综合专题03 函数（陕西专用）-【好题汇编】5年（2021-2025）中考1年模拟数学真题分类汇编

专题03 函数（陕西专用） 考点1 一次函数与正比例函数 1．（2021·陕西·中考）在平面直角坐标系中，若将一次函数的图象向左平移3个单位后，得到一个正比例函数的图象，则m的值为（   ） A．-5 B．5 C．-6 D．6 【答案】A 【来源】陕西省2021年中考数学真题 【分析】根据函数图像平移的性质求出平移以后的解析式即可求得m的值． 【详解】解：将一次函数的图象向左平移3个单位后 得到的解析式为：， 化简得：， ∵平移后得到的是正比例函数的图像， ∴， 解得：， 故选：A． 【点睛】本题主要考查一次函数图像的性质，根据“左加右减，上加下减”求出平移后的函数解析式是解决本题的关键． 2．（2021·陕西·中考）在一次机器“猫”抓机器“鼠”的展演测试中，“鼠”先从起点出发，1min后，“猫”从同一起点出发去追“鼠”，抓住“鼠”并稍作停留后，“猫”抓着“鼠”沿原路返回“鼠”、“猫”距起点的距离与时间之间的关系如图所示． （1）在“猫”追“鼠”的过程中，“猫”的平均速度与“鼠”的平均速度的差是______； （2）求的函数表达式； （3）求“猫”从起点出发到返回至起点所用的时间． 【答案】（1）1；（2）；（3） 【来源】陕西省2021年中考数学真题 【分析】（1）根据图象得到“猫”追上“鼠”时的路程与它们的用时，再求平均速度差即可； （2）找出A点和B点坐标，运用待定系数法求出直线AB的解析式即可； （3）令，求出的值，再减去1即可得解． 【详解】解：（1）从图象可以看出“猫”追上“鼠”时，行驶距离为30米，“鼠”用时6min，“猫”用时（6-1）=5min， 所以，“猫”的平均速度与“鼠”的平均速度的差是 故答案为：1； （2）由图象知，A（7，30），B（10，18） 设的表达式， 把点A、B代入解析式得， 解得， ∴． （3）令，则． ∴． 14.5-1=13.5(min) ∴“猫”从起点出发到返回至起点所用的时间为． 3．（2022·陕西·中考）在同一平面直角坐标系中，直线与相交于点，则关于x，y的方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】2022年陕西省中考数学真题（A卷） 【分析】先把点P代入直线求出n，再根据二元一次方程组与一次函数的关系求解即可. 【详解】解：∵直线与直线交于点P（3，n）， ∴， ∴， ∴， ∴1=3×2+m， ∴m=-5, ∴关于x，y的方程组的解. 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，二元一次方程与一次函数的关系，准确计算是解题的关键． 4．（2023·陕西·中考）在平面直角坐标系中，直线（m为常数）与x轴交于点A，将该直线沿x轴向左平移6个单位长度后，与x轴交于点．若点与A关于原点O对称，则m的值为（   ） A． B．3 C． D．6 【答案】B 【来源】2023年陕西省中考数学真题（副题） 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征．根据平移的规律和关于原点对称的特点求得，再利用待定系数法求解即可． 【详解】解：∵将该直线沿x轴向左平移6个单位长度后，与x轴交于点，若点与A关于原点O对称， ∴ ∴， ∵点在直线上， ∴， 解得， 故选：B． 5．（2023·陕西·中考）某农科所对当地小麦从抽穗期到灌浆期连续天的累计需水量进行研究，得到当地每公顷小麦在这天内累计需水量与天数之间的关系如图所示，其中，线段，分别表示抽穗期、灌浆期的与之间的函数关系． (1)求这天内，与之间的函数关系式； (2)求当地每公顷小麦在整个灌浆期的需水量． 【答案】(1) (2) 【来源】2023年陕西省中考数学真题（副题） 【分析】（1）依据题意，分和两段通过待定系数法可以得解； （2）依据题意，令时求出需水总量，再减去前天的需水量，即可得解． 【详解】（1）解：由题意，当时，设， ∴， ， ∴， 当时，设关系式为， ∴， 解得：， ∴， 综上，所求函数关系式为． （2）解：由题意，令， ∴， 又当时，， 每公顷小麦在整个灌浆期的需水量为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，求一次函数解析式，根据函数图象获取信息，求一次函数值，解题的关键是熟练掌握待定系数法，求出函数解析． 6．（2024·陕西·中考）一个正比例函数的图象经过点和点，若点A与点B关于原点对称，则这个正比例函数的表达式为 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】2024年陕西省中考数学试题 【分析】本题考查正比例函数的图象，坐标与中心对称，根据关于原点对称的两个点的横纵坐标均互为相反数，求出的坐标，进而利用待定系数法求出函数表达式即可． 【详解】解：∵点A与点B关于原点对称， ∴， ∴，， 设正比例函数的解析式为：，把代入，得：， ∴； 故选A． 7．（2024·陕西·中考）我国新能源汽车快速健康发展，续航里程不断提升，王师傅驾驶一辆纯电动汽车从A市前往B市，他驾车从A市一高速公路入口驶入时，该车的剩余电量是，行驶了后，从B市一高速公路出口驶出，已知该车在高速公路上行驶的过程中，剩余电量与行驶路程之间的关系如图所示． (1)求y与x之间的关系式； (2)已知这辆车的“满电量”为，求王师傅驾车从B市这一高速公路出口驶出时，该车的剩余电量占“满电量”的百分之多少． 【答案】(1)y与x之间的关系式为； (2)该车的剩余电量占“满电量”的． 【来源】2024年陕西省中考数学试题 【分析】本题考查了一次函数的应用，正确理解题意、求出函数关系式是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得当时，y的值，再计算即可求解． 【详解】（1）解：设y与x之间的关系式为， 将，代入得， 解得， ∴y与x之间的关系式为； （2）解：当时，， ， 答：该车的剩余电量占“满电量”的． 8．（2025·陕西·中考）在平面直角坐标系中，过点，的直线向上平移3个单位长度，平移后的直线经过的点的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】2025年陕西省中考数学试题 【分析】本题考查了一次函数的平移性质，求一次函数的解析式，先根据点，，求出这条直线的解析式为，结合平移的性质，得平移后的直线解析式为，再将每个选项进行验证，即可作答． 【详解】解：设过点，的直线解析式为， 把点，分别代入， 得， ∴， ∴， ∵过点，的直线向上平移3个单位长度， ∴平移后的直线解析式为， 当时，则， 即在直线上，故B选项符合题意，故A选项不符合题意； 当时，则， 即在直线上，故D选项不符合题意； 当时，则， 即在直线上，故C选项不符合题意； 故选：B 考点2 反比例函数 9．（2021·陕西·中考）若，是反比例函数图象上的两点，则、的大小关系是 （填“>”、“=”或“<”） 【答案】< 【来源】陕西省2021年中考数学真题 【分析】先根据不等式的性质判断，再根据反比例函数的增减性判断即可． 【详解】解：∵ ∴ 即 ∴反比例函数图像每一个象限内，y随x的增大而增大 ∵1<3 ∴< 故答案为：<． 【点睛】本题考查反比例函数的增减性、不等式的性质、熟练掌握反比例函数的性质是关键． 10．（2022·陕西·中考）已知点A(−2，m)在一个反比例函数的图象上，点A′与点A关于y轴对称．若点A′在正比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式为 ． 【答案】y= 【来源】2022年陕西省中考数学真题（A卷） 【分析】根据点A与点A′关于y轴对称，得到A′(2，m)，由点A′在正比例函数的图象上，求得m的值，再利用待定系数法求解即可． 【详解】解：∵点A与点A′关于y轴对称，且A(−2，m)， ∴A′(2，m)， ∵点A′在正比例函数的图象上， ∴m=×2， 解得：m=1， ∴A(−2，1)， 设这个反比例函数的表达式为y=， ∵A(−2，1) 在这个反比例函数的图象上， ∴k=-2×1=-2， ∴这个反比例函数的表达式为y=， 故答案为：y=． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、关于x轴、y轴对称的点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，求出m的值． 11．（2023·陕西·中考）如图，在矩形和正方形中，点A在y轴正半轴上，点C，F均在x轴正半轴上，点D在边上，，．若点B，E在同一个反比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式是 ． 【答案】 【来源】2023年陕西省中考数学试卷（A卷） 【分析】设正方形的边长为m，根据，，得到，根据矩形对边相等得到，推出，根据点B，E在同一个反比例函数的图象上，得到，得到，推出． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 设正方形的边长为m， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设反比例函数的表达式为， ∴， 解得或（不合题意，舍去）， ∴， ∴， ∴这个反比例函数的表达式是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数，解决问题的关键是熟练掌握矩形性质，正方形性质，反比例函数性质，k的几何意义． 12．（2023·陕西·中考）若点，，都在同一个反比例函数的图象上，则的大小关系是 ．（填“”“”或“”） 【答案】 【来源】2023年陕西省中考数学真题（副题） 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，先由点求出解析式，再把所给点的横纵坐标代入反比例函数的解析式，求出的值，比较大小即可，掌握反比例函数图象上点的横纵坐标的积等于比例系数是解题的关键． 【详解】解：设反比例函数为， ∵点在反比例函数图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∵点在反比例函数图象上， ∴， ∴， 故答案为：． 13．（2024·陕西·中考）已知点和点均在反比例函数的图象上，若，则 0． 【答案】/小于 【来源】2024年陕西省中考数学试题 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，先求出，，再根据，得出，最后求出即可． 【详解】解：∵点和点均在反比例函数的图象上， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 14．（2025·陕西·中考）如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点，则的值为 ． 【答案】9 【来源】2025年陕西省中考数学试题 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，求反比例函数的解析式，关于原点对称的点的性质，先根据题意得出，，解得，，即，再把代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点， ∴，两点关于原点对称， 即A的横坐标与B的横坐标互为相反数，A的纵坐标与B的纵坐标互为相反数， ∴，， ∴，， ∴， 把代入， 得， 解得， 故答案为：9． 考点3 二次函数基础 15．（2021·陕西·中考）下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值： … -2 0 1 3 … … 6 -4 -6 -4 … 下列各选项中，正确的是 A．这个函数的图象开口向下 B．这个函数的图象与x轴无交点 C．这个函数的最小值小于-6 D．当时，y的值随x值的增大而增大 【答案】C 【来源】陕西省2021年中考数学真题 【分析】利用表中的数据，求得二次函数的解析式，再配成顶点式，根据二次函数的性质逐一分析即可判断． 【详解】解：设二次函数的解析式为， 依题意得：，解得：， ∴二次函数的解析式为=， ∵， ∴这个函数的图象开口向上，故A选项不符合题意； ∵， ∴这个函数的图象与x轴有两个不同的交点，故B选项不符合题意； ∵，∴当时，这个函数有最小值，故C选项符合题意； ∵这个函数的图象的顶点坐标为(，)， ∴当时，y的值随x值的增大而增大，故D选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的性质，利用二次函数的性质解答是解题关键． 16．（2022·陕西·中考）已知二次函数y=x2−2x−3的自变量x1，x2，x3对应的函数值分别为y1，y2，y3．当−1<x1<0，1<x2<2，x3>3时，y1，y2，y3三者之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】2022年陕西省中考数学真题（A卷） 【分析】先求得抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线与x轴的交点坐标，画出草图，利用数形结合，即可求解． 【详解】解：y=x2−2x−3=(x-1)2-4， ∴对称轴为直线x=1， 令y=0，则(x-1)2-4=0， 解得x=-1或3， ∴抛物线与x轴的交点坐标为(-1，0)，(3，0)， 二次函数y=x2−2x−3的图象如图： 由图象知． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．利用数形结合解题是关键． 17．（2023·陕西·中考）在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图像经过点，其对称轴在轴左侧，则该二次函数有（    ） A．最大值 B．最大值 C．最小值 D．最小值 【答案】D 【来源】2023年陕西省中考数学试卷（A卷） 【分析】将代入二次函数解析式，进而得出的值，再利用对称轴在轴左侧，得出，再利用二次函数的顶点式即可求出二次函数最值． 【详解】解：将代入二次函数解析式得：，解得：，， ∵二次函数，对称轴在轴左侧，即， ∴， ∴， ∴， ∴当时，二次函数有最小值，最小值为， 故选：． 【点睛】此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数的最值，正确得出的值是解题关键． 18．（2023·陕西·中考）下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值： x … 0 3 5 … y … 16 0 … 则下列关于这个二次函数的结论中，正确的是（   ） A．图象的顶点在第一象限 B．有最小值 C．图象与x轴的一个交点是 D．图象开口向下 【答案】C 【来源】2023年陕西省中考数学真题（副题） 【分析】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是学会根据表格中的信息求得函数的解析式．由表格中的几组数求得二次函数的解析式，然后通过函数的性质得到结果． 【详解】解：设二次函数的解析式为, 由题意知 ， 解得， ∴二次函数的解析式为， ∴函数的图象开口向上，顶点为， ∴顶点在第四象限，函数有最小值， 令，则， ∴或， ∴图象与x轴的一个交点是和， 故A、B、D选项不正确，选项C正确，符合题意． 故选：C． 19．（2024·陕西·中考）已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如下表， x … 0 3 5 … y … 0 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ 　　 ） A．图象的开口向上 B．当时，y的值随x的值增大而增大 C．图象经过第二、三、四象限 D．图象的对称轴是直线 【答案】D 【来源】2024年陕西省中考数学试题 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质．先利用待定系数法求得二次函数解析式，再根据二次函数的性质逐一判断即可． 【详解】解：由题意得，解得， ∴二次函数的解析式为， ∵， ∴图象的开口向下，故选项A不符合题意； 图象的对称轴是直线，故选项D符合题意； 当时，y的值随x的值增大而增大，当时，y的值随x的值增大而减小，故选项B不符合题意； ∵顶点坐标为且经过原点，图象的开口向下， ∴图象经过第一、三、四象限，故选项C不符合题意； 故选：D． 20．（2025·陕西·中考）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴有两个交点，且这两个交点分别位于轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是（    ） A．图象的开口向下 B．当时，的值随值的增大而增大 C．函数的最小值小于 D．当时， 【答案】D 【来源】2025年陕西省中考数学试题 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，由二次函数图象与x轴有两个交点且位于y轴两侧，说明对应方程的两根异号，即常数项与二次项系数符号相反，结合开口方向、顶点坐标及特定点函数值分析选项即可. 【详解】解：由题意可得：方程的两根异号， ∴， 解得， ∴二次项系数，开口向上，故A不符合题意； ∵的对称轴为直线， ∴当时，y随x增大而增大，故B不符合题意； ∵当时，， ∴最小值为，故C不符合题意； 当时，， ∵， ∴此时，故D符合题意； 故选：D 考点4 二次函数应用与综合 21．（2022·陕西·中考）现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段表示水平的路面，以O为坐标原点，以所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：，该抛物线的顶点P到的距离为． (1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式； (2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A、B处分别安装照明灯．已知点A、B到的距离均为，求点A、B的坐标． 【答案】(1) (2) 【来源】2022年陕西省中考数学真题（A卷） 【分析】（1）根据题意，设抛物线的函数表达式为，再代入（0，0），求出a的值即可； （2）根据题意知，A，B两点的纵坐标为6，代入函数解析式可求出两点的横坐标，从而 可解决问题． 【详解】（1）依题意，顶点， 设抛物线的函数表达式为， 将代入，得．解之，得． ∴抛物线的函数表达式为． （2）令，得． 解之，得． ∴． 【点睛】本题考查了运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，由函数值求自变量的值的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键． 22．（2023·陕西·中考）某加工厂要加工一种抛物线型钢材构件，如图所示，该抛物线型构件的底部宽度米，顶点P到底部的距离为9米．将该抛物线放入平面直角坐标系中，点在轴上．其内部支架有两个符合要求的设计方案：方案一是“川”字形内部支架（由线段，，构成），点，，在上，且，点A，D在抛物线上，，，均垂直于；方案二是“H”形内部支架（由线段，，构成），点，在OM上，且，点，在抛物线上，，均垂直于，E，F分别是，的中点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)该加工厂要用某一规格的钢材来加工这种构件，那么哪一个方案的内部支架节省材料？请说明理由． 【答案】(1) (2)方案二的内部支架节省材料，理由见解析 【来源】2023年陕西省中考数学真题（副题） 【分析】本题考查了二次函数的应用、待定系数法，熟练掌握以上知识点是解题的关键 （1）先确定顶点坐标，再利用待定系数法即可求出该抛物线的表达式； （2）分别求出方案一和方案二的内部支架材料长度，再比较即可． 【详解】（1）解：∵，，为抛物线的顶点， ∴，∴顶点的坐标为，， 设抛物线的解析式为：， 代入，得：， 解得：， ∴该抛物线的函数表达式为：，即； （2）解：方案二的内部支架节省材料，理由如下： 方案一：∵，， ∴，， 当时，，即， 当时，，即， ∴方案一内部支架材料长度为：； 方案二：∵，， ∴，，， 当时，，即， 当时，，即， ∴方案二内部支架材料长度为：； ∵， ∴方案二的内部支架节省材料． 23．（2024·陕西·中考）一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥．桥梁的缆索与缆索均呈抛物线型，桥塔与桥塔均垂直于桥面，如图所示，以O为原点，以直线为x轴，以桥塔所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．      已知：缆索所在抛物线与缆索所在抛物线关于y轴对称，桥塔与桥塔之间的距离，，缆索的最低点P到的距离（桥塔的粗细忽略不计） (1)求缆索所在抛物线的函数表达式； (2)点E在缆索上，，且，，求的长． 【答案】(1)； (2)的长为． 【来源】2024年陕西省中考数学试题 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式，根据题意求得函数解析式是解题的关键． （1）根据题意设缆索所在抛物线的函数表达式为，把代入求解即可； （2）根据轴对称的性质得到缆索所在抛物线的函数表达式为，由，把代入求得，，据此求解即可． 【详解】（1）解：由题意得顶点P的坐标为，点A的坐标为， 设缆索所在抛物线的函数表达式为， 把代入得， 解得， ∴缆索所在抛物线的函数表达式为； （2）解：∵缆索所在抛物线与缆索所在抛物线关于y轴对称， ∴缆索所在抛物线的函数表达式为， ∵， ∴把代入得，， 解得，， ∴或， ∵， ∴的长为． 24．（2025·陕西·中考）某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶部，左、右门洞，均呈抛物线型，水平横梁，的最高点到的距离，，关于所在直线对称．，，为框架，点，在上，点，分别在，上，，，．以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知抛物线的函数表达式为，，求的长． 【答案】(1) (2) 【来源】2025年陕西省中考数学试题 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的函数表达式为， ∵， ∴结合二次函数的对称性得， 将代入， 得 则， ∴； （2）解：由（1）得抛物线的函数表达式， ∵，，．，且抛物线的函数表达式为， ∴， 整理得， ∴， ∴， 解得， ∴． 25．（2021·陕西·中考）已知抛物线与x轴交于点A、B（其中A在点B的左侧），与y轴交于点C． （1）求点B、C的坐标； （2）设点与点C关于该抛物线的对称轴对称在y轴上是否存在点P，使与相似且与是对应边？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），；（2）存在，或． 【来源】陕西省2021年中考数学真题 【详解】解：（1）令，则， ∴， ∴． 令，则． ∴． （2）存在．由已知得，该抛物线的对称轴为直线． ∵点与点关于直线对称， ∴，． ∴． ∵点P在y轴上， ∴ ∴当时，． 设， i）当时，则， ∴． ∴ ii）当时，则， ∴ ∴． iii）当时，则，与矛盾． ∴点P不存在 ∴或． 考点1 一次函数与正比例函数 1．（2025·陕西咸阳永寿豆家中学·六模）已知一次函数与正比例函数的图象交于点，则的值为（   ） A．1 B． C．4 D．6 【答案】C 【来源】2025年陕西省咸阳市永寿县豆家中学中考第六次模拟考试数学试题 【分析】本题主要考查了求一次函数的关系式， 将点的坐标代入可得点A的坐标，再将点的坐标代入一次函数可得答案. 【详解】解：∵正比例函数的图象经过点， ∴， ∴点. ∵一次函数的图象经过点， ∴， 解得. 故选：C. 2．（2025·陕西咸阳永寿御家宫中学·中考一模）对于正比例函数和一次函数，若，则这两个函数图象的交点一定在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【来源】2025年陕西省咸阳市永寿县御家宫中学中考一模数学试题 【分析】本题考查函数图像的交点与二元一次方程组的解，判断点所在象限，解题的关键是求出交点坐标． 联立函数解析式，解二元一次方程组，求出交点坐标 ，根据，判断交点所在象限即可． 【详解】解：由， 解得，， ∴正比例函数和一次函数的交点坐标为， ∵， ∴，， ∴这两个函数图象的交点一定在第四象限， 故选：． 3．（2025·陕西西安爱知初级中学·二模）已知一条直线经过点和点，若点与点关于原点对称，则这条直线对应的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】2025年陕西省西安爱知初级中学中考第二次全仿真训练数学试题 【分析】本题考查了待定系数法，坐标关于原点对称规律；由坐标关于原点对称规律得，，再由待定系数法求直线解析式即可． 【详解】解：点与点关于原点对称， ，，直线为正比例函数， ，， 点， 设直线对应的函数关系式为， ， ， ． 故选：． 4．（2025·陕西咸阳永寿豆家中学·中考模拟）已知和是一次函数图象上的两点，若，则该一次函数的图象还可能经过的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】2025年陕西省咸阳市永寿县豆家中学中考考前模拟预测数学试题 【分析】本题考查一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，利用一次函数的增减性得到，然后分别把四个选项的点的坐标代入解析式求得的值，即可判断． 【详解】解：和是一次函数图象上的两点，且， 随的增大而减小， ， 、将代入得，， ，符合题意； 、将代入得，， ，不符合题意； 、将代入得，不成立， ∴该一次函数的图象不经过点，故不符合题意； 、将代入得，， ，不符合题意； 故选： 5．（2025·陕西咸阳永寿马坊中学·七模）已知一次函数的图象过点，，且函数图象经过第二、四象限，当时，，则该一次函数的表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】2025年陕西省咸阳市永寿县马坊中学中考第七次中考模拟数学试题 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式．先利用一次函数图象上点的坐标特征得到，，则，所以，从而得到，然后根据一次函数的性质得到，所以，从而确定一次函数解析式． 【详解】解：∵一次函数的图象过点，， ∴，， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∵函数图象经过第二、四象限， ∴， ∴， ∴一次函数解析式为． 故选：B． 6．（2025·陕西西安未央区多校·中考模拟预测）已知正比例函数（k为常数且）的图象经过第一、三象限，则一次函数的图象不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【来源】2025年陕西省西安市未央区多校中考模拟预测数学试题 【分析】本题考查正比例函数与一次函数的图象及性质，由正比例函数经过第一、三象限可得，进而确定一次函数经过的象限． 【详解】解：∵正比例函数（k为常数且）的图象经过第一、三象限， ∴， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限． 故选：C 考点2 二次函数基础 7．（2025·陕西西安高新一中初级中学·一模）若，，三点在同一函数图像上，则该函数图像可能是（    ） A．B．C． D． 【答案】B 【来源】2025年陕西省 西安市 西安市高新一中初级中学 数学一模试题 【分析】本题考查函数的图像．由点，，在同一个函数图像上，可得点与点关于轴对称；当时，随的增大而增大，继而求得答案．注意掌握排除法在选择题中的应用是解题的关键． 【详解】解：∵点，， ∴点与点关于轴对称， ∴图像有两点关于轴对称，故选项A，C不符合题意； ∵， ∴当时，随的增大而增大， 故选项B符合题意，选项D不符合题意． 故选：B． 8．（2025·陕西汉中西乡三中·中考模拟）将抛物线的图象向右平移4个单位长度后，与y轴交于点．则平移后抛物线对称轴为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【来源】陕西省汉中市西乡县第三中学2025年中考数学模拟卷 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．根据平移规则写出平移后的解析式，将点代入解析式，求得二次函数解析式，然后再求对称轴． 【详解】解：∵将抛物线的图象向右平移4个单位长度后所得抛物线表达式为， ∵平移后抛物线与y轴交于点， ∴把代入表达式，， 化简得， 解得：， 原抛物线的对称轴为， ∴平移后的抛物线对称轴为：， 故选：D． 9．（24-25九上·陕西商洛商南县东兴九年制学校·一调）抛物线的最小值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】陕西省商洛市商南县东兴九年制学校2024-2025学年九年级上学期第一阶段学情调查数学试卷 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．根据抛物线的顶点式可得到其开口方向和顶点坐标，从而得到函数的最小值． 【详解】解：抛物线， ，顶点坐标为， 抛物线图象的开口向上， 抛物线的最小值为1． 故选：C． 10．（2025·陕西西安湖滨中学·九模）已知一个二次函数图象经过，，，，其中，则，，中最值情况是（   ） A．最大，最小 B．最小，最大 C．最小，最大 D．最小，最大 【答案】A 【来源】2025年陕西省西安市湖滨中学中考九模数学试卷 【分析】本题主要考查了二次函数的最值、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．依据题意，由图象过和，可得抛物线的对称轴是直线，然后分抛物线开口向上与开口向下进行讨论分析可以判断得解． 【详解】解：由题意，图象过和， 抛物线的对称轴是直线， 若抛物线开口向上，则顶点为最低点，离对称轴越远的点函数值越大， 到对称轴的距离为，和到对称轴的距离均为2， 又由于开口向上， 最大，且， 对于，其到对称轴的距离为，是四个点中最近的， 最小， 即最大，最小， 若抛物线开口向下，则顶点为最高点，但此时应小于，与条件矛盾， 综上，抛物线开口向上时结论成立， 最大，最小． 故选：A． 11．（2025·陕西西安工大附中·中考适应性训练）如图，抛物线与轴交于点，对称轴为直线，则下列结论正确的是（    ） A． B．的最小值为 C．关于的方程无实数根 D．若点，点在的图象上，则 【答案】B 【来源】2025年陕西省西安市工业大学附属中学第九次中考适应性训练数学试题 【详解】解：由图象可知，图象开口向上，， 对称轴为，故，即，故A错误； 由图象可知当时，函数取最小值， 将，代入中，得：， 由图象可知函数与x轴交点为，对称轴为直线，故函数图象与x轴的另一交点为， 设函数解析式为：， 故化简得：， 将，代入可得：，故函数的最小值为，故B正确； ∵由图象可知抛物线与直线有两个交点， ∴关于的方程有两个不相等的实数根，故C错误； ∵点，点在的图象上，对称轴为直线， ∴，故D错误； 故选B 12．（2025·陕西榆林苏州中学·中考模拟）已知二次函数的图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，有下列结论：①；②；③若t为任意实数，则有；④当图象经过点时，方程的两个根为，，则．其中，正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【来源】2025年陕西省榆林市榆阳区苏州中学中九年级数学中考模拟试题 【分析】根据所给函数图象，可得出a，b，c的正负，再根据抛物线的对称性和增减性及二次函数与一元二次方程之间的关系对所给结论依次进行判断即可解决问题． 【详解】解：由函数图象可知， ，，， 所以． 故①错误． 因为抛物线与x轴有两个不同的交点， 所以方程有两个不相等的实数根， 所以． 故②正确． 因为抛物线开口向上，且对称轴为直线， 所以二次函数有最小值为． 对于抛物线上的任意一点，令其横坐标为t， 则， 即． 故③正确． 由函数图象经过点， 所以是方程的一个解． 则抛物线与直线的一个交点的横坐标为， 根据抛物线的对称性可知，另一个交点的横坐标为， 所以方程的两根为和， 即，， 所以． 故④正确． 故选：C． 13．（2025·陕西咸阳永寿御家宫中学·中考一模）已知二次函数．若时，函数取最大值3，则的值为（    ） A． B．0 C．2 D．6 【答案】A 【来源】2025年陕西省咸阳市永寿县御家宫中学中考一模数学试题 【分析】本题考查了求代数式的值，二次函数的性质，由二次函数的性质得，，求出、的值，代值计算即可． 【详解】解：时，函数取最大值3， ， ， 解得：，， ， 故选：A． 14．（2025·陕西咸阳永寿常宁镇中学·七模）已知在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．若该抛物线顶点的纵坐标为，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】2025年陕西省咸阳市永寿县常宁镇中学中考七模数学试题 【详解】解：， 对称轴为直线， ∵抛物线顶点的纵坐标为， ∴顶点坐标为，代入抛物线解析式为： ， 解得：或， ∵与x轴交于A，B两点，∴舍去， 当时，抛物线为， 令，即， 解得或， ∵点A在点B左侧， ∴， ∵与轴交于， ， ∴为等腰直角三角形， 则． 故选：B． 考点3 反比例函数 15．（2025·陕西汉中西乡三中·中考模拟）在平面直角坐标系中，有函数（且）和反比例函数（），点在上，过点作轴，交于点，连接，若，则 ． 【答案】 【来源】陕西省汉中市西乡县第三中学2025年中考数学模拟卷 【分析】本题考查了求反比例函数解析式，设，可得，，进而得到，即可求解，掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：设， ∵点在上， ∴， ∵轴，， ∴， ∵点在反比例函数上， ∴， 故答案为：． 16．（2025·陕西·中考模拟）在平面直角坐标系中，反比例函数与矩形的边交于点D，与边交于点E，若D为中点，且的面积为5，则k的值为 ． 【答案】 【来源】2025学年陕西省初中学业水平考试全真模拟题 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，矩形的性质，设，则由矩形的性质和中点坐标公式可得，由待定系数法可得反比例函数解析式为，则可求出，根据三角形面积计算公式可得，可求出，即． 【详解】解：设， ∵四边形是矩形， ∴，即轴，轴， ∵D为中点， ∴； ∵点D在反比例函数图象上， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为， 在中，当时，， ∴， ∴， ∵的面积为5， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 17．（2025·陕西西安铁一中滨河·九模）如果反比例函数的图象与直线没有交点，请写出一个符合条件的k值 ． 【答案】（答案不唯一） 【来源】2025年陕西省西安市灞桥区铁一中滨河学校中考数学九模试卷 【分析】本题考查反比例函数与正比例函数，直线经过第一、三象限，若两个图象没有交点，则反比例函数的图象在第二、四象限，比例系数小于0，由此可解． 【详解】解：依题意有， 解得， 符合条件的k值为2， 故答案为：答案不唯一 18．（2025·陕西咸阳乾县吴店九年制学校·二模）已知点，分别在反比例函数和的图象上，连接．若，则k的值为 ． 【答案】5 【来源】2025年陕西省咸阳市乾县吴店九年制学校中考第二次模拟预测数学试题 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可．本题考查的是反比例函数图象的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵点分别在反比例函数和的图象上， 解得． 故答案为：5． 19．（2025·陕西咸阳永寿豆家中学·六模）已知点与点关于y轴对称，若某一反比例函数的图象经过点B，则这一反比例函数的表达式为 ． 【答案】 【来源】2025年陕西省咸阳市永寿县豆家中学中考第六次模拟考试数学试题 【分析】本题考查了关于轴对称的点的坐标特征以及反比例函数表达式的求解，解题的关键是利用关于轴对称的点的坐标规律求出点坐标． 先根据关于轴对称的点的坐标特征求出点坐标，再代入反比例函数（为常数，）求出，进而得到反比例函数表达式． 【详解】解：已知点与点关于轴对称，则可得 ∴B(−4,−2)． 设反比例函数表达式为， 因为反比例函数图象经过点，将点坐标代入可得： 解得． 所以反比例函数表达式为． 故答案为：． 考点4 一次函数应用 20．（2025·陕西·中考模拟）某公司推出了一款新的汽车，成本价为45万元/辆．该产品一经推出，便因为其公司极高的口碑及较高的制作工艺，受到了广大人民的青睐．某消费者通过查阅某平台的资料，发现该车售价为53万元，她通过记录该车的销量，将其绘制成了图象：图中的折线表示每时销售量y（万辆）与销售时间（时）之间的函数关系． (1)分别求出段和段所对应的函数表达式． (2)在记录的这几小时内，每时销售利润不低于万元的时间有多少？ 【答案】(1)， (2)小时． 【来源】2025学年陕西省初中学业水平考试全真模拟题 【分析】本题考查一次函数的应用．用到的知识点为：函数图象为过原点的直线（射线，线段），函数解析式可设为：，函数图象为任意直线（射线，线段），函数解析式可设为：． （1）段的函数为正比例函数，设，把点代入可求得的值，进而可得段的函数解析式；段的函数为一次函数，可设，把点，，代入可得和的值，即可求得段的函数解析式； （2）把分别代入得到的两个销售利润的函数解析式中，可求得相应的时间，即可求得每时销售利润不低于万元的时间数． 【详解】（1）解：设段所对应的函数表达式为， 将代入 中，得： ． 解得：， 段所对应的函数表达式为：． 设段所对应的函数表达式为． 经过点，， ． 解得：． 段所对应的函数表达式为：； （2）设销售利润为， 当时， 解得， 当时，， 当时，， 当时，，解得，， 当时，，解得，， ∵， ∴在记录的这5个小时内，每时销售利润不低于万元的时间为小时， 答：在记录的这几小时内，每时销售利润不低于万元的时间小时． 21．（2025·陕西咸阳乾县吴店九年制学校·二模）随着气温升高，冰箱成了存放食物的“避风港”，但部分对人类有害的细菌在低温状态下依旧可以缓慢繁殖，李斯特菌便是其中之一．由此可见，对从冰箱中取出的食物进行高温灭杀李斯特菌尤为重要．已知在特定温度范围内，对一定量的食物利用高温灭杀李斯特菌时，食物中心温度与完全灭杀李斯特菌需要的时间x（）近似满足一次函数关系，经过试验可知，当食物中心温度为时，完全灭杀李斯特菌需要，当食物中心温度为时，完全灭杀李斯特菌需要． (1)求出食物中心温度与完全灭杀李斯特菌需要的时间x（）之间的函数表达式； (2)若食物中心温度为，求此时完全灭杀李斯特菌需要的时间． 【答案】(1) (2) 【来源】2025年陕西省咸阳市乾县吴店九年制学校中考第二次模拟预测数学试题 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）设，利用待定系数法求解； （2）求出时对应的x的值即可． 【详解】（1）解：设食物中心温度与完全灭杀李斯特菌需要的时间之间的函数表达式为， 由题意得， 解得， 食物中心温度与完全灭杀李斯特菌需要的时间之间的函数表达式为； （2）解：将代入中， 得， 解得， 此时完全灭杀李斯特菌需要． 22．（2025·陕西西安工大附中·中考适应性训练）甲，乙两家商店出售品质相同的樱桃，甲商店的樱桃价格为元千克，无优惠；乙商店的樱桃价格为元千克，若一次购买千克以上，超过千克部分的樱桃价格打折． (1)设购买樱桃千克，(单位：元)分别表示顾客到甲，乙两家商店购买樱桃的付款金额，求关于的函数关系式； (2)甲、乙两家水果店均按以上销售方式推出售价为元的樱桃礼盒，若只考虑重量因素，选择在哪家水果店购买樱桃礼盒更合算？ 【答案】(1)， (2)选择在乙水果店购买樱桃礼盒更合算 【来源】2025年陕西省西安市工业大学附属中学第九次中考适应性训练数学试题 【分析】本题考查一次函数的应用，分别根据两家商店的优惠情况写出函数关系式是解题的关键． （1）分别根据两家商店的优惠情况计算即可； （2）分别计算，时对应的的值并比较大小即可得出结论． 【详解】（1）解：当时，，， 当时，关于的函数关系式为，关于的函数关系式为． （2）当时，得，解得， 当时，得时，解得， ， 选择在乙水果店购买樱桃礼盒更合算． 23．（2025·陕西西安交大附中·六模）“海波”是硫代硫酸钠的俗称．常温下是一种无色透明的晶体，实验室中，“海波”存储在的条件下．某兴趣小组的学生为了探究物质熔化时温度的变化特点，在实验室进行了“海波”的熔化实验，记录了实验过程中“海波”的温度与对应的加热时间，并绘制了如图所示关系图． (1)根据图象求出当“海波”为液态时线段，温度与加热时间之间的函数关系式； (2)已知“海波”在固液共存状态时线段，继续加热“海波”温度不变，当“海波”全部熔化时，温度再次上升．则在整个熔化过程中．“海波”从开始加热到全部熔化为液态最少需要加热多长时间？ 【答案】(1) (2) 【来源】2025年陕西省西安市西安交通大学附属中学中考六模数学试卷 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）先求出段温度与加热时间之间的函数关系式，求出点坐标，进而求出点坐标，即可求解； 本题考查了一次函数的应用，利用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：设段温度与加热时间之间的函数关系式为， 把，代入得， ， 解得， ； （2）解：设段温度与加热时间之间的函数关系式为， 把代入得，， 解得， ， 当时，， ∴， 把代入，得， 解得， ， ∴在整个熔化过程中，“海波”从开始加热到全部熔化为液态最少需要加热． 24．（2025·陕西咸阳永寿豆家中学·六模）某校在一年一届的“科技文化艺术节”活动的筹备过程中，需制作一些“国风团扇”，要求制作的“国风团扇”的数量y（把）与每个班的学生人数x（人）之间满足一次函数关系，已知当班级人数为42人时，团扇数为44把；当班级人数为53人时，团扇数为66把． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若该校八（2）班有48名学生，求该班学生需制作的“国风团扇”的数量． 【答案】(1) (2)该班学生需制作的“国风团扇”的数量为56把 【来源】2025年陕西省咸阳市永寿县豆家中学中考第六次模拟考试数学试题 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式． （1）先设与之间的函数关系式为，然后根据当班级人数为42人时，团扇数为44把；当班级人数为53人时，团扇数为66把，即可求得该函数的解析式； （2）将代入（1）中的函数解析式求出相应的的值即可． 【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为， ∵当班级人数为42人时，团扇数为44把；当班级人数为53人时，团扇数为66把， ∴， 解得， 即与之间的函数关系式为； （2）解：当时，， 即该班学生需制作的“国风团扇”的数量为56把． 25．（2025·陕西咸阳永寿御家宫中学·中考一模）已知：当人体在进行中等强度运动时，心率将从静息心率逐渐上升到稳态心率．在这一过程中，心率(单位：次/)与运动时间(单位：)大致存在一次函数关系．热爱运动的小李同学通过佩戴的心率传感器记录了自己运动一段时间内的数据，如下表： 运动时间 心率(次/) (1)根据上表数据，请求出小李的心率与运动时间之间的函数关系式； (2)求小李从运动开始多久时心率达到次/． 【答案】(1) (2)小李从运动开始时心率达到次/ 【来源】2025年陕西省咸阳市永寿县御家宫中学中考一模数学试题 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键． （1）利用待定系数法解答即可； （2）当时，求出对应t的值即可． 【详解】（1）解：根据题意，设小李的心率与运动时间之间的函数关系式为． 将(1,69)和(3,87)代入，得 ． （2）当时，．解得． 小李从运动开始时心率达到次/． 考点5 二次函数应用与综合 26．（2025·陕西西安铁一中滨河·九模）如图是某公园的一座抛物线形拱桥，夏季正常水位时拱桥的拱顶到水面的距离为，秋季水位会下降约，此时水面宽度约为 (1)如图1，以的中点O为原点，所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，请求出抛物线的解析式； (2)如图2，国庆节期间为装点节日的气氛，公园决定在拱桥上挂一串小彩灯，这串彩灯在拱桥中间部分与水面接近平行，两边自然垂下且关于抛物线的对称轴对称，彩灯两端的最低点M，N到水面的距离为，求这串彩灯的最大长度． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)这串彩灯的最大长度为米 【来源】2025年陕西省西安市灞桥区铁一中滨河学校中考数学九模试卷 【分析】本题考查二次函数的应用．根据题意得到用二次函数表示的彩灯的长度是解决本题的难点． （1）设抛物线的解析式为：，得拱顶和点D的坐标，代入所设的解析式，可得a和k的值，即可求得抛物线的解析式； （2）表示出彩灯的长度，根据二次函数的性质得到最大值即可． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为：， 由题意得：拱顶的坐标为，点D的坐标为， ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：由题意设，点， ， 彩灯两端的最低点到水面的距离为，秋季水位会下降约， 彩灯的最低点M，N在直线上， 点N为， ， 设彩灯的长度为w， ， ， 时，w最大，， 答：这串彩灯的最大长度为米． 27．（2025·陕西西安工大附中·中考适应性训练）我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成的封闭图形，建立如图所示的平面直角坐标系；把锅纵断面的抛物线记为把锅盖纵断面的抛物线记为为锅口直径（锅口直径与锅盖直径视为相同），为锅深，锅盖高． (1)求抛物线的解析式； (2)如果将一个底面直径为，高度为的圆柱形保温桶竖直放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由． 【答案】(1)， (2)锅盖能正常盖上，理由见解析 【来源】2025年陕西省西安市工业大学附属中学第九次中考适应性训练数学试题 【分析】本题主要考查二次函数的性质和应用，涉及待定系数法求解析式和二次函数的性质， （1）根据已知点设二次函数的解析式，利用待定系数法求解即可； （2）将已知的底面直径代入解析式求得各自对应的y，结合已知的高度作判断即可． 【详解】（1）解：将代入中，得 解得，， 点坐标为，点坐标为 锅口直径 设抛物线的解析式为 将点和点分别代入中， 得 解得 抛物线的解析式为 （2）解：锅盖能正常盖上 当时，抛物线， ， 而 锅盖能正常盖上． 28．（2025·陕西西安交大附中·六模）西安乐华城是集休闲、娱乐、观光于一体的大型主题乐园．立环过山车“白龙飞天”是其经典项目之一．过山车的一部分轨道，可以近似的看成两段抛物线，在平面直角坐标系中，其图象如图所示，其中轨道抛物线的顶点到的距离，抛物线与轴交于点，（轨道厚度忽略不计）． (1)求抛物线的函数表达式； (2)在轨道距离地面处有两个点和（点在点的左侧，当过山车运动到点处时，平行于地面向前运动了至点，又进入下坡段至最低点，已知轨道抛物线的形状与抛物线完全相同，求的长． 【答案】(1)； (2)米． 【来源】2025年陕西省西安市西安交通大学附属中学中考六模数学试卷 【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数图象的平移，解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． （）由题意知，，然后用待定系数法求出抛物线的函数解析式； （）先根据平移的性质求出物线的函数解析式，再令求出的值即可． 【详解】（1）解：由题意知，，， 设抛物线的函数解析式为， 把代入解析式得：， 解得， ∴抛物线的函数解析式为； （2）解：由题意知，， 当时，， 解得，， ∴，， ∴， ∵抛物线的形状与抛物线完全相同， ∴抛物线可以看作是由抛物线向右平移个单位长度得到的， ∴抛物线的函数解析式为， 令，则， 即米． 29．（2025·陕西西安工大附中·四模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)将该抛物线沿水平方向向右平移3个单位，平移后抛物线与轴交于点，原抛物线上有一点 ，点为平移后点的对应点，为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)：或或 【来源】2025年陕西省西安市工业大学附属中学中考四模数学试卷 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的平移，平行四边形的性质等知识，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）用待定系数法可得抛物线的函数表达式； （2）将抛物线向右平移3个单位得新抛物线，对称轴是直线，即可得，，设， ，分三种情况：①当、为对角线时；②当、为对角线时；③当、为对角线时，分别计算出参数r的值，即可求出Q点坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线经过，两点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解∶ ∵将抛物线向右平移3个单位得抛物线， ∴新抛物线对称轴是直线， 在中，令得， ∴， 将向右平移3个单位得， 设， ， 则①当、为对角线时， ∴， 解得， ∴； ②当、为对角线时， ∴， 解得， ∴； ③当、为对角线时， ∴， 解得， ∴； 综上所述，Q的坐标为：或或． 30．（2025·陕西咸阳永寿马坊中学·六模）如图，已知二次函数经过点，，与轴交于另一点，抛物线的顶点为． (1)求此二次函数解析式； (2)抛物线与关于坐标原点对称，则在上是否存在点，使得？若存在，求出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或 【来源】2025年陕西省咸阳市永寿县马坊中学中考第六次模考数学试题 - 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数综合—面积问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）求出，得到，由题意可得抛物线的解析式为，设，结合，得出，计算即可得解． 【详解】（1）解：把点，代入二次函数中得：， 解得， ∴此二次函数解析式为； （2）解：存在， 如图：作轴于，连接， 在中，当时，， 解得：或， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，，，，， ∵抛物线与L关于坐标原点对称， ∴抛物线的解析式为， 设， ∵， ∴ ； ∴ 当时，，即 解得， 当时，；当时，； 当时，即， 此方程无实数解； 综上所述：符合条件的点的坐标为：或． 31．（2025·陕西子洲·中考五模）如图，已知二次函数（a、c为常数，且）的图象与x轴交于、两点，与y轴交于点C，顶点为D，连接交对称轴于点E，动直线m与y轴平行，交抛物线于点F，交线段于点G，动直线m在左侧沿x轴负方向向点A移动（当点G与点A重合时，停止移动）． (1)求二次函数的表达式； (2)连接、，在直线m移动的过程中，抛物线上是否存在点F，使得以C、F、G为顶点的三角形与相似？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) 【来源】　2025年陕西省子洲县中考第五次模拟考试模拟预测数学试题 【分析】本题主要考查了二次函数综合，相似三角形的性质，一次函数与几何综合，两点距离计算公式等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出点C的坐标为．点D的坐标为，对称轴为直线，求出直线的解析式为，进而得到点E的坐标为，则．设点F的坐标为，则点G的坐标为，可得．由两点距离计算公式可得，．可证明．，则∽，即可得到，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解；将、代入，得， 解得， ∴二次函数的表达式为． （2）解：连接、，如图． 在中，当时，， ∴点C的坐标为． ∵二次函数解析式为， ∴点D的坐标为，对称轴为直线， 设直线解析式为， ∴， ∴ ∴直线的解析式为， 将代入，得， ∴点E的坐标为， ∴． 设点F的坐标为，则点G的坐标为， ∴． ∵点C的坐标为，点E的坐标为，点G的坐标为， ∴，． ∵直线轴 ∴， ∴． ∵与有共同的顶点C，且在的内部， ∴， ∴只有时，∽， ∴，即， 解得，（舍）， 当时，， ∴点F的坐标为． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题03函数（陕西专用） 五年真题 考点1一次函数与正比例函数 1.(2021陕西中考)在平面直角坐标系中，若将一次函数y=2x+m-1的图象向左平移3个单位后，得到 一个正比例函数的图象，则m的值为（) A.-5 B.5 C.-6 D.6 2.(2021陕西中考)在一次机器“猫”抓机器“鼠”的展演测试中，“鼠”先从起点出发，1min后，“猫”从同一起 点出发去追“鼠”，抓住“鼠”并稍作停留后，“猫”抓着“鼠”沿原路返回“鼠”、“猫距起点的距离ym)与时间 x(min之间的关系如图所示. (1)在“猫”追“鼠”的过程中，“猫”的平均速度与“鼠”的平均速度的差是m/min； (2)求AB的函数表达式： (3)求“猫”从起点出发到返回至起点所用的时间. 个ylm 30 B 01 6 7 10 x/min 3.(2022陕西中考)在同一平面直角坐标系中，直线y=-x+4与y=2x+m相交于点P(3,n),则关于x,y x+y-4=0 的方程组 的解为() 2x-y+m=0 x=-1 x=1 x=3 x=9 A. B C y=5 y=3 y=1 D. y=-5 4.(2023陕西.中考)在平面直角坐标系中，直线y=-x+m(m为常数)与x轴交于点A,将该直线沿x 轴向左平移6个单位长度后，与x轴交于点A.若点与A关于原点O对称，则m的值为() A.-3 B.3 C.-6 D.6 5.(2023陕西·中考)某农科所对当地小麦从抽穗期到灌浆期连续51天的累计需水量进行研究，得到当地每 公顷小麦在这51天内累计需水量y(m)与天数x之间的关系如图所示，其中，线段OA,AC分别表示抽穗 1/15 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 期、灌浆期的y与x之间的函数关系。 y/m 1660斤 960 20 4051x/天 (1)求这51天内，y与x之间的函数关系式： (2)求当地每公顷小麦在整个灌浆期的需水量. 6.(2024陕西.中考)一个正比例函数的图象经过点A2,m)和点B(n,-6),若点A与点B关于原点对称， 则这个正比例函数的表达式为() A.y=3x B.y=-3x 1 C.y=3 D.y 7.(2024陕西·中考)我国新能源汽车快速健康发展，续航里程不断提升，王师傅驾驶一辆纯电动汽车从A 市前往B市，他驾车从A市一高速公路入口驶入时，该车的剩余电量是80kwh,行驶了240km后，从B市 一高速公路出口驶出，已知该车在高速公路上行驶的过程中，剩余电量ykh)与行驶路程x(km)之间的关 系如图所示. ◆ykw.h 80 50 150 240 x/km ()求y与x之间的关系式： (②)已知这辆车的“满电量”为100kWh,求王师傅驾车从B市这一高速公路出口驶出时，该车的剩余电量占“满 电量”的百分之多少. 8.(2025陕西·中考)在平面直角坐标系中，过点(1,0)，(0,2)的直线向上平移3个单位长度，平移后的直 线经过的点的坐标可以是() A.(1,-3 B.(1,3 C.(-3,2 D.(3,2 考点2反比例函数 9.(2021陕西中考)若A1X),B3,是反比例函数y=2m-m< 2 图象上的两点，则、的大 2/15 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 小关系是_（填“>”、“=”或“<”) 10.(2022陕西·中考)已知点A(-2,m)在一个反比例函数的图象上，点A'与点A关于y轴对称.若点A 在正比例函数)=2x的图象上，则这个反比例函数的表达式为 11.(2023陕西中考)如图，在矩形OABC和正方形CDEF中，点A在y轴正半轴上，点C,F均在x轴正 半轴上，点D在边BC上，BC=2CD,AB=3.若点B,E在同一个反比例函数的图象上，则这个反比例 函数的表达式是」 0 12.(2023陕西中考)若点A(-1,2),B(1,m),C(4,n都在同一个反比例函数的图象上，则m,的大小关 系是m n.(填“>=”或“<”) 13.(2024陕西中考》已知点A-2,)和点Bm,,)均在反比例函数y=-3的图象上，若0<m<1,则 y+20. 14.(2025陕西：中考)如图，过原点的直线与反比例函数y=(k>0)的图象交于A(m,m,Bm-6,n-6)两 点，则k的值为 考点3二次函数基础 15.(2021陕西中考)下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值： -2 0 6 -4 -6 下列各选项中，正确的是 3/15 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 A.这个函数的图象开口向下 B.这个函数的图象与x轴无交点 C.这个函数的最小值小于-6 D.当x>I时，y的值随x值的增大而增大 16.(2022陕西.中考)已知二次函数yx2-2x-3的自变量x1,x2,x3对应的函数值分别为y1,y2,y3·当-1 x<0,1x2<2,x>3时，y1,y2,y三者之间的大小关系是() A.y1<y2<y3B.y2<<y3 C.3<y<y2 D.y2<y3<y 17.(2023陕西中考)在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+mx+m2-m（m为常数)的图像经过点 (0,6),其对称轴在y轴左侧，则该二次函数有() A.最大值5 B.最大值5 C.最小值5 D.最小值 18.(2023陕西中考)下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值： -3 0 16 -5 -8 则下列关于这个二次函数的结论中，正确的是() A.图象的顶点在第一象限 B.有最小值-8 C.图象与x轴的一个交点是(-1,0) D.图象开口向下 19.(2024陕西·中考)已知一个二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如下表， -2 0 3 5 -24 -8 0 -3 -15 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ A.图象的开口向上 B.当x>0时，y的值随x的值增大而增大 C.图象经过第二、三、四象限 D.图象的对称轴是直线x=1 20.(2025陕西.中考)在平面直角坐标系中，二次函数y=Qx2-2ax+a-3(a≠0)的图象与x轴有两个交点， 且这两个交点分别位于y轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是() A.图象的开口向下 B.当x>0时，y的值随x值的增大而增大 C.函数的最小值小于-3 D.当x=2时，y<0 4/15 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 考点4二次函数应用与综合 21.(2022陕西中考)现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段OE表示水平的路面，以O 为坐标原点，以OE所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系.根据设计 要求：0E=10m,该抛物线的顶点P到OE的距离为9m. Ay/m A B 0 E x/m (I)求满足设计要求的抛物线的函数表达式： (②)现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A、B处分别安装照明灯.已知点A、 B到OE的距离均为6m,求点A、B的坐标. 22.(2023陕西中考)某加工厂要加工一种抛物线型钢材构件，如图所示，该抛物线型构件的底部宽度 OM=12米，顶点P到底部OM的距离为9米.将该抛物线放入平面直角坐标系中，点M在x轴上.其内 部支架有两个符合要求的设计方案：方案一是“川字形内部支架（由线段AB,PN,DC构成），点B,N ,C在OM上，且OB=BN=NC=CM,点A,D在抛物线上，AB,PN,DC均垂直于OM;方案二是“H ”形内部支架（由线段A'B,DC,EF构成），点B,C在OM上，且OB'=B'C'=C'M,点A,D在抛物 线上，A'B,DC均垂直于OM,E,F分别是A'B',DC的中点， ◆/m Ay/m OB N C M x/mO B'C" Mx/m 方案一 方案二 (1)求该抛物线的函数表达式： (②)该加工厂要用某一规格的钢材来加工这种构件，那么哪一个方案的内部支架节省材料？请说明理由. :ON=NM=OM=6m,:顶点P的坐标为P(6,9,M(12,0), 5/15 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 设抛物线的解析式为：y=a(x-6)+9, 23.(2024陕西·中考)一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥.桥梁的缆索L1与缆索L2均呈抛物线型，桥 塔AO与桥塔BC均垂直于桥面，如图所示，以O为原点，以直线FF'为x轴，以桥塔AO所在直线为y轴， 建立平面直角坐标系. y/m E D F/m 己知：缆索L所在抛物线与缆索L2所在抛物线关于y轴对称，桥塔A0与桥塔BC之间的距离OC=100m, AO=BC=17m,缆索L的最低点P到FF'的距离PD=2m(桥塔的粗细忽略不计) (1)求缆索L所在抛物线的函数表达式： (2)点E在缆索L2上，EF⊥FF',且EF=2.6m,F0<0D,求F0的长. 24.(2025陕西中考)某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶部L,左、右门洞L2,L均呈抛物 线型，水平横梁AC=16m,L的最高点B到AC的距离B0=4m,2,关于BO所在直线对称.MN, MP,NQ为框架，点M,N在L上，点P,Q分别在L,L上，MN∥AC,MP⊥AC,NQ⊥AC.以 O为原点，以AC所在直线为x轴，以BO所在直线为y轴，建立平面直角坐标系. (1)求抛物线L的函数表达式： 2已知抛物线乙，的函数表达式为y=-3(x-4,0=m,求MN的长. 16 25.(2021陕西中考)己知抛物线y=-x2+2x+8与x轴交于点A、B(其中A在点B的左侧)，与y轴交 于点C. (1)求点B、C的坐标； (2)设点C与点C关于该抛物线的对称轴对称在y轴上是否存在点P,使△PCC'与POB相似且PC与 6/15 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 P0是对应边？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由. 年模拟 考点1一次函数与正比例函数 1.(2025陕西咸阳永寿豆家中学·六模)己知一次函数y=-x+a与正比例函数y=x的图象交于点A(2,b), 则a的值为() A.1 2 B. C.4 D.6 2.(2025陕西咸阳永寿御家宫中学中考一模)对于正比例函数y=-2x和一次函数y=x-m,若m>0,则 这两个函数图象的交点一定在() A.第一象限B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.(2025陕西西安爱知初级中学·二模)已知一条直线经过点A(-2,m和点B(n,-3),若点A与点B关于原 点对称，则这条直线对应的函数关系式是() A.y=-2* 3 3 B.y=x 2 2 C.y=- D.y= 4.(2025陕西咸阳永寿豆家中学.中考模拟)已知A4,a)和B(-1,b)是一次函数y=c-4k≠0)图象上的两 点，若a<b,则该一次函数的图象还可能经过的点是() A.（-4,0j B.(4,0 C.0,4) D.1,-3) 5.(2025陕西咸阳永寿马坊中学七模)己知一次函数y=x+1(k≠0)的图象过点Ax,y),B(x2,y2),且 函数图象经过第二、四象限，当x,-x=2时，，-y2=6,则该一次函数的表达式为() A.y=3x+1B.y=-3x+1 C. D.J=+1 6.(2025陕西西安未央区多校·中考模拟预测)已知正比例函数y=x(k为常数且k≠0)的图象经过第一、 三象限，则一次函数y=一x+k的图象不经过() 7/15 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 考点2二次函数基础 7.(2025陕西西安高新一中初级中学.一模)若A-5,n-3),B(-1,n,C(1,n)三点在同一函数图像上，则 该函数图像可能是() 8.(2025陕西汉中西乡三中.中考模拟)将抛物线y=x2-a-2)x+a2-1的图象向右平移4个单位长度后， 与y轴交于点(0,3).则平移后抛物线对称轴为(). A.x=-1 B.x=1 C.x=-2 D.x=2 9.(24-25九上陕西商洛商南县东兴九年制学校一调)抛物线y=(x-2)?+1的最小值为() A.2 B.-2 C.1 D.-1 10.(2025陕西西安湖滨中学九模)已知一个二次函数图象经过(-3，y),P（-1,2),P(2,), P43,y4),其中>2=y4,则，，片中最值情况是() A.最大，⅓最小 B.最小，最大 C.最小，最大 D.最小，⅓最大 11.(2025陕西西安工大附中.中考适应性训练)如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点(-1,0)，对称轴 为直线x=1,则下列结论正确的是() A.b=2a B.y=ax2+bx+c的最小值为-4a 8/15 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 C.关于x的方程ax2+bx+c=2无实数根 D.若点A(-4,y,点B(5,y2)在y=ax2+bx+c的图象上，则<2 12.(2025陕西榆林苏州中学.中考模拟)己知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的对称轴为直线x=1, 部分图象如图所示，有下列结论：①abc<0;②b2-4ac>0;③若t为任意实数，则有a-bt≤at2-b;④ 当图象经过点分2时，方程a+加+c-2-0的两个根为，无西小则2+5-号 3 ·其中，正确 的结论有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 13.(2025陕西咸阳永寿御家宫中学.中考一模)已知二次函数y=-x2+bx+c,若x=-1时，函数y取最大 值3，则2b+c的值为() A.-2 B.0 C.2 D.6 14.(2025陕西咸阳永寿常宁镇中学.七模)已知在平面直角坐标系中，抛物线y=x2-4ax+a2+2a（a为 常数)与x轴交于A,B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C.若该抛物线顶点的纵坐标为-a,则 LOBC的度数为() A.30 B.45° C.60 D.75 考点3反比例函数 15.(2025陕西汉中西乡三中.中考模拟)在平面直角坐标系x0y中，有函数y=x1(k≠0且x>0)和反 比例函数y,=10x(x>0),点A在乃2上，过点A作AB1x轴，交片于点C,连接OA,若AC:BC=1:1, 则k=一 9/15 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 0 B 16.(2025陕西.中考模拟)在平面直角坐标系中，反比例函数y=kx与矩形A0BC的AC边交于点D,与 BC边交于点E,若D为AC中点，且△DCE的面积为5，则k的值为一 B D 17.(2025陕西西安铁一中滨河九模)如果反比例函数y=1-的图象与直线y=x没有交点，请写出一个 符合条件的k值」 18.(2025陕西咸阳乾县吴店九年制学校二模)已知点A(2,y),B(2,)分别在反比例函数y=人(k>0)和 y=2k+的图象上，连接AB.若4B=3,则k的值为 19.(2025陕西咸阳永寿豆家中学六模)己知点A(m,-2)与点B(2t,)关于y轴对称，若某一反比例函数的 图象经过点B,则这一反比例函数的表达式为一· 考点4一次函数应用 20.(2025陕西·中考模拟)某公司推出了一款新的汽车，成本价为45万元/辆.该产品一经推出，便因为 其公司极高的口碑及较高的制作工艺，受到了广大人民的青睐.某消费者通过查阅某平台的资料，发现该 车售价为53万元，她通过记录该车的销量，将其绘制成了图象：图中的折线OAB表示每时销售量y(万辆) 与销售时间（时）之间的函数关系. 10/15