拓展04 圆锥曲线中的中点弦、弦长、面积问题（期中复习讲义核心8大题型）高二数学上学期人教A版

专题04 圆锥曲线中的中点弦、弦长、面积问题 （期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 中点弦 掌握点差法在中点弦问题中的应用. 基础必考点，常出现在小题和大题第（1）问 弦长公式 会推导弦长公式，理解韦达定理在其中的应用. 重难必考点，常出现在大题 三角形、四边形面积问题 会用基本面积公式、分割法等解决三角形、四边形面积问题，会求面积的最值范围问题. 高频易错点，面积的计算及最值（范围）出错 知识点01 中点弦问题 一、椭圆与双曲线的中点弦与点差法 1、根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决； 2、点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系， 具体如下：直线(不平行于轴)过椭圆()上两点、，其中中点为，则有。 证明：设、，则有， 上式减下式得，∴， ∴，∴。 焦点在y轴：直线(存在斜率)过椭圆()上两点、，线段中点为，则有。 3、双曲线的用点差法同理，可得 二、抛物线的中点弦与点差法 设直线与曲线的两个交点、，中点坐标为 代入抛物线方程，，，将两式相减，可得， 整理可得： 三、点差法在圆锥曲线中的结论汇总 1、椭圆： 2、双曲线： 3、抛物线： 知识点02 弦长与面积问题 一、弦长公式 （最常用公式） 二、三角形的面积 直线与圆锥曲线相交，弦和某个定点所构成的三角形的面积，处理方法： 1、一般方法：（其中为弦长，为顶点到直线AB的距离），设直线为斜截式. 进一步，= 2、特殊方法：拆分法,可以将三角形沿着轴或者轴拆分成两个三角形，不过在拆分的时候给定的顶点一般在轴或者轴上，此时，便于找到两个三角形的底边长. 3、坐标法：设，则 4、面积比的转化： 三角形的面积比及其转化有一定的技巧性，一般的思路就是将面积比转化为可以利用设线法完成的线段之比或者设点法解决的坐标形式，通常有以下类型： （1）两个三角形同底，则面积之比转化为高之比，进一步转化为点到直线距离之比 （2）两个三角形等高，则面积之比转化为底之比，进一步转化为长度（弦长之比） （3）利用三角形面积计算的正弦形式，若等角转化为腰长之比 （4）面积的割补和转化 三、平行四边形的面积 直线为，直线为 注：为直线与椭圆联立后消去后的一元二次方程的系数. 【注意】四边形一般都比较特殊，常见的情况是四边形的两对角线相互垂直，此时我们借助棱形面积公式，四边形面积等于两对角线长度乘积的一半；当然也有一些其他的情况，此时可以拆分成两个三角形，借助三角形面积公式求解. 四、范围问题 首选均值不等式，其实用二次函数 均值不等式 变式： 作用：当两个正数的积为定值时求出这两个正数的和的最小值； 当两个正数的和为定值时求出这两个正数的积的最大值 注意：应用均值不等式求解最值时，应注意“一正二定三相等” 圆锥曲线经常用到的均值不等式形式列举： （1）（注意分三种情况讨论） （2），当且仅当时，等号成立 （3） 当且仅当时等号成立. （4） 当且仅当时，等号成立 (5) 当且仅当时等号成立. 题型一 椭圆中的中点弦 解｜题｜技｜巧 椭圆： 1．（25-26高二上·陕西西安·月考）直线l过点且与椭圆相交于A、B两点，若线段的中点为M则直线l的斜率为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·辽宁沈阳·月考）已知椭圆，直线与椭圆相交于两点.若线段的中点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·湖北·月考）已知点为椭圆的左焦点，点为椭圆的下顶点，平行于的直线交椭圆于两点，且的中点为，则该椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·甘肃·期末）已知椭圆内一点，直线与椭圆交于两点，且为线段的中点，则 ． 5．（25-26高二上·山东菏泽·月考）过点作斜率为的直线与椭圆相交于两点，若为线段的中点，则的离心率为 . 题型二 双曲线中的中点弦 解｜题｜技｜巧 双曲线： 1．（23-24高二上·天津和平·期末）直线l与双曲线交于A，B两点，线段AB的中点为点，则直线l的斜率为（    ） A． B． C． D． 2．已知双曲线与直线相交于A、B两点，弦AB的中点M的横坐标为，则双曲线C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 3．设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·广西钦州·月考）已知斜率为的直线与双曲线交于两点，若为线段中点且（为坐标原点），则双曲线的离心率为（    ） A． B．3 C． D． 5．已知直线过双曲线的左焦点，且与的左､右两支分别交于两点，设为坐标原点，为的中点，若是以为底边的等腰三角形，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 题型三 抛物线中的中点弦 解｜题｜技｜巧 抛物线： 1．（24-25高二上·吉林通化·期中）已知直线与抛物线相交于两点，且线段的中点坐标为，则直线的斜率为（    ） A． B．2 C． D．6 2．（23-24高二下·四川成都·开学考试）已知抛物线，过点作一条直线l与抛物线交于两点，恰使得点平分，则直线的方程为 . 3．（24-25高二上·河南南阳·月考）已知点，不关于轴对称的，两点在抛物线上，为线段的中点，且，则点的横坐标为 . 4．若A，B是抛物线上不同的两点，斜率存在的线段AB的垂直平分线交x轴于点，则的最大值为 ． 题型四 弦长及其参数问题 解｜题｜技｜巧 1．已知椭圆与椭圆的焦点相同，且的长轴长是短轴长的倍． (1)求的方程； (2)若过点且斜率为的直线与交于两点，求． 2．已知椭圆上任意一点到的两个焦点的距离之和为. (1)求的方程； (2)已知直线与相交于A，B两点，若，求的值. 3．（24-25高二上·山东菏泽·期中）已知过点的抛物线方程为，过此抛物线的焦点的直线与该抛物线交于，两点，且． (1)求该抛物线的方程、焦点坐标、准线方程； (2)求所在的直线方程． 4．（24-25高二上·陕西渭南·期末）已知O为坐标原点，动点P到x轴的距离为d，且，其中均为常数，动点P的轨迹称为曲线． (1)判断曲线为何种圆锥曲线？ (2)若曲线为双曲线，试问应满足什么条件？ (3)设曲线C为曲线，斜率为1的直线l过曲线C的右焦点，且与曲线C交于A，B两个不同的点，求． 5．已知为抛物线上一点，点到的焦点的距离为6，到轴的距离为5 . (1)求的方程； (2)设的焦点为，过点的直线与交于、两点，，求. 6．已知双曲线与圆相切，且的渐近线方程为. (1)求的方程； (2)若的右顶点为，过的右焦点的直线交于两点，且，求. 题型五 三角形面积之1/2底高 解｜题｜技｜巧 三角形的面积处理方法 （1）底·高（通常选弦长做底，点到直线的距离为高） （2）水平宽·铅锤高或 （3）在平面直角坐标系中，已知的顶点分别为，，，三角形的面积为． 1．（24-25高二上·新疆阿克苏·期中）已知双曲线，的实轴长为，且过点. (1)求双曲线C的标准方程； (2)过双曲线C的左顶点A做直线与C的一条渐近线垂直，垂足为H，O为坐标原点，求的面积 2．（24-25高二上·北京·月考）已知椭圆长轴长为4，且椭圆的离心率，其左右焦点分别为． (1)求椭圆的方程； (2)设斜率为且过的直线与椭圆交于两点，求的面积． 3．（24-25高二下·陕西安康·期中）设抛物线的焦点为，过作直线交于两点.当轴时，. (1)求的方程； (2)记点. （ⅰ）求点到直线距离的最大值； （ⅱ）当时，求的面积. 4．（24-25高二下·河南·月考）在平面直角坐标系中，动点到定点的距离是点到轴的距离与点到直线的距离的等差中项，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)若点，过的直线与曲线交于两点，且，求的面积. 5．（24-25高二上·江苏连云港·期中）在平面直角坐标系中，已知点，，点满足，记的轨迹为. (1)求的方程； (2)过点的直线与交于，两点，且的面积为，求直线的方程. 题型六 三角形面积之分割法 1．（24-25高二上·广西玉林·期中）已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，双曲线的渐近线方程为. (1)求抛物线的标准方程和双曲线的标准方程; (2)若斜率为2且纵截距为1的直线与抛物线交于M，N两点，为抛物线的焦点，求的面积. 2．（24-25高二上·湖南长沙·期末）已知双曲线C：的左右焦点分别为、，且焦距为4，过右焦点的动直线交双曲线于、两点，当直线轴时，． (1)求双曲线C的方程； (2)动直线分别交双曲线C的左、右支于两点，若，求此时直线的方程． 3．如图，已知，，，动圆与轴相切于点，过，两点分别作圆的非轴的两条切线，这两条切线的交点为.    (1)求证：为定值，并写出点的轨迹方程； (2)记点的轨迹为，过点的直线与交于，两点，为坐标原点，且的面积为，求直线的斜率. 4．（24-25高二上·河南南阳·月考）已知椭圆的中心在坐标原点，一个焦点坐标是，离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)过作直线交椭圆于A，B两点，是椭圆的另一个焦点，若时，求直线AB的方程. 题型七 四边形面积 解｜题｜技｜巧 （1）一般四边形 （2）分割两个三角形 1．已知双曲线的左、右焦点分别为，，且，渐近线方程为． (1)求的方程； (2)设轴上方的点，分别在的左支与右支上，若，求四边形的面积． 2．抛物线与的焦点分别为，为的一个交点，且． (1)求的值； (2)是上的两点，若四边形（按逆时针排列）为平行四边形，求此四边形的面积． 3．（24-25高二下·天津东丽·月考）已知椭圆的离心率为 短轴长为4. (1)求椭圆的方程. (2)过左焦点F₁作两条互相垂直的直线， (其中直线的斜率为正)，直线与椭圆交于A、B 两点，直线与椭圆交于C、D 两点，若四边形ACBD的面积为 求直线的方程. 题型八 面积中的最值范围问题 1．（24-25高二上·云南保山·期末）已知抛物线的焦点为，横坐标为2的点在抛物线上，且，过点的直线交抛物线于，两点． (1)求抛物线的方程； (2)已知点，直线分别交抛物线于两点． （ⅰ）求证：直线过定点； （ⅱ）求与面积和的最小值． 2．（25-26高二上·江苏连云港·月考）已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上，且轴， (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线交椭圆于，两点，点在直线上，满足x轴. ①证明直线过定点； ②设定点坐标为，求面积的最大值. 3．（24-25高二下·湖南郴州·期末）已知双曲线的一条渐近线为，且右焦点F到这条渐近线的距离为． (1)求双曲线的方程； (2)O为坐标原点，过点F的直线l与双曲线的右支交于A、B两点，与渐近线交于C、D两点，A与C在x轴的上方，B与D在x轴的下方．设、分别为的面积和的面积，求的最大值． 4．在直角坐标平面中，的两个顶点为，平面内两点同时满足①；②；③． (1)求顶点的轨迹的方程； (2)设都在曲线上，定点的坐标为，已知且．求四边形面积的最大值和最小值． 5．（25-26高二上·湖南长沙·月考）已知椭圆的两个焦点为和，点为椭圆的上顶点，为等腰直角三角形． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知点为椭圆上一动点，求点到直线距离的最值； (3)分别过，作平行直线，若直线与曲线交于两点，直线与曲线交于两点，其中点在轴上方，求四边形的面积的取值范围． 期中基础通关练（测试时间：120分钟） 1．（24-25高二上·山西·期中）已知抛物线，过点的直线l与C相交于A，B两点，且M为弦的中点，则直线l的方程为（   ） A． B． C． D． 2．已知双曲线的右焦点为，过点的直线交双曲线于、两点.若的中点坐标为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·江西南昌·月考）已知直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则l的方程为（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·江西赣州·期中）已知A，B为双曲线C：上的两点，且A，B关于直线：对称，则线段中点的坐标为 . 5．（24-25高二上·浙江宁波·期中）已知双曲线与直线相交于，两点，其中中点的横坐标为，则该双曲线的离心率为 . 6．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知椭圆，过点的直线与椭圆交于，两点，且满足，则直线的斜率为 ． 7．（24-25高二上·新疆乌鲁木齐·月考）已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，左焦点为． (1)求椭圆E的方程； (2)若是椭圆E的右焦点，过点且斜率为1的直线交椭圆E于M，N两点，求线段的长 8．（24-25高二上·北京石景山·期末）拋物线的顶点为坐标原点，焦点为，过且斜率为的直线与交于两点． (1)当时，求； (2)若的面积为，求的值． 9．（23-24高二上·重庆永川·期中）已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，左焦点为． (1)求椭圆的方程； (2)若是椭圆的右焦点，过点且斜率为1的直线交椭圆于两点，求的面积． 10．（24-25高二下·广东汕尾·期末）已知椭圆的离心率为，且点在椭圆C上，过点的直线l与椭圆C交于A，B两点，直线l的斜率k存在． (1)若线段的中点的横坐标为，求椭圆C的方程并计算点A到y轴的距离与点B到y轴的距离之和； (2)F为椭圆C的右焦点，若面积为，求直线l的方程． 11．（24-25高二上·辽宁沈阳·月考）已知双曲线，右顶点到的一条渐近线的距离为. (1)求双曲线的方程； (2)点是双曲线上异于长轴端点的任一点，为双曲线的右焦点，直线与双曲线交于B点，直线AO与双曲线交于C点，其中，求的面积. 12．（24-25高二上·河南信阳·期末）直线l经过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A，B两点，为抛物线上的点，． (1)求抛物线的方程； (2)若使得成立的点P的横坐标为3，求四边形的面积． 13．已知椭圆的离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为4． (1)求椭圆的标准方程； (2)椭圆的右顶点为，过点的直线与椭圆相交于点，，若的面积是，求直线的方程． 14．已知椭圆的短半轴长为1，且过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)若经过椭圆的右焦点的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，且的面积为，求直线的方程. 15．已知动点到定点的距离与它到定直线的距离之比是. (1)求动点P的轨迹方程； (2)记动点P的轨迹为C，若过点的直线与C交于M，N两点，的面积为，求直线的方程. 16．已知双曲线的离心率为2，的顶点到渐近线的距离为． (1)求的方程； (2)已知直线过原点，与交于两点，与交于两点，若直线过点，且四边形的面积为，求直线的方程. 17．已知椭圆的离心率为，右焦点为，是E上一点． (1)求的方程； (2)过F的直线交于两点，求（为坐标原点）的面积的最大值． 18．已知椭圆过点，其中一个焦点在直线上，直线与椭圆相交于不同的两点； (1)求椭圆的方程； (2)若，为坐标原点，求的面积最大时实数的值． 19．（23-24高二上·重庆·月考）点到定点的距离和它到定直线的距离之比为. (1)点的轨迹方程； (2)设直线与轴的交点为，延长交曲线于另一点，若，求的面积. 20．已知椭圆的右焦点为上一动点到的距离的取值范围为. (1)求的标准方程； (2)设斜率为的直线过点，交于，两点.记线段的中点为，直线交直线于点，直线交于，两点. ①求的大小； ②求四边形面积的最小值. 期中重难突破练（测试时间：40分钟） 1．在平面直角坐标系中，直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为是线段的中点，过作的垂线交轴于点（异于点．若，则的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 2．（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知椭圆的右焦点和上顶点分别为点和点A，直线交椭圆于P，Q两点，若F恰好为的重心，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·四川绵阳·期末）已知双曲线上有不共线的三点，且的中点分别为､，若的斜率之和为，则 . 4．已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上. (1)求椭圆的标准方程； (2)为坐标原点，设点，过作的垂线交椭圆于两点.求面积的最大值. 5．已知抛物线，点为的焦点，为上互异的三点． (1)若，求的坐标； (2)过点的直线交抛物线于、两点，求的值(其中为坐标原点)； (3)若为等腰直角三角形，求面积的最小值． 6．已知直线与双曲线交于两点． (1)若过右焦点，且的最小值为2，求的取值范围； (2)若，且，过弦的中点分别作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足为，求四边形的面积的最大值． 7．在平面直角坐标系中，已知椭圆的两个焦点为、，为椭圆上一动点，设，当时，面积取得最大值. (1)求椭圆的标准方程. (2)过点的直线与椭圆交于不同的两点、（在，之间），若为椭圆上一点， ①求的取值范围； ②若，求四边形的面积. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 圆锥曲线中的中点弦、弦长、面积问题 （期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 中点弦 掌握点差法在中点弦问题中的应用. 基础必考点，常出现在小题和大题第（1）问 弦长公式 会推导弦长公式，理解韦达定理在其中的应用. 重难必考点，常出现在大题 三角形、四边形面积问题 会用基本面积公式、分割法等解决三角形、四边形面积问题，会求面积的最值范围问题. 高频易错点，面积的计算及最值（范围）出错 知识点01 中点弦问题 一、椭圆与双曲线的中点弦与点差法 1、根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决； 2、点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系， 具体如下：直线(不平行于轴)过椭圆()上两点、，其中中点为，则有。 证明：设、，则有， 上式减下式得，∴， ∴，∴。 焦点在y轴：直线(存在斜率)过椭圆()上两点、，线段中点为，则有。 3、双曲线的用点差法同理，可得 二、抛物线的中点弦与点差法 设直线与曲线的两个交点、，中点坐标为 代入抛物线方程，，，将两式相减，可得， 整理可得： 三、点差法在圆锥曲线中的结论汇总 1、椭圆： 2、双曲线： 3、抛物线： 知识点02 弦长与面积问题 一、弦长公式 （最常用公式） 二、三角形的面积 直线与圆锥曲线相交，弦和某个定点所构成的三角形的面积，处理方法： 1、一般方法：（其中为弦长，为顶点到直线AB的距离），设直线为斜截式. 进一步，= 2、特殊方法：拆分法,可以将三角形沿着轴或者轴拆分成两个三角形，不过在拆分的时候给定的顶点一般在轴或者轴上，此时，便于找到两个三角形的底边长. 3、坐标法：设，则 4、面积比的转化： 三角形的面积比及其转化有一定的技巧性，一般的思路就是将面积比转化为可以利用设线法完成的线段之比或者设点法解决的坐标形式，通常有以下类型： （1）两个三角形同底，则面积之比转化为高之比，进一步转化为点到直线距离之比 （2）两个三角形等高，则面积之比转化为底之比，进一步转化为长度（弦长之比） （3）利用三角形面积计算的正弦形式，若等角转化为腰长之比 （4）面积的割补和转化 三、平行四边形的面积 直线为，直线为 注：为直线与椭圆联立后消去后的一元二次方程的系数. 【注意】四边形一般都比较特殊，常见的情况是四边形的两对角线相互垂直，此时我们借助棱形面积公式，四边形面积等于两对角线长度乘积的一半；当然也有一些其他的情况，此时可以拆分成两个三角形，借助三角形面积公式求解. 四、范围问题 首选均值不等式，其实用二次函数 均值不等式 变式： 作用：当两个正数的积为定值时求出这两个正数的和的最小值； 当两个正数的和为定值时求出这两个正数的积的最大值 注意：应用均值不等式求解最值时，应注意“一正二定三相等” 圆锥曲线经常用到的均值不等式形式列举： （1）（注意分三种情况讨论） （2），当且仅当时，等号成立 （3） 当且仅当时等号成立. （4） 当且仅当时，等号成立 (5) 当且仅当时等号成立. 题型一 椭圆中的中点弦 解｜题｜技｜巧 椭圆： 1．（25-26高二上·陕西西安·月考）直线l过点且与椭圆相交于A、B两点，若线段的中点为M则直线l的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设点坐标，代入椭圆中，作差化简可得答案. 【详解】设 和 为直线与椭圆的交点，且 为 中点，因此： ， 点 和 满足椭圆方程： ， 将方程 (1) 减去 (2)：， 因式分解：， 代入中点坐标：， 得：， 整理得：， 因此，斜率 . 故选：B 2．（24-25高二上·辽宁沈阳·月考）已知椭圆，直线与椭圆相交于两点.若线段的中点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，并得到，利用点差法得到，由点斜式写出直线方程，化为一般式即可. 【详解】设， 若，则的中点在轴上，而的中点坐标为，显然不合要求，故， 则，两式相减得， 即， 由于弦的中点坐标为，故， 所以，即，故， 故直线的方程为，即. 故选：A 3．（23-24高二上·湖北·月考）已知点为椭圆的左焦点，点为椭圆的下顶点，平行于的直线交椭圆于两点，且的中点为，则该椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意可求出直线的斜率为，设点，利用点差法和题设条件可推得，结合，求出的值，即得椭圆方程. 【详解】 如图，由题意，点，，直线的斜率为， 因，故， 设点，则， 两式相减，可得：（*）， 因的中点为，则，且， 代入（*），化简可得：①又②， 联立① ② ，解得：，故该椭圆的方程为. 故选：B. 4．（24-25高二上·甘肃·期末）已知椭圆内一点，直线与椭圆交于两点，且为线段的中点，则 ． 【答案】 【分析】利用“点差法”求得直线的斜率，写出直线方程，联立方程组结合弦长公式即可求解. 【详解】设, 则，两式作差可得：， 因为为线段的中点，所以， 则， 所以直线的方程为， 联立，则， 所以， 故答案为： 5．（25-26高二上·山东菏泽·月考）过点作斜率为的直线与椭圆相交于两点，若为线段的中点，则的离心率为 . 【答案】/ 【分析】设，则，从而得到，相减变形，结合和直线斜率得到，故，椭圆的焦点在轴上，利用求出离心率. 【详解】直线的斜率为， 设，则， ， 两式相减得， 即， 所以， 由于，故， 所以，故，所以椭圆的焦点在轴上， 则的离心率为. 故答案为： 题型二 双曲线中的中点弦 解｜题｜技｜巧 双曲线： 1．（23-24高二上·天津和平·期末）直线l与双曲线交于A，B两点，线段AB的中点为点，则直线l的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，，代入双曲线方程，两式相减可得，由题目条件经整理后可得答案. 【详解】设，，则直线l的斜率为 代入，得，两式相减得：. 又线段AB的中点为点，则. 则.经检验满足题意. 故选：D 2．已知双曲线与直线相交于A、B两点，弦AB的中点M的横坐标为，则双曲线C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，，利用点差法结合中点坐标可得，从而可求双曲线C的渐近线方程. 【详解】设，，则，由点差法得． ∵，∴，，∴，又， ∴，∴渐近线方程为. 故选：A． 3．设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设点坐标，由点差法分析得到，然后将各个选项代入等式后求得，然后得到直线方程，验证直线方程与曲线是否存在交点即可. 【详解】设，，则中点坐标为 ∴，则， ∴， A选项知，则，则直线，则整理得，此时，这样的点不存在，舍去； B选项知，则，则直线，则整理得，此时，这样的点不存在，舍去. C选项知，则，则直线，则整理得，此时，这样的点存在. A选项知，则，则直线，因为，所以直线是曲线的一条渐近线，故这样的点不存在，舍去. 故选：C. 4．（24-25高二上·广西钦州·月考）已知斜率为的直线与双曲线交于两点，若为线段中点且（为坐标原点），则双曲线的离心率为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】设，应用点差法，结合为线段中点及、列方程求得，进而求离心率. 【详解】由题意，设，则， 两式相减得，而， ， 所以. 故选：B. 5．已知直线过双曲线的左焦点，且与的左､右两支分别交于两点，设为坐标原点，为的中点，若是以为底边的等腰三角形，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由点差法得，由条件知直线的倾斜角为倾斜角的两倍，代入两直线的斜率关系式即可求得的斜率. 【详解】设, 由均在上，为的中点， 得，则， ∴， ∴， 设直线的倾斜角为，则，不妨设为锐角， ∵是以为底边的等腰三角形，∴直线的倾斜角为，则. ∴， ∴，解得， ∴由对称性知直线的斜率为. 故选：D 【点睛】中点弦定理：直线与椭圆（双曲线）交于两点，中点为，则有，（为坐标原点） 此题解答过程中中点弦定理起了核心作用，通过中点弦定理建立了与的关系，另一方面通过是以为底边的等腰三角形可能建立两直线倾斜角的关系，从而得到所求直线的斜率. 题型三 抛物线中的中点弦 解｜题｜技｜巧 抛物线： 1．（24-25高二上·吉林通化·期中）已知直线与抛物线相交于两点，且线段的中点坐标为，则直线的斜率为（    ） A． B．2 C． D．6 【答案】A 【分析】根据点在抛物线上，利用点差法可求直线斜率. 【详解】设，则，两式相减得. 因为线段的中点坐标为，所以， 所以. 故选：A. 2．（23-24高二下·四川成都·开学考试）已知抛物线，过点作一条直线l与抛物线交于两点，恰使得点平分，则直线的方程为 . 【答案】 【分析】由题意知，直线的斜率存在，由点差法及中点坐标公式即可求得斜率，再由点斜式求得直线方程. 【详解】设直线与抛物线的两个交点分别为，，将两点代入抛物线方程得 ，两式作差可得， 即，所以直线的斜率， 所以直线方程为，即. 故答案为： 3．（24-25高二上·河南南阳·月考）已知点，不关于轴对称的，两点在抛物线上，为线段的中点，且，则点的横坐标为 . 【答案】4 【分析】根据点差法可得，即可根据垂直满足的斜率关系求解. 【详解】设，，， 则由得. 因为，所以，解得. 故答案为：4 4．若A，B是抛物线上不同的两点，斜率存在的线段AB的垂直平分线交x轴于点，则的最大值为 ． 【答案】6 【分析】设，，AB中点，利用点差法得到直线AB的斜率，再利用中垂线求得，然后利用抛物线的定义，由求解. 【详解】解：设，，AB中点， 设斜率为k，则， 相减得：， ∵，即， 设抛物线的焦点为F，， ∴，当且仅当A，B，F三点共线时等号成立， 此时满足在抛物线内部， ∴的最大值为6， 故答案为：6． 题型四 弦长及其参数问题 解｜题｜技｜巧 1．已知椭圆与椭圆的焦点相同，且的长轴长是短轴长的倍． (1)求的方程； (2)若过点且斜率为的直线与交于两点，求． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据题意可得椭圆的焦点，即可得，且，利用计算可得的值，从而得出椭圆方程； （2）根据题意写出直线的方程，与椭圆方程联立可得，利用韦达定理结合弦长公式计算可得结果. 【详解】（1）由题意，椭圆的焦点为和，即， 且， ，解得， ，， 椭圆的方程为. （2）由题意，直线的斜率，其方程为， 联立可得， 设， 根据韦达定理，则有， . 所以. 2．已知椭圆上任意一点到的两个焦点的距离之和为. (1)求的方程； (2)已知直线与相交于A，B两点，若，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意得到关于的方程组，解出即可； （2）先联立直线方程和椭圆方程，得出根与系数的关系，再结合弦长公式代入计算求解参数. 【详解】（1）由题意可得，解得， 故的方程为. （2）联立，得. ，解得. 设，则， ， 解得，即的值为. 3．（24-25高二上·山东菏泽·期中）已知过点的抛物线方程为，过此抛物线的焦点的直线与该抛物线交于，两点，且． (1)求该抛物线的方程、焦点坐标、准线方程； (2)求所在的直线方程． 【答案】(1)抛物线的方程为，焦点，准线方程为：； (2)或 【分析】（1）根据给定条件求出p值即可求解； （2）设出直线AB的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理并借助弦长公式求解即得. 【详解】（1） 因点在抛物线方程上，则，所以， 所以抛物线的方程为，焦点，准线方程为：； （2）显然，直线不垂直y轴，设直线方程为：， 由消去x得：， 设，则有， 因为， 则， 解得，即直线AB：， 所以所在的直线方程：或. 4．（24-25高二上·陕西渭南·期末）已知O为坐标原点，动点P到x轴的距离为d，且，其中均为常数，动点P的轨迹称为曲线． (1)判断曲线为何种圆锥曲线？ (2)若曲线为双曲线，试问应满足什么条件？ (3)设曲线C为曲线，斜率为1的直线l过曲线C的右焦点，且与曲线C交于A，B两个不同的点，求． 【答案】(1)椭圆 (2)，且． (3) 【分析】（1）设，根据曲线的定义，可得的坐标满足的方程，分析可得结果. （2）将整理为，根据双曲线方程的特点分析可得结果. （3）先根据为曲线可得曲线的方程，利用双曲线的性质及弦长公式易得结果. 【详解】（1）设，由，得， 当时，，即，所以曲线为椭圆. （2）由，得. 若曲线为双曲线，则， 所以可化为， 所以，则； 故应满足且曲线为双曲线. （3）由，得曲线的方程为， 则的右焦点坐标为，所以直线的方程为. 联立得. 设，则若，则 则. 5．已知为抛物线上一点，点到的焦点的距离为6，到轴的距离为5 . (1)求的方程； (2)设的焦点为，过点的直线与交于、两点，，求. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据抛物线定义，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，结合已知条件求出的值，进而得抛物线的方程； （2）先求出焦点的坐标，设直线的方程，与抛物线方程联立，利用向量关系得到坐标关系，再结合韦达定理求出直线方程中的参数，最后根据弦长公式求出. 【详解】（1）设点，因为点到的焦点的距离为6，到轴的距离为5， 根据抛物线的定义，得，解得， 所以抛物线的方程为. （2）由（1）得，抛物线的方程为，所以， 又过点的直线与交于、两点，      设直线：，，， 则，联立化简得， 所以，，， 又，则， 所以联立方程，解得， 根据弦长公式，对于直线与抛物线相交的弦长， 得， 将，，代入上式， 可得， 又，得. 6．已知双曲线与圆相切，且的渐近线方程为. (1)求的方程； (2)若的右顶点为，过的右焦点的直线交于两点，且，求. 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）利用双曲线与圆相切以及渐近线方程即可得结果； （2）设直线方程，联立双曲线方程利用韦达定理以及，再由弦长公式计算可得. 【详解】（1）根据题意可得，即； 所以双曲线的标准方程为 （2）如下图所示： 易知双曲线右焦点的坐标为， 设直线，代入，得， 整理得 设.则 由， 所以，即可得， 解得 此时. 所以， 因此 题型五 三角形面积之1/2底高 解｜题｜技｜巧 三角形的面积处理方法 （1）底·高（通常选弦长做底，点到直线的距离为高） （2）水平宽·铅锤高或 （3）在平面直角坐标系中，已知的顶点分别为，，，三角形的面积为． 1．（24-25高二上·新疆阿克苏·期中）已知双曲线，的实轴长为，且过点. (1)求双曲线C的标准方程； (2)过双曲线C的左顶点A做直线与C的一条渐近线垂直，垂足为H，O为坐标原点，求的面积 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意易求得，的值，进而求得双曲线标准方程； （2）利用点到直线的距离公式求得，利用直角三角形求得，将其代入三角形面积公式计算即可. 【详解】（1）已知双曲线的实轴长为，即，得：； 又双曲线过点，代入方程得：，解得：， 因此可得双曲线的标准方程为. （2） 如图，由双曲线方程，可得其渐近线方程为； 任选一条渐近线，因，可得：， 又，，所以， 故. 2．（24-25高二上·北京·月考）已知椭圆长轴长为4，且椭圆的离心率，其左右焦点分别为． (1)求椭圆的方程； (2)设斜率为且过的直线与椭圆交于两点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由椭圆的基本性质得到椭圆的值，写出椭圆方程. （2）写出直线方程，联立方程组，由韦达定理得到和，用交点弦长公式得到线段长，由点到直线距离得到三角形高，从而算出三角形面积. 【详解】（1）由题意可知：，则， ∵，∴， ∴， ∴椭圆 （2），∴直线：， 联立方程组得, 设， 则， 点到直线的距离 ∴    3．（24-25高二下·陕西安康·期中）设抛物线的焦点为，过作直线交于两点.当轴时，. (1)求的方程； (2)记点. （ⅰ）求点到直线距离的最大值； （ⅱ）当时，求的面积. 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）当轴时，，与抛物线方程联立可得或，由计算即可求解. （2）（ⅰ）设，再利用点到直线的距离公式即可求解；（ⅱ）设，，联立，利用韦达定理、点到直线的距离公式及三角形面积公式即可求解. 【详解】（1）显然，当轴时，， 联立，得到，即或， 于是，解得， 故的方程为. （2）（ⅰ），不妨设，即. 点到的距离，取等条件：， 故点到距离的最大值为. （ⅱ）设，，联立， 有，于是，， ，得到， 故此时点到的距离， 故的面积. 4．（24-25高二下·河南·月考）在平面直角坐标系中，动点到定点的距离是点到轴的距离与点到直线的距离的等差中项，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)若点，过的直线与曲线交于两点，且，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设点，由题意得，由抛物线的定义可知，动点的轨迹为以为焦点，直线为准线的抛物线，可得解； （2）设直线方程为，根据，可得的值，再求点到直线的距离，即可得面积. 【详解】（1）设点，则它到轴的距离与它到直线的距离分别为， 由题意得， 又，结合图形可知，点不可能在轴的右侧，所以， 由抛物线的定义可知，动点的轨迹为以为焦点，直线为准线的抛物线， 故曲线的方程为. （2）由题意知，过的直线的斜率不为零， 设其方程为， 联立方程，得消去并整理，得， 则，且， 所以， 解得， 所以点到直线的距离， 故的面积为. 5．（24-25高二上·江苏连云港·期中）在平面直角坐标系中，已知点，，点满足，记的轨迹为. (1)求的方程； (2)过点的直线与交于，两点，且的面积为，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据双曲线的定义求解； （2）设直线的方程为，，，直线方程代入双曲线方程后应用韦达定理得，然后由可求得值得直线方程． 【详解】（1）因为，由双曲线定义可知的轨迹为双曲线的右支， 设实轴长为，焦距为，虚轴长为， ，， 所以的轨迹方程为； （2）设直线的方程为，，， 由化简得， 则，， ，， ， ，，或. ，， ，， 所以的方程为． 题型六 三角形面积之分割法 1．（24-25高二上·广西玉林·期中）已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，双曲线的渐近线方程为. (1)求抛物线的标准方程和双曲线的标准方程; (2)若斜率为2且纵截距为1的直线与抛物线交于M，N两点，为抛物线的焦点，求的面积. 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）求出双曲线的渐近线方程得，进而求出双曲线方程及右焦点坐标，求得抛物线方程. （2）求出直线方程与抛物线方程联立，结合韦达定理求出三角形面积. 【详解】（1）双曲线的渐近线方程为， 而双曲线的渐近线方程为，则，双曲线的方程为， 双曲线的右焦点坐标为，而抛物线的焦点为， 于是，解得，所以抛物线的标准方程为. （2）直线的方程为，由消去得， ，设， 则，， 令直线与轴的交点为，，由（1）知， 所以的面积. 2．（24-25高二上·湖南长沙·期末）已知双曲线C：的左右焦点分别为、，且焦距为4，过右焦点的动直线交双曲线于、两点，当直线轴时，． (1)求双曲线C的方程； (2)动直线分别交双曲线C的左、右支于两点，若，求此时直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由题意得出，由弦长得出点，代入双曲线方程求解即可； （2）设直线的方程为：，联立方程，由根与系数的关系及三角形的面积即可得解. 【详解】（1）由题意知，双曲线C得焦距为4，所以、，当直线垂直于轴时，，可得，把代入双曲线C中得  ① 又  ② 联立①②解得， 所求双曲线C的方程为 （2）设、，则， 设直线的方程为：， 联立得， 因为直线交双曲线左、右两支于A、B，故，．且， 因为 所以， 解得， 所以直线的方程为：或 3．如图，已知，，，动圆与轴相切于点，过，两点分别作圆的非轴的两条切线，这两条切线的交点为.    (1)求证：为定值，并写出点的轨迹方程； (2)记点的轨迹为，过点的直线与交于，两点，为坐标原点，且的面积为，求直线的斜率. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）设过点的直线与圆相切于点，过点的直线与圆相切于点，根据切线长相等，得到，，，求得，结合椭圆的定义，即可求解. （2）设直线，联立方程组，得到，，结合，列出方程，求得的值，即可求解. 【详解】（1）解：设过点的直线与圆相切于点，过点的直线与圆相切于点， 由切线长相等，可得，，， 则， 又由椭圆的定义知，点在以为焦点的椭圆上，且，， 故点的轨迹方程为.    （2）解：当直线的斜率不存在时，可得的方程为，可得， 此时的面积为，不符合题意，舍去； 当直线的斜率存在且不为0，设直线，且，， 联立方程组，可得， 则，， 故，解得， 所以直线的斜率为.    4．（24-25高二上·河南南阳·月考）已知椭圆的中心在坐标原点，一个焦点坐标是，离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)过作直线交椭圆于A，B两点，是椭圆的另一个焦点，若时，求直线AB的方程. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）根据给定条件可得半焦距，由离心率求出长半轴长，从而求出短半轴长，进而得椭圆的标准方程； （2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理表示三角形的面积，即可求解. 【详解】（1）设椭圆的标准方程为， 由题意，半焦距，离心率，解得，则， 所以椭圆的标准方程是. （2） 由题意，直线AB的斜率存在，设其方程为，而， 由，得，， 设，由韦达定理得， ， 解得，即， 所以直线AB的方程为或. 题型七 四边形面积 解｜题｜技｜巧 （1）一般四边形 （2）分割两个三角形 1．已知双曲线的左、右焦点分别为，，且，渐近线方程为． (1)求的方程； (2)设轴上方的点，分别在的左支与右支上，若，求四边形的面积． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，求出渐近线方程，进而求出即得的方程. （2）设，利用向量关系表示出点坐标，再建立方程组求出点坐标即可求出面积. 【详解】（1）双曲线的渐近线方程为，依题意，，半焦距， 而，解得， 所以的方程为. （2）设，而，由，得， 依题意，，解得，即， ，， 等腰底边上的高， 又四边形为梯形，则， 所以四边形的面积为.    2．抛物线与的焦点分别为，为的一个交点，且． (1)求的值； (2)是上的两点，若四边形（按逆时针排列）为平行四边形，求此四边形的面积． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）由结合抛物线焦半径公式可得，再将点坐标代入抛物线可得，再将坐标代入抛物线可得； （2）借助平行四边形性质可得中点坐标，再借助点差法计算可得，从而可得方程，再联立方程与方程，消去可得与横坐标有关一元二次方程，即可借助韦达定理、弦长公式与面积公式计算得解. 【详解】（1）抛物线，准线方程为， ，所以，所以， 因为点在抛物线上，所以， 又，所以， 将代入抛物线，可得， 故，，； （2）由（1）可知，设中点为， 因为四边形为平行四边形，所以为中点， 设，所以， 因为在抛物线上，所以，则， 即， 所以，所以，且直线过点， 所以，即， 联立， 所以， 所以， 到距离， 所以． 3．（24-25高二下·天津东丽·月考）已知椭圆的离心率为 短轴长为4. (1)求椭圆的方程. (2)过左焦点F₁作两条互相垂直的直线， (其中直线的斜率为正)，直线与椭圆交于A、B 两点，直线与椭圆交于C、D 两点，若四边形ACBD的面积为 求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据离心率以及短轴长，结合的关系即可求解， （2）联立直线与椭圆方程，得韦达定理，根据弦长公式，即可由面积公式化简求解. 【详解】（1）由题意可得，解得， 故椭圆方程为 （2），设直线， 联立直线与椭圆方程，故， 设,则 所以 ， 因为,所以， 所以四边形面积， 因此， 化简可得，故或， 由于，故或， 故直线方程为或 题型八 面积中的最值范围问题 1．（24-25高二上·云南保山·期末）已知抛物线的焦点为，横坐标为2的点在抛物线上，且，过点的直线交抛物线于，两点． (1)求抛物线的方程； (2)已知点，直线分别交抛物线于两点． （ⅰ）求证：直线过定点； （ⅱ）求与面积和的最小值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）10 【分析】（1）利用抛物线定义由焦半径公式计算可得抛物线的方程； （2）（ⅰ）设直线的方程为，并于抛物线联立求出直线的方程即可知其过定点； （ⅱ）分别求出与的面积表达式，再由韦达定理计算可得面积最小值. 【详解】（1）由得， 因此抛物线的方程为． （2）（i）由题意，可设直线的方程为， 联立，得， 所以， 设直线的方程为，如下图所示： 联立得，， 同理可得，． 又， ∴直线的方程为， 化简，得，即， 令，则， 故直线过定点； （ii）由（i）知， ， ， 当且仅当时等号成立， 故与面积和的最小值为10． 2．（25-26高二上·江苏连云港·月考）已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上，且轴， (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线交椭圆于，两点，点在直线上，满足x轴. ①证明直线过定点； ②设定点坐标为，求面积的最大值. 【答案】(1) (2)①证明见解析；②. 【分析】（1）由题可得右焦点为，结合点在椭圆上，可得，据此可得答案； （2）①设直线方程为，，，将直线与椭圆方程联立可得，结合韦达定理，可得.注意到直线方程为：，令，可得，利用化简可得定点坐标； ②由①可得，令，，，随后利用单调性可得最值. 【详解】（1）由题可得椭圆右焦点为，则， 由已知得：，解得，， 则椭圆的方程为. （2）①由x轴，则直线斜率不为0，设直线方程为，，， 联立方程组，整理得， 则 ，，则 直线， 令，则 ②， 令，，，设， 则， 即，在上单调递增， 则当时，，则.    3．（24-25高二下·湖南郴州·期末）已知双曲线的一条渐近线为，且右焦点F到这条渐近线的距离为． (1)求双曲线的方程； (2)O为坐标原点，过点F的直线l与双曲线的右支交于A、B两点，与渐近线交于C、D两点，A与C在x轴的上方，B与D在x轴的下方．设、分别为的面积和的面积，求的最大值． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）由题意建立的方程组，求解即得双曲线方程； （2）设直线的方程为，将其分别与双曲线方程和渐近线方程联立，消元后，利用韦达定理，求得弦长,以及原点O到直线的距离，结合图形，根据求出表达式，换元后根据函数的单调性即可求得的最大值. 【详解】（1）设双曲线的焦距为2c， 点到渐近线的距离为， 因，代入解得， 又双曲线的一条渐近线为， 故双曲线的方程为：； （2） 如图，设，，设直线的方程为， 联立直线与双曲线的方程，消去可得：， ， 直线与双曲线右支交于两点，故，解得， 则， 原点O到直线的距离， 设，，联立消去可得：， 则，，，， 则 而，， 令，则， 当，即时取到等号． 综上所述，的最大值为． 4．在直角坐标平面中，的两个顶点为，平面内两点同时满足①；②；③． (1)求顶点的轨迹的方程； (2)设都在曲线上，定点的坐标为，已知且．求四边形面积的最大值和最小值． 【答案】(1) (2)最大值为2，最小值为． 【分析】（1）设，根据、以及可得，由代入坐标化简可得结果； （2）设直线的方程为，联立直线方程和椭圆方程，利用韦达定理得到和的值，代入，化简并结合基本不等式可得结果. 【详解】（1）设，因为，由①知为的重心， ． 由②知是的外心，在轴上，由③知． 由得， 化简整理得：． （2）因为恰为的右焦点． 设的斜率为，且，则直线的方程为， 由． 设，则， 则 ． ，把换成得． ， ． ， （当时取等号） 又当不存在或时，， 综上可得， 的最大值为2，最小值为． 5．（25-26高二上·湖南长沙·月考）已知椭圆的两个焦点为和，点为椭圆的上顶点，为等腰直角三角形． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知点为椭圆上一动点，求点到直线距离的最值； (3)分别过，作平行直线，若直线与曲线交于两点，直线与曲线交于两点，其中点在轴上方，求四边形的面积的取值范围． 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 (3) 【分析】（1）根据题意求出即可得解； （2）求出与直线平行且与椭圆相切直线方程，则切线与的距离即为最值； （3）设直线的方程为，则直线的方程为，，联立方程，利用韦达定理求出，再根据弦长公式求出，利用两平行直线间的距离公式求出间的距离，从而可得出四边形的面积的表达式，进而可得出答案. 【详解】（1）由题意得， 因为点为椭圆的上顶点，为等腰直角三角形， 所以， 所以， 所以椭圆的标准方程为； （2）设与直线平行且与椭圆相切直线方程为， 联立，消得， 则，解得， 平行直线与的距离， 所以， 所以点到直线距离的最大值为，最小值为； （3）由题意可得直线的斜率不为零， 设直线的方程为，则直线的方程为， 联立，消得， 设， 则， 则， 直线之间的距离， 则四边形的面积， 令，则， 故， 当且仅当，即时取等号， 又，所以，所以， 由椭圆的对称性可得四边形的面积， 所以四边形的面积的取值范围为. 期中基础通关练（测试时间：120分钟） 1．（24-25高二上·山西·期中）已知抛物线，过点的直线l与C相交于A，B两点，且M为弦的中点，则直线l的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出直线l的方程，与抛物线方程联立，结合中点坐标求出直线l的方程. 【详解】显然直线l不垂直于，设直线l的方程为， 由消去得，，由弦的中点为， 得，此时方程有两个不等实根， 所以直线的方程为，即. 故选：D 2．已知双曲线的右焦点为，过点的直线交双曲线于、两点.若的中点坐标为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设、，由，利用点差法求解. 【详解】解：设、， 若轴，则线段的中点在轴上，不合乎题意， 因为线段的中点坐标为，则， 则，两式相减得， 则， 因为，所以，， 所以，，解得， 因此，双曲线的标准方程为. 故选：D. 3．（24-25高二上·江西南昌·月考）已知直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则l的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令的中点为E，设，利用点差法得到，设直线，求出M、N的坐标，再根据求出k、m，即可得解. 【详解】令的中点为E，因为，所以， 设，，则， 两式相减得，， 所以，则， 设直线， 令得，令得，即， 所以，即，解得或（舍去）， 又，即，解得或（舍去）， 所以直线，即. 故选：A. 4．（23-24高二上·江西赣州·期中）已知A，B为双曲线C：上的两点，且A，B关于直线：对称，则线段中点的坐标为 . 【答案】 【分析】根据题意可知，利用点差法求得，联立方程即可得结果. 【详解】由题意可知：直线：的斜率为， 可知直线的斜率， 设，则线段中点的坐标， 可得，， 因为A，B为双曲线C：上的两点，则， 两式相减整理得，即， 解得，即直线， 联立方程，解得， 可知线段中点的坐标为. 故答案为：. 5．（24-25高二上·浙江宁波·期中）已知双曲线与直线相交于，两点，其中中点的横坐标为，则该双曲线的离心率为 . 【答案】 【分析】根据点差法可求的关系，从而可求离心率. 【详解】设，中点为，则，故， 因为，故， 所以，而， 故，故，故， 故答案为： 6．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知椭圆，过点的直线与椭圆交于，两点，且满足，则直线的斜率为 ． 【答案】 【分析】由，得点为线段的中点，然后利用点差法可求出直线的斜率. 【详解】 因为，则在椭圆内，可知直线与椭圆总有两个交点， 因为，即点为线段的中点， 设，，显然，则，， ，可得， 则，即， 所以，即直线的斜率， 故答案为： 7．（24-25高二上·新疆乌鲁木齐·月考）已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，左焦点为． (1)求椭圆E的方程； (2)若是椭圆E的右焦点，过点且斜率为1的直线交椭圆E于M，N两点，求线段的长 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，列出关于的方程，即可得到结果； （2）根据题意，联立直线与椭圆方程结合韦达定理代入计算，再由弦长公式，即可得到结果. 【详解】（1）依题意，解得， 所以椭圆方程为. （2） 依题意，过且斜率为1的直线为，设， 则消去整理得， 所以， 所以 . 8．（24-25高二上·北京石景山·期末）拋物线的顶点为坐标原点，焦点为，过且斜率为的直线与交于两点． (1)当时，求； (2)若的面积为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先得到焦点坐标，则直线的方程为，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，根据焦点弦公式表示出，再代入即可得解； （2）求出点到直线的距离，再由面积公式得到方程，解得即可. 【详解】（1）拋物线的焦点， 则直线的方程为． 设， 由，得， 则，所以， 所以， 当时，． （2）因为， 点到直线的距离， 所以， 化简得，解得，即． 9．（23-24高二上·重庆永川·期中）已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，左焦点为． (1)求椭圆的方程； (2)若是椭圆的右焦点，过点且斜率为1的直线交椭圆于两点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，列出关于的方程，即可得到结果； （2）根据题意，联立直线与椭圆方程结合韦达定理代入计算，再由三角形的面积公式，即可得到结果. 【详解】（1）依题意，解得，所以椭圆方程为. （2） 依题意，过且斜率为1的直线为，设， 则消去整理得， 所以， 所以 . 10．（24-25高二下·广东汕尾·期末）已知椭圆的离心率为，且点在椭圆C上，过点的直线l与椭圆C交于A，B两点，直线l的斜率k存在． (1)若线段的中点的横坐标为，求椭圆C的方程并计算点A到y轴的距离与点B到y轴的距离之和； (2)F为椭圆C的右焦点，若面积为，求直线l的方程． 【答案】(1)， (2)． 【分析】（1）利用离心率以及已知点求得椭圆方程，设出直线方程并联立椭圆方程，写出韦达定理，根据中点坐标，利用完全平方公式，可得答案； （2）由（1）的韦达定理求得弦长，根据点到直线距离公式可得三角形的高，利用三角形面积，建立方程，可得答案. 【详解】（1）依题意有，，且， 又因为，解得，， 故椭圆C的方程为， 设，，由题意，得直线l的方程为， 联立，得， 由， 则，， 因为线段的中点的横坐标为， 所以，解得，故， 点A到y轴的距离与点B到y轴的距离之和为， 因为，，可知与异号， 故， 即点A到y轴的距离与点B到y轴的距离之和为． （2） 由（1）知，直线l的方程为， 故点F到直线l的距离， ， 故， 解得，即， 故直线l的方程为． 11．（24-25高二上·辽宁沈阳·月考）已知双曲线，右顶点到的一条渐近线的距离为. (1)求双曲线的方程； (2)点是双曲线上异于长轴端点的任一点，为双曲线的右焦点，直线与双曲线交于B点，直线AO与双曲线交于C点，其中，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据顶点坐标得，然后代入点到直线的距离求得，即可得解. （2）联立直线方程与双曲线方程，韦达定理，求出的面积，利用双曲线的对称性即可求得的面积. 【详解】（1）因为双曲线右顶点为，所以， 此时，解得，所以双曲线的标准方程为. （2）直线方程为， 联立得， 则有，； 设，则， 所以， 根据双曲线的对称性可知，所以. 12．（24-25高二上·河南信阳·期末）直线l经过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A，B两点，为抛物线上的点，． (1)求抛物线的方程； (2)若使得成立的点P的横坐标为3，求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据抛物线的定义得出，从而得出方程； （2）设直线的方程，联立方程，由点的横坐标以及韦达定理得出，由弦长公式得出，由距离公式得出点到直线的距离，进而结合平行四边形的面积公式求解即可. 【详解】（1）由，得出，所以抛物线的方程为. （2），设直线的方程为， 联立，得，则. . ，四边形为平行四边形， 由点的横坐标为3，得. , 点到直线的距离， 所以四边形的面积为.    13．已知椭圆的离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为4． (1)求椭圆的标准方程； (2)椭圆的右顶点为，过点的直线与椭圆相交于点，，若的面积是，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据面积公式及离心率公式计算得出，，即可得出标准方程； （2）先分直线的斜率为0和直线的斜率不为0设直线方程，再联立方程计算面积结合韦达定理计算求参即可. 【详解】（1）由题意：，所以．     又因为，，所以，，    即椭圆的方程为． （2）当直线的斜率为0时，，，三点共线，不符合题意； 当直线的斜率不为0时，设直线方程为，，， 联立方程组得， ∴         ，    ∴，    ∴                      ∴直线的方程为或， 即直线的方程为或． 14．已知椭圆的短半轴长为1，且过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)若经过椭圆的右焦点的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，且的面积为，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据题设条件，建立关于的方程组，求解即得椭圆标准方程； （2）对直线的斜率分类讨论，利用韦达定理求得和，进而表示出，最后利用求解. 【详解】（1）因为椭圆的短半轴长为，所以. 椭圆过点，所以，解得. 所以椭圆的标准方程为. （2）由（1）可得椭圆的半焦距,则椭圆右焦点为， 若直线斜率为，则为椭圆的左右顶点，不符合题意，故直线的斜率不为. 可设的方程为.设，. 由，消去化简得，. 由韦达定理得，，. 则. ，解得. 所以直线的方程为或. 15．已知动点到定点的距离与它到定直线的距离之比是. (1)求动点P的轨迹方程； (2)记动点P的轨迹为C，若过点的直线与C交于M，N两点，的面积为，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据距离公式列出等式，化简后可得到轨迹方程. （2）先设出直线的方程,分斜率存在与不存在讨论，斜率不存在时不符合三角形面积条件舍去，直线斜率存在时，与双曲线方程联立，得到关于的一元二次方程，利用韦达定理求出和，再根据弦长公式求出，根据点到直线距离公式求出原点到直线的距离，由三角形面积公式求出直线斜率，从而得到直线方程. 【详解】（1）由已知. 两边平方得. 展开化简得. 则这就是动点的轨迹方程. （2）当斜率不存在时，直线与曲线没有交点，不满足题意. 当斜率存在时，设直线的方程为， 联立，将代入得. 展开整理得， ， 设，，由韦达定理（），. 根据弦长公式 先求 . 所以.   原点到直线的距离. 已知. 即. 化简得. 两边平方整理得，即. 得，因为，所以，. 也满足. 所以直线的方程为. 16．已知双曲线的离心率为2，的顶点到渐近线的距离为． (1)求的方程； (2)已知直线过原点，与交于两点，与交于两点，若直线过点，且四边形的面积为，求直线的方程. 【答案】(1)； (2)直线的方程为或. 【分析】（1）根据双曲线的离心率得双曲线的渐近线方程，再根据顶点到渐近线的距离求得的值，从而得的值，即可得双曲线的方程； （2）由题可设直线，，则，联立直线与双曲线方程得交点坐标关系，再根据四边形的面积求得的值，即可得直线的方程. 【详解】（1）双曲线的离心率为，则， 所以，故双曲线的渐近线方程为，即， 双曲线的顶点到渐近线的距离为，则， 故， 所以双曲线的方程为； （2）已知直线过原点，与交于两点，与交于两点， 则关于原点对称，关于原点对称， 由题可设直线，，则， 联立， 则且， 得或 ， 所以， 点到直线的距离为， 所以四边形的面积， 则，整理得， 解得或，所以或， 所以直线的方程为或. 17．已知椭圆的离心率为，右焦点为，是E上一点． (1)求的方程； (2)过F的直线交于两点，求（为坐标原点）的面积的最大值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，列式求出即可. （2）由（1）设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理，结合三角形面积求出函数关系，进而求出最大值. 【详解】（1）因为是E上一点，代入椭圆方程解得， 又，解得， 所以椭圆的方程为. （2）由（1）得半焦距，点，显然的斜率不为零， 设直线的方程为，， 由消去，得，显然， 则，， 所以， 则的面积， 令，函数在上单调递增，当时，取得最小值4， 则当时，取得最小值4，， 所以的面积的最大值为.    18．已知椭圆过点，其中一个焦点在直线上，直线与椭圆相交于不同的两点； (1)求椭圆的方程； (2)若，为坐标原点，求的面积最大时实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由直线方程求得焦点坐标，根据已知点，可得答案； （2）联立直线与椭圆方程，写出韦达定理，利用点到直线距离以及弦长公式，根据三角形的面积公式，结合基本不等式，可得答案； 【详解】（1）由焦点在直线上，令，解得， 已知椭圆过点， 所以， 所以 所以椭圆的方程为 （2）    当时，直线，设，， 联立，消去可得， 由，则， 可得，， 点到直线的距离， 弦长， 则的面积 ， 当且仅当，即时，等号成立，所以的值为. 19．（23-24高二上·重庆·月考）点到定点的距离和它到定直线的距离之比为. (1)点的轨迹方程； (2)设直线与轴的交点为，延长交曲线于另一点，若，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，结合距离公式列出方程，整理即可得到曲线的方程； （2）设，，联立方程，韦达定理，结合两点式斜率公式和两角和正切公式，代入三角形的面积公式即可求解. 【详解】（1）由动点与点之间的距离和到直线的距离的比值为， 可得，整理得，即曲线的方程为. （2）由（1）知，，则， 设，，直线PQ：， 联立方程组，整理得，， 可得，，如图： 则，， 所以 ， 所以，所以的面积. 20．已知椭圆的右焦点为上一动点到的距离的取值范围为. (1)求的标准方程； (2)设斜率为的直线过点，交于，两点.记线段的中点为，直线交直线于点，直线交于，两点. ①求的大小； ②求四边形面积的最小值. 【答案】(1)； (2)①；②3. 【分析】（1）设出椭圆半焦距，结合椭圆的定义求出的取值范围，进而求出即可. （2）①设出直线的方程并与椭圆方程联立，借助韦达定理求出坐标，利用斜率关系求出；②利用弦长公式求出，再表示出四边形面积，借助基本不等式求出最小值. 【详解】（1）设椭圆的半焦距为c，则， 而点到的距离的取值范围为， 因此，解得，， 所以的标准方程为. （2）①由（1）知点，设直线的方程为，， 由消去得， ，， 则，线段的中点， 直线的斜率，直线交直线于点， 因此直线的斜率，即，则直线与直线垂直， 所以. ②由①知， ， 直线的方程为，同理得， 因此四边形的面积， 而，当且仅当，即时取等号， 则， 所以四边形面积的最小值为3. 期中重难突破练（测试时间：40分钟） 1．在平面直角坐标系中，直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为是线段的中点，过作的垂线交轴于点（异于点．若，则的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】方法一，设，，代入渐近线方程，作差可得， 由已知可得，，则可得，进而得，即可求得双曲线的离心率； 方法二，由，再由，则可得，即可求得双曲线的离心率； 方法三，设，联立，消去并整理，利用韦达定理，可得，可得，由，可得，即可求得双曲线的离心率. 【详解】      方法一，设，，且，则． 由分别在双曲线的两条渐近线上，得， 两式作差并整理，得，即． ，， ，， 则，即， ，则． 故选：A． 方法二，由方法一可知， ，，，， 则，即，，解得或（舍去）． 故选：A． 方法三，设． 由分别在双曲线的两条渐近线上，得， 消去并整理，得． 设，，则，， ，，则， ， 又，， ，，解得， 离心率． 故选：A． 【点睛】方法点睛： 圆锥曲线中的“中点弦”问题，一般用作差法，由此寻找解题思路． 2．（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知椭圆的右焦点和上顶点分别为点和点A，直线交椭圆于P，Q两点，若F恰好为的重心，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先设的中点，由点差法得，再根据重心的性质求得点的坐标，联立求得椭圆的离心率，再结合条件，即可求解. 【详解】设，，的中点为点， ，两式相减得， 化解得，即，得， 所以， ，，由F恰好为的重心， 则，即，得，， 即，， 所以，则，平方后得， ，即， 解得：或， 由条件，得，即，得， 所以.    故选：A 【点睛】方法点睛：本题考查了求离心率的方法，①可以直接求出求出离心率，②由条件构造关于的齐次方程，即可求解离心率. 3．（24-25高二上·四川绵阳·期末）已知双曲线上有不共线的三点，且的中点分别为､，若的斜率之和为，则 . 【答案】 【分析】设，利用点差法可得，同理有，结合条件即可求得答案. 【详解】设，则， ，，两式相减，得， 即，即， 同理可求得， 而的斜率之和为， 所以 故答案为： 【点睛】方法点睛：本题运用点差法，这是解决圆锥曲线中弦中点与直线斜率关系问题的常用方法.通过设出弦的端点坐标，代入曲线方程作差，可巧妙地建立起弦的斜率与中点坐标所确定直线斜率的关系. 4．已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上. (1)求椭圆的标准方程； (2)为坐标原点，设点，过作的垂线交椭圆于两点.求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据焦点得到，根据点在椭圆上符合椭圆方程及，联立解得的值，从而得到椭圆的标准方程； （2）由垂直得到直线的方程，联立直线方程和椭圆方程，由韦达定理求得，由三角形面积公式得到面积，由基本不等式得到面积的最大值. 【详解】（1）由右焦点为，得，所以， 又点在上，所以，即， 联立，解得， 所以椭圆的标准方程为. （2） 因为，，所以， 因为，所以， 故直线的方程为，即， 联立并整理得， 设，则， 所以， 所以的面积， 令，则，， 当且仅当，即时取等号， 所以面积的最大值为. 5．已知抛物线，点为的焦点，为上互异的三点． (1)若，求的坐标； (2)过点的直线交抛物线于、两点，求的值(其中为坐标原点)； (3)若为等腰直角三角形，求面积的最小值． 【答案】(1)或 (2) (3)16 【分析】（1）根据焦半径公式求解即可； （2）联立韦达代入即可； （3）利用等腰直角三角形的特点设坐标，代入抛物线方程整理化简，结合基本不等式求最值即可，注意验证取等号条件. 【详解】（1）不妨设，因为，可得，解得， 则的坐标为 或 ； （2）由题知，直线斜率不为0，故可设过焦点的直线为，设点， 联立得 则． （3）若三角形为等腰直角三角形， 不妨设，因为，且， 不妨设， 此时， 代入抛物线方程可得：， 解得， 所以 ， 整理得， 由于 ，当且仅当 时等号成立， ，当且仅当 时等号成立， 则，即， 当且仅当时等号成立， 所以， 当且仅当，时，三个顶点坐标为， 此时三角形面积的最小值为16． 6．已知直线与双曲线交于两点． (1)若过右焦点，且的最小值为2，求的取值范围； (2)若，且，过弦的中点分别作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足为，求四边形的面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）讨论与双曲线交于两支两点或右支交于两点，结合通径即可求解； （2）通过直线斜率存在和不存在两种情况讨论，结合四边形是矩形，求得到渐近线的距离，代入面积公式化简求解即可. 【详解】（1）若与双曲线交于两支两点，则，与轴重合时， 若与双曲线交于右支两点，则，解得， 综上可知： （2）时，双曲线方程为：，渐近线，垂直， 易知四边形为矩形， 若的斜率不存在，由，可设， 代入，可得：，不妨取， 则，渐近线的距离为， 所以， 若的斜率存在， 设直线AB的方程为， 联立方程得， 整理为： ① 故 ② ③ 由， 平方得 将式②、③代入得 ④ 设，于是， ⑤ . ⑥ 因为双曲线的两条渐近线相互垂直，所以四边形是矩形， 其面积S等于点P到渐近线距离的乘积， 于是： 将式⑤、⑥代入上式得 由式④代入化简得，因为， 所以且， 所以 综上四边形的面积的最大值为. 7．在平面直角坐标系中，已知椭圆的两个焦点为、，为椭圆上一动点，设，当时，面积取得最大值. (1)求椭圆的标准方程. (2)过点的直线与椭圆交于不同的两点、（在，之间），若为椭圆上一点， ①求的取值范围； ②若，求四边形的面积. 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）当时，最大，得到，结合，联立求出即可.（2）①设，. 求出， 得到,直线曲线联立，借助韦达定理，令，得到不等式，解得即可;②由，得坐标结合前问，得到.而在椭圆上，代入方法化简得.求出线段，运用点到直线距离公式得到到直线的距离. 求出四边形面积即可. 【详解】（1）设，为椭圆的焦半距，， ，当时，最大，此时或，不妨设， 当时，得，所以， 又因为，所以，.从， 而椭圆的标准方程为. （2）①由题意，直线的斜率显然存在. 设，.             ，同理，..             联立，             ，.             又，，，同号. . ，，. 令，则，解得，.     ②，.且四边形为平行四边形. 由①知，， .而在椭圆上， .化简得.             线段，             到直线的距离.             .             【点睛】思路点睛：解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．另外，注意观察应用题设中的每一个条件，强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $