精品解析：内蒙古呼和浩特实验中学2025-2026学年上学期八年级数学月考试卷

呼和浩特实验中学2025-2026学年第一学期初二数学月考试卷 注意事项∶ 1．本试满分100分． 2．作答时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效， 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 三条线段a，b，c长度均为整数且a＝3，b＝5．则以a，b，c为边的三角形共有（　　） A. 4个 B. 5个 C. 6个 D. 7个 2. 如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（    ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 都有可能 3. 如图，在中，，，则上中线的取值范围为（ ） A. B. C. D. 无法确定 4. 小华要画一个有两边长分别为和的等腰三角形，则这个等腰三角形的周长是（　　） A. B. C. 或 D. 5. 如图，△ABC中,∠A=50°，点D，E分别在AB，AC上，则∠1+∠2的大小为（　 　） A. 130° B. 230° C. 180° D. 310° 6. 如图，起重机在工作时，起吊物体前机械臂与操作台的夹角，支撑臂为的平分线．物体被吊起后，机械臂的位置不变，支撑臂绕点旋转一定的角度并缩短，此时，增大了，则的变化情况为（ ）    A. 增大 B. 减小 C. 增大 D. 减小 7. 如图，将纸片沿折叠，使点A落在点处，且平分，平分，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，锐角△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点，△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，且，BE、CD交于点F．若∠BAC=40°，则∠BFC的大小是（ ） A. 105° B. 110° C. 100° D. 120° 9. 把长14cm的铁丝截成三段，围成三边都不相等的三角形，且使三边长均为整数，那么（　　） A. 只有一种截法 B. 两种截法 C. 三种截法 D. 四种截法 10. 如图，和均为等边三角形，，，，，以下结论中∶①；②；③；④；⑤平分，正确的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 如图，小明的父亲在院子的门板上钉了一个加固板，从数学角度看，这样做的原因是______． 12. 如图，在中，已知点D、E、F分别为边、、的中点，且的面积是4，则的面积是______． 13. 如图，把一副常用的三角板如图所示拼在一起，那么图中______． 14. 如图，、分别是边、上的点，，设的面积为的面积为的面积为6，则___________． 15. 如图①，点E、F分别为长方形纸带ABCD的边AD、BC上的点，∠DEF=19°，将纸带沿EF折叠成图②(G为ED和EF的交点，再沿BF折叠成图③(H为EF和DG的交点)，则图③中∠DHF=__. 16. 如图，中，，，，点P从B出发．以的速度沿向C运动，设P运动时间为t秒，当P从B开始运动的同时，Q从C出发以的速度，沿向A运动，当与全等时，_____． 三、解答题 17. 如图，每个小正方形的边长为1，在方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′，利用网格点画图： （1）补全△A′B′C′； （2）画出△ABC的中线CD与高线AE； （3）△A′B′C′的面积为　 　. 18. 如图，已知，请用尺规作图在下方作出，使得（在图上保留作图痕迹）． 19. 已知a、b、c是三角形的三边长． （1）化简； （2），，，求这个三角形的三边长． 20. 如图，在中，，边上的中线把的周长分成和两部分，求各边的长． 21. 如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F． （1）求证：△ABC≌△ADE； （2）求证：CD＝2BF＋DE． 22. 已知：如图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，如图2，在图1的条件下，和的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题： （1）在图1中，请直接写出、、、之间的数量关系：　 　； （2）在图2中，若，，试求∠P的度数；（写出解答过程） （3）如果图2中和为任意角，其他条件不变，试写出∠P与、之间数量关系． 23. （1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在中，，，直线l经过点A，直线l、直线l，垂足分别为点D、E．证明：． （2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线l上，并且有，其中α为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明由． （3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题；如图3，过的边向外作等腰和等腰，是边上的高，延长交于点，求证：是的中点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 呼和浩特实验中学2025-2026学年第一学期初二数学月考试卷 注意事项∶ 1．本试满分100分． 2．作答时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效， 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 三条线段a，b，c长度均为整数且a＝3，b＝5．则以a，b，c为边的三角形共有（　　） A. 4个 B. 5个 C. 6个 D. 7个 【答案】B 【解析】 【分析】已知两边，则第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和，这样就可求出第三边c的范围，根据c的值为整数，即可确定c的值，从而确定三角形的个数． 【详解】解：∵c的范围是：2＜c＜8， ∴c的值可以是：3、4、5、6、7，共5个数， 因而由a、b、c为边可组成5个三角形． 故选B． 【点睛】本题主要考查了三角形三边关系的运用，解题时需要理解的是如何根据已知的两条边求第三边的范围． 2. 如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（    ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 都有可能 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的高，钝角三角形的三条高所在的直线的交点在三角形的外部；锐角三角形的三条高所在的直线的交点在三角形的内部；直角三角形的三条高所在的直线的交点是三角形的直角顶点据此判断即可． 【详解】解：一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，这个三角形是直角三角形． 故选C． 3. 如图，在中，，，则上中线的取值范围为（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系．注意：倍长中线是常见的辅助线之一． 延长至E，使，连接．根据证明，得，再根据三角形的三边关系即可求解． 【详解】解：延长至E，使，连接 ∵是上中线， ∴， ∵， ∴， ∴． 在中，， ∵，， ∴ 即， ∴ ∴． 故选C． 4. 小华要画一个有两边长分别为和的等腰三角形，则这个等腰三角形的周长是（　　） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质，本题可分情况讨论．腰长为或者腰长为． 【详解】解：根据等腰三角形的概念知，有两边相等，因而可以是两条边长为或两条边长为． 当两条边长为时，周长； 当两条边长为时，周长． 故选C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 5. 如图，△ABC中,∠A=50°，点D，E分别在AB，AC上，则∠1+∠2的大小为（　 　） A. 130° B. 230° C. 180° D. 310° 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：根据∠A=50°，三角形内角和定理可得∠B+∠C=130°，则根据四边形内角和定理可得：∠1+∠2=360°－130°=230°. 考点：三角形内角和定理 6. 如图，起重机在工作时，起吊物体前机械臂与操作台的夹角，支撑臂为的平分线．物体被吊起后，机械臂的位置不变，支撑臂绕点旋转一定的角度并缩短，此时，增大了，则的变化情况为（ ）    A. 增大 B. 减小 C. 增大 D. 减小 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形三角形外角的性质及角平分线的定义，起吊物体前，设，根据题意可得，则，物体被吊起后，可得，增大了，由即可解答． 【详解】解：起吊物体前，设， ，支撑臂为的平分线， ， ； 物体被吊起后， 机械臂的位置不变，，， ， 增大了， ， ， ， 的变化情况为增大． 故选：C． 7. 如图，将纸片沿折叠，使点A落在点处，且平分，平分，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形的内角和定理、角平分线的定义、三角形的外角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识． 连接，首先求出，再证明，即可解决问题． 【详解】解：连接，如图： ∵平分，平分，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴． 故选：A 8. 如图，锐角△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点，△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，且，BE、CD交于点F．若∠BAC=40°，则∠BFC的大小是（ ） A. 105° B. 110° C. 100° D. 120° 【答案】C 【解析】 【分析】延长C′D交AB′于H．利用全等三角形的性质，平行线的性质，三角形的外角的性质证明∠BFC＝∠C′＋∠AHC′，再求出∠C′＋∠AHC′即可解决问题． 【详解】解：如图延长C′D交AB′于H． ∵△AEB≌△AEB′， ∴∠ABE＝∠AB′E， ∵C′H∥EB′， ∴∠AHC′＝∠AB′E， ∴∠ABE＝∠AHC′， ∵△ADC≌△ADC′， ∴∠C′＝∠ACD， ∵∠BFC＝∠DBF＋∠BDF，∠BDF＝∠CAD＋∠ACD， ∴∠BFC＝∠AHC′＋∠C′＋∠DAC， ∵∠DAC＝∠DAC′＝∠CAB′＝40°， ∴∠C′AH＝120°， ∴∠C′＋∠AHC′＝60°， ∴∠BFC＝60°＋40°＝100°， 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，平行线的性质，三角形的外角的性质等知识，能熟记全等三角形的性质的内容是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等． 9. 把长14cm的铁丝截成三段，围成三边都不相等的三角形，且使三边长均为整数，那么（　　） A. 只有一种截法 B. 两种截法 C. 三种截法 D. 四种截法 【答案】A 【解析】 【分析】根据题目要求，根据构成三角形的条件，周长为14，可逐步分析，将每个符合题意的三角形写出即可． 【详解】根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，最短的边是1时，不成立； 当最短的边是2时，三边长是：2，6，6（不合题意）； 当最短的边是3时，三边长是：3，5，6； 当最短的边是4时，三边长是：4，4，6和4，5，5（均不合题意）． 最短的边一定不能大于4． 综上，只有3，5，6共1种截法． 故选A． 【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边． 10. 如图，和均为等边三角形，，，，，以下结论中∶①；②；③；④；⑤平分，正确的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角形内角和性质，角平分线的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键．结合等边三角形的性质得，再根据进行证明，运用全等三角形的对应角相等，证明，则；运用平角性质进行列式计算，得；运用有一个内角是60度的等腰三角形是等边三角形，得出是等边三角形，则，即；分别过点作，则，由，，可得，故，又因为，即平分． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故①是符合题意； ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故②是符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故③是符合题意； 连接 ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴； 故④是符合题意； ∵， ∴，， 分别过点作， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴平分， 综上，正确的个数有5个， 故选：D． 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 如图，小明的父亲在院子的门板上钉了一个加固板，从数学角度看，这样做的原因是______． 【答案】三角形的稳定性 【解析】 【分析】此题根据题目的意思，钉了一个加固板，即分割成了三角形，故利用了三角形的稳定性． 【详解】解：这样做的原因是：利用三角形的稳定性使门板不变形， 故答案为：三角形的稳定性． 【点睛】本题考查三角形稳定性的实际应用，解题的关键是掌握三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得． 12. 如图，在中，已知点D、E、F分别为边、、的中点，且的面积是4，则的面积是______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的面积公式：底高．依据三角形的面积公式及点D、E、F分别为边、、的中点，推出，从而求得的面积． 【详解】解：设以为底边的高为， 则， 点D、E、F分别为边、、的中点， ， 同理可得，，，， ， ． 故答案为：1． 13. 如图，把一副常用的三角板如图所示拼在一起，那么图中______． 【答案】15° 【解析】 【分析】根据常用的三角板的特点求出∠EAD和∠BFD的度数，根据三角形的外角的性质计算即可． 【详解】解：由一副常用的三角板的特点可知，∠EAD=45°，∠BFD=30°， ∴∠ABF=∠EAD-∠BFD=15°， 故答案为：15°． 【点睛】本题考查的是三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 14. 如图，、分别是边、上的点，，设的面积为的面积为的面积为6，则___________． 【答案】7 【解析】 【分析】根据等底等高的三角形的面积相等，求出△AEC的面积，再根据等高的三角形的面积的比等于底边的比，求出△ACD的面积，然后计算S1+S2即可得解． 【详解】解：∵BE=CE， ∴S△ACE=S△ABC=×6=3， ∵AD=2BD， ∴S△ACD=S△ABC=×6=4， ∴S1+S2=S△ACD+S△ACE=4+3=7， 故答案为：7． 【点睛】本题主要考查了三角形的面积，解题时注意：等底等高的三角形的面积相等，等高的三角形的面积的比等于底边的比． 15. 如图①，点E、F分别为长方形纸带ABCD的边AD、BC上的点，∠DEF=19°，将纸带沿EF折叠成图②(G为ED和EF的交点，再沿BF折叠成图③(H为EF和DG的交点)，则图③中∠DHF=__. 【答案】57 【解析】 【详解】解：∵四边形ABCD为长方形， ∴AD//BC， ∴∠BFE=∠DEF=19°， 根据折叠的性质可得，∠GEF=∠DEF=19°， 则∠DGF=∠GEF +∠GFE=38°， 则∠DHF=∠DGF+∠GFE=38°+19°=57°． 故答案为57． 16. 如图，中，，，，点P从B出发．以的速度沿向C运动，设P运动时间为t秒，当P从B开始运动的同时，Q从C出发以的速度，沿向A运动，当与全等时，_____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形全等的条件，找准对应边． 分两种情况①当时，；当时，，然后分别计算出t的值，进而得到v的值． 【详解】解：设运动时间为t秒， ∵点P从点B出发，以的速度沿BC向点C运动，点Q从点C出发，以的速度沿向点A运动， ∴， ∴ ∵， ∴， 当时，， ∴， ∴ 解得：，； ②当， 时，， ∵， ∴ ∴， 解得：， 则 ∴， 综上所述：当或时， 与全等， 故答案为：或． 三、解答题 17. 如图，每个小正方形的边长为1，在方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′，利用网格点画图： （1）补全△A′B′C′； （2）画出△ABC的中线CD与高线AE； （3）△A′B′C′的面积为　 　. 【答案】 （1）（2）如图， （3）8 【解析】 【分析】（1）根据平移的条件画出图象即可； （2）根据中线，高线的定义画出中线CD与高线AE即可； （3）根据平移前后图形面积不变可得S△A′B′C′=S△ABC=×AE×BC，然后计算得出答案. 【详解】（1）（2） 略 （3）S△A′B′C′=S△ABC=×AE×BC=×4×4=8. 故答案为8. 【点睛】本题主要考查了作平移图形和三角形的面积公式. 作平移图的一般步骤：（1）确定平移的方向和平移的距离； （2）确定图形的关键点；如三角形，四边形等图形的顶点，圆的圆心等； （3）通过关键点作出平移后的图形. 18. 如图，已知，请用尺规作图在下方作出，使得（在图上保留作图痕迹）． 【答案】 解：如图所示： 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图，先画出射线，以点为圆心，适当的长度为半径画弧分别交的两边于点，然后以点为圆心，以的长度为半径画弧，交射线于点，再以点为圆心，以的长度为半径画弧，交前弧于点，连接，则在射线上，即可作答． 【详解】略 19. 已知a、b、c是三角形的三边长． （1）化简； （2），，，求这个三角形的三边长． 【答案】（1） （2）这个三角形的三边长为6，5，4 【解析】 【分析】（1）根据三角形三边关系定理可得，，，再去绝对值符号即可； （2）解三元一次方程组求出a，b，c的值即可． 【小问1详解】 解：∵a、b、c是三角形的三边长， ∴，，， ∴ ； 【小问2详解】 解：∵，， ∴，即， 又∵， ∴，即， 解得：， 把代入得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， ∴这个三角形的三边长为6，5，4． 【点睛】本题考查了三角形三边关系定理，化简绝对值，解三元一次方程组，熟练掌握三角形三边关系定理以及加减消元法是解题的关键． 20. 如图，在中，，边上的中线把的周长分成和两部分，求各边的长． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义、三角形的中线和三角形的三边关系，分两种情况：当cm时和cm时，根据等腰三角形的定义结合三角形的三边关系解答即可． 【详解】解：如图，    ∵是边上的中线， 即， ∴， 若，则， 又∵， 联立方程组∶， 解得：， 三边能够组成三角形； 若，则， 又∵， 联立方程组， 解得：， 三边能够组成三角形； ∴三角形的各边长为或． 21. 如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F． （1）求证：△ABC≌△ADE； （2）求证：CD＝2BF＋DE． 【答案】（1） 证明：∵∠BAD＝∠CAE＝90°， 即90°， ∴， 在中， ∴； （2） 证明：如下图，延长BF到G，使得FG＝FB，连接AG， ∵90°， 在， ， ∴， ∴AB＝AG，， 又（1）△ABC≌△ADE， ∴， ∴， ∵45°， 在， ∴， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据∠BAD＝∠CAE＝90°，即90°，得到，再依据AB＝AD，AE＝AC即可证明； （2）延长BF到G，使得FG＝FB，连接AG，得到，并结合（1）的结论 证出，进而找出各边之间的关系，即可证出CD＝2BF＋DE． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题关键是理解题意，添加辅助线，找出所求问题需要的条件，并利用数形结合的思想解答． 22. 已知：如图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，如图2，在图1的条件下，和的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题： （1）在图1中，请直接写出、、、之间的数量关系：　 　； （2）在图2中，若，，试求∠P的度数；（写出解答过程） （3）如果图2中和为任意角，其他条件不变，试写出∠P与、之间数量关系． 【答案】（1）；（2）45°；（3） 【解析】 【分析】（1）根据三角形的内角和等于180°，易得∠A+∠ D=∠B+∠C； （2 ）仔细观察图2，不难看出它有两个图1构成ADMCP， APNCB．由此，得到两个关系式∠2+∠D=∠3+ ∠P，∠1+∠P=∠ 4+∠B，再由角平分线的性质得∠1=∠2 ，∠3=∠4，两式相减，即可得结论． （3）与（2）相同． 【详解】（1）证明：在中， 在中， ∵ ∴ 故答案为： （2）解：如图2， ∵AP、CP分别平分 、 ∴， 由（1）的结论得： ①+②，得： ∴ （3）解：如图2， ∵AP、CP分别平分 、 ∴， 由（1）的结论得： ①+②，得： ∴ 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理、角平分线性质、等量代换；难点在于灵活运用各等量关系． 23. （1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在中，，，直线l经过点A，直线l、直线l，垂足分别为点D、E．证明：． （2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线l上，并且有，其中α为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明由． （3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题；如图3，过的边向外作等腰和等腰，是边上的高，延长交于点，求证：是的中点． 【答案】 （1）如图1， 直线l，直线l， ∴， ， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； （2）成立，证明如下： 如图， ， ∴， ∴， 在和中． ． ∴，， ∴； （3）过E作的延长线于M，过D作于，如图所示： ∴， 是边上的高， ， ， ∵是等腰三角形， ∴， ∴ ， ， 同理， ， ， 在和中， ， ， ， I是的中点． 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形的两个锐角互余，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）由条件可证明，可得，，可得； （2）由条件可知，且，可得，结合条件可证明，可得出结论； （3）与（1）同理证明，，可知，可得，结合条件可证明，可得出结论I是的中点． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $