBG,∠DHG=∠BCG, △DGHn△BGC, HG DG DH 1 CG GB BC 2' 假设DH=CE=a,则BC=2a, 由勾股定理得CH=BE=VCE2+BC2=√5a, 由等面积法可得CF=BC·CE_2V5a BE 5 ÷HG=Hc=5a,CG=2HC= 2 25a 3 3 GF-CG-CF=2V5a_2J5a_45a 3515 a GE HG 3 5 GFGF 45a4 15 故选：C 6.在正方形ABCD中，M是边CD上一点，满足BC=3CM,连接BM交AC于点N,延长BN到点P使得 NP=BN,则CP =() BC 8/90 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 M A.2 8.5 C.v10 D.25 2 3 4 5 【答案】A 【详解】解：连接BD交AC于点E, E M B :四边形ABCD是正方形， .AB-BC-DC.AE-CE-TAC.BE-DE-BD HAC-BD,AC1. BE=CE=DE,AC=2CE,∠CED=90°， AB=BC =3CM CM1 AB 3' :CM∥AB, △CMN∽△ABN, CN CM 1 ANAB-3' 1AC=4 1 CN=- C, 1+3 4 .AC=4CN, ∴.2CE=4CN, :CE =2CN, .CN EN, 在△CPN和△EBN中， CN=EN ∠PNC=∠BNE, PN=BN 313u 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :aCPN≌△EBN(SAS, .PC=BE=DE,∠PCN=∠BEN, .PC∥DE, 四边形PCED是正方形， CP-CE-Be. 2 CP2 BC 2 故选：A· 7.如图，在菱形ABCD中，O为对角线AC中点，将AB绕顶点A逆时针旋转至AE,使E点恰好落在BC 上，连接0E,OD.若OE1BC,则OE的值为() OD D B E C A. B. 2 2 c.3 D. 【答案】D 【详解】解：作AF⊥BC于点F, A D ■ B E :OE⊥BC, .OE∥AF, CO_CE OA EF :O为菱形ABCD对角线AC中点， C0=0A, 10/90 专题05 相似与其他章节综合压轴题 （折叠综合最值动点5类40道） 地 城 类型01 相似相关几何求解 1．如图，在正方形中，、分别为边、延长线上两点，连接、，，交于点，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．在正方形中，点为中点，点在对角线上，且，连接，过点作交于，则的值为（    ）    A． B． C．2 D． 3．如图，在中，，是边上的中线，将绕着点C顺时针旋转，得到，连接，交于点F．若，，则（   ） A． B． C．9 D． 4．如图，在正方形中，点E是上一点，连接，，连接，若．则的值为（  ） A． B． C． D． 5．如图，点是正方形中上一点，当点是的中点，连接，过点作于点，交对角线于点，交边于点，连接，的比值为（   ） A． B． C． D． 6．在正方形中，是边上一点，满足，连接交于点，延长到点使得，则（    ） A． B． C． D． 7．如图，在菱形中，O为对角线中点，将绕顶点A逆时针旋转至，使E点恰好落在上，连接．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 8．如图，在边长为5的正方形中，，连接，交于点H，连接交于点G，连接交于点M，则（   ） A． B． C． D． 9．如图，在中直径，为圆上一点，，为的中点，连接，分别交，于，两点，则的度数为 ；点到直线的距离为 地 城 类型02 相似与圆综合 10．如图，⊙是锐角的外接圆，为⊙的切线，连接交于点，交圆于点，点恰好为的中点，连接并延长交于点，连接、．若，，，则 ，的周长为 ． 11．如图，四边形内接于圆，为圆直径，、交于点，点是的中点，切圆于，交延长线于．若，点到的距离为1，则 ， ． 12．如图，在中，弦与直径交于点，点是圆上一点，点为的中点，过点的切线与延长线交于点，且，若，，则 ， ． 13．如图，四边形内接于圆O，为圆O直径，、交于点E，点B是的中点，切圆O于D，交延长线于G．若，点O到的距离为，则= ， ． 14．如图，以为直径的，点E在圆外，且，与交于点D，过D作于点H，连接交于点F、交于点G．若，，则 ， ． 15．如图，与圆O相切于点B，C，D是圆O上的两个点，连接，并延长交圆O于点E．若B为劣弧的中点，，，则 ，圆O的半径长是 ． 16．如图，四边形内接于圆O，连结，为圆O的直径，E是的中点．过点E作圆O的切线，交的延长线于点F，且，，，则的长为 ，圆O的半径为 ． 17．如图，在平面直角坐标系中，已知为反比例函数图象上一点，点在正半轴上，且为等边三角形．地 城 类型03 相似与反比例函数综合 （1） ； （2）为边上一点，点在负半轴上，连接交于点，若，则经过点的反比例函数的解析式为 ． 18．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线分别交反比例正数的图象于点A、，直线交轴于点，若，则的值为 ． 19．如图，矩形的两边在坐标轴上，且，M，N分别为的中点，与交于点E，且四边形的面积为1，则经过点B的反比例函数的解析式为 ． 20．如图，的顶点A、B在反比例函数的图象上，，，将沿直线翻折，得到，点A的对应点为点C，线段交x轴于点D，则的值为 ． 21．如图，正方形的顶点是坐标原点，顶点在轴的正半轴上，，点是边的中点，连接，点在上且，过点作交于点，交于点，连接，过点作，垂足为，若边上有一点与点在同一反比例函数的图象上，则点的坐标为 ． 22．如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（-2，-2），∠BAC=45°，分别交x轴、y轴的正半轴于点B、C，点D是BC上一点，且，则点D经过的反比例图象的函数解析式是 ．    23．如图，点A，B，C在反比例函数的图象上，且直线经过原点，点C在第二象限，连接并延长交x轴于点D，连接，若的面积为5，且，则 ． 24．如图所示，正方形与（其中边，分别在，轴的正半轴上）的公共顶点在反比例函数的图象上，直线与，轴分别相交于点，．若这两个正方形的面积之和是，且．则的值是 ． 25．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，点为抛物线的顶点，直线交轴于点．地 城 类型04 相似与二次函数综合 (1)求该抛物线的表达式； (2)点是第三象限内抛物线上的一个动点，作轴交于点． ①求线段的最大值及此时点的坐标； ②是否存在点，使得以点为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 26．如图，已知二次函数的图像与x轴交于和两点，与y轴相交于点C， (1)求抛物线的解析式． (2)在是否存在一点P，使的值最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． (3)点N在第一象限内的抛物线上，在x轴是否存在点M，使得以O、M、N为顶点的三角形与相似？若存在，求此点M坐标；若不存在，说明理由． 27．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与坐标轴交于A、B、C三点．其对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)直线交抛物线于点D（D在第一象限内），交BC于点E，交x轴于点F． ①求的最大值； ②点G是AC的中点，若以点C，D，E为顶点的三角形与相似，求点D的坐标． 28．如图1，抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点，其对称轴直线与x轴相交于点D，点M为抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)点F是第四象限内抛物线上的一个动点，点F运动到何处时，的面积最大？求出此时点F的坐标； (3)如图2，延长交x轴于点E，若点P是线段上的一个动点，是否存在以点P、E、O为顶点的三角形与相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 29．如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知点B的坐标是，． (1)求该抛物线的解析式； (2)点P是直线下方抛物线上一动点，过点P作轴交直线于点Q，求的最大值及此时P点的坐标； (3)点D是y轴上一动点，若以D、C、B为顶点的三角形与相似，求出符合条件的点D的坐标． 30．在平面直角坐标系中，二次函数． 的图象与x轴交于，两点， 与y轴交于点C． (1)求这个二次函数的解析式； (2)点P是x轴上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使的面积最大？ 若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； (3)点Q是x轴上方的抛物线上一动点，过点Q作垂直于x轴，垂足为E．是否存在点Q，使以点 为顶点的三角形与相似？ 若存在，直接写出点 Q的坐标；若不存在，说明理由． 31．已知，抛物线经过点和． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上，存在一点P，使的值最小．求点P的坐标； (3)若点M在抛物线上，轴于N点，且与相似，直接写出点M的坐标． 32．已知：抛物线与轴交于、两点(点在点左侧)，对称轴为直线，抛物线的顶点为，与轴的交点为，点、都在直线上，为抛物线上第二象限内一动点且不与点重合． (1)求该抛物线的关系式； (2)如图，直线与相交于点，若以、、为顶点的三角形与相似，请求出点的横坐标； (3)过点的直线与抛物线交于点，若，直线是否过一定点？若过定点，请直接写出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 33．如图，为等腰三角形，，，点为边的中点．过点作，连接交边于点，且．将绕着点顺时针旋转，使得点与延长线上的点重合，交边于点．地 城 类型05 相似相关几何证明压轴题 (1)如图1，求的度数； (2)如图1，求证：； (3)如图2，平分交延长线于点，连接，当时，请直接写出四边形的面积． 34．已知：在矩形中，E为的中点，作于点F．    (1)如图（1），求证：； (2)如图（1），若，求的值； (3)如图（2），连结交于G，若，求的值． 35．在中，，，点为平面内一点，连接，点为中点，连接． (1)如图，点在边上，若，求的度数（用含的代数式表示）； (2)如图，点在内，连接，若，求证：； (3)如图，，点在内且，当取最小值时，把沿着翻折到的同一平面得到，请直接写出四边形的面积． 36．已知，为等腰直角三角形，，点D为中点，点E为上一点，连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，过点F作，交延长线于点N，交延长线于点M． (1)如图1，当点E与点D重合时，求证：； (2)如图2，连接， ①用等式表示线段与的数量关系，并证明； ②若，取中点O，连接，补全图形，并直接写出在旋转过程中的最小值． 37．在中，． (1)如图 1，若，，求的面积； (2)如图 2，D为上一点，，F为延长线上一点，连接并延长至点G，使得，连接，过点C作交延长线于E，若，请猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图 3，，，D为线段上一动点，将关于对称得到，连接，将绕E顺时针旋转得到，连接，直接写出的最小值． 38．中，，将绕点A逆时针旋转到，直线与直线交于点E，过点D作交延长线于点F． (1)如图1，当时，连接，若，求的长度； (2)如图2，若点G为的中点，连接，请用等式表示线段之间的数量关系并证明； (3)如图3，在（2）的条件下，，，连接，点P为边上一动点，连接，以为直角边在其右侧作等腰直角，，并将绕点Q旋转至，连接，请直接写出当和均取得最小值时的面积． 39．在中，，，点D是平面内任意一点． (1)如图1，若点D是边上一点，，连接，于点O，求的度数． (2)如图2，若点D在边的下方，连接，并将绕点C顺时针方向旋转至，连接，，点F是的中点，连接，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． (3)如图3，点M是边的中点，点D在边的左侧，连接，将绕点M逆时针方向旋转至，连接，若，，请直接写出此时的值． 40．在中，，将线段绕点B逆时针旋转一定角度至线段，连接，过点A作于点E． (1)如图1，若，，且，连接，求线段的长度； (2)如图2，若，在上取点F，若，求证：； (3)如图3，若，，点P在射线上，点Q在射线上，且，连接，，当最小时，直接写出此时点E到的距离． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $