精品解析：四川省绵阳南山中学2025-2026学年高三上学期绵阳一诊热身考试数学试题

绵阳南山中学高2023级“绵阳一诊”热身考试数学试题 本试卷分为试题卷和答题卡两部分，其中试题卷由选择题和非选择题组成，共4页；答题卡共6页．满分150分，时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的班级，姓名用0.5毫米黑色墨水签字笔填写清楚，同时用2B铅笔将考号准确填涂在“考号”栏目内． 2．选择题使用铅笔填涂在答题卡对应题目位置，非选择题用黑色墨迹签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的内容无效． 3．考试结束后将答题卡收回． 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则中的元素个数为（ ） A. B. C. D. 2. 若命题“，都有”，则命题的否定为（ ） A. ，都有 B. ，都有 C. ，使得 D. ，使得 3. 函数的图像大致是（ ） A. B. C. D. 4. 若，且，则的最小值是（ ） A. 16 B. 25 C. 4 D. 5 5. 拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，其定理陈述如下：如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则在区间内至少存在一个点，使得称为函数在闭区间上的中值点．若关于函数在区间上的“中值点”个数为m，函数在区间上的“中值点”的个数为n，则有（ ）（参考数据：） A. 1 B. 2 C. 0 D. 3 6. 已知为数列的前项和，若，则等于（ ） A. 2026 B. 2025 C. 0 D. 1013 7. 2023年，深度求索（DeepSeek）公司推出了新一代人工智能大模型，其训练算力需求为1000PetaFLOPS（千亿亿次浮点运算/秒）．根据技术规划，DeepSeek的算力每年增长．截止至2025年，其算力已提升至2250PetaFLOPS，并计划继续保持这一增长率．问：DeepSeek的算力预计在哪一年首次突破7500PetaFLOPS？（ ） （参考数据：，，） A. 年 B. 年 C. 年 D. 年 8. 已知函数，若函数有最小值，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知等差数列的公差为，等比数列的公比为，且，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 数列是递增数列 C. 存在正整数，使得 D. 存在正整数，使得 10. 将函数的图象先向左平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象．则下列说法正确的是（ ） A. 若时，为奇函数 B. 若最小正周期为，则 C. 若，则函数在内有3个极值点 D. 若函数在恰有3个零点，则的取值范围是 11. 已知，且，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 计算___________（填具体数字）． 13. 已知是定义在上且周期为2的奇函数，当时，，则___________． 14. 已知，则的最小值为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求的解析式； （2）设函数，求使成立的的取值． 16. 已知数列的首项，且满足 （1）求证：为等比数列； （2）设，记的前项和，求满足的最小正整数． 17. 已知函数图象的一条对称轴为． （1）求的最小值； （2）当取最小值时，若，求的值． 18. 拐点，又称反曲点，指改变曲线向上或向下的点（即曲线的凹凸分界点）．设是函数的导函数，是函数的导函数．若方程有实数解，并且在点左右两侧二阶导数符号相反，则称为函数的“拐点”．经研究发现所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图象的对称中心．已知三次函数 （1）过点作曲线的切线，求切线方程： （2）若对于任意实数，都有恒成立，求实数的取值范围； （3）已知函数，其中．求的拐点． 19. 已知函数的导函数为．． （1）若对于任意的，都有，求实数的最小值； （2）若有三个不同的零点，求实数的取值范围： （3）已知，若在定义域内有三个不同的极值点，且满足，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绵阳南山中学高2023级“绵阳一诊”热身考试数学试题 本试卷分为试题卷和答题卡两部分，其中试题卷由选择题和非选择题组成，共4页；答题卡共6页．满分150分，时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的班级，姓名用0.5毫米黑色墨水签字笔填写清楚，同时用2B铅笔将考号准确填涂在“考号”栏目内． 2．选择题使用铅笔填涂在答题卡对应题目位置，非选择题用黑色墨迹签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的内容无效． 3．考试结束后将答题卡收回． 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则中的元素个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求解计划是先求解集合中不等式，确定集合的元素，再根据交集的定义求出，最后得出中元素的个数. 【详解】集合由满足的自然数组成， 又， 所以满足的自然数的，故集合， 集合， 所以，包含个元素. 故选：B. 2. 若命题“，都有”，则命题的否定为（ ） A. ，都有 B. ，都有 C. ，使得 D. ，使得 【答案】C 【解析】 【分析】根据存全称词命题的否定是存在量词命题分析判断. 【详解】因为全称量词命题的否定是存在量词命题， 所以命题的否定为“，使得”. 故选：C. 3. 函数的图像大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过求函数的零点判断图像与轴的交点，结合函数值的正负区间以及时的极限状态（或求导分析单调性）即可排除错误选项。 【详解】令，即，因为恒成立，所以， 解得或，数图像与轴有两个交点和。 观察选项：A选项：当时图像一直在轴下方，不符合时，故排除A； B选项：当时图像有部分在轴下方，而当时，，，所以，故排除B； D选项： 由导数可知，当时，函数单调递增，D 选项在时单调递减，故排除D； C选项：图像过原点，在时函数值为正且先增后减（存在极大值），在后先减后增（存在极小值），符合函数性质. 4. 若，且，则的最小值是（ ） A. 16 B. 25 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】利用常数代换，结合基本不等式可得. 【详解】因为，且， 所以， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是5. 故选：D 5. 拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，其定理陈述如下：如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则在区间内至少存在一个点，使得称为函数在闭区间上的中值点．若关于函数在区间上的“中值点”个数为m，函数在区间上的“中值点”的个数为n，则有（ ）（参考数据：） A. 1 B. 2 C. 0 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】利用拉格朗日中值定理应用导函数得出方程解的个数即可判断求解． 【详解】设函数在区间上的“中值点”为，由，得， 则由拉格朗日中值定理得，，即， 而，则，即函数在区间上的“中值点”的个数为1，因此， 设函数在区间上的“中值点”为，由，求导得， 由拉格朗日中值定理得，，即， 令函数，，在上单调递增， ，， 则在上有唯一零点，即方程在区间上有1个解， 因此函数在区间上的“中值点”的个数为1，即，所以． 故选:B． 6. 已知为数列的前项和，若，则等于（ ） A. 2026 B. 2025 C. 0 D. 1013 【答案】D 【解析】 【分析】根据，结合已知条件，得到数列的递推关系.利用累乘法求得，代入2027求得；或先求出，再求得. 【详解】因为，所以 即. 所以. 因为，所以. 所以……. 由累乘法得：. 所以，，， 所以. 方法二： 因为，所以. 两式相减，得，即. 由，得. 所以. 所以. 故选：D. 7. 2023年，深度求索（DeepSeek）公司推出了新一代人工智能大模型，其训练算力需求为1000PetaFLOPS（千亿亿次浮点运算/秒）．根据技术规划，DeepSeek的算力每年增长．截止至2025年，其算力已提升至2250PetaFLOPS，并计划继续保持这一增长率．问：DeepSeek的算力预计在哪一年首次突破7500PetaFLOPS？（ ） （参考数据：，，） A. 年 B. 年 C. 年 D. 年 【答案】C 【解析】 【分析】利用归纳可知，从年起，到第年，DeepSeek的算力提升至PetaFLOPS，解不等式，即可得出结论. 【详解】由题意可知，截止至2025年，DeepSeek的算力已提升至2250PetaFLOPS， 到年，其算力提升至PetaFLOPS， 到年，其算力提升至PetaFLOPS，， 以此类推可知，从年起，到第年，DeepSeek的算力提升至PetaFLOPS， 由，可得， 所以，， 所以，DeepSeek的算力预计在年首次突破PetaFLOPS， 故选：C. 8. 已知函数，若函数有最小值，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出在上的范围，再结合函数的最值分、两种情况讨论. 【详解】当时，， 函数有最小值，则最值必在上取得，且其最小值小于等于， 若，则，得， 若，则，得， 则实数的取值范围是. 故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知等差数列的公差为，等比数列的公比为，且，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 数列是递增数列 C. 存在正整数，使得 D. 存在正整数，使得 【答案】ABD 【解析】 【分析】由等差数列与等比数列项之间的关系建立方程组，求得公差和公比，即可判断A选项，写出数列通项公式即可判断B选项.将作差，然后构造函数，由导数得到函数在的单调性，结合端点的正负即可证明函数零点，即方程的解，判断选项.由等式建立方程然后解的值，判断选项. 【详解】∵， ∴，整理得， ∵，∴，则，A选项正确， ，，B选项正确， ∵，令， ∵，当时，， ∴函数在上单调递增，且， ∴函数在无零点，即不存在正整数，使得，C选项错误， ，即，解得， ∴存在正整数，使得，D选项正确. 故选：ABD. 【点睛】本题考查了等差数列和等比数列，结合项之间的关系建立方程组，然后得数列相关的量.对于是否存在正整数使得等式成立问题，可以由解方程证明存在，或者利用函数零点来判断方程得解. 10. 将函数的图象先向左平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象．则下列说法正确的是（ ） A. 若时，为奇函数 B. 若最小正周期为，则 C. 若，则函数在内有3个极值点 D. 若函数在恰有3个零点，则的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据三角函数图象变换求得的表达式，然后根据函数的奇偶性、周期性、极值点、零点等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】函数向左平移个单位长度，得到， 再将所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到. 选项A：当时，， ，，故不是奇函数，A错误. 选项B：若的最小正周期为，由周期公式，可得，解得，B正确. 选项C：当时，，令（），则， 解不等式，即，得， 对应、、，均在内，共3个极值点，C正确. 选项D：令（），得， 要使在内恰有3个零点，需满足且，即且， 解得，D正确. 故选：BCD 11. 已知，且，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】通过不等式放缩为同结构函数，利用单调性可判断选项. 【详解】因为，所以， ， 令，，所以为增函数，即有， 所以，即. 令，，为减函数，所以，A正确. 由A可知，为减函数，若成立，则，即， 当取接近1的数时，上式不成立，比如，时，左式，而右式，B错误. 令，， 令，，所以为减函数，所以， 即，为减函数. ， 即，所以，C正确，D错误. 故选：AC 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 计算___________（填具体数字）． 【答案】9 【解析】 【分析】利用恒等式求解可得. 【详解】. 故答案为：9 13. 已知是定义在上且周期为2的奇函数，当时，，则___________． 【答案】## 【解析】 【分析】由函数的奇偶性和周期性即可求解. 【详解】 ， 故答案为： 14. 已知，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意分析出，，且不同时取最大值1，设，将此式平方与已知条件进行平方后相加，可得，再进行验证即可. 【详解】因为，的最大值均为1， 且，① 所以，，且不同时取最大值1， 设，② 由①2+②2, 得， 即， 所以， 当时，等号成立; 当时，， 所以，， 所以， 即， 由， 可得， 平方得，， 所以， 解得， 所以， 综上，当，时，取最小值，为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求的解析式； （2）设函数，求使成立的的取值． 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据三角函数的周期公式，结合函数图象的最高点确定出解析式中的参数，即可求得的解析式； （2）利用三角函数恒等变换公式求得，然后运用正弦函数的性质解方程即可得求解． 【小问1详解】 由题：的周期，得， 当时，取得最大值， 可得，即， 结合，可得，所以 【小问2详解】 ， 令，得， 所以或， 可得的取值集合为或. 16. 已知数列的首项，且满足 （1）求证：为等比数列； （2）设，记的前项和，求满足的最小正整数． 【答案】（1）证明：， 是以1为首项，为公比的等比数列； （2）10 【解析】 【分析】（1）对已知数列的递推公式两边取倒数，根据等比数列的定义，即可得证； （2）由（1）可得，利用分组求和法及等比数列的前项和公式可得，可得为递增数列，由即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得，即， 所以， 所以， 因为， 所以为递增数列，又. 所以满足的最小正整数为10. 17. 已知函数图象的一条对称轴为． （1）求的最小值； （2）当取最小值时，若，求的值． 【答案】（1）的最小值为1． （2） 【解析】 【分析】（1）变形化简为，再由进行求解； （2）由（1）知，得，则进行求解． 【小问1详解】 由题意得 ． 因为函数的一条对称轴为， 所以， 所以． 又， 所以的最小值为1． 【小问2详解】 由（1）知． ． ． ． 18. 拐点，又称反曲点，指改变曲线向上或向下的点（即曲线的凹凸分界点）．设是函数的导函数，是函数的导函数．若方程有实数解，并且在点左右两侧二阶导数符号相反，则称为函数的“拐点”．经研究发现所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图象的对称中心．已知三次函数 （1）过点作曲线的切线，求切线方程： （2）若对于任意实数，都有恒成立，求实数的取值范围； （3）已知函数，其中．求的拐点． 【答案】（1）或． （2）且 （3） 【解析】 【分析】（1）设切点，利用导数的几何意义和两点斜率公式列方程可求，再利用点斜式求切线方程； （2）利用导数判断函数的单调性，作函数的大致图象，由时，成立，可得，求函数的对称中心，利用对称性化简可得，结合图象进一步化简，由此可求结论， （3）由条件结合导数运算法则可得，令，，利用导数研究函数的单调性，结合函数性质求其零点，由此可得结论. 【小问1详解】 因为，故可设切点为，， 所以， 整理得： 解得：或， 当时，切点为，切线斜率为，故切线方程为， 当时，切点为，切线斜率为，切线方程为， 故切线方程为：或． 【小问2详解】 ，当且仅当时，， 由（1）， 所以当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 又由可得，，， 作函数的大致图象如下， 所以， 要使恒成立 当即时，恒成立， 即，且， 所以 当时，由恒成立， 得（*）， 因为，所以，， 令，所以， 当时，，当时，， 由题干可得函数的图象关于点对称， 所以， 所以不等式（*）为， 因为，结合图象可得， 所以恒成立， ，所以． 综上，且 【小问3详解】 ， 由于，故，即的定义域为， ， ， 令得，， 令，， 则在上恒成立， 故在上单调递增， 又，由零点存在性定理知，有唯一的零点， 故，即时，满足， 当时，， 故的拐点为 19. 已知函数的导函数为．． （1）若对于任意的，都有，求实数的最小值； （2）若有三个不同的零点，求实数的取值范围： （3）已知，若在定义域内有三个不同的极值点，且满足，求实数的取值范围． 【答案】（1）0 （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）通过参变分离，得到，构造函数，通过求导，确定最值即可求解； （2）先求出导函数，再得出导函数正负确定函数单调性及极值数形结合计算求参； （3）先求出导函数，再得出导函数正负确定函数单调性及极值数形结合计算求参. 【小问1详解】 在恒成立，， ，令， 取， 在单调递增，， ，满足， 在单调递减，在单调递增， ． 【小问2详解】 由题知，， 因为有三个不同的零点， 所以方程有三个不等实根， 化简可得方程有三个不等实根， 即可看成直线与曲线有三个不同的交点， ， 所以当或时，单调递减； 当时，单调递增， 所以当时，有极小值为， 当时，有极大值为， 当时，，且当时，， 所以作出函数的图象如图1所示， 所以数形结合可知，即实数的取值范围为． 【小问3详解】 由题知，，其定义域为， 则， 令，得或， 设，则， 当时，，所以单调递增； 当时，，所以单调递减， 又当时，；当时，，且， 所以的大致图象如图2所示， 因为在定义域内有三个不同的极值点， 所以与有两个不同的交点，所以， 不妨设，则， 所以，所以 所以 ， 令，则， 因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递增， 所以， 又， 所以，所以在上单调递增， 因为， 所以当时，恒成立， 即当时，恒成立， 所以实数的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $