6.1.2 向量的加法-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学必修第二册学习手册（人教B版）

第六章 平面向量初步 学 学 习 目 标 1. 掌握向量的加法运算， 并理解其几何 意义 . 2. 会用向量加法的三角形法则和平行四 边形法则作两个向量的和向量， 培养数形结 合解决问题的能力 . 3. 通过将向量运算与熟悉的数的运算进 行类比， 使学生掌握向量加法运算的交换律 和结合律， 并会用它们进行向量运算， 渗透 类比的数学方法 . 要 点 精 析 要点 1 向量加法的三角形法则 （ 1 ） A !" B 的终点与 B !" C 的始点相同 ， 则 A !" C 为两个向量的和向量， 表示为 A !" C =A !" B + B !" C . 当 A !" B 与 B !" C 不共线时， 三个向量构成一 个三角形 . （ 2 ） a ， b ， a+b 不共线时， ｜｜a ｜-｜b ｜｜<｜a+ b｜<｜a｜+｜b｜. （ 3 ） a ， b ， a+b 共线时， ｜a+b｜=｜a｜+｜b｜ 或 ｜a+b｜=｜｜a｜-｜b｜｜. 思考 在向量加法的三角形法则中 ， 若 a 与 b 共线， 请作出 a+b. 例 1 如图 6-1-6 ， 给出了向量 a ， b ， 请作出向量 a+b. 分析 由向量加法的三角形法则， 将 向量平移到 a 的终点与 b 的始点相同 . 解： 作图如图 6-1-7. 变式训练 1 给出下列等式： ①A !" B +B !" A =0 ； ②A !" C =D !" C +A !" B +B !" D ； ③O !" A +A !" C +A !" O +C !" O =0 ； ④A !" B +C !" A +B !" D +D !" C =0. 其中等式成立的个数为 （ ） A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 例 2 若 ｜a｜=2 ， ｜b｜=3 ， 求 ｜a+b｜ 的取值范围 . 分析 由向量加法法则， 有 ｜｜a｜-｜b｜｜≤ ｜a+b｜≤｜a｜+｜b｜ ， 当且仅当 a ， b 方向相同时， ｜a+b｜= ｜a｜+｜b｜ ； 当且仅当 a ， b 方向相反时， ｜a+b｜= ｜｜a｜-｜b｜｜. 解： 由于 ｜｜a｜-｜b｜｜≤｜a+b｜≤｜a｜+｜b｜ ， 因此 1≤ ｜a+b｜≤5. 当且仅当 a ， b 方向相同时， ｜a+b｜= 5 ； 当且仅当 a ， b 方向相反时， ｜a+b｜=1. 要点 2 向量加法的平行四边形法则 A !" B 的始点与 A !" C 的始点相同， 以 AB 和 AC 为邻边作平行四边形 ABDC ， 则 A !" D 为两 6.1.2 向量的加法 a b 图 6-1-6 a bb a+b 图 6-1-7 69 学 高 中 数 学 必 修 第二册 （人教 B 版） 精编版 个向量的和向量， 表示为 A !" D =A !" B +A !" C . 思考 两个向量共线时， 能用平行四 边形法则求它们的和吗？ 例 3 如图 6-1-8 ， 给出了向量 a ， b ， 请作出向量 a+b. 分析 将两个向量平移到始点相同， 过终点作平行线， 得到平行四边形 . 解： 作图如图 6-1-9. 变式训练 2 如图 6-1-10 所示， 试分别作出向量 B !" A +B !" C ， C !" A +C !" B ． 数 学 文 化 可以通过向量的运算进行一些几何结论 的证明， 简洁、 直观地体现了向量的工具和 桥梁作用 . 例 证明： 以任意三角形的三中线为边 可以作一个三角形 . 分析 可以通过不共线的三个向量之 和为零向量来证明线段可以构成三角形 . 证明 ： 在 △ABC 中 ， D ， E ， F 为 BC ， AC ， AB 的中点， ∵2A !" D =A !" B +A !" C ， 2B !" E = B !" A +B !" C ， 2C !" F =C !" A +C !" B ， ∴2A !" D +2B !" E +2C !" F =A !" B +A !" C +B !" A +B !" C + C !" A +C !" B =0. 即以任意三角形的三中线为边可以作一 个三角形 . a b a b a + b 图 6-1-8 图 6-1-9 C A B 图 6-1-10 70 高 中 数 学 必 修 第二册 （人教 B 版） 精编版 ① 当点 C 位于点 C 1 或 C 2 时 ， | B !" C | 取得最小值 1 2 +2 2 姨 = 5 姨 ； ② 当点 C 位于点 C 5 或 C 6 时 ， | B !" C | 取得最大值 4 2 +5 2 姨 = 41 姨 ； ∴| B !" C | 的最大值为 41 姨 ， 最小值为 5 姨 . 6.1.2 向量的加法 学习手册 变式训练 1 C 【解析】 由向量加法的三角形法则可知 ① 对； D !" C + A !" B + B !" D = D !" C + A !" D = A !" D + D !" C = A !" C ， ② 对； O !" A + A !" C + A !" O + C !" O = O !" C + C !" O + A !" O = A !" O ， ③ 错； A !" B + C !" A + B !" D + D !" C = C !" A + A !" D + D !" C = C !" D + D !" C =0 ， ④ 对 . 故选 C. 变式训练 2 解： 如图， 以 BA ， BC 为邻边作平行四边形 ABCE ， 根据平行四边形法则， 可知B !" E = B !" A + B !" C . 以 CB ， CA 为 邻边作平行四边形 ACBF ， 根据平行四边形法则， 可知 C !" F = C !" A + C !" B . 随堂练习 1. B 【解析】 O !" P + P !" Q + P !" S + S !" P = O !" Q +0= O !" Q . 故选 B. 2. D 【解析】 ∵ A !" C = A !" B + A !" D ， 且A !" C = A !" B + B !" C ， ∴ A !" D = B !" C ， 即 AD=BC ， 且 AD∥BC ， ∴ 四边形 ABCD 一 组对边平行且相等， 故为平行四边形 . 故选 D. 3. ABD 【解析 】 选项 A ， 正确 ； 在平行四边形 ABCD 中， BC∥AD ， 且 BC=AD ， ∴ B !" C = A !" D ， 故 B 正确； A ， B ， C ， D 四点可能共线， 故 C 错误； 根据向量的三 角不等式， 可知 D 正确 . 故选 ABD. 4. 2 【解析】 由 |a+b|≤|a|+|b| 知， |a+b| 的最大值为 2. 5. 解 ： 在平面内任取一点 O ， 作O !" A =a ， A !" B =b ， B !" C =c ， 如图， 则由向量加法的三角形法则， 得O !" B =a+b ， O !" C =a+ b+c ， 则O !" C 即为所作向量 . 练习手册 效果评价 1. 解： 用向量加法的三角形法则 . 2. 解： 先计算两个向量之和， 之后加上第三个向量 . 3. 解： 将两向量始点和终点相连， 连接第一个向量 的始点和最后一个向量的终点， 如图 . 4. BCD 【解析】 由向量加法的平行四边形法则可知 a+b≠c ， 由向量加法的三角形法则可知 b+c=a ， 移项有 a-b=c ， a-c=b. 故选 BCD. 5. B 【解析】 D !" C=F !" A， Ａ !" Ｂ+D !" C=F !" A+Ａ !" Ｂ=F !" B， F !" Ｂ+E !" F= E !" Ｂ. 故选 B. 6. D 【解析】 a+b=c ， a+b+c=c+c ， |c|= 2 姨 ， ∴|a+b+c|= 2 2 姨 . 故选 D. 7. 解： Ａ !" D+B !" D+C !" A+D !" Ｂ=C !" A+A !" D+D !" B+B !" D=C !" D. 8. 解： ∵2Ａ !" D=Ａ !" B+Ａ !" C， 且Ａ !" B， Ａ !" C不共线， ∴|Ａ !" C|- |Ａ !" B|<2|Ａ !" D|<|Ａ !" B|+|Ａ !" C| ， 即 1<2|Ａ !" D|<5 ， ∴ 1 2 <|Ａ !" D|< 5 2 . 9. 证明： 在 △ABE 中， E !" A+Ａ !" B=E !" B， 在△CDE 中， E !" D+D !" C=E !" C， ∴E !" B+E !" C=E !" A+Ａ !" B+E !" D+D !" C. ∵E !" A+E !" D=0 ， ∴ E !" B+E !" C=Ａ !" B+D !" C. 10. 解： 如图， 借助几何直观可知答案为 v 0 . F E C A B 变式训练 2 答图 第 1 题答图 b a a+b 第 2 题答图 第 3 题答图 a+b+c b c a a b b+a C O A B a b c a+b+c a+b 第 5 题答图 78 参 考 答 案 提升练习 11. B 【解析】 根据向量加法的几何意义， 可知A !" B + B !" C = A !" C ， 故 ① 不正确， ② 正确； 由三角形的两边之和大 于第三边， 可知 | A !" B |+| B !" C |>| A !" C | ， 故 ③ 正确， ④ 不正确 . 故选 B. 12. 矩形 【解析】 由向量加法的平行四边形法则可 知， ∵| B !" C + B !" A |=| B !" C + A !" B | ， ∴| B !" D |=| A !" C | ， 即平行四边形 ABCD 的两条对角线相等， 因此， 四边形 ABCD 为矩形 . 13. ACD 【解析】 当 a+b=0 时， 知 A 不正确； 由向 量加法的三角形法则知 B 正确； 当 A ， B ， C 三点共线 时， 知 C 不正确； 当向量 a 与向量 b 方向不相同时， |a+ b|≠ |a|+|b| ， 故 D 不正确 . 故选 ACD. 14. 证明： A !" B = A !" P + P !" B ， A !" C = A !" Q + Q !" C ， ∴ A !" B + A !" C = A !" P + P !" B + A !" Q + Q !" C . ∵ P !" B 和Q !" C 大小相等、 方向相反， ∴ P !" B + Q !" C =0 ， 故A !" B + A !" C = A !" P + A !" Q +0= A !" P + A !" Q . 15. 解： 如图， A !" B 表示无风时雨滴 的下落速度， A !" D 表示东风的风速 . 由向 量加法的平行四边形法则， 知有东风时雨 滴的下落速度为A !" C = A !" B + A !" D . 又 ∵| A !" B |= 2 3 姨 m/s ， | B !" C |=| A !" D |=2 m/s ， ∴| A !" C |= （ 2 3 姨 ） 2 +2 2 姨 =4 （ m/s ）， ∠BCA=60°. 故雨滴沿向下偏 西， 与地面成 60° 角的方向， 以 4 m/s 的速度着地 . 6.1.3 向量的减法 学习手册 变式训练 1 解： （ 1 ） 在正方形 ABCD 中， a-b= A !" B - B !" C = A !" B - A !" D = D !" B . （ 2 ） 如图 ， 过点 B 作 BF∥ AC ， 交 DC 的延长线于点 F ， 连 接 AF ， 则四边形 ABFC 为平行四 边形 ， 故 a+c= A !" B + A !" C = A !" F . 在 △ADF 中， D !" F = A !" F - A !" D =a-b+c ， 故D !" F 即为所求 . 变式训练 2 解： 若 a+b 与 a-b 垂直， 即平行四边形 ABCD 的两 条对角线互相垂直， 则只需满足四边形 ABCD 为菱形， ∴a ， b 满足 |a|=|b| 即可 . 变式训练 3 解： ∵| A !" B |=10 ， | A !" C |=7 ， ∴3=|| A !" C |-| A !" B ||≤| B !" C |= | A !" C - A !" B |≤| A !" C |+| A !" B |=17 ， 当且仅当A !" B ， A !" C 同向时 | B !" C | 取得最小值 3 ， 反向时 | B !" C | 取得最大值 17. 随堂练习 1. D 【解析】 C !" A = B !" A - B !" C =a-b. 故选 D. 2. A 【解析】 D !" C = D !" A + A !" B + B !" C =a-b+c. 故选 A. 3. B 【解析 】 ∵O ， E ， F 三点不共线 ， ∴ 在 △OEF 中， 由向量减法的几何意义， 得E !" F = O !" F - O !" E . 故选 B. 4. ①②④ 【解析】 当 a ， b 方向相同时有 |a|+|b|=|a+ b| ， ||a|-|b||=|a-b| ， 当 a ， b 方向相反时有 ||a|-|b||=|a+b| ， |a|+|b|=|a-b|. 因此 ①②④ 为真命题 . 5. 解： （ 1 ） 由图可知F !" B =- B !" F =- （ b+c+d+e ） . （ 2 ） 由图可知C !" G =c+d+e+ F !" G =c+d+e- B !" C =c+d+e-b. 练习手册 效果评价 1. 解： 将 a ， b 平移到始点相同， 运用向量减法法 则作出 b-a 如图所示 . 2. 解： 将 a ， b 平移到始点相同， 运用向量减法法 则作出 b-a ， 再对 b-a 与 c 做减法 . 如图 . 3. 解： 将 a ， b 平移到始点相同， b-a 的方向由 a 的 终点指向 b 的终点 . 如图 . C A B D 第 15 题答图 F C A B D a b c a - b a-b+c 变式训练 1 答图 第 1 题答图 a b b-a 第 2 题答图 第 3 题答图 a b b-a b-a c b-a-c b-a b -a 第 10 题答图 79