6.1.1 向量的概念学案-2025-2026学年高一上学期数学人教B版必修第二册

6.1　平面向量及其线性运算 6.1.1　向量的概念 【学习目标】 1.理解向量、零向量、单位向量、向量模的意义; 2.掌握向量的几何表示,会用字母表示向量,会用向量表示点的位置; 3.了解平行向量、共线向量和相等向量的意义,并会判断向量间共线(平行)、相等的关系. 　　　　　 　　　　　 　　　　　 ◆ 知识点一　位移与向量 1.位移 位移是表示物体位置变化的物理量,位移被“　　　　”和“　　　　”唯一确定,其中“距离”也称为位移的　　　　.  2.平面向量 (1)向量的概念:一般地,既有　　　　又有　　　　的量称为向量.   (2)向量的模:向量的　　　　也称为向量的模(或长度).  (3)向量的表示 ①几何表示:向量可以用有向线段表示,其中有向线段的长度表示向量的　　　　,有向线段箭头所指的方向表示　　　　　　.而且,通常将有向线段不带箭头的端点称为向量的始点(或起点),带箭头的端点称为向量的终点.始点为A终点为B的有向线段表示的向量,可以用符号简记为　　　　,向量的模用　　　　表示.   ②字母表示:在印刷时,通常用加粗的斜体小写字母如a,b,c等来表示向量;在书写时,用带箭头的小写字母如　　　　等来表示向量.  (4)零向量与单位向量 始点和　　　　相同的向量称为零向量,记作　　　　,零向量的本质是　　　　　,因此可以认为零向量的方向是不确定的;模等于　　　　的向量称为单位向量.   【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)温度含零上和零下温度,所以温度是向量.(　 ) (2)向量的模是一个正实数. (　 ) (3)若|a|>|b|,则a>b. (　 ) (4)有向线段都可以表示向量,向量都可以用有向线段表示. (　 ) ◆ 知识点二　向量的相等与平行 1.向量相等 一般地,把　　　　相等、　　　　相同的向量称为相等的向量.向量a和b相等,记为a=b.  2.向量平行 定义:如果两个非零向量的方向　　　　或者　　　　,则称这两个向量平行.  表示:两个向量a和b平行,记作　　　　.两个向量平行也称为两个向量共线.  规定:零向量与任意向量　　　　.  【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) 若向量a与b不共线,则a与b都是非零向量.(　 ) 2.若向量a与b共线,向量b与c共线,则向量a与c是否共线? ◆ 探究点一　向量的基本概念 例1 (1)下列说法中正确的是 (　 ) A.数量可以比较大小,向量也可以比较大小 B.方向不同的向量不能比较大小,但方向相同的向量可以比较大小 C.向量的大小与方向有关 D.向量的模可以比较大小 (2)[2023·陕西西安高一期中] 下列说法中正确的是 (　 ) A.若|a|=|b|,则a∥b B.与非零向量a共线的单位向量有且仅有一个 C.长度不相等而方向相反的两个向量一定是平行向量 D.若|a|>|b|,则a>b [素养小结] (1)判断一个量是否为向量应从两个方面入手: ①是否有大小;②是否有方向. (2)零向量和单位向量: ①零向量的模为0,方向是任意的; ②所有单位向量的模均为1,但方向不一定相同. ◆ 探究点二　向量的几何表示 例2 图中1个单位长度表示1 km,某人从点A出发,向西走了2 km后到达点B,然后改变方向,沿北偏西一定角度的方向走了2 km到达点C,再向东走2 km后到达点D,且点D在点B的正北方向. (1)作出,,; (2)求的模. 变式 在如图所示的方格纸(每个小方格的边长为1)中,已知向量a. (1)试以B为起点画一个向量b,使|b|=|a|,且b与a的方向相同; (2)画一个以C为起点的向量c,使|c|=2,并说出c的终点的轨迹是什么. [素养小结] 向量用有向线段表示,要注意有向线段的起点、终点和方向. ◆ 探究点三　相等向量与共线向量 例3 [2024·江苏南京师大附中高一期末] 设点O是正三角形ABC的中心,则向量,,是 (　 ) A.共始点的向量 B.模相等的向量 C.共线向量 D.相等向量 例4 如图所示,O是正六边形ABCDEF的中心. (1)与的模相等的其他向量有多少个? (2)是否存在与的模相等、方向相反的向量?若存在,有几个? (3)与共线的其他向量有几个? 变式 (多选题)如图,在正六边形ABCDEF中,点O为其中心,则下列说法正确的是(　 ) A.= B.∥ C.||=|| D.||=|| [素养小结] 解决此类问题时,必须要把握好零向量、相等向量、平行向量的概念及相互关系. 1.下列说法中正确的是 (　 ) A.两个单位向量一定相等 B.两个相等向量的起点、方向、长度必须都相同 C.共线的单位向量必相等 D.若a与b不共线,则a与b都是非零向量 2.设e是单位向量,=e,=-e,||=1,则四边形ABCD是 (　 ) A.梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形 3.在梯形ABCD中,AB∥CD,E,F分别是AD,BC的中点,则下列结论中错误的是 (　 ) A.与是共线向量 B.与是共线向量 C.与是共线向量 D.与是共线向量 4.[2023·山东菏泽东明一中高一月考] 若一架飞机向西飞行150 km,再向南飞行350 km,记飞机飞行的路程为s,位移为a,则 (　 ) A.s>|a| B.s=|a| C.s<|a| D.s与|a|不能比较大小 5.如图,B是线段AC的中点,若以图中各点分别为起点和终点,则最多可以写出　　　　个互不相等的非零向量.  6.1　平面向量及其线性运算 6.1.1　向量的概念 【课前预习】 知识点一 1.方向　距离　大小 2.(1)大小　方向　(2)大小　(3)①大小　向量的方向 　||　② ,,　(4)终点　0　一个点　1 诊断分析 (1)×　(2)×　(3)×　(4)×　[解析] (1)错误,温度是标量,不是向量.(2)错误,零向量的模为0.(3)错误,向量不能比较大小.(4)错误,有向线段都可以表示向量,但零向量不能用有向线段表示. 知识点二 1.大小　方向　2.相同　相反　a∥b　平行 诊断分析 1.√　[解析] 因为零向量与任意向量共线,所以该说法正确. 2.解:向量a与c不一定共线.因为零向量与任意向量都共线,所以当b=0时,向量a与c不一定共线. 【课中探究】 例1　(1)D　(2)C　[解析] (1)不管向量的方向如何,它们都不能比较大小,故A,B不正确;向量的大小即为向量的模,指的是有向线段的长度,与方向无关,故C不正确;向量的模是一个数量,可以比较大小,故D正确.故选D. (2)对于A选项,由|a|=|b|,无法确定a,b的方向,故A错误;对于B选项,与非零向量a共线的单位向量有两个,与a方向相同和相反,故B错误;对于C选项,长度不相等而方向相反的两个向量一定是平行向量,故C正确;对于D选项,向量a,b不能比较大小,故D错误.故选C. 例2　解:(1)根据题意可知,点B的坐标为(-2,0). 因为点D在点B的正北方向,所以CD⊥BD, 又||=2 km,||=2 km,所以||=2 km,所以D(-2,2),C(-4,2), 故,,如图所示. (2)作出向量,如图, 由题意可知,CD∥AB且||=||=2 km, 所以四边形ABCD是平行四边形, 所以||=||=2 km, 所以的模为2 km. 变式　解: (1)根据相等向量的定义,所作向量b应与a同向,且长度相等,如图所示. (2)由平面几何知识可作满足条件的向量c,所有这样的向量c的终点的轨迹是以点C为圆心,2为半径的圆,如图所示. 例3　B　[解析] 因为点O是正三角形ABC的中心,所以AO=BO=CO,所以,,是模相等的向量;显然表示向量,,的有向线段的始点不同;向量,,显然不是共线向量;向量,,的方向不同,不是相等向量.故选B. 例4　解:(1)与的模相等的线段是六条边和六条半径(即OA,OB,OC,OD,OE,OF),而每一条线段可以构造2个与的模相等的向量,所以与的模相等的向量共有23个. (2)存在,由正六边形的性质知,BC∥AD∥EF, 所以与的模相等、方向相反的向量有,,,,共4个. (3)由(2)知,BC∥OA∥EF,线段OD,AD与OA在同一条直线上, 所以与共线的向量有,,,,,,,,,共9个. 变式　ABC　[解析] 设正六边形ABCDEF的边长为a.对于A,由正六边形的性质可得AB与OC平行且相等,又与的方向相同,所以=,故A正确;对于B,由正六边形的性质可得AB与DE平行,即∥,故B正确;对于C,在正六边形ABCDEF中,AD=BE=2a,即||=||,故C正确;对于D,在正六边形ABCDEF中,AC=a,BE=2a,则||≠||,故D错误.故选ABC. 【课堂评价】 1.D　[解析] 两个单位向量不一定相等,因为它们的方向不一定相同,故A错误;两个相等向量的方向相同,长度也相同,但是起点不一定相同,故B错误;共线的单位向量不一定相等,共线的单位向量的方向可能相反,故C错误;当a与b不共线时,a与b都是非零向量,故D正确.故选D. 2.B　[解析] 因为=e,=-e,所以=-,即∥,||=||,所以四边形ABCD是平行四边形,因为||=||=1,所以四边形ABCD是菱形.故选B. 3.D　[解析] 因为AE与BF不平行,所以与不是共线向量.故选D. 4.A　[解析] 设该飞机初始位置为A,向西飞行150 km到达B处,再向南飞行350 km到达C处,则AB=150 km,BC=350 km,所以a=,则飞机飞行的路程s=AB+BC=350+150=500(km),|a|===50(km),所以s>|a|.故选A. 5.4　[解析] 设线段AC的长度为2,则长度为1的向量有,,,,其中=,=,所以长度为1的互不相等的非零向量有2个;长度为2的向量有,,所以长度为2的互不相等的非零向量有2个.故最多可以写出4个互不相等的非零向量. 学科网（北京）股份有限公司 $