分层作业(28)圆锥曲线中的弦长，中点弦问题-【智学校本学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册分层作业（人教A版）

智学分层作业 智学分层作业（二十八）》 圆锥曲线中的弦长、 中点弦问题 (满分：121分) ·基础对点练· 1.《5分)过椭圆子之 +方=1(a>b>0)的焦点 F(c,O)的弦中最短弦长是 A25 2a2 [B a b tej 2e2 01 b 2.(6分)（多选题）已知直线1：y=2x-1经过抛 物线C:y2=2px的焦点F,且1与C相交于 A,B两点，则下列结论中正确的是() [A]p=2 1AB=号 [e1oi.0i=- [D]以AF为直径的圆和抛物线C的准线相切 3(5分)设A,B为双曲线：-61有支上的 两点，若线段AB的中点为M(1,2),则直线 AB的方程是 ( [A]x+y-3=0 [B]2x+y-3=0 [o]x-y+1=0 [D1x-2y+3=0 0口■0口■▣■口0 ■■@回■1▣■口 学 刀▣四02 年级： 卡信息 和到幻 后 44▣4和04 班级： 5055▣055则 位 C60▣)0四 姓名 口口2口02口 HH 90口9刀知9 4.(5分)已知直线l:3x+4y一11=0与椭圆C: 。=1(m>0)交于A,B两点，若点P(1,2) 恰为弦AB的中点，则椭圆C的焦距为() CA) [B]22 3 [c323 [o4/6 5.(6分)（多选题）设A,B为双曲线x2-y=1 4 上的两点，下列四个点中，可为线段AB中点 的是 () [A](2,0) [B](-2,4) [c](1,4) [o](-1,1) 66分)已知斜率为2的直线1被腾同写+号- 截得的弦长为丽，则直线1的方程为 7.(5分)设直线y=2x十b与抛物线y2=4x交 于A,B两点，已知弦AB的长为3√5，则b的 值为 口 86分)已知抛物线x2=5y,过点P(?,1)作- 条直线L与抛物线交于A,B两点，恰使得点P 平分AB,则直线（的方程为 63 智学分层作业 19876543210+0.5 19876543210+0.5 9.(12分)双曲线的两条渐近线的方程为y= 10.(10分)已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦 土√2x,且经过点(3，一23)， 点在x轴上，且抛物线上有一点P(4,m)到焦 (1)求双曲线的方程； 点的距离为6. (2)过双曲线的右焦点F且倾斜角为60°的直 (1)求抛物线C的方程： 线交双曲线于A,B两点，求|AB引. (2)若抛物线C与直线y=kx一2相交于不同 的两点A,B,且AB中点横坐标为2，求k 的值 64 ■ 智学分层作业 智学分层作业（二十八） (满分：121分) ·能力提升练· 11.(5分)焦距为2√2，并且截直线y=2x-1所 得弦的中点的横坐标是号的椭圆的标准方 程为 苦+ [1x+-1 1 3 o后+号-1 o苦+1骏写+y-1 12.(5分)焦点在y轴上的双曲线E与双曲线C: r2y 。一京-1(a>0,b>0)有相同的渐近线，过 点P(一5,0)的直线与双曲线C交于A,B两 点，若线段AB的中点是M(3,8),则双曲线E 的离心率为 () [A】V5 o,②2 4 13.(6分)（多选题）在平面直角坐标系Oxy中， 已A(-2,0),B(2,0),点P满足PA,PB 3 的斜率之积为一号，点P的运动轨迹记为. 下列结论正确的是 () 【因轨凌C的方程为号+苦-1c士2) [B]存在点P使得∠APB=90° 0口■0口▣■口0 ■口■▣D□ 年级： 学 刀▣四初20 题卡信息 刀幻 后 44▣4和04 班级： 5055▣055则 位 60000四 姓名： 口口口D2口 HH 909口■9J9■9 [c]若点M(1,1),F(1,0),则|PF|+|PM的 最小值为4十√5 [D]斜率为2的直线与轨迹C交于Q,S两点， 点N为QS的中点，则直线ON的斜率为 8 14.(5分)椭圆十y2=1中斜率为1的平行弦 的中点的轨迹方程为 口 19876543210+0. 15.(12分)已知双曲线过点（√3,2），(2，一√6)，斜 率为k的直线1过点P(1,1). (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线1与双曲线有两个交点，求斜率k 的取值范围； (3)是否存在实数k使得直线！与双曲线交于 A,B两点，且点P恰好为AB中点？若存在， 求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 6 智学分层作业 19876543210+0.5 19876543210+0.5 16.(12分)（创新拔高题）已知椭圆C:二+片=) 7.02分)已知椭圆E,+ 6=1(a>b>0)的 (@>b>0)过点P(2,1),且离心率为2， 焦距为2,5，点(，1)在椭圆E上 (1)求椭圆C的标准方程； (1)求椭圆E的标准方程； (2)若直线1过点Q(0,一1)，且与椭圆C交于 (2)设直线y=kx十1与椭圆E交于M,N两 A,B两点，当|AB最大时，求直线1的方程. 点，O为坐标原点，求△OMN面积的取值 范围 66 ■与'%+心6@ 8 64 联立>=8， y=2x-4. 消去x得y2-4y-16-0,4>0, 则有十=4， y13y:=-16, 代入④，得k1·k,=4. 12解：D由题意可知4十号=5，解得p=2, 所以抛物线C的标准方程为y=4x, (2)(1)证明：由(1)知，y后=4×4，且ya>0, 解得y。=4,所以P(4,4). 设A倍)，B(停则=多4,4 y 一4 ”+4 同度可得加 4 4 则pM·m十‘y十一4 即4(y1+y:)+y1y3+20=0. 当直线AB的斜率存在时，直线AB的方程为y一y, 兰e-)得-中加+= 44 所以4x-20-(y1+y2)(y+4)=0, 即y十4= 4一(x-5): y,+y2 所以直线AB过定点(5，一4). 当直线AB的针率不存在时，y1十y:=0, 可得y=20,x=5,直战AB的方程为x=5,过点(5，一4). 综上，直线AB过定点(5，一4). ()A(z)B(z). 由(1)知直线AB过定点(5，一4)，当直战AB的斜率存 在时， 设直线AB的方程为y=k(x一5)一4=x一5k一4， 与抛物线C的方程联立少-4红， y=kx-5k-4, 消去y得2x2-(10k2+8能+4)x+(5k+4)2=0, 4>0,即16(5k+4k+1)>0, 所以x,十工，=106+8k+4 1=5+40 所以FA·|FB=(x1十1)(x1十1)=x1x:十x1+x2十1 -6k+4)+10k*+8+4+1=48跳+20+36 表2 =0(层+)广+5 所以当是=一合，即=一吾时，FA·FB到取得最小 值，为曾此时满足△>0： 当直线AB的斜率不存在时，x1一x:=5, 由抛物线的定义知FA·1FB引=(x1+1)(x:十1)=36. 故FA·FB的装小值为碧。 分层作业（二十八） 答案速对 123 4} 1112 13 A BC C B AC A D ACD 6.y=2x±137.-48.4x-8y+3=0 14.x+4y=0,x∈(-45,45 55 试题精祝 1.A[最短弦是过焦点F(,0)且与焦点所在坐标轴垂直 的孩。 将工=c代入精国 言+=得y=长么 。,故最短孩长 2.BC[由直线1：y=2x-1经过抛物线C:y=2px的焦 点F, 可知F(合0)，所以号-名解得=1A错送： 联立2红一1消去y可得红-6z+1=0,A>0, y22x, 所以十。=名，AB=十n十p=名，B正痛： 5 由根与系数的关系得O·O克=xA·xn十yA·yn =1=-，C正 以AF为直径的国的圈心的赖丝标为（十号）， 而=AF1=(+) 故该园圆心到y轴的题离怡好等于半径，所以该园与y轴相 切，与准线相离，D错溪 故选BC.] 3.C[授A(xy1)B(xay), (zi_兰=1， 816 剥有 - 两式相减， 得+1-2_1+)y-) 8 16 因为线段AB的中点为M(1,2), 所以x1十x=2,y1十y:=4, 图此由十)x-x2y十y)y,-2 8 16 得二兰-1， x1一XE 即直线AB的斜率为1，方程为y一2=工一1， 即x一y+1■0， 与双曲线的方程联立消去x,得y2一4y一14=0， 图为（一4）产一4×1×（一14）>0，所以线段AB存在， 故选C.门 4,B[依题毫，直线1的钟率为-手，设A(工1出)，B(1y), 苦-是温 y+y:=4, 1011 两式相减得生一=】 4 于是 43 三一2子子—5、 x1一x生1十x2 =1,显然点P(1,2)在精周C内，持合要求， 所以裤周C的焦距为2c=2√6一4=2√2，故选B.] 5.AC[当直线AB的针率不存在时，设为x=I, 依题知n<一1或n>1,此时线段AB的中点为(，0)， 则选项A满足题意，则A正确： 当直线AB的斜率存在时，设直线的方轻为y=kx十m, y=x十m, {2--.清夫y得63-0r2+2m+m+4=0. 联 41, 由题知如2一4≠0，① △=4k2m2一4(k2一4)(m2十4)>0， 化简为k2<m2十4.② 设A(x1y1),B(x1y),AB的中点坐标为（红0y), 一2km -8m 则1+z=-4+为=红+x)+2m-金 所以号授学-是 一kn 工。k 对于B,可得k=一2，不满足条件①，故B错误： 对于C,可得k=1,m=3,满足条件①②，故C正痛： 对于D,可得=一4，m=一3，不满足条件②，故D错误.故 选AC.] 6.y=2x士√13[设直线1的方程为y=2x十m,与鹕图交于 A1,B4)两点，南3十合可清法并#理穿】 y=2x十m, 14x2十12mx十3(m2一2)=0，由△>0，即144m2一4×14× 3(m2-2)>0,可得-/14<m</14, 所以玉1十，=一号m1=(m-2》。 由孩长公式得|AB1=√1+2X√(x1十x)一4z1x =5×√得-曾m3-)=四解释m=±丽，满 /36 足△>0，所以直线1的方程为y=2x土√13.] 7.-4[由/p=2+6, y2=4, 去y得4x2+4(b-1)x+b=0. 由4>0，解得6<空设A.B》 则x1十x=1一b,x1x=4 所以x1一工，=√(x1十2)-4xx:=√1一26. 所以1AB|=√1+2·1x1-x:=5·√1-26=3v5, 所以1一2b=9,即b=一4.] 8.4x一8y十3=0[设克线1与抛物线的两个交点分别为 A(x1y1),B(工：，y:),将两点代入抛物线的方程得 四i-5'两武作差可得（红，-）红，十：)=50一 x量=5y1, 102 5 脚4一4=十x2_2红r_21 5 5 =5=2 1 所以直线1的斜率=豆 所以直线1的方程为y一1-(-） 1/ 即4x-8y+3=0.] 9,解：(1)国为双曲线的两条渐近线的方程为y=士巨x, 所以可设双曲线的方程为2x一y2=入(A≠0) 又因为双南线经过点(3，一23)，代入方程可得1=6， 所以附案双肉筑的方和为号苦引 (2)设A(x1y1),B(x:y:）, 过F且倾斜角为60的直线方程为y=√3(z一3)， 联立5（红-3》消去y得-18x+33=0,周为4>0， 2x2-y2=6, 由根与系数的关系得x1十工2=18，x1x1=33, 所以AB|=√1+·x1一x =√/1+3·√(x,+x)-4xx1=2√324-132=16v3, 即|AB|=163. 10.解：(1)由题意设抛物线方程为y=2px(p>0),其准线方 程为=一， 因为P(4,m)到焦点的距离等于它到准线的距离， 所以4+号=6，所以p=4, 所以抛物线C的方程为y2■8.x (2由>=8，消去y得x-（级十8z+4=0, y=kx-2, 因为直线y=x一2与抛物线相交于不同两点A,B,则有表 0,4=64(+1)>0,解得>-1且k≠0，又十 2 2张十4=2，解得k=2或k=-1(舍去)，所以质的值为2 1山.A[设精圈方程为三+之=1，且m>0m>0,m≠， 直线y=2x一1与辅圆相交的两点为A(x1y1), B,由题意可如专-号即十五-亭 2 所以y1十y1=(2x1-1)+(2x,-1)=2(x1十x1)-2 =2×-2=-号 6 i+=1， m n 又A(x1y),B(x2y:)在椭围上，可得 +=1， 两式相减得-+=0， m 整理得十x》x1-x)-,十y)y,-) m 7 所以4二当=2m， x1一x23m 又直线y=2红-1的件*为2，所以2-积中a=3m, 所以n>m, 因为精固三十之=1的焦距为2反，所以C=2, 射对 则a2=b2+c2=b2+2 故可得=m十2， #=3m, 解得便二故精国的标准方程为号+ m=1, x2=1.故选A,] 12.D[线段AB的中点是M(3,8), 设A1,B则臣十二6。且=为-当 y:+y2=16, x1一x 8-0 “3-251, 由A,B两点在双曲线C上，则 两式相减可得主_=0 xyi」 (a6-1 可得片-出.当十丝6 xi一x量x1一x +,,即1x6- 6a1 可得6=26 中双面线C的渐近线方程为y=士2 3. 成双鱼线E的方程为号-若-16，>06≥0. 哈-25有产-是 "a1264 +-吧t选n] 所以双曲线E的离心率e一1十 13.ACD[对于A,由已知设，点P的坐标为(x,y),由题意知 加w克2六2-士0 y 化衡得点P的桃速C的方程为+苦-1c士，或A 正确： 对于B,由椭闭的方程知，a2=4,b2=3,c8=1, 若∠APB■90°，则点P在以线段AB为直径的圆上， 以线段AB为直径的国的方程为x2十y=4,镇国在制 图外， 所以施圆上不存在点P满足∠APB=90°，B错溪： 对于C,设椭圆的左焦点为F:(一1,0)，因为|PF|+PF: =2a=4, 所以1PF|=4一IPF,I,所以|PF|+IPM|=4+|PM| 1PF,I≥4+1MF:=4+5, 当且仅当P为MF,的延长线与能图的交点时，等芳成立， 故C正确： 对于D,设Q(x131),S(x3y:),因为点N为QS的中点， 所以N色，当空产）周为QS在指圆听+号=1上. 所以 我相减师+号-》=0， (+3=1, 3(x1+x:)(x1-x:)=-4y1+y:)(y1-y:), 即一y=-3(工十x2) x1一xt 4(y1+y:) =2, 3 x1十x: 则直线ON的针率为-号故D正确，故选ACD] 14r+y=0e(←5,4g [设斜率为1的直线与椭园 交于A,B两点，A(xy1),B(x2y). x1十x: 2 线段AB中点的坐标为(x,y),所以 y=4+y 2 y一y丝=1 E1一xa 周为月+1+好=1 两式作差得红十x红，-x中（十0g-)=0, 学有×2+2=0，学x十y=0, 胃为孩的中点在精国内年，所以号+y<1, 号+()'<1，解得(5 故平行孩的中点的轨远方程为 +w0(-545） 15.解：(1)设双曲线的方程为m:x2十y2=1(mm<0),将(W5, 2),(2,-√6)代入 释3十二解得m=1=一 1 4m+6m=1, 所以双曲线的标准方程为工- 21 (2)如图， B 设直线1的方程为y=k(x一1)十1， 由虹十1二，消去y得2-k)x2+2张-1D 2x2-y2-2=0, (k-1)2-2=0, 图为直线【与双曲线有两个交，点， 2一2≠0， 所以 4=24-16k>0, 0<号且长≠士E 即实数是的取值范国为 (-o,-EU(-Ew2)u(E,2) 1031 (3)设A(x1y1),B(xy:), 由(2)可得x1十x:= 2k(1-k) 2-k2 若P为AB中点，剥x1十工4-2达1二2=2，解得k=2, 2一k2 此时kE(-,-2)U(-巨2)U(E,2): 所以不存在实数泰，使得直线【与双曲线交于A,B两点，且 点P恰好为AB中点. 2 1 +-1， 16.解：(1)由题意得 解得包4， a-6N2 62=2, 2 所以精圆C的标准方程为手十艺=1 (2)当直线【的斜率不存在时，方程为x=0, 此时|AB|=2√2： 当直线1的斜率存在时， 设方程为y=kx一1，A(x1y1),B(x:y2), (y=kx-1, 、展立工+=1消去y释1+2江一红一20， △=16k2+8(1+2k2)=32k2+8>0,故k∈R, 4k -2 则x1+x=1十20x111+20, 所以|AB|=√1+kF·√/1+x)-4红1x =1+及·八1+2波) /4k 8 +1+2 =22· (1+k)(1+4k万 (1+2k2)2 令=1+2k',t≥1，别k-1 2 1+会+4.号》 所以1AB|=2√2· 2m+t- t2 1+1+2 =2厂京+7 当11 2即1=2时，AB到取得最大值3，此时表= 2 综上所述，当AB最大时，直线1的方程为y=士号z-L, 17.解：(1)因为焦距为25，所以2e=23,c=5. 因为点（停）在精国B上，所以品+衣-1 c=3, 联+3 +仿=1 a2=b+c2, 解得a2=4,62=1, 所以精国E的标准方程为兰 +x2✉1. (2)设M(x1y1),N(x2y), 装任+. y=kx+1, 整理得(k2+4)x+2kx-3=0,△>0， 1104 2k 3 则工1十=牛422=一十 1 又坐标原点O到直线y=kx十1的距离为d= k+1 所以△OMN的面款S-专N,d-立南 V+I儿x,+x)-41-2Y+3 k”十4 ◆+8别235中+ 令=1+,数y=+在[，十)上单调递增， 3 1+ 片以△0MN西教的取值龙围为b,写] 分层作业（二十九） 答案速对 1 B AC 6.37.82 3 8.20 试题精析一 - 1.A [i P(zo+yo)(xo>0,y>0), 10>0>0,+号-1， 易知F1(一1,0)，2a=4,由椭图焦半径公式可得|PF:| 1 =2+2,lPF,|=2-2 授A,B,M分别为△PFF:的内切圈与边PF,PF:,F,F: 的切点，则M(z1,0), 根据内切圆的性质知|PA|=PB|,AF,|■MF|, |BF:=|MF:, 周此|PF1|-|PF2|=|AF,|-|BF,I =IMFI-IMF:I, +号)--之)=a+D-1- 解得x1=立工a 在△PF,E,中，EFl=号PF+IPF,+ 1 |F1F:|)y解符y1=3yo: