精品解析：湖北省沙市中学2025-2026学年高一上学期10月月考数学试题

2025—2026学年度上学期2025级 10月月考数学试卷 命题人：郭松 审题人：冷劲松 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 满足⫋的集合A的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 以下函数中，在上单调递减且是奇函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数在区间上的值域为，则的取值范围是（ ） A B. C. D. 5. 设正数x，y满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，若对于，且，都有，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 函数.若，使得，则实数取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，，若存在实数、、，使得，则的最小值为（ ） A B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分．） 9. 关于的不等式（）的解集可以是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 函数定义域为，则函数的定义域为 B. 函数在定义域内是减函数 C. 函数的值域为 D. 定义在上的函数满足，则 11. 若存在函数，使得函数满足，则称是“变量函数”.已知函数，，，若是“变量函数”，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 的最小值为 D. 若恒成立，则 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知，则__________. 13. 已知，，，则的最小值为___________． 14. 已知函数，记，，若，则实数的取值范围是______. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．） 15. 已知，或． （1）若，求的取值范围； （2）若，求的取值范围． 16. 已知函数的图象过点，且满足． （1）求函数的解析式： （2）求函数在上的最小值； 17. 函数的定义域为，对，，都有；且当时，．已知． （1）求，； （2）判断并证明的单调性； （3）解不等式：． 18. 已知函数． （1）若的解集为，求，的值； （2）若，求不等式的解集； （3）在（1）条件下，若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． 19. 给定函数，若实数使得，则称为函数的不动点，若实数使得，则称为函数的稳定点，函数的不动点一定是该函数的稳定点. （1）求函数的不动点： （2）设，，且恰好有两个稳定点和. （i）求实数的取值范围， （ii），，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度上学期2025级 10月月考数学试卷 命题人：郭松 审题人：冷劲松 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】存在量词命题的否定，将存在改为任意，并否定原结论，即可得. 【详解】由题意有“，”的否定是“，”， 故选：D. 2. 满足⫋的集合A的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合之间的关系直接得出结果. 【详解】集合A可以是，共3个. 故选：B. 3. 以下函数中，在上单调递减且是奇函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】A选项，根据解析式直接得到函数在上单调递减，且为奇函数；BC选项，判断出函数为偶函数，D选项，函数不满足在单调递减. 【详解】A选项，在R上单调递减，且， 故是奇函数，满足要求，A正确； B选项，定义域为R，且，故为偶函数，B错误； C选项，定义域为R，且， 故为偶函数，C错误； D选项，在上单调递增，D错误. 故选：A 4. 已知函数在区间上的值域为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析的函数值，结合图象确定出值域为时的范围. 【详解】因为，且， 令，解得或，作出图象如下图所示， 由图象可知，当时，若的值域为，则， 故选：C. 5. 设正数x，y满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，可将化为，然后由基本不等式可得答案. 【详解】因，则. 当且仅当，即时取等号. 故选：A 6. 已知函数，若对于，且，都有，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数单调性的定义推出在R上单调递增，再由分段函数的性质求解即的. 【详解】不妨设，由，可得：， 则函数，在R上单调递增， 则，解得， 即实数a的取值范围为． 故选：B． 7. 函数.若，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查函数的值域.由题可得在上的值域，以及在上的值域，要使，有，则在上的值域为在上的值域的子集，利用集合间的基本关系确定参数的范围即可. 【详解】由题可得，要使，有， 则在上的值域为在上的值域的子集， 在上单调递减，∴函数在上的值域为， 为开口向上的二次函数，其对称轴为， 当，即时，在上单调递增，在上的值域为， ∴，解得，无解； 当，即时，在上单调递减，在上的值域为， ∴，解得，无解； 当，即时，在上的值域为， ∴，解得，∴. 综上，的取值范围为. 故选：A. 8. 已知函数，，若存在实数、、，使得，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由对勾函数的单调性可得出，由作差可得出，再结合已知条件得出，化简代数式，利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为函数在上单调递减，在上单调递增， 由题意可知， 由可得， 即， 因为，则，故， 因为，则， 所以， ， 因为，函数、在上单调递减， 故函数在上单调递减，当时，， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故选：C. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分．） 9. 关于的不等式（）的解集可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定条件，分类求解不等式，进而判断得解. 【详解】不等式中，当时，，解得，A可能； 当时，不等式化为，解得， 当时，不等式化为，若，则；B可能； 若，则或；若，则或， C不可能，D可能. 故选：ABD 10. 下列说法正确的是（ ） A. 函数的定义域为，则函数的定义域为 B. 函数在定义域内是减函数 C. 函数的值域为 D. 定义在上的函数满足，则 【答案】AD 【解析】 【分析】求出抽象函数定义域判断A；由单调性判断B；求出函数值域判断C；利用方程组法求出解析式判断D. 【详解】对于A，在函数中，，则，因此函数的定义域为，A正确； 对于B，函数的定义域为，在定义域内不单调，B错误； 对于C，函数的定义域为R，，则，C错误； 对于D，由，得，联立解得，D错误. 故选：AD 11. 若存在函数，使得函数满足，则称是“变量函数”.已知函数，，，若是“变量函数”，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 的最小值为 D. 若恒成立，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意列出不等式，令可判断A；根据一元二次不等式恒成立的条件可判断BD，利用配方法可判断C. 【详解】由题意可知在上恒成立，令得， 即，故A正确； 由可得，代入不等式组中整理得， 所以，故B错误； 由可得，所以，所以的最小值为，故C正确； 若恒成立，即恒成立， 所以有，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用代入法直接进行求解即可. 【详解】 ， 故答案为： 13. 已知，，，则的最小值为___________． 【答案】5 【解析】 【分析】由，，得，则，根据基本不等式即可得出，从而求出的最小值. 详解】由，可得， 则， 当且仅当，即，时等号成立． 因此，的最小值为5． 故答案为：5． 14. 已知函数，记，，若，则实数的取值范围是______. 【答案】或 【解析】 【分析】由时，的两个根为，（设，得到参数间的关系，由两个集合相等得出，进而得，即可验证，当时，根据判别式即可求解. 【详解】当时，所以，解得或， 设的两个根为，（设， ，，， 由，得， 由于，则， 故，此时，,符合题意， 当时，，解得，此时 ， 此时对，故对任意的恒成立， 故,满足， 综上可知或 故答案为：或 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．） 15. 已知，或． （1）若，求的取值范围； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分和两种情况讨论求解即可； （2）由题意得，从而可求出的取值范围． 【小问1详解】 ①当时，，∴，∴． ②当时，要使，必须满足，解得． 综上所述，的取值范围是． 【小问2详解】 ∵，，或， ∴，解得， 故所求的取值范围为． 16. 已知函数的图象过点，且满足． （1）求函数解析式： （2）求函数在上最小值； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合二次函数的图象与性质，列出方程，求得的值，即可求得函数的解析式； （2）根据题意，结合二次函数的性质，分类讨论，即可求解. 【小问1详解】 解：函数满足，则函数的图象关于对称， 可得，解得，即， 又由函数的图象过点，可得，解得， 所以函数的解析式为. 【小问2详解】 解：由（1）知，可得其图象开口向上，对称轴为， 当时，可得在区间上单调递增，所以； 当时，可得在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以； 当时，可得在上单调递减，所以， 所以函数在上的最小值. 17. 函数的定义域为，对，，都有；且当时，．已知． （1）求，； （2）判断并证明的单调性； （3）解不等式：． 【答案】（1）； （2）在上单调递增，证明见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）利用赋值法即可求，的值； （2）根据函数单调性的定义即可判断的单调性并证明； （3）结合函数单调性将不等式进行转化，即，可解不等式. 【小问1详解】 令，则，， 令，则， 又，； 【小问2详解】 任取，且， 则， ∵， ∴， ∴， 即， 所以在上单调递增． 【小问3详解】 由， 即， 也就是， 即，因为在上是增函数， 所以， 可得不等式解集为或. 【点睛】关键点点睛：由，即，也就是，即，再结合函数单调性即可解不等式. 18. 已知函数． （1）若的解集为，求，的值； （2）若，求不等式的解集； （3）在（1）的条件下，若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据不等式解集得到方程的两根为1，2，代入后得到方程组，求出答案； （2）变形为，分，，，和五种情况，得到不等式的解集； （3）只需，换元后，由基本不等式求出函数最小值，进而得到，求出答案. 【小问1详解】 因为关于的不等式的解集为， 所以关于的方程的两根为1，2， 所以解得 【小问2详解】 因为，所以． ①当时，不等式为，解集为； ②当时，不等式可化为，解集为或； ③当时，，不等式可化为，解集为； ④当时，，不等式可化为，解集为； ⑤当时，，不等式可化为，解集为， 综上，当时，解集为；当时，解集为或； 当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为. 【小问3详解】 由（1）知不等式对任意恒成立， 即对任意恒成立， 只需． 因为，且， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，，故实数的取值范围为． 19. 给定函数，若实数使得，则称为函数的不动点，若实数使得，则称为函数的稳定点，函数的不动点一定是该函数的稳定点. （1）求函数的不动点： （2）设，，且恰好有两个稳定点和. （i）求实数的取值范围， （ii），，求实数的取值范围. 【答案】（1）不动点为－2和3 （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）令，求出或，得到答案； （2）（i），变形得到，此方程恰好有两个不同的实数解，分和两种情况，结合根的判别式得到不等式，求出的取值范围； （ii）法一：在（i）知，的两个稳定点为和1，分和两种情况，换元，再根据对称轴分为，，和四种情况，求出每种情况下的值域，得到不等式，求出答案； 法二：由（i）知，的两个稳定点为和1，取，得， 解得，所以，，结合（i）知，，故，有，换元，根据对称轴得到函数单调性，求出值域，得到不等式，求出实数的取值范围为. 【小问1详解】 令，得，整理得，解得或， 经检验知均满足要求，故函数的不动点为－2和3. 【小问2详解】 （i）令，得， 即，得， 所以有，此方程恰好有两个不同实数解. ①当，即时，方程化为， 仅有一个实数解，不满足题意； ②当时，要么方程无实数解， 要么方程仅有一个实数解为1或者. 故或或， 解得或. 综上，当恰好有两个稳定点时，实数的取值范围为. （ii）法一：由（i）知，的两个稳定点为和1， 当时，，故，， 于是，. 此时函数的对称轴，令. ①当时，，单调递减，在单调递增， ，，故， 而，故在单调递减，在单调递增， 注意到，故， 所以当时的值域为， 即的值域为.于是由题意得，无解. ②当时，在单调递增， 当时，，， 即的值域为，不满足题意，舍去. 当时，，故，， 于是，，此时函数的对称轴， 令. ③当时，，在单调递增， 当时，，，即的值域为， 于是有，解得； ④当时，，在单调递减，在单调递增， ，，故， 而，故在单调递减，在单调递增， 注意到，故， 所以当时的值域为， 即的值域为.于是由题意得，解得. 综上，实数的取值范围为. 法二：由（i）知，的两个稳定点为和1， 因为，，故取，得， 解得，所以，， 因为，解得， 由（i）知，，故， 故有，. 当时，，令，当时， 因，，故. 而，故在单调递减，在单调递增， 注意到，故， 所以当时的值域为， 即的值域为. 于是由题意得，解得. 所以实数的取值范围为. 【点睛】方法点睛：新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $