河南信阳市2026-2027学年普通高中高三第一次教学质量检测数学试题

2026—2027学年普通高中高三第一次教学质量检测数学参考答案 一、选择题 1—8．BDBA CDBD 二、选择题 9．ABD 10．BCD 11．AD 三、填空题 12． 13． 14． 四、解答题 15．解：（1）时，，， 2分 4分 ； 6分 （2）若，则有以下两种情况： ①时，即，得； 8分 ②时，或，解得； 10分 即时． 12分 故时，的取值范围为． 13分 16．解：（1）时，，， 2分 欲证， 3分 只需证明， 4分 由基本不等式得 ，不等式得证． 7分（未验证等号成立条件不扣分） （2）， 9分 ①若，则恒成立，无极值； 11分 ②若，时，时，， 故此时的极大值为，无极小值． 15分 17．解：（1）时，，， 1分 时，，单调递减， 时，，单调递增，故至多2个零点， 3分 由，，得在，内各有一个零点，故函数有2个零点； 5分 （未使用零点存在性定理给出严格证明扣一分） （2）时，，由得， 7分 ，， 8分 在上单调递增，， 故实数的取值范围为； 10分 （3）由（2）知，时，，即， 11分 设，，，在上单调递增，，即，， 12分 故， 时， 13分 即， 即时， 14分 经验证得时， 可得对任意正整数，． 15分 （其他方法证明只要正确也可给分，含数学归纳法） 18．解：（1）不存在，理由如下： 1分 不是整数，的偶数项分母均为偶数，且求和后无法完全消去， 2分 的奇数项要么为整数，要么分母是奇数，故而整体求和后不可能是整数， ∴不存在使为整数 5分（其他合理方法酌情给分） （2）由题意知， 7分 ， 8分 9分 ，即 11分 （3）数列的前项中偶数项的和为， 12分 数列的前项中奇数项的和为，要么为整数，要么小数部分为或，偶数项的和恒小于，的前项和的整数部分完全由奇数项决定， 在判断首次超过时只需考虑奇数项的和， 14分 当时，，可解的， 16分 即前项的和首次大于（通过求出及再比对也正确） 即满足的最小整数为45． 17分 19．解：（1）由题意，，，所以， 1分 所以，故， 2分 所以且， 所以； 4分（未将去掉扣一分） （2）时， ∴欲证明对于任意实数，与的图像在第一象限均有公共点 只需证明关于的方程在有解 即证关于的方程在有解 5分 设， 显然的图像连续，时 时，，故的值域为， 6分 所以对于任意实数，关于的方程在有解，命题得证 7分 （其他正确方法证明按步骤给分） （3）①由题意，，，故为， 斜率为，故为， 8分 由题意在内无解， 故在内无解． 9分 不妨设，， 所以， 所以在单调递减，在单调递增， 故，，， 故， 即； 同理． 综上，． 11分 ②由①知，若为等腰直角三角形，必有或，， 12分 若要求该正方形内部可以容纳的最大半圆，则半圆的直径的端点必在正方形的边上． （ⅰ）若半圆的直径的端点在正方形相对的两边上，易得半径的最大值为； 13分 （ⅱ）若半圆的直径的端点在正方形相邻的两边上，不妨设端点分别为，，其中点在上，点在上，设与所成角为，半圆的半径为， 可得，且，， 即，且 14分 设，， 15分 可得在上单调递增，在上单调递减，， 的最大值为，此时半圆的面积为． 综上所述，该正方形内部可以容纳的最大半圆的面积为． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年普通高中高三第一次教学质量检测数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．等差数列的前项和为，若，，则 A．12 B．8 C．6 D．4 2．集合，，若，则实数可能的值的个数为 A．1 B．2 C．3 D．4 3．下列命题是真命题的是 A．， B．， C．， D．， 4．等比数列中，，，则的公比为 A． B． C． D． 5．，则的最小值为 A．12 B．15 C．16 D．18 6．已知，，，，则，，的大小顺序为 A． B． C． D． 7．已知函数的定义域为，命题：对任意，存在，，使得且，命题：的值域为，则是的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 8．函数的解析式为，若恒成立，则实数的取值范围为A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，，则下列不等式可能成立的是 A． B． C． D． 10．已知数列的前项和为，下列说法正确的是 A．数列单调递增是数列单调递增的充分不必要条件 B．数列和数列有可能都是单调递减数列 C．数列和数列有可能都是等差数列 D．数列和数列不可能都是等比数列 11．已知，下列说法正确的是 A．对任意，则在上存在单调递减区间 B．存在，使的值域包含的整数的个数有限 C．若关于的方程有三个实数根，且最大的一个根为，则 D．存在，使关于的方程有三个实数根 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．数列满足，若，则__________． 13．已知函数是偶函数，时，则时__________． 14．函数的图像经过四个象限，则实数的取值范围为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知集合，集合． （1）若，全集，求； （2）若，求实数的取值范围． 16．（15分） 函数，． （1）若，求证：对任意正数，，，； （2）讨论函数的极值． 17．（15分） 函数，． （1）时，讨论函数的零点的个数； （2）若时，，求实数的取值范围； （3）求证：对任意正整数， 18．（17分） 已知数列的通项公式为，的前项和为． （1）判断是否存在使为整数，若存在，求出的值，若不存在，说明理由； （2）若数列共有项，其奇数项的和记为，记，数列的前项和记为，比较和的大小； （3）求满足的最小整数． 19．（17分） 已知，函数，． （1）若，求的解集； （2）求证：对于任意实数，与的图像在第一象限均有公共点； （3）若，是在点处的切线，是过点且垂直于的直线． ①的图像与、在第一象限内均无公共点，求的取值范围； ②、与轴的交点分别为，，若为等腰直角三角形，以，为邻边作正方形，求在该正方形内部（含边界）可以容纳的最大半圆的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $