精品解析：甘肃省平凉市静宁县城关初级中学2025-2026学年八年级上学期第一次质量检测数学试卷

城关初中2025-2026学年第一学期第一次(月考) 质量检测试题（卷） 八年级数学（150分） 一、单选题（每题只有一个正确选项，10个小题，每小题 3 分，共 30分） 1. 中国是风筝的故乡，风筝制作历史悠久．小梦有两根长度分别是和的竹篾（miè），她想搭一个三角形风筝的骨架，桌上有下列长度的几根竹篾，她应该选择的竹篾长度为（ ） A. B. C. D. 2. 下面是小航用三根火柴组成的图形，其中符合三角形的概念的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，，点D在上，则在中，边上的高是（　　） A. 线段 B. 线段 C. 线段 D. 线段 4. 唐朝李白的《行路难》有句诗“长风破浪会有时，直挂云帆济沧海．”如图是小明作的一个帆船模型抽象的几何图形，已知．若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 5. 如图，点，分别在线段，上，连接，交于点，若，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，，分别是的边，的高线，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 在和中，，有如下几个条件：①，；②，；③，；④，．其中，能判定的条件的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 如图，平分，，，于D，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，，，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，任意画一个的，再分别作的两条角平分线和，和相交于点，连接，有以下结论：；平分；；．其中正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题(本大题有6个小题，每小题4分，共24分) 11. 若一个三角形三条高所在直线的交点在这个三角形的外部，则这个三角形是___________三角形．（填“锐角”“直角”或“钝角”） 12. 如图， 在中， 已知点D， E分别为的中点，， 且的面积为16，则的面积为________． 13. 如图，在中，于点，平分．若，，则______． 14. 如图所示的是纸飞机的示意图，在折叠的过程中，使得和能够重合，和重合，则下列结论：①，②，③，④．其中正确的有______（填序号）． 15. 如图，若，，，与交于点，则的度数是______． 16. 如图，在中，于点于点为上一点，连结，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的有________．（填序号） 三、解答题 17. 如图，直线a、b、c表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，可供选择的站址有几处？（不写作法，保留作图痕迹） 18. 如图，在中，是高，，是角平分线，它们相交于点O，，．求和的度数． 19. 如图，，，，求证：． 20. 已知：如图，，若，求的度数． 四、解答题 21. 如图，已知． （1）若，求的长； （2）若，求的度数． 22. 已知的三边长分别为a，b，c，其中． （1）求边长c的取值范围． （2）化简：． 23. 如图，中，于点A，于点D，若． 求证： （1）； （2）若，求的度数． 24. 如图，在中，点是延长线上的点，点在边上，连接，且， ，，求的度数． 五、解答题 25. 如图，已知在中，，，平分，平分． （1）如图1，求的度数； （2）如图2，连接，作，，，求的面积． 26. 如图，在中，和的外角平分线交于点D，求证：是的平分线． 27. 某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入． 【探究与发现】 （1）如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为________． A． B． C． D． 【变式与应用】 （2）如图2，是的中线，若，则的取值范围是______． A． B． C． D． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中． 【拓展与延伸】 （3）如图3，是的中线，点E、F分别在上，且．试说明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 城关初中2025-2026学年第一学期第一次(月考) 质量检测试题（卷） 八年级数学（150分） 一、单选题（每题只有一个正确选项，10个小题，每小题 3 分，共 30分） 1. 中国是风筝的故乡，风筝制作历史悠久．小梦有两根长度分别是和的竹篾（miè），她想搭一个三角形风筝的骨架，桌上有下列长度的几根竹篾，她应该选择的竹篾长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，解题的关键是熟练掌握三角形三边关系． 利用三角形的三边关系进行求解即可． 【详解】解：根据三角形的三边关系可得，第三边的长度大于，小于， ∴符合题意， 故选：C． 2. 下面是小航用三根火柴组成的图形，其中符合三角形的概念的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的定义，解题的关键是熟练记住定义. 根据三角形的定义进行判断即可. 【详解】解：因为三角形是由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形， 所以选项C符合题意.   故选： C． 3. 如图，在中，，点D在上，则在中，边上的高是（　　） A. 线段 B. 线段 C. 线段 D. 线段 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形的高的定义，从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点到垂足之间的线段，叫作三角形的高，根据三角形的高的定义即可得解，熟练掌握三角形的高的定义是解此题的关键 【详解】解：在中，边上的高是线段， 故选：A． 4. 唐朝李白的《行路难》有句诗“长风破浪会有时，直挂云帆济沧海．”如图是小明作的一个帆船模型抽象的几何图形，已知．若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角的性质，根据平行线的性质可得，进而根据三角形的外角的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 5. 如图，点，分别在线段，上，连接，交于点，若，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，熟知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 先根据三角形内角和定理求出的度数，再由三角形外角的性质得出的度数，由对顶角相等即可得出结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的外角，， ∴， ∴． 故选：B． 6. 如图，，分别是的边，的高线，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形的面积，解题的关键掌握三角形的面积公式．据此列式解答即可． 【详解】解：∵，分别是的边，的高线， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 即的长为． 故选：A． 7. 在和中，，有如下几个条件：①，；②，；③，；④，．其中，能判定的条件的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，根据全等三角形的判定定理逐项分析即可得解，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：如图： ①在和中， ， ∴，故本选项正确； ②在和中， ， ∴，故本选项正确； ③在和中， ， ∴，故本选项正确； ④∵，，，， ∴， 在和中， ， ∴，故本选项正确； ∴能判定的条件为：①②③④， 答案：D． 8. 如图，平分，，，于D，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 如图，作于T．由，推出即可解决问题． 【详解】解：如图，作于T． ∵平分，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 9. 如图，在中，，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质、三角形内角和定理，证明得出，求出，再由三角形内角和定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 答案：A． 10. 如图，任意画一个的，再分别作的两条角平分线和，和相交于点，连接，有以下结论：；平分；；．其中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线定义，由三角形内角和定理和角平分线得出的度数，再由三角形内角和定理可求出的度数，即可判断正确；由可知，过点作，，，由角平分线的性质可知是的平分线，即可判断正确；由三角形全等的判定定理可得出，，故可得出，，再由可得出，即可判断正确；根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键． 【详解】解：∵分别是与的角平分线，， ∴， ∴，故正确； ∵， ∴， 过点作，，， ∵分别是与的角平分线， ∴是的平分线，故正确； ∴， ∵，， ∴， ∴， 在与中， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， 同理， ∴，， 两式相加得， ∵， ∴，故正确； 没有条件得出，不正确； 综上可得：正确， 故选：． 二、填空题(本大题有6个小题，每小题4分，共24分) 11. 若一个三角形三条高所在直线的交点在这个三角形的外部，则这个三角形是___________三角形．（填“锐角”“直角”或“钝角”） 【答案】钝角 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形垂心，熟知锐角三角形，直角三角形，钝角三角形垂心所在的位置是解答本题的关键． 根据锐角三角形三条高交于三角形内部，直角三角形三条高交于直角顶点，钝角三角形三条高所在直线交于三角形外部进行求解即可． 【详解】解：若一个三角形三条高所在直线的交点在这个三角形的外部，则这个三角形是钝角三角形， 故答案为：钝角． 12. 如图， 在中， 已知点D， E分别为的中点，， 且的面积为16，则的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形中线的性质．掌握中线能够把三角形的面积等分是解题的关键． 由点D是的中点，可得，由E是的中点，得出，，得，再利用，即可求出． 【详解】∵点D是的中点， ∴， ∵E是的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 13. 如图，在中，于点，平分．若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形内角和定理，三角形内外角关系，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．由三角形内角和定理求出，进而根据角平分线性质求出，再由三角形外角的性质求出，最后根据，求解即可． 【详解】解：，， ， 平分， ， ， ， ． 故答案为： ． 14. 如图所示的是纸飞机的示意图，在折叠的过程中，使得和能够重合，和重合，则下列结论：①，②，③，④．其中正确的有______（填序号）． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】由折叠得，根据全等三角形性质判断①②③，进而推出，由此判断④，即可求得答案． 本题考查的是翻折变换、全等三角形的判定与性质，掌握其性质定理是解决此题的关键． 【详解】解：由折叠得， ∴，，， ∴，，， 故结论①正确，②正确，结论③错误； 又∵，即， 故结论④正确， 综上所述，正确的有①②④， 故答案为①②④． 15. 如图，若，，，与交于点，则的度数是______． 【答案】##82度 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形外角的定义与性质等知识，根据全等三角形的性质先证明，，再根据三角形外角的性质即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，在中，于点于点为上一点，连结，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的有________．（填序号） 【答案】①② 【解析】 【分析】本题主要考查了垂直的定义，直角三角形的判定和性质，平行线的判定，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 根据条件证明，然后根据全等三角形的性质得出①正确，再利用平行线的判定定理可得②正确，根据条件无法证明③④． 【详解】解：①∵，， ∴， 在与中， ∴， ∴，，故①正确，符合题意； ②∵，， ∴， ∴，故②正确，符合题意； ③根据现有条件无法证明， 故③错误，不符合题意； ④根据现有条件无法证明， 故④错误，不符合题意； 故答案为：①②． 三、解答题 17. 如图，直线a、b、c表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，可供选择的站址有几处？（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 如图所示，一共有4处，即点，，，. 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理的应用，尺规作角平分线， 作三角形内角的平分线，两条平分线交于点，点到这个三角形三边的距离相等；再作两个外角的平分线，交于点，点到这三条公路的距离相等；同理还有点，，则此题可解. 【详解】略 18. 如图，在中，是高，，是角平分线，它们相交于点O，，．求和的度数． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，外角的性质，高线、角平分线的定义，熟记定义并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键．根据三角形的内角和定理，高线、角平分线的定义，进行解答即可． 【详解】解：∵在中，是高， ∴， ∵在中，， ∴， ∵在中，，， ∴， ∵在中， ，是角平分线， ∴，， ∴． 19. 如图，，，，求证：． 【答案】 解：证明：∵， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查平行线性质，全等三角形判定．根据平行线的性质可得，，再根据等式的性质可得，然后利用可证明． 【详解】略 20. 已知：如图，，若，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质等知识．熟练掌握全等三角形的判定与性质，平行线的性质是解题的关键． 证明，则，由，可得，求解作答即可． 【详解】解：∵， ∴，即． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴的度数为． 四、解答题 21. 如图，已知． （1）若，求的长； （2）若，求的度数． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． （1）利用全等三角形的性质得到，进而求解即可； （2）利用全等三角形的性质得到，再利用三角形内角和运算求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 22. 已知的三边长分别为a，b，c，其中． （1）求边长c的取值范围． （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系，化简绝对值，熟练掌握三角形三边关系和绝对值的化简是解题的关键． （1）根据三角形的三边关系，进行求解即可； （2）根据三角形的三边关系和绝对值的意义，进行化简即可． 【小问1详解】 解：由三角形三边关系定理得到：， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 由三角形三边关系定理得到：， ∴， ∴ ． 23. 如图，中，于点A，于点D，若． 求证： （1）； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：，， ， 又，， ， ． （2）的度数为 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，三角形的外角的性质等，熟练掌握相关知识点，数形结合是解题的关键； （1）利用题中条件，证明，可推出； （2）设，则，由，推出，再利用直角三角形的两个锐角互余，求出，进一步可得，再利用三角形的外角的性质求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设，则， 由（1）知， ， 又， ， ，解得， ， ． 故的度数为． 24. 如图，在中，点是延长线上的点，点在边上，连接，且， ，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角的性质，根据三角形的外角的性质可得，，即可求解． 【详解】解：∵，分别是的一个外角， ∴，． ∵， ，， ∴． 五、解答题 25. 如图，已知在中，，，平分，平分． （1）如图1，求的度数； （2）如图2，连接，作，，，求的面积． 【答案】（1）的度数为 （2）的面积为4 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，三角形内角和，掌握这些知识是解题的关键． （1）根据角平分线的定义得到，，根据三角形内角和即得； （2）过点作，，垂足为分别为F,，根据角平分线性质得到， ，，即得的面积． 【小问1详解】 解：平分， ， 平分， ， ， 的度数为； 【小问2详解】 解：过点作，垂足为，过点作，垂足为， 平分，，， ， 平分，，， ， 的面积 ， 故的面积为4． 26. 如图，在中，和的外角平分线交于点D，求证：是的平分线． 【答案】 证明：过点D作于点E，作于点F，作于点G， ∵平分，平分， ∴， ∴. ∵，， ∴是的平分线. 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理和判定定理， 先作，，，根据角平分线的性质定理得，再根据判定定理得出答案. 【详解】略 27. 某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入． 【探究与发现】 （1）如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为________． A． B． C． D． 【变式与应用】 （2）如图2，是的中线，若，则的取值范围是______． A． B． C． D． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中． 【拓展与延伸】 （3）如图3，是的中线，点E、F分别在上，且．试说明：． 【答案】（1）B； （2）C； （3）证明：延长到K，使，连接，如图3所示： AI ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， 在和中，， ∴，. ∴， 在中，由三角形三边之间的关系得：， ∵， ∴． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形中的倍长中线模型，掌握通过延长中线构造全等三角形的方法是解题的关键． （1）延长至点E，使，利用“边角边”可证； （2）延长到H，使，同（1）可证，再利用三角形三边关系求解； （3）延长到K，使，连接，依次证明，，再利用三角形三边关系求解． 【详解】（1）解：延长至点E，使，连接，如图1所示： ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， 故选：B； （2）解：延长到H，使，连接，如图2所示： ∴， 同（1）证明：， ∴， ∵， ∴， 在中，由三角形三边之间的关系得：， ∴， ∴， ∴， 故选：C； （3） 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $