精品解析：江苏省淮安市清江浦区等2地2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

数学一 一、选择题：（本大题共8小题，共24分．请将答案填涂在答题卡上） 1. 下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的识别，解题的关键是掌握两种图形的定义． 根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项进行判断即可，即平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形称为轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 【详解】解：A．是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意； B．是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意； C．是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意； D．是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意； 故选：C． 2. 下列函数中，一定是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次函数的识别．根据一元二次函数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A：是一次函数，不符合题意； B：是二次函数，符合题意； C：含有分式，不是二次函数，不符合题意； D：当时，不是二次函数，不符合题意． 故选：B． 3. 如图，将直角三角形绕直角边所在直线旋转一周，得到的立体图形是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查图形的旋转，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 根据旋转的性质可得直角三角形绕其一条直角边旋转一周后形成的立体图形为圆锥，即可得到答案． 【详解】解：根据题意得， 该直角三角形绕直角边所在直线旋转一周，得到立体图形是圆锥， 故选：A． 4. 如果正六边形的半径为6，则该正六边形的边长为（ ）． A. 3 B. 6 C. 12 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正多边形与圆的有关计算，等边三角形的判定，熟练掌握正六边形的性质和等边三角形的判定是解题的关键． 连接，，证是等边三角形，即可求得正六边形的边长． 【详解】解：如图，设正六边形的外接圆为，连接，， 则，， ∴是等边三角形， ∴． 故选：B． 5. 有一个未知圆心的圆形工件需要画出圆心．暂时只能用一块足够大的直角三角板（无刻度）可以使用．为此同学们需要先得到两条不同的直径，下列寻找直径的方法正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直角所对的弦是直径进行求解即可 【详解】解：∵直角所对的弦是直径， ∴四个选项中只有B选项中的是直径， 故选B． 【点睛】本题主要考查了直角所对的弦是直径，熟知相关知识是解题的关键． 6. 如图，小丽从点A出发，沿坡度的坡向上走了110米到点B，则她升高（ ）米． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了锐角三角函数解直角三角形，解题关键是熟练掌握锐角三角函数． 利用正弦函数进行求解即可． 【详解】解：根据正弦函数得，升高的高度为， 故选：D． 7. 函数与在同一平面直角坐标系中的大致图像可能是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的知识点是一次函数的图像与二次函数的图像，理解掌握函数图像的性质是解此题的关键．先根据一次函数的性质确定与两种情况分类讨论抛物线的顶点位置即可得出结论． 【详解】解：A．函数图像可得，则开口方向向下正确，但顶点坐标应交于原点，而不是交轴正半轴，故选项A不正确；     B．函数图像可得，则开口方向向下正确，顶点坐标为，故选项B正确； C．函数图像可得，则开口方向向上正确，但顶点坐标应交于原点，故选项C不正确； D．函数图像可得，则开口方向向上正确，但顶点坐标应交于原点，故选项D不正确； 故选：B． 8. 如图，直线，直线分别交、于点、，以为圆心，长为半径画弧，分别交、于直线同侧的点、，，，则的长等于（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了弧长计算，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．连接，根据圆的性质可知，根据平行线的性质可知，从而可知，根据三角形内角和定理可以求出，，根据角之间的关系可得：，利用弧长公式计算即可． 【详解】解：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：D． 二、填空题：（本大题共8小题，共24分．请将答案填写在答题卡上） 9. 若，是以点P为圆心，半径为8的圆，则点A在______． 【答案】上 【解析】 【分析】本题考查点与圆的位置关系．根据点到圆心的距离与半径的关系判断即可． 【详解】解：∵半径为8，点A到圆心P的距离为， ∴点A在上， 故答案为：上． 10. 抛物线的顶点坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据顶点坐标公式求解即可． 【详解】∵二次函数中，， ∴ ， ∴抛物线的顶点坐标是． 故选A． 【点睛】本题考查的是二次函数的性质，熟知抛物线的顶点坐标为：是解答此题的关键． 11. 若为正整数，且满足，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值、无理数的估算，根据特殊角的三角函数值，可得，再根据无理数的估算即可求解． 【详解】解：，其中， 为正整数，， ． 故答案为： ． 12. 如图，在正n边形中，，则的值是______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查正多边形和圆，根据圆周角定理求出中心角的度数，即可求出n的值． 【详解】解：设点O为正n边形外接圆的圆心，连接，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：12． 13. 一个三角形的三边长分别为3，4，5，则此三角形的内切圆半径为_______． 【答案】1 【解析】 【分析】先根据题意画出图形，根据勾股定理的逆定理判断出△ABC的形状，设△ABC内切圆的半径为r，切点分别为D、E、F，判断出四边形ODCE是正方形，再根据切线长定理即可得到关于r的一元一次方程，求出r的值即可． 【详解】解：如图所示：△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5， ∵32+42＝52，即AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形， 设△ABC内切圆的半径为r，切点分别为D、E、F， ∵CD＝CE，BE＝BF，AF＝AD， ∵OD⊥AC，OE⊥BC，∠C=90°， ∴四边形ODCE为矩形， ∵CD=CE， ∴矩形ODCE是正方形，即CD＝CE＝r， ∴AF=AD＝AC﹣CD= 3﹣r， BF=BE＝BC﹣CE=4﹣r， ∴（3﹣r）+（4﹣r）=5 ∴r＝1． 故答案为：1． 【点睛】本题考查的是三角形的内切圆与内心，涉及到勾股定理的逆定理、正方形的判定与性质、切线长定理等知识，综合性较强，熟知相关定理并灵活应用是解题关键． 14. 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点是这段弧所在圆的圆心．C是上的点，，垂足为点M．若，，则的半径为_______m． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，列方程解决几何问题，解题的关键是掌握以上性质． 连接，设圆的半径为，则，根据垂径定理得出，然后利用勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：如图，连接， 设圆的半径为，则， ∵， ∴， 由勾股定理得， 即， 解得， 故答案为：5． 15. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，点A，B，C，D都在这些小正方形的顶点上，与相交于点P，则的值是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理与网格问题，勾股定理的逆定理，求一个角的正切值，平行线的性质，熟练掌握三角函数的定义，是解题的关键．取格点E，连接、，根据平行线的性质得出，证明为直角三角形，根据三角函数定义求出． 【详解】解：取格点E，连接、，如图所示： 根据图形可知：， ∴， ∵，，， 又∵， ∴为直角三角形， ∴． 故答案为：2． 16. 如图，在中，，，是的外接圆，为上一动点，过作直线的垂线，垂足为．在从沿运动到的过程中，点经过的路径长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理、旋转的性质、解直角三角形、弧长公式等知识点．根据题意可得，先确定点在以为直径的圆上运动，当与重合时，连接，取的中点，连接，求得点最终位置，根据已知条件得出点E旋转，进而最后根据弧长公式求解即可． 【详解】解：∵，则 ∴在以为直径的圆上运动， 如图，当与重合时，连接，取的中点，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴等边三角形， ∴， ∴点E旋转的度数为， ∵，， ∴， 在中，， ∴，， ∴点经过的路径长为． 故答案为：． 三、解答题：（本大题共11小题，共102分．请将过程填写在答题卡上） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）5 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数，零指数幂，负整数指数幂等知识，解题的关键是： （1）先把特殊角的三角函数值代入，然后根据二次根式运算法则计算即可； （2）根据零指数幂的意义，负整数指数幂的意义，特殊角的三角函数等知识计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 求锐角： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角的锐角三角函数值，解题的关键是掌握特殊角的锐角三角函数值． （1）利用特殊角的锐角三角函数值进行求解即可； （2）利用特殊角的锐角三角函数值进行求解即可． 【小问1详解】 解： ∴， ∴； 【小问2详解】 解： ∴， ∴． 19. 已知：在中，，若，，解这个直角三角形． 【答案】，， 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，解题的关键是掌握锐角三角函数和勾股定理． 锐角三角函数和勾股定理以及直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图所示， 根据勾股定理得； ∵， ∴， ∴． 20. 如图，是的直径，是的弦．若，，求的半径． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理以及推论，解直角三角形等知识，根据直径所对的圆周角是直角得出，根据圆周角定理求出，在中，根据余弦的定义可求出，即可求解． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴半径． 21. 小明假期去我校周边的森林公园郊游，带了一顶大型圆锥形帐篷，它的底面直径是，高是． （1）按每人的活动面积是计算，该帐篷估计最多可住______人．（取3.14估算） （2）该帐篷采用性价比较高的涤纶布制作，估计至少需要多少平方米的涤纶布?（结果中包含，材料包含底部） 【答案】（1）9 （2）至少需要平方米的涤纶布 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的侧面积、勾股定理，理解题意是解决本题的关键． （1）先算出底面积，再根据每人的活动面积是进行计算即可； （2）根据题意算出底面积和侧面积即可． 【小问1详解】 解：∵底面直径为， ∴半径， ∴底面积为 ， （人）， ∴该帐篷估计最多可住9人， 故答案为：9； 【小问2详解】 解：∵圆锥高，半径， 根据勾股定理得，母线长， ∴侧面积为 ∴底面积为， ， 答：至少需要平方米的涤纶布． 22. 如图，是的内接四边形的一个外角，如果，请求出的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理和圆的内接四边形的性质，根据圆周角定理可求出，根据圆的内接四边形的性质和邻补角的性质可求出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， 又， ∴． 23. 清江浦楼是我市标志性建筑，我校九年级学生想利用所学知识测量清江浦楼的高度．如图，他在清江浦楼对面一幢建筑物楼顶A处观测，测得顶部B处的仰角为，测得底部C处的俯角为．已知观测点A处距地面的高度为（图中点A，B，C，D均在同一平面内）．求清江浦楼与观测点水平距离以及清江浦楼的高度．（结果精确到个位，参考数据：，，，） 【答案】清江浦楼与观测点水平距离约为，清江浦楼的高度约为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，过A作于E，可证明四边形是矩形，则，，在中，根据正切的定义可求出，在中，根据正切的定义可求出，即可求解． 【详解】解：过A作于E， 由题意知：，，，， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 答：清江浦楼与观测点水平距离约为，清江浦楼的高度约为． 24. 如图，与相切于点A，为的直径，点B在上，连接，且． （1）也是的切线吗?请说明理由； （2）若，，则图中阴影部分的面积是_____． 【答案】（1）是的切线，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，扇形的面积等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． （1）连接，根据切线得出直角，证明，即可得出结论； （2）结合（1）中的结论得到相关角的度数，利用锐角三角函数求出半径，然后证明，得出阴影部分的面积等于扇形的面积，求扇形的面积即可． 【小问1详解】 解：是的切线，理由如下： 如图，连接， ∵点B在上， ∴， ∴， ∴， ∵与相切于点A， ∴， ∴， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：由（1）得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 设点到的高为， ∴， ∴阴影部分的面积等于扇形的面积， ∴， 故答案为：． 25. 已知二次函数（m是常数）的图象抛物线记为图象C．图象C经过点和点． （1）用m表示图象C的顶点坐标________； （2）若，则________，________，由此尝试比较大小：______； （3）若将第（2）问中条件“”改成“”，那么结论与大小关系还成立吗？请说明理由． 【答案】（1） （2）1，2， （3）还成立，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了的图象与性质； （1）根据的性质求解即可； （2）当时，可求出、，然后把点A、B的横坐标分别代入函数解析式，求出、，即可求解； （3）根据的增减性求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴顶点坐标为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：当时，， ∴； 当时，， ∴， ∴， 故答案为：1，2，； 【小问3详解】 解：还成立； 理由：在中，， ∴抛物线开口向上，在对称轴y轴的右侧，y随x的增大而增大， ∵， ∴， ∴． 26. 如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，的顶点A、B、C都在格点上（两条网格线的交点叫格点）．请仅用无刻度的直尺按下列要求画图，并保留画图痕迹（不要求写画法）． （1）如图1，先标注出点，使得点是的外接圆圆心．再画出直线，使得交于P； （2）如图2，D是上一点，先画出沿着翻折后的；再过点D作直线，使得交于F； （3）如图3，在上取一点M，使；E是上一点，且点E在网格线上，再在上找一点N，使得． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了格点作图，轴对称的性质，解直角三角形，确定外接圆圆心，相似三角形的性质和判定，平行线分线段成比例等知识． （1）根据网格特点可取线段中点，根据直角三角形外心的特征知点O为的外接圆的圆心，取格点P，作直线即可； （2）根据轴对称的性质和网格的特点找出格点，连接，，连接交于T，连接并延长交于W，连接交于F即可； （3）取格点P，连接交于G，连接交于M，直线交于H，连接交于N即可． 【小问1详解】 解：如图，点O，直线即为所求， ， 理由：连接， ， 由网格特点知：，，， ∴， ∴点O为外接圆的圆心，故点O，直线即为所求； 【小问2详解】 解：如图，，即为所求， ， 理由：由网格特点知：，， 则和关于对称，则即为所求， 由对称性知，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 又， ∴， ∴， ∴，即，故即为所求； 【小问3详解】 解：如图，点M、线段即为所求， 理由：如图， 由网格特点知：，， ∴， ∴，， 又， ∴，即， 由网格特点知： ∴， ∴，则点M即为所求； 同理，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴，即，则即为所求． 27. [发现]学完圆的知识后，小明同学发现如果借助辅助圆，就可以让一些难题迎刃而解了． [感知与操作] （1）如图1，在直角中，，，，点D在上，且．点E为上的动点，连接，将沿翻折得到，连接．求的最小值． 小明同学根据折叠对应边相等，我们会发现：______（写出具体数值）．接着，请用尺规作图，在图1中画出“辅助圆”（即F点的集合）．然后运用圆的知识，借助直尺，在图1中画出最小值时的（图中标注出点），并直接写出的最小值是______． [实践与探究] （2）在（1）的条件下，如图2，小明同学制作了等大小的纸片，在不断的折叠实践中发现了特殊位置的E、F点，满足，此时，______． [升华与迁移] （3）如图3，在直角中，，，，动点D在上，动点E在上点，连接，将沿翻折得到，点A对应点F能落在边上，则线段的取值范围为_______． （4）如图4，已知，的两个顶点A、B分别在边、上运动（点C在的左侧），其中，，，边交射线于点D，运动过程中，连接，则运动过程中的最大值为________． 【答案】（1）1，画图见解析，；（2）或；（3）；（4） 【解析】 【分析】（1）根据折叠得出，则点F在以D为圆心，为半径的圆上，得出，故当C、F、D三点共线，且F在上，即F和重合时，取最小值为，过C作于H，解直角三角形依次求出、、、，然后在中，根据勾股定理求出，即可求解； （2）分F在上方和下方两种情况讨论，然后根据折叠的性质，解直角三角形等知识求解即可； （3）由翻折得出，则点F在以D为圆心，为半径的圆的上，根据沿翻折得到，点A的对应点F能落在边上，得出与有交点，然后分与相切和经过点C两种情况讨论求解即可； （4）作的外接圆，连接、、、、，过点G作于E，于F，根据圆周角定理得出，根据三线合一的性质得出，，则，结合可求，根据勾股定理求出，证明四边形是矩形，得出，，解直角三角形求出，根据勾股定理求出，则点C在以G为圆心，为半径的圆上，得出，故当O、G、C共线，且G在时，取最大值，即可求解． 【详解】解：（1）∵折叠， ∴， ∴点F在以D为圆心，为半径的圆上，如图， ∴， 当C、F、D三点共线，且F在上，即F和重合时，取最小值为， 过C作于H， ∵，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）当F在上方时，如图，设与相交于， ∵， ∴， 又， ∴， 又∵折叠， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴； 当F在下方时，如图，设反向延长线与相交于， 同理可求，， ∴， ∵翻折， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上，的值为或； （3）∵，，， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴，， ∵翻折， ∴， ∴点F在以D为圆心，为半径的圆的上， ∵将沿翻折得到，点A的对应点F能落在边上， ∴与有交点， 当与相切时，如图， ∴， 又， ∴， ∴， ∴，即， ∴； 当经过点C时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，此时也经过点B， 综上，线段的取值范围为； （4）作的外接圆，连接、、、、，过点G作于E，于F， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴点C在以G为圆心，为半径的圆上， ∴， ∴当O、G、C共线，且G在时，取最大值，最大值为． 【点睛】本题考查了折叠的性质，解直角三角形，圆的有关概念，圆周角定理，切线的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，明确题意，正确作出图形，合理分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学一 一、选择题：（本大题共8小题，共24分．请将答案填涂在答题卡上） 1. 下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 2. 下列函数中，一定是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，将直角三角形绕直角边所在直线旋转一周，得到的立体图形是（ ）． A. B. C. D. 4. 如果正六边形半径为6，则该正六边形的边长为（ ）． A 3 B. 6 C. 12 D. 5. 有一个未知圆心的圆形工件需要画出圆心．暂时只能用一块足够大的直角三角板（无刻度）可以使用．为此同学们需要先得到两条不同的直径，下列寻找直径的方法正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，小丽从点A出发，沿坡度的坡向上走了110米到点B，则她升高（ ）米． A. B. C. D. 7. 函数与在同一平面直角坐标系中的大致图像可能是（ ）． A. B. C. D. 8. 如图，直线，直线分别交、于点、，以为圆心，长为半径画弧，分别交、于直线同侧的点、，，，则的长等于（ ）． A. B. C. D. 二、填空题：（本大题共8小题，共24分．请将答案填写在答题卡上） 9. 若，是以点P为圆心，半径为8的圆，则点A在______． 10. 抛物线的顶点坐标是_____． 11. 若正整数，且满足，则______． 12. 如图，在正n边形中，，则的值是______． 13. 一个三角形的三边长分别为3，4，5，则此三角形的内切圆半径为_______． 14. 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点是这段弧所在圆的圆心．C是上的点，，垂足为点M．若，，则的半径为_______m． 15. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，点A，B，C，D都在这些小正方形的顶点上，与相交于点P，则的值是______． 16. 如图，在中，，，是的外接圆，为上一动点，过作直线的垂线，垂足为．在从沿运动到的过程中，点经过的路径长为______． 三、解答题：（本大题共11小题，共102分．请将过程填写在答题卡上） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 求锐角： （1）； （2）． 19. 已知：在中，，若，，解这个直角三角形． 20. 如图，是的直径，是的弦．若，，求的半径． 21. 小明假期去我校周边的森林公园郊游，带了一顶大型圆锥形帐篷，它的底面直径是，高是． （1）按每人的活动面积是计算，该帐篷估计最多可住______人．（取3.14估算） （2）该帐篷采用性价比较高涤纶布制作，估计至少需要多少平方米的涤纶布?（结果中包含，材料包含底部） 22. 如图，是的内接四边形的一个外角，如果，请求出的度数． 23. 清江浦楼是我市标志性建筑，我校九年级学生想利用所学知识测量清江浦楼的高度．如图，他在清江浦楼对面一幢建筑物楼顶A处观测，测得顶部B处的仰角为，测得底部C处的俯角为．已知观测点A处距地面的高度为（图中点A，B，C，D均在同一平面内）．求清江浦楼与观测点水平距离以及清江浦楼的高度．（结果精确到个位，参考数据：，，，） 24. 如图，与相切于点A，为的直径，点B在上，连接，且． （1）也是的切线吗?请说明理由； （2）若，，则图中阴影部分的面积是_____． 25. 已知二次函数（m是常数）的图象抛物线记为图象C．图象C经过点和点． （1）用m表示图象C的顶点坐标________； （2）若，则________，________，由此尝试比较大小：______； （3）若将第（2）问中条件“”改成“”，那么结论与的大小关系还成立吗？请说明理由． 26. 如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，的顶点A、B、C都在格点上（两条网格线的交点叫格点）．请仅用无刻度的直尺按下列要求画图，并保留画图痕迹（不要求写画法）． （1）如图1，先标注出点，使得点是的外接圆圆心．再画出直线，使得交于P； （2）如图2，D是上一点，先画出沿着翻折后的；再过点D作直线，使得交于F； （3）如图3，在上取一点M，使；E上一点，且点E在网格线上，再在上找一点N，使得． 27. [发现]学完圆的知识后，小明同学发现如果借助辅助圆，就可以让一些难题迎刃而解了． [感知与操作] （1）如图1，在直角中，，，，点D在上，且．点E为上的动点，连接，将沿翻折得到，连接．求的最小值． 小明同学根据折叠对应边相等，我们会发现：______（写出具体数值）．接着，请用尺规作图，在图1中画出“辅助圆”（即F点的集合）．然后运用圆的知识，借助直尺，在图1中画出最小值时的（图中标注出点），并直接写出的最小值是______． [实践与探究] （2）在（1）的条件下，如图2，小明同学制作了等大小的纸片，在不断的折叠实践中发现了特殊位置的E、F点，满足，此时，______． [升华与迁移] （3）如图3，在直角中，，，，动点D在上，动点E在上点，连接，将沿翻折得到，点A的对应点F能落在边上，则线段的取值范围为_______． （4）如图4，已知，的两个顶点A、B分别在边、上运动（点C在的左侧），其中，，，边交射线于点D，运动过程中，连接，则运动过程中的最大值为________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $