专题01 因式分解（8大题型）（专项训练）数学人教版2024八年级上册

品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题01因式分解 月录 A题型建模·专项突破 题型一、判断是否因式分解. 题型二、已知因式分解的结果求参数… 3 题型、公因式 5 题型四、提公因式法因式分解… .6 题型五、判断能否用平方差公式因式分解… 8 题型六、判断能否用完全平方公式因式分解 9 题型七、综合运用公式法因式分解。 题型八、综合提公因式和公式法因式分解… .15 B综合攻坚·能力跃升 A 题型建模·专项突破 题型一、判断是否因式分解 1.(24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习)下列各式因式分解正确的是() A.(x+y)'=x2+2xy+y2 B.x2-5x+6=xx-5+6 D.x2+6y+9y2=(x+3y 2.(24-25七年级上·上海黄浦期中)下列等式中，从左向右的变形为因式分解的是() A.x3-x=x(x-1)(x+1) B.a2(a-1）=a3-a2 C.a2-2a-1=a(a-2)-1 D.(a-3)(a+3)=a2-9 3.(24-25七年级上·上海浦东新·期中)下列各式从左到右的变形中，属于因式分解且正确的是() A.m4-1=m2+1(m+10(m-1) B.(2a-b)2=4a2-4ab+b2 C.12ab-4a+1=4(3ab-a) D.a2-b2-1=(a+b)(a-b)-1 4.(24-25七年级上·上海松江·期中)下列各式从左到右的变形，是因式分解的有() ①12xy2=2xy-6y2;②x2-6y+5y2=x(x-6y)+5y2;③(-2x+3y)2x+y)=-4x2+9y2;④ -6=g-3:®y-=3-小@1安t A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 题型二、己知因式分解的结果求参数 5.(24-25八年级上山东淄博阶段练习)若x2-x-1可以分解为(x-2x+b),那么a-b的值为() A.-1 B.1 C.-2 D.2 6.(24-25九年级上广东深圳开学考试)把多项式x2+ax-2分解因式，结果是x+1(x+b),则a,b的值 1/7 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 为() A.a=3,b=2 B.a=-3,b=2 C.a=1,b=-2 D.a=-l,b=-2 7.(24-25八年级上山东滨州阶段练习)己知关于x的多项式x2+x-15有一个因式为x-1,则m的 值 8.(24-25八年级上黑龙江哈尔滨期中)仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式x2-4x+m有一个因式是(x+3),求另一个因式以及m的值. 解：设另一个因式是x+n,得x2-4x+m=(x+3)(x+n) 则x2-4x+m=x2+(n+3)x+3n n+3=-4 解得 n=-7 m=3n m=-21 .另一个因式是(x-7),m的值是-21 仿照上面的方法解答下面问题： (1)已知二次三项式2x2+3x-k有一个因式是(2x-3),求另一个因式以及k的值： (2)若二次三项式ax2+3x-7有一个因式是(2x+1,求a的值. 题型三、公因式 9.(24-25八年级上山东青岛期中)把多项式12ab2c+3ab分解因式，应提的公因式是() A.3ab B.3ab C.12abc D.12a'bc 10.(24-25八年级上·吉林长春期中)多项式4x-6x2+2x的公因式是 11.(24-25九年级上全国期中)多项式27x2y3+18x2y2-3x2y分解因式时应提取的公因式是 12.(24-25八年级上山东泰安期中)多项式3x(a-b)-9yb-a的公因式是 题型四、提公因式法因式分解 13.(24-25八年级上吉林松原期末)因式分解：2(m-n)2-m(m-n). 14.(24-25八年级上广西柳州期末)因式分解：3m2-6mn+3m. 15.(2025七年级下.全国.专题练习)把下列各式分解因式： (1)(2m+3n)(2m-n)-n(2m-n); (2）x(a-b)+y(b-a)-3(b-a). 16.(2025七年级下.全国.专题练习)把下列各式分解因式： (1）-5a2b3+20ab2-5ab; (2)(x+y)(x-y)-(x+y)': 2/7 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (3)8a(x-y)2-4(y-x)3. 题型五、判断能否用平方差公式因式分解 17.(24-25八年级下.河北保定·阶段练习)下列多项式能用平方差公式分解因式的是() A.a2+(-b)2 B.5m2-20mn C.-x2-y2 D.-x2+9 18.(24-25八年级上·黑龙江哈尔滨期中)下列多项式中能用平方差公式分解因式的是() A.a2+(-b2 B.m2-4 C.-x2-y2 D.-+月 19.(24-25八年级上河北廊坊·期末)下列多项式中，不能用平方差公式分解因式的是() A.x2-y2 B.y2-x2 C.-x2-y2 D.x-y2 20.(23-24八年级下·辽宁沈阳·期中)下列各式中不能用平方差公式分解的是() A.-a2+9b2 B.x2y2-25 C.-4x2-y2 题型六、判断能否用完全平方公式因式分解 21.(24-25八年级上山东烟台期中)下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（) A.x2-1 B.4x2+4x+4 C.x2+2x+1 D.x2-2x-1 22.(23-24八年级上山东德州阶段练习)下列各式中，不能用完全平方公式分解因式的是（) A.x2-2xy+y2 B.-x2+2xy-y2 C.-x2-2xy+y2 D.x2+4y2+4xy 23.(24-25七年级下山东聊城期末)下列式子：①-x2-y-y2;②0.5a2-ab+0.5b2;③-4ab-a2+4b2; ④4x2+9y2-12y;⑤3x2+6y+3y2.其中能用完全平方公式分解因式的有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 24.(2324八年级下河北保定阶段练习)在因式①-x-y2;②-a2b+1;③a2+ab+2:④ 4 -r2+2x-y,⑤}mm+m中，能用公式法分解因式的有() A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 题型七、综合运用公式法因式分解 25.(2025七年级下·全国.专题练习)把下列各式分解因式： (1)x4-18x2+81; 3/7 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2x2+4}2-16x2. 26.(24-25八年级上山东淄博期中)因式分解 (1)3a2y-3ay+6ay2 2x2+y22-4x2y2 6x+1(x+2+4 27.(24-25八年级上山东济宁阶段练习)因式分解. (1)8m2-12mn; (2)2a2-8b2; (3)a2(x-y)+b2(y-x: (4)x4-2x2y2+y4. 28.(24-25八年级上山东泰安期中)因式分解： (1)2x2-8 (2）-3ma2+6ma-3m (3川a2+b2）-4a2b2 (4)x+2)x+4)+x2-4 题型八、综合提公因式和公式法因式分解 29.(24-25八年级上河南新乡期中)因式分解： (1）x34x24x (2)a2(x-1+4b2(1-x. 30.(24-25八年级上山东济宁期末)因式分解： (1)4x3-16xy2; (2)ax2 +2axy ay'; 31.(2025七年级下全国.专题练习)把下列各式分解因式： (1）a3b3+2a2b2+ab; (2)x2(x-2)-16(x-2) 32.(24-25七年级下.全国.周测)把下列各式进行因式分解： (1）-2x3y2+28x2y-4xy: (2)x2(x-3)+4(3-x); (3)(3x-2)2-(2x+7)2: 4/7 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (4)a2(a-b)+2ab(b-a)+b2(a-b). B 综合攻坚·能力跃升 一、单选题 1.(25-26八年级上湖南·阶段练习)下列等式从左边到右边的变形，属于因式分解的是() A.(a+3a-3=a2-9 1 B.x2+1=xx+- C.x2-6x+9=(x-3)2 D.x2+4x+10=(x+22+6 2.(24-25八年级下，云南丽江·期末)将3ax-y)-9b(x-y)用提公因式法分解因式，应提取的公因式是() A.3a-b B.x-y C.3(x-y) D.a-3b 3.(25-26八年级上河南南阳·阶段练习)下列多项式是完全平方式的有() ①a2-4a+4;②9a2+16b2-20ab;③4y2-4y+1;④6x2+3x+1;⑤x2+4xy+4y2. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.(25-26八年级上山东泰安阶段练习)下列各式：①-4x2y2-c2=-(2xy+c)(2xy-c),② --=-,@-24-2.r+(+ 分解因式正确的有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5.(24-25七年级下.全国.单元测试)把多项式-7ab-14abx+49aby分解因式，提公因式-7ab后，另一个因 式是() A.1+2x-7y B.1-2x-7y C.-1+2x+2y D.-1-2x+7y 二、填空题 6.(2025甘肃中考真题)因式分解：x2-6x+9=· 7.(25-26八年级上·湖南岳阳·阶段练习)分解因式：a2(x-y)+4b2(y-x) 8.(25-26八年级上湖南阶段练习)多项式6ab2-3ab2-12ab3分解因式时，应提取的公因式 是 9.(25-26八年级上湖南娄底阶段练习)如果x-2是ax2-bx+4的一个因式，则2a-b的值为_ 10.(25-26八年级上全国课后作业)已知(2x-21)(3x-7-(3x-7)(x-13可因式分解为3x-a(x-b), 其中a,b均为正整数，则a+3b的值为 5/7 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 三、解答题 11.(25-26八年级上江苏阶段练习)把下列各式分解因式： (1)4a2-64; (2)m2-6m-7: (3)2x3y+4x2y2+2xy3 12.(25-26八年级上山东东营阶段练习)把下列各式因式分解： (1)8a3b2-12abc; (2)3x2-12xy+12y2: (3)9x2(a-b+16y2(b-a. 13.(25-26八年级上吉林阶段练习)因式分解 (1)x3+4x2+4x; (2)xx+y)-yx+y); (3)x3-25x; (43a2-9ab; 14.(25-26八年级上山东淄博·阶段练习)因式分解： (1)3x2-6xy+3y2: (2(a2+4)}2-16a2; (3)n2(m-2)-n(2-m); (4)(m+n)2-6(m+n)+9. 15.(25-26八年级上山东淄博阶段练习)因式分解： (1)-16m3+16m2-4m; (2)4x-y)°-6(y-x); (3)2a+3b)2-42a+3b)-12; (4)49(a+b)2-25(a-b2. 16.(2025八年级上·全国.专题练习)分解因式： (1)x2-4y2: (2)-12xy+x2+36y2: 3a2+12-4a2; (4)9a2(x-y)+4b2(y-x: (5)-3a3b+6a2b2-3ab3. 17.(25-26八年级上山东淄博·阶段练习)将下列各式因式分解： 6/7 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)x(x-3)-x+3; (2)x3y-0.01xy3: (3)(a2+4)2-16a2: (4)x2-7x+10; (5)-a3-10a2-25a; (6(a-3)2+(3-a). 18.(24-25八年级下·江西吉安·期末)下面是对整式x3+y3因式分解的部分过程.解答下列问题： 解：原式=x3+x2y-x2y+y3(第一步) =(x3+xy)-(x2y-y）(第二步) =x2(x+y)-y(x2-y2)(第三步) =_(第四步) =-（第五步) ()在横线上继续完成对本题的因式分解. (②)在上述的因式分解过程中，用到因式分解的方法有_·（写出两种方法） (3)请你尝试用以上方法对整式8x3-1进行因式分解. 19.(25-26八年级上湖南阶段练习)完成下面各题： (1)若二次三项式x2+bx-5可分解为(x-1)(x+c),则b= ;C= (2)已知二次三项式2x2+5x-k有一个因式是2x-3,求另一个因式以及k的值 20.(25-26八年级上·湖南衡阳阶段练习)仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式x2-4x+m有一个因式是(x+3),求另一个因式以及m的值. 解：设另一个因式为(c+nm),得x2-4x+m=(x+3)(x+n),则x2-4x+m=x2+(n+3)x+3n 「n+3=4 m=3n 解得：n=-7,m=-21.另一个因式为(x-7),m的值为-21. 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)若x2+bx+c=(x+2)(x-3),则bc= (2)已知二次三项式x2-5x+p有一个因式是(x-1),求另一个因式以及p的值. (3)已知二次三项式8x2-14x-k有一个因式是(2x-3),求另一个因式以及k的值. 7/7 专题01 因式分解 目录 A题型建模・专项突破 题型一、判断是否因式分解 1 题型二、已知因式分解的结果求参数 3 题型三、公因式 5 题型四、提公因式法因式分解 6 题型五、判断能否用平方差公式因式分解 8 题型六、判断能否用完全平方公式因式分解 9 题型七、综合运用公式法因式分解 11 题型八、综合提公因式和公式法因式分解 15 B综合攻坚・能力跃升 题型一、判断是否因式分解 1．（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）下列各式因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】十字相乘法、判断是否是因式分解、完全平方公式分解因式 【分析】本题考查因式分解，根据因式分解就是把一个多项式化为几个整式的积的形式，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．根据因式分解的方法逐项判断即可． 【详解】解：A、，是整式乘法，不符合题意； B、，不是积的形式，不符合题意； C、，故原式分解错误，不符合题意； D、，分解正确，符合题意； 故选：D． 2．（24-25七年级上·上海黄浦·期中）下列等式中，从左向右的变形为因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断是否是因式分解 【分析】本题考查了因式分解，根据因式分解的定义“把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫分解因式”进行判断即可得． 【详解】解：A． ，是因式分解，选项说法正确，符合题意；     B． ，右边不是整式的积的形式，不是因式分解，选项说法错误，不符合题意； C． ，右边不是整式的积的形式，不是因式分解，选项说法错误，不符合题意；     D． ，右边不是整式的积的形式，不是因式分解，选项说法错误，不符合题意； 故选：A ． 3．（24-25七年级上·上海浦东新·期中）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解且正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断是否是因式分解 【分析】本题考查因式分解的识别．熟练掌握因式分解的定义和方法，是解题的关键．根据因式分解的定义：把一个多项式转化为几个整式积的形式，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，选项正确，符合题意； B、，是整式的乘法，不符合题意； C、，分解错误，不符合题意； D、，等式右边不是整式积的形式，不符合题意； 故选：A． 4．（24-25七年级上·上海松江·期中）下列各式从左到右的变形，是因式分解的有（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】判断是否是因式分解 【分析】本题考查了因式分解的意义．掌握因式分解的定义是解决本题的关键． 利用“因式分解是把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种式子的变形叫做这个多项式的因式分解”解题即可． 【详解】解：①是整式乘法； ②结果是和的形式，不是因式分解； ③是整式乘法； ④是因式分解； ⑤是因式分解； ⑥中含有不是整式的式子，不是因式分解； 故是因式分解的有④⑤，①②③⑥不符合定义， 故选：B． 题型二、已知因式分解的结果求参数 5．（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）若可以分解为，那么的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【知识点】已知因式分解的结果求参数、（x+p）（x+q）型多项式乘法 【分析】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式．根据因式分解的意义，把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案． 【详解】解：， ，， ，， ， 故选：B． 6．（24-25九年级上·广东深圳·开学考试）把多项式分解因式，结果是，则a，b的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知因式分解的结果求参数 【分析】本题主要考查了整式乘法，解二元一次方程组，因式分解的定义等知识点，根据多项式乘法将因式展开，然后组成方程组，解方程组即可得解， 熟练掌握整式乘法法则是解决此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：D． 7．（24-25八年级上·山东滨州·阶段练习）已知关于的多项式有一个因式为，则的值 ； 【答案】14 【知识点】已知因式分解的结果求参数 【分析】本题主要考查了已知因式分解的结果，求参数，求出当时，，则当时，，据此求解即可． 【详解】解：当时，， ∵关于的多项式有一个因式为， ∴当时，， ∴， ∴， 故答案为：14． 8．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式是，得 则     解得 ∴另一个因式是的值是 仿照上面的方法解答下面问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值； (2)若二次三项式有一个因式是，求a的值． 【答案】(1)另一个因式为，的值为9 (2) 【知识点】已知因式分解的结果求参数 【分析】本题主要考查了因式分解与多项式乘法之间的关系： （1）设另一个因式为，根据例题的方法，列出等式并将等式右侧展开，然后利用对应系数法即可求出结论； （2）设另一个因式为，根据例题的方法，列出等式并将等式右侧展开，然后利用对应系数法即可求出结论． 【详解】（1）解：设另一个因式为， ∴， ∴， ∴ ， ∴ ， 另一个因式为，的值为9； （2）解：设另一个因式为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴。 题型三、公因式 9．（24-25八年级上·山东青岛·期中）把多项式分解因式，应提的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】公因式 【分析】本题考查提公因式法分解因式，熟知公因式的确定，一看系数：若各项系数都是整数，应提取各项系数的最大公因数；二看字母：公因式的字母是各项相同的字母；三看字母的指数：各相同字母的指数取指数最低的．据此求解即可． 【详解】解：把多项式分解因式，应提的公因式是， 故选：B． 10．（24-25八年级上·吉林长春·期中）多项式的公因式是 ． 【答案】 【知识点】公因式 【分析】本题主要考查公因式的确定，熟练掌握公因式的定义及确定方法是解题的关键．根据公因式的定义，找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，然后即可确定公因式． 【详解】多项式， 各项系数的最大公约数为， 各项都含有，的最低指数为， 该多项式的公因式为． 故答案为：． 11．（24-25九年级上·全国·期中）多项式分解因式时应提取的公因式是 ． 【答案】/ 【知识点】公因式 【分析】本题考查了公因式，方法是：①定系数，即确定各项系数的最大公因数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂．按照此方法即可找到公因式． 【详解】解：多项式的公因式为：； 故答案为：． 12．（24-25八年级上·山东泰安·期中）多项式的公因式是 ． 【答案】 【知识点】公因式 【分析】本题考查了公因式．熟练掌握公因式的定义是解题的关键．根据公因式的定义作答即可． 【详解】解：多项式的公因式是， 故答案为：． 题型四、提公因式法因式分解 13．（24-25八年级上·吉林松原·期末）因式分解：． 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题主要考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法，用提公因式法分解因式即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 14．（24-25八年级上·广西柳州·期末）因式分解： ． 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题考查了因式分解．利用提公因式法进行因式分解． 【详解】解：． 15．（2025七年级下·全国·专题练习）把下列各式分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题考查了分解因式，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键. （1）用提公因式法分解因式即可； （2）用提公因式法分解因式即可. 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 16．（2025七年级下·全国·专题练习）把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题考查的是提公因式分解因式，确定公因式是解本题的关键． （1）直接利用提公因式法分解因式即可； （2）直接利用提公因式法分解因式即可； （3）将变形为，再直接提公因式进行求解，即可解题． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 题型五、判断能否用平方差公式因式分解 17．（24-25八年级下·河北保定·阶段练习）下列多项式能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断能否用公式法分解因式 【分析】依次各选项分解因式，即可求解， 本题考查了分解因式，解题的关键是：熟练掌握分解因式． 【详解】解：A、，无法分解因式，不符合题意， B、，应用提公因式法分解因式，不符合题意， C 、，应用提公因式法分解因式，不符合题意， D、，应用平方差公式分解因式，符合题意， 故选：D． 18．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断能否用公式法分解因式 【分析】本题主要考查了因式分解的知识，理解并掌握平方差公式的结构特征是解题关键．结合平方差公式的结构特征，逐项分析判断即可． 【详解】解：A. ，不能用平方差公式进行分解因式，本选项不符合题意； B. ，能用平方差公式进行分解因式，本选项符合题意； C. ，不能用平方差公式进行分解因式，本选项不符合题意； D. ，不能用平方差公式进行分解因式，本选项不符合题意． 故选：B． 19．（24-25八年级上·河北廊坊·期末）下列多项式中，不能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断能否用公式法分解因式 【分析】本题主要考查了因式分解的知识，理解并掌握平方差公式的结构特征是解题关键．结合平方差公式的结构特征：，左边需满足两数（或式）的平方差，逐项分析判断即可． 【详解】解：A中，，故选项不符合题意； B中，，故选项不符合题意； C中，，不是两数（或式）的平方差，故不能用平方差公式分解因式，故选项符合题意； D中，，故选项不符合题意； 故选：C． 20．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）下列各式中不能用平方差公式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断能否用公式法分解因式、平方差公式分解因式 【分析】此题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 利用平方差公式的结构特征判断即可． 【详解】A．，具备平方差公式的结构特征，故此多项式能用平方差公式分解，不符合题意； B．，具备平方差公式的结构特征，故此多项式能用平方差公式分解，不符合题意； C．，不具备平方差公式的结构特征，故此多项式不能用平方差公式分解，符合题意； D．，具备平方差公式的结构特征，故此多项式能用平方差公式分解，不符合题意． 故选：C． 题型六、判断能否用完全平方公式因式分解 21．（24-25八年级上·山东烟台·期中）下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】提公因式法分解因式、判断能否用公式法分解因式 【分析】本题考查提公因式法、公式法分解因式，根据完全平方公式的结构特征逐项进行判断即可． 【详解】解：A． ，可以利用平方差公式进行因式分解，因此选项A不符合题意； B．，可以利用提公因式法进行因式分解，因此选项B不符合题意； C．，可以利用完全平方公式进行因式分解，因此选项C符合题意； D．，不能利用完全平方公式进行因式分解，因此选项D不符合题意； 故选：C． 22．（23-24八年级上·山东德州·阶段练习）下列各式中,不能用完全平方公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断能否用公式法分解因式 【分析】本题考查完全平方公式的应用，熟背完全平方公式是解决本题的关键．根据题意对各个选项逐个分析即可选出本题答案． 【详解】解：∵， ∴A选项能用完全平方公式分解因式，不符合题意； ∵， ∴B选项能用完全平方公式分解因式，不符合题意； ∵，即不符合完全平方公式， ∴C选项不能用完全平方公式分解因式，符合题意； ∵， ∴D选项能用完全平方公式分解因式，不符合题意； 故选：C． 23．（24-25七年级下·山东聊城·期末）下列式子：①；②；③；④；⑤．其中能用完全平方公式分解因式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、判断能否用公式法分解因式 【分析】根据完全平方公式进行判断，即可． 【详解】解：①，不能用完全平方公式分解因式； ②； ③，不能用完全平方公式分解因式； ④； ⑤．， 所以能用完全平方公式分解因式的有3个． 故选：C 【点睛】本题考查了因式分解——运用公式法：如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法；平方差公式：；完全平方公式：． 24．（23-24八年级下·河北保定·阶段练习）在因式①；②；③；④；⑤中，能用公式法分解因式的有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【知识点】判断能否用公式法分解因式 【分析】本题考查了公式法分解因式，掌握公式法分解因式的方法是解题的关键． 根据乘法公式，分解因式的概念“把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做分解因式”进行判定即可求解． 【详解】解：①，不能用公式法分解因式，不符合题意； ②，能用公式法分解因式，符合题意； ③，不能用公式法分解因式，不符合题意； ④，不能用公式法分解因式，不符合题意； ⑤，能用公式法分解因式，符合题意； 综上所述，能用公式法分解因式的有②⑤，共2个， 故选：A ． 题型七、综合运用公式法因式分解 25．（2025七年级下·全国·专题练习）把下列各式分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】综合运用公式法分解因式 【分析】本题主要考查因式分解，掌握乘法公式的运用是解题的关键． （1）运用完全平方公式，平方差公式因式分解即可； （2）运用平方差，完全平方公式因式分解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 26．（24-25八年级上·山东淄博·期中）因式分解 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】提公因式法分解因式、完全平方公式分解因式、综合运用公式法分解因式 【分析】此题考查了因式分解的方法，多项式乘以多项式运算，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． （1）利用提取公因式法分解因式即可得到答案； （2）首先利用平方差公式分解因式，然后利用完全平方公式分解因式即可求解； （3）首先利用多项式乘以多项式运算法则展开，然后利用完全平方公式分解因式即可求解． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ． 27．（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）因式分解． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】提公因式法分解因式、综合提公因式和公式法分解因式、综合运用公式法分解因式 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． （1）利用提公因式法求解即可； （2）先提公因式，然后利用平方差公式因式分解即可； （3）先提公因式，然后利用平方差公式因式分解即可； （4）先利用完全平方公式因式分解，然后利用平方差公式因式分解即可． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 28．（24-25八年级上·山东泰安·期中）因式分解： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、综合运用公式法分解因式 【分析】本题主要考查了分解因式： （1）先提取公因数2，再利用平方差公式分解因式即可； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可； （3）先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式分解因式即可； （4）先利用平方差公式分解因式，再利用提公因式法分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型八、综合提公因式和公式法因式分解 29．（24-25八年级上·河南新乡·期中）因式分解： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键： （1）先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可； （2）先提公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可； 【详解】（1）解：原式； （2）原式． 30．（24-25八年级上·山东济宁·期末）因式分解： (1)； (2)； 【答案】(1)； (2)． 【知识点】提公因式法分解因式、综合提公因式和公式法分解因式、平方差公式分解因式 【分析】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． （1）先提取公因式，然后利用平方差公式分解因式即可； （2）先提取公因式a，然后利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 31．（2025七年级下·全国·专题练习）把下列各式分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】提公因式法分解因式、综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查了因式分解，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用提公因式法进行因式分解，即可作答． （2）先提公因式，再运用平方差公式进行因式分解，即可作答． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 32．（24-25七年级下·全国·周测）把下列各式进行因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】提公因式法分解因式、综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握提取公因式，利用完全平方公式和平方差公式分解因式的方法． （1）提取公因式即可得； （2）先提取公因式，再利用平方差公式即可得； （3）先利用平方差公式，再提取公因式即可得； （4）先提取公因式，利用完全平方公式即可得． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式， ； （3）解：原式， ， ； （4）解：原式， ， ． 一、单选题 1．（25-26八年级上·湖南·阶段练习）下列等式从左边到右边的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此进行判断即可． 【详解】解：A、是整式乘法运算，故选项A不符合题意； B、结果不是整式乘积的形式，故选项B不符合题意； C、，是因式分解，故选项C符合题意； D、结果不是整式的乘积形式，故选项D不符合题意． 故选：C． 2．（24-25八年级下·云南丽江·期末）将用提公因式法分解因式，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了公因式，熟练掌握公因式的定义及确定公因式的方法是解题的关键：公因式的定义：多项式的各项都有一个公共的因式p，我们把因式p叫做这个多项式的公因式；需要注意：①公因式必须是每一项中都含有的因式；②公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式；③某个或某些项中含有，而其他项中没有的因数或因式不能成为公因式的一部分；确定公因式的方法：①定系数，即确定各项系数的最大公因数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂． 根据公因式的定义及确定公因式的方法即可直接得出答案． 【详解】解：将用提公因式法分解因式，应提取的公因式是， 故选：C． 3．（25-26八年级上·河南南阳·阶段练习）下列多项式是完全平方式的有（   ） ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方式，解题关键是掌握完全平方式并能运用求解． 根据完全平方式，对5个式子逐一分析，再作判断． 【详解】解：，是完全平方式，故①符合； ，因为首项，末项，而中间项应为，不等于题目中的，不是完全平方式，故②不符合； ，是完全平方式，故③符合； 不是完全平方式，故④不符合； ，是完全平方式，故⑤符合， 其中①、③、⑤是完全平方式的共有3个， 故选：C． 4．（25-26八年级上·山东泰安·阶段练习）下列各式：①，②，③，④分解因式正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解，乘法公式． 根据平方差公式和完全平方公式逐一计算各式左、右两边的式子，比较即可． 【详解】解：①：右边展开为：，与左边不符，故①错误； ②：左边展开为：， 右边展开为：，与左边相等，故②正确； ③：右边展开为：，与左边不符，故③错误； ④：右边展开为：，与左边相等，故④正确； 综上，正确的有②和④，共2个， 故选B． 5．（24-25七年级下·全国·单元测试）把多项式分解因式，提公因式后，另一个因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了提公因式法因式分解． 将原多项式每一项都提取公因式即可． 【详解】解：， 故选：A． 二、填空题 6．（2025·甘肃·中考真题）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． 直接根据完全平方公式分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 7．（25-26八年级上·湖南岳阳·阶段练习）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解． 先提公因式，再用公式法分解即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 8．（25-26八年级上·湖南·阶段练习）多项式分解因式时，应提取的公因式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了公因式的定义，公因式的确定，一看系数：若各项系数都是整数，应提取各项系数的最大公因数；二看字母：公因式的字母是各项相同的字母；三看字母的指数：各相同字母的指数取最低的． 根据公因式概念解答即可． 【详解】解：∵， ∴应提取的公因式是． 故答案为：． 9．（25-26八年级上·湖南娄底·阶段练习）如果是的一个因式，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解的概念，熟练掌握因式分解的概念是解题的关键． 根据是的一个因式，可得当时，代数式，把代入，求解即可． 【详解】∵是的一个因式， ∴当时，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知可因式分解为，其中均为正整数，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了因式分解的应用，提取公因式法分解因式，直接提取公因式，进而合并同类项得出即可．正确找出公因式是解题关键． 【详解】解： 可分解因式为，， 则， 故． 故答案为：． 三、解答题 11．（25-26八年级上·江苏·阶段练习）把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查因式分解，解题的关键是掌握提取公因式法和公式法． （1）先提取公因式，再利用平方差公式即可得到答案； （2）利用十字相乘法即可得到答案； （3）先提取公因式，再利用完全平方公式即可得到答案． 【详解】（1）解：原式， ； （2）解：原式； （3）解：原式 ． 12．（25-26八年级上·山东东营·阶段练习）把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）运用提公因式法因式分解即可得到答案； （2）运用提公因式法和公式法因式分解即可得到答案； （3）运用提公因式法和公式法因式分解即可得到答案． 本题主要考查因式分解，涉及提公因式法、公式法因式分解，熟记平方差公式、完全平方公式公式是解决问题的关键． 【详解】（1）解：原式； （2）原式 ； （3）原式 ． 13．（25-26八年级上·吉林·阶段练习）因式分解 (1)； (2)； (3)； (4)； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握提取公因式法和公式法，并能根据多项式的特点选择合适的方法进行因式分解． （1）先提取公因式，再对括号内的式子利用完全平方公式进行因式分解； （2）直接提取公因式； （3）先提取公因式，再对括号内的式子利用平方差公式进行因式分解； （4）提取公因式． 【详解】（1）解： ． ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： 14．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是根据多项式的特点，选择合适的因式分解方法，如提取公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式）等． （1）先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解； （2）利用平方差公式分解后，再利用完全平方公式继续分解； （3）先将式子变形，再提取公因式进行因式分解； （4）把看作一个整体，利用完全平方公式进行因式分解． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 15．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法． （1）先提公因式，然后利用完全平方公式因式分解； （2）利用提公因式法因式分解； （3）利用公式法分解因式即可； （4）利用平方差公式因式分解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 16．（2025八年级上·全国·专题练习）分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键． （1）平方差公式进行分解因式即可； （2）完全平方公式进行分解因式即可； （3）先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式分解因式即可； （4）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可； （5）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解： ． （4）解： ． （5）解： ． 17．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）将下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）提公因式即可； （2）先提公因式，再用平方差公式分解； （3）先用平方差公式分解，再用完全平方公式分解； （4）用十字相乘法分解； （5）先提公因式，再用完全平方公式分解； （6）提公因式即可； 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解：原式 （5）解：原式 （6）解：原式 ． 18．（24-25八年级下·江西吉安·期末）下面是对整式因式分解的部分过程．解答下列问题： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） （第五步） (1)在横线上继续完成对本题的因式分解． (2)在上述的因式分解过程中，用到因式分解的方法有 ．（写出两种方法） (3)请你尝试用以上方法对整式进行因式分解． 【答案】(1)，； (2)分组分解法，提公因式法，公式法（任选其二即可）； (3)． 【分析】本题考查了分解因式． （1）先利用平方差公式把第三步式子分解因式，再利用提公因式法分解因式即可； （2）根据所给因式分解过程即可得到答案； （3）先把原式变形为，再分组得到，据此分解因式即可． 【详解】（1）解：原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） （第五步） 故答案为：，； （2）解：第二步用了分组分解法，第三步用了提公因式法，第四步运用公式法； 故答案为：分组分解法，提公因式法，公式法（任选其二即可）； （3）解： ． 19．（25-26八年级上·湖南·阶段练习）完成下面各题： (1)若二次三项式可分解为，则__________；___________． (2)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 【答案】(1)； (2)另一个因式为，的值为． 【分析】本题考查了因式分解的意义，掌握相关知识是解题的关键． （1）将展开，可得到一次项的系数，继而可求出的值； （2）设另一个因式为，则，得到，求解即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：设另一个因式为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴另一个因式为，的值为． 20．（25-26八年级上·湖南衡阳·阶段练习）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得，则 解得： ∴另一个因式为，m的值为． 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)若，则______； (2)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及p的值． (3)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值． 【答案】(1) (2)，另一个因式是 (3)，另一个因式是 【分析】本题考查了因式分解的结果求参数，多项式乘多项式，解题的关键是：理解因式分解与多项式乘法互为逆运算． （1）将，等式右边展开，根据对应项系数相等，即可求解， （2）设另一个因式为，根据多项式的乘法运算法则展开，根据对应项系数相等，即可求解， （3）设另一个因式是，根据多项式的乘法运算法则展开，根据对应项系数相等，即可求解． 【详解】（1）解：， ，， ， 故答案为：； （2）解：设另一个因式为， 则， ，解得，， 另一个因式是； （3）解：设另一个因式是，则 ， 则，解得，， 另一个因式是． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $