培优02 求数列通项公式常见的11种考法（专项训练）数学人教A版2019选择性必修第二册

培优02 求数列通项公式常见的11种考法 题型1 周期数列 1．已知数列满足，则数列的前13项和为（   ）． A．2 B．8 C．12 D．14 2．若数列满足，，则（   ） A． B． C．4 D． 3．已知数列满足：，若，则（ ） A． B． C． D． 4．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）．已知数列满足则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 5． 已知数列，判断数列的周期性． 题型2 叠加法 叠加法：适用于，求 具体过程：两边分别相加得 6．已知各项均为正数的数列满足，，则取最小值时，（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 7．已知数列满足，，则 ． 8．已知数列满足，，则数列的通项公式为 ． 9．已知数列满足，． (1)求，； (2)求数列的通项公式． 10．已知数列满足（），且，求数列的通项公式． 题型3 叠乘法 叠乘法：适用于，求 具体过程： ，两边分别相乘得 11．已知数列满足，，则数列的通项公式是 12．已知，，求数列的通项． 13．已知数列满足，求数列的通项公式. 14．在数列中，，求数列的通项公式； 题型4 形如型和型的递推式 （1）形如且，方法:化为的形式，令,即得为等比数列,从而求得数列的通项公式. （2）形如，方法：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 15．已知数列中，，，则 ． 16．已知数列满足，且，则（    ） A． B． C． D． 17．已知数列中，，，，为数列的前项和，则数列的通项公式 ； . 18．已知数满足，则数列的通项公式 ． 19．已知：，时，，求的通项公式． 题型5 指数型和分式型 （1）形如且，两边同除,得,令,得,转化为利用累加法求（若为常数,则为等差数列） （2）形如，则两边取倒数即可 20．已知数列中，，且，则 ． 21．数列{an}满足，，则数列{an}的通项公式为 . 22．在数列中，，，则 ． 23．已知数列满足，且. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 24．已知数列满足. (1)求的通项公式； (2)若，求的前项和. 题型6 已知an与Sn的关系求通项公式（消Sn） 用消的3个步骤： ①先利用求出;②用替换中的得到一个新的关系，利用便可求出当时的表达式;③注意检验时的表达式是否可以与的表达式合并. 25．（多选）已知数列的前n项和满足，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 26．已知数列的前项和为，且满足，，则数列的通项公式为 ． 27．已知为数列的前项和，若，则 ． 28．记为数列的前项和，已知. (1)求，并求的通项公式； (2)求的前项和. 29．记为数列的前项和，已知． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 题型7 已知an与Sn的关系求通项公式（消an） 若等式中为与或与，则替换题目中的 30．已知正项数列的前项和为，且. (1)求； (2)证明是等差数列，并求的通项公式； 31．在数列中, 当时,其前项和为满足,设,数列的前项和为,则满足的最小正整数是 A．12 B．11 C．10 D．9 32．已知正项数列中且，其中为数列的前n项和. (1)求数列的通项公式； (2)若是和的等比中项，求k值； 题型8 “和”型求通项公式 “和”型式子可看做前n项和，然后用即可求解； 33．数列满足，则数列的前9项和为（    ） A． B． C． D． 34．已知数列满足，且数列的前项和为，则 . 35．已知正项数列，，． (1)求，及数列的通项公式； (2)设数列的前n项和为，求数列的最大项． 36．已知数列满足. (1)求的通项公式； (2)若，证明数列的前n项和. 37．已知对于任意的，数列都满足. (1)求数列的通项公式； (2)求证：时，. 38．已知数列的各项均为正数，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)若恒成立，求的取值范围． 题型9 “积”型求通项公式 39．记为数列的前项之积，已知，则 . 40．记为正项数列的前项积，且．数列的通项公式是 41．设为数列的前项积，若，其中常数，数列为等差数列，则 ． 42．设为数列的前项和，为数列的前项积，已知 (1)求的值； (2)求证数列是等差数列，并求出数列的通项公式； (3)求数列的通项公式. 题型10 因式分解求通项公式 43．在数列中，，且递增，则 ． 44．已知正项数列满足，（且），设． (1)求，，； (2)判断数列是否为等差数列，并说明理由； (3)求的通项公式．并求其前n项和． 45．设是各项都为正数的递增数列，已知且满足关系式，． (1)求及数列的通项公式； 46．已知正项数列的前项和为，且． (1)求的值和数列的通项公式； 47．已知数列各项均为正数且满足，数列满足，且． (1)求的通项公式； (2)若，求的前n项和． 题型11 递推式分奇偶求通项公式 奇偶项的递推关系不同，一般利用递推关系推出奇数项或偶数项之间的关系，分别求出奇偶项的通项公式 48．（多选）设数列满足，且当时，有则（    ） A．， B．， C． D． 49．已知数列的前项和为，且满足，则 . 50．大衍数列来源于《乾坤谱》中对“大衍之数五十”的推论，主要用于解释我国传统文化中的太极衍生原理.已知大衍数列满足，，数列满足，则 ，数列的前项和与数列的前 项和相等. 51．已知数列满足首项，，则数列的前2n项的和为 ． 52．已知等差数列的前项和为，且，数列满足，设． (1)求的通项公式，并证明：； (2)设，求数列的前项和． 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 培优02求数列通项公式常见的11种考法 划重点·冲 高分 11.递推式分奇偶求通项公式 10.因式分解求通项公式 1.周期数列 9.“积”型求通项公式 2.叠加法 8.“和”型求通项公式 求数列通项公式 3.叠乘法 7.已知an与Sn的关系求通项公 4.形如ant1 pantq型和 式（消an) an+1=pan+kn+q:型的递推 式 6. 已知an与Sn的关系求通项公 式（消Sn) 5.指数型和分式型 题型1周期数列 1 1.已知数列{a,}满足a=2,a1=1- -,则数列{a}的前13项和为(). A.2 B.8 C.12 D.14 【答案】B 11 【详解】因为a=2,014,所以4,102-1， 1 =1=2 1 2 可得数列{an}是周期为3的周期数列，且设前n项和为Sn, 则S,=4×(2-1+)+2=8,故B正确 故选：B 1 2.若数列an}满足a4 2’41s-3 a,-2’则a2=() A:月 C.4 3 D. 2-3 【答案】C 1/34 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1 5 -3 维解1因为0号4， 1 41-21。=3,4=23 5 3 a2-2= =4， 2 32 0,=4-3=4-31 4-24-22’ 所以数列{a}是以3为周期的周期数列 所以a2=a3=4 故选：C 1 3.己知数列an}满足：a1= 1 2a.-l2≤a.<1 3-5 B. c D. 5 【答案】C 2an,0a,<2 1 【详解】解：因为a,=二且an= 2am-l,5≤an<1. 2 3 所以a,=2×%=5,4=2×a2-1=2×4-1 5 3 1 2 a4=2×a3-1=2×2-1= 5 5’a=2×a=2=a, 5 4 a6=2×a3=2=a2,, 所以数列{an}是周期数列，且周期为4， 2 所以a2025=a506x41=4= 5 故选：C 4.任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种 运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜 想”).已知数列an}满足a=1,a+1= ,当a,为偶数时， 2’ 则a2025=() 3an+l,当an为奇数时， A.1 B.2 C.4 D.8 【答案】B 2/34 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【详解】由题意可得a1=1,a2=4,a3=2,a4=1,a5=4,a6=2,…, 所以数列{an}是以3为周期的数列，又2025=3×675，所以a25=a,=2 故选：B 5.已知数列a,4=la,=2,a--3 判断数列{a,}的周期性. 【答案】周期数列，最小正周期为6 【详解】数列{a,4=1a,=2,a2=。-3 a 则a,--3=1a--3-14,--3-24,-3-4=-3-1, 41 as 4-53=2.4=-3-1a-3-141-5-3-2a _-3=-1, 合 a- 410 即a,=a1,ag=a2,a,=a,ao=a4,a1=a5,a12=a6,故有n∈N,an+6=an, 所以数列{an}是周期数列，最小正周期为6 题型2叠加法 解题大 招 叠加法：适用于an+1一an=f(n),求a 具体过程：4，-4=f①，4，-4，=f2,a1-a,=fm)两边分别相加得a,1-a=2fm) k -一一一一一一·一一一一一一一一一。一一“一一 6.已知各项均为正数的数列a}满足a1-a,=2n,4,=13,则8取最小值时，n=（） 1 A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】B 【详解】由己知可得an-a-1=2(n-1),a-1-a-2=2(n-2),…,a3-a2=2×2,a2-4=2×1,将上面式 子左右两边分别相加可得a。-4=21+2+…+n-,a,=m2-n+13,:8=n+13-1 n n 令F=n+3-1,neN, n Fw=1-13, n3 3/34 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 当n≤√3时，F(n)为减函数，n>√3时，F(n)为增函数，且n∈N, 又F-号FI利-空 且F(3)>F(4 P2F4利-空.改当a=4时，会取待最小值 n 故选：B 7.已知数列{a}满足a1=1,a1=a。+n1+,则as=一· 【答案】lnl5+1 【详解】因为aa=a+h1+,所以a,1-a,=ln1+马=h(n+l)-nn, 所以n≥2时，an-a-1=lnn-ln(n-l, 则an=an-an-1+a-1-am-2+…+a3-a2+a2-4+4 In n-In(n-1)+In(n-1)-In(n-2)+...+In3-In 2+In 2-In1+1=Inn+1, 故as=lnl5+1. 故答案为：ln15+1 8.己知数列{an}满足na1-(n+l)an=2，,a,=1,则数列{an}的通项公式为 【答案】an=3n-2 【详解】nan1-(n+1)a。=2,两边同除n(n+1)得： 化简得an=(2+a)n-2,a=1,∴.an=3n-2. 故答案为：an=3n-2 9.已知数列{an}满足a=1,an=3-+a-n≥2）. (1)求4,43； (2)求数列{an}的通项公式. 4/34 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【答案】(1)a2=4,a3=13 ②a,=3”-1 2 【分析】 【详解】(1)：an=3-+a-(n22，a=1,.a2=3+a1=4,a3=32+a2=13 (2)由a,=3+a-n≥2)得：a。-a-1=3-(n≥2)， .an=(a,-a-i)+(a-1-an-2+(a-2-am-+…+a3-a2+(a2-a1)+a =3+30-2+30-3+…+32+3+1= 4a 又a-1满ea,,a=aeN) 10.已知数列a,满足a,-a(m22),且4-子求数列a的通项公式. 1 【1 (neN,). 1 【详解】由题意得a,-a,-（n之2)， 1 1 1 即a,42-’4-43-,0-an-” 1,1 1 所以n-1个式子累加得a,-4=2一十3子一十+㎡一 因%o可- 11 1 所以a,-4=2-3一十+n一 =1111+…+11-1) 23+224++2n一n+ 5a-+++1-1)=1+1.1）=3,2m+1 20-3+24++nn+=21+2月n+i42mn+ (n22), _32n+1,12n2-1 因为4-子所以a,-42nn+1+42m(m+可 (n22), 2×12-11 2n2-1 叉当1=1时，2×1x1+4a,所以a,2n+d (n∈N,). 题型3叠乘法 5/34 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 解题大招 叠乘法：适用于8出=f0m),求a, a 具体过程：=f山，2=12…，2=f0),两边分别相乘得=af) a a, an a =l 11.已知数列an}满足a,=1,nam=n+2)a+1,则数列an}的通项公式是 2 【答案】a,=n+可 【详解】a=l,na.=(n+2)a1,即=” an n+2' 0,=a4.00=112.3n-2.n-1.2 a,a,a1345nn+1n(n+1' 4=1满足上式，所以a,=nn+可 2 故答案为：a,=nn+ 12.已知aa=+3)aa≥2，求数列a的通项 32-1 【答案】an= 16 【详解】当n≥2时， 0m=1+32”, an-1 4.a.0 01a2 =(1+32）1+32）1+32) （1-3)01+3）1+3）+3产） 1-32 -31+3+3 1-32 1-3）1+32） 1-322 1-32 1-32 所以当n≥2时，a,=4×9×%×x0={x1-3”-=32”-1 442an-12-80160 6/34 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 经检验，n=1也满足上式， 所以an= 2-1 160 13.已知数列{an}满足an1=2(n+1)5”×a,a1=3,求数列{an}的通项公式. n川n- 【答案】4，=3×2-×52×n川 【详解】因为a+1=2(n+1)5"×a,a1=3, 所以a,≠0，则型=2(n+105”, 故a=44.4 an-an-2 a2 a =[2(n-1+1)5-]f2(n-2+1)5"-2小…2×2+1×52]f2×(1+1×5]×3 =2"-fnxn-l×…x3×2]×5a-a-2+*2x3 (n-1) =3x2m-x52×n (m-1) 所以数列{a}的通项公式为a,=3×2-1×52×nl. 14.在数列{an}中，a,=2,n2+1an1=2n2-2n+2)an,求数列{an}的通项公式； 2” 【答案】 (n-1)2+1 【详解】依题意，a,=2,(n2+1a1=2(n2-2n+2a., w+0-2a-j小，22a-+. an n2+1 所以当22时4.=品兰…及42a-2+刊.2a-+12+刊.2[02+12 an-1 an-2 a2 a (n-1)2+1(n-2)2+1 22+112+1 2 （n-1)2+1 当n=1时也满足上式 2” 所以am=7 n-1)2+1 题型4 形如。=2四.+g型和a,=p0++6型的递推式 7/34 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 w 1>形如a,=pm,+gneN且n2引，方法化为a,+,号=p0+9 p-1P(“ 的形式，令 p-1 b,=a,+9即得h=pb,1b,为等比数列从而求得数列{a,的通项公式 p-1 (2)形如an=pan1+kn+b,方法：设a。+An+B=p[a-1+A(n-1)+B],通过待定系数法确定A、B的 ,值，转化成以a,+A+B为首项，以p为公比的等比数列{a,+An+B,再利用等比数列的通项公式求出 i{an+An+B}的通项整理可得an 儿-一一-一一一一一一一一 15.己知数列中，41=1，an1=3an+1,则an= 【答案】3”1 22 【详解】由a+1=3an+1, 可得：+a+》 1 所以口+分是首项为子，公比为3的等比数列： 13x3, 所以a+22 3”1 所以a,=22' 故答案为： 3”1 22 16.己知数列{an}满足4=4，且an1=2an-3,则a21=（) A.2210-3 B.221+3 C.2210+3 D.2211+1 【答案】C 【详解】因为a1=2a,-3,所以a+1-3=2(an-3) 因为a,-3=1,所以数列an-3}是首项为1，公比为2的等比数列， 所以a。-3=2-,所以a,=2+3, 故a21=220+3. 故选：C 8/34 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 17.己知数列{an}中，a1=3,an1=2an-2n+3,n∈N，Sn为数列{an}的前项和，则数列{an}的通项公 式an=一；Sg=_ 【答案】 2”+2n-1574 【详解】因为an1=2a。-2n+3,a1=3, 则a+1-2(n+1+1=2(am-2n+1,且a1-2+1=2≠0， 可知数列{a,-2n+1是以首项为2，公比为2的等比数列， 则a,-2n+1=2×2-=2",即an=2"+2n-1, 可得Sn=(2+1)+2+3+…+(2”+2n-1 =(2+22+…+2"）+(1+3+…+2n-1） 21-2,n1+2m==22-1+m2… 1-2 2 所以S。=228-1+82=574 故答案为：2”+2n-1:574 18.已知数{an}满足a1=2,an+1=5an+12,则数列{an}的通项公式an= 【答案】5”-3 【详解】由am+1=5an+12可得：an1+3=5(an+3),又a1+3=5≠0， 0n+1+3 an+3 =5, 所以{an+3}是以a,+3=5为首项，5为公比的等比数列， 所以an+3=5.51=5”,所以a。=5”-3 故答案为：5”-3 19.已知：a=1，n之2时，a.=2+2n-1,求{a,}的通项公式. 【俗】是+n-6 【#解】设a+加+8=+Aa-小+月，所以a,-4 1.1 21 9/34 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A=2, 2 A=-4 ,解得： A- B=6' 21 又a-4+6=3,{a,-4n+6是以3为首项，3为公比的等比数列， 2+4n-6 题型5指数型和分式里 解 招 器q父干。亏#网的·亿uIN3u@/牛aD瑰D p”p b=61+0转化为利用果加法求么（劣@为窄数测6，为等差数列 （2)形如an+1= m0,则两边取倒数即可 pa+g 20.已知数列{an}中，a1=2,且an+1= n+2,则a,= 【答案】2 【详解】由a1-20 0n+2,可得 1=0+2 11_1 ant 2a ，即 又a1=2, 所以数列 是以，为首项，？为公差的等差数列， a 1 11 1n 所以一= 0 2 t)(n二1)，即一=，，所以as 故答案为：2 21. 数列{an}满足an1=5an+3×5"1，a1=6,则数列{am}的通项公式为 9 【答案】a.=(3n-35 【详解】：a=5a+3×5",所以号=-+3，即岩-号=3 55" 经}是等差数列，而号=。 55 10/34