精品解析：河南省濮阳市范县杨集乡第二中学2025-2026学年上学期九年级月考数学试卷

九年级数学人教版 （考试时间：100分钟，满分：120分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围为（ ） A. B. 且 C. 且 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义；根据题意得且，即可求得结果． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴且， 解得：且， 故选：B． 2. 若点和点关于原点对称，则的值为（ ） A. 1 B. C. 8 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的特征，求代数式的值，熟练掌握关于原点对称的点横、纵坐标都互为相反数是解题的关键．根据关于原点对称的点的特征，分别列出关于的方程，求出的值即可求解． 【详解】解：∵点和点关于原点对称， ∴，， 解得，， ∴． 故选：A． 3. 已知二次函数与一次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键；原不等式可转化为，表明二次函数的图象位于一次函数的图象下方，观察图象即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 上式表示二次函数的图象位于一次函数的图象下方， 观察图象知，， 即不等式的解集为， 故选：C． 4. 有5张背面完全相同的卡片，正面写有：①，②，③，④，⑤将卡片背面朝上放置，随机从中抽取一张，则卡片上的函数的图象关于轴对称的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查求概率，二次函数性质，反比例函数性质等．根据题意可知，，三个函数关于轴对称，继而求出本题答案． 【详解】解：∵，，三个函数关于轴对称， ∴卡片上的函数的图象关于轴对称的概率为， 故选：A． 5. 如图，将矩形绕点旋转一定角度得到矩形，使得点恰好落在边上，若，则的长为（   ） A. 3 B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，旋转的性质及勾股定理；由旋转的性质得，由矩形性质得，由勾股定理求得，由即可求解． 【详解】解：由旋转的性质得， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得， ∴， 故选：D． 6. 如图，扇形是圆锥的侧面展开图，且扇形半径，圆心角，则此圆锥的高（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形的弧长公式，勾股定理，先根据圆锥的侧面展开图，扇形的弧长等于该圆锥的底面圆的周长，求出，最后用勾股定理即可得出结论. 【详解】解：设圆锥底面圆的半径为r， ∵，， ∴， ∴，即， 在中，， ∴， 故选：B． 7. 若反比例函数的图象过点，则一次函数的图象过（ ） A. 第一，二，三象限 B. 第一，二，四象限 C. 第二，三，四象限 D. 第一，三，四象限 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，一次函数图象经过的象限；由题意可求得n的值，则可得一次函数的解析式，从而可确定一次函数图象经过的象限． 【详解】解：∵反比例函数的图象过点， ∴， ∴， ∴一次函数为， ∵一次函数式中一次项系数6为正数，常数项6为正数， ∴一次函数的图象经过第一，二，三象限， 故选：A． 8. 如图，点的坐标为，与是位似图形，则位似中心的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了位似图形中位似中心的确定，“位似图形对应点的连线经过位似中心” ，据此即可求解． 【详解】解：如图，作直线交直线于点， ∴点的坐标为，与是位似图形， ∴位似中心的坐标为． 故选：C 9. 若点，在双曲线上，且，则比较与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了比较反比例函数值的大小，熟练掌握反比例函数的增减性是解题的关键．根据反比例函数的性质可知，双曲线经过第二、四象限，且在每个象限内随的增大而增大，据此即可求解． 【详解】解：∵， ∴双曲线经过第二、四象限，且在每个象限内随的增大而增大， ∵点，在双曲线上，且， ∴． 故选：A． 10. 按如下步骤操作：如图，在中，平分．第一步：分别以点，为圆心，大于的长为半径在两侧作弧，交于，两点．第二步：连接，分别交，于点，．第三步：连接，．若，，，则（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图、菱形的性质与判定、平行线分线段成比例定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．先证明四边形为菱形，得到，再利用平行线分线段成比例定理即可得出答案． 【详解】解：如图， 由作图可得，垂直平分， ∴，，， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形， ∴， ∴，即， 解得． 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 二次函数中与的部分对应值如下表所示，则该函数图像的对称轴是________． … 0 1 … … … 【答案】直线 【解析】 【分析】本题主要考查了根据二次函数的对称性求对称轴，二次函数图象上纵坐标相同的两个不同点关于二次函数的对称轴对称，据此结合表格中的数据求解即可． 【详解】解：由表格可知，当时和当时的函数值都为， ∴该函数的对称轴为直线， 故答案为：直线． 12. ，，三人各自随机选择甲、乙两个献血站进行爱心献血，则这三个人在同一个献血站献血的概率为 ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用画树状图法求随机事件的概率；关键是正确画树状图，不重不漏的表示出所有等可能的结果． 首先根据题意画树状图，然后根据树状图即可求得所有等可能的结果和满足条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图得： 由上图可知，共有8种等可能情况，其中三个人在同一献血站有2种可能情况， ∴． 故答案为： ． 13. 如图，点在上，点，分别在线段和上，和是的两条切线，，．若，则的度数为________ 【答案】 【解析】 【分析】先利用切线长定理得出，再利用等边对等角得到，然后利用三角形内角和定理求得，再证明，结合三角形内角和定理与平角的意义，证得即可． 【详解】解：∵和是的两条切线， ∴， ∴， ∵， ∴， 又，， ∴， ∴，， 又， ∴， 又， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理的应用，全等的性质和综合（），等边对等角，应用切线长求解，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 14. 如图，的内接三角形是，，，是直径，，则的长为________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余，勾股定理．连接，，由，，可知，求出．由含角的直角三角形得出的长，再由勾股定理得出的长． 【详解】解：连接， 是直径， ． ，， ． 是的内接三角形， ． ． ． ， ． ． 故答案为：． 15. 如图，一次函数（，为常数，）的图像与反比例函数（为常数，且）的图像在第二象限交于点，在第四象限交于点，过点作轴于．那么不等式的解集为________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查不等式的解集与函数图像交点的问题，不等式的解集为一次函数的图像在反比例函数的图像下方对应的自变量x的取值，根据图像即可解答． 【详解】解：∵一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，， ∴由图像可得，不等式的解集为或． 故答案为：或． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，（1）利用配方法解方程即可； （2）利用因式分解求解即可． 【小问1详解】 解：， 移项得， 系数化为1得，， 配方得，， 即， 开平方得，， ∴，； 【小问2详解】 解：， 移项得，， 因式分解得，， ∴，． 17. 某校在新冠疫情期间，开展线上教学，有“录播”和“直播”两种教学方式供学生选择其中一种，为分析该校学生线上学习情况，在接受这两种教学方式的学生中各随机抽取人调查学习参与度，数据整理结果如下表（数据分组包含左端值不包含右端值）． 录播 7 直播 6 （1）你认为哪种教学方式学生的参与度更高？简要说明理由． （2）从选择直播的学生中任意抽取一位学生，估计该学生的参与度在及以上的概率是多少？ （3）该校共有名学生接受这两种教学方式，选择“录播”和“直播”的人数之比是，估计参与度在以下的共有多少人? 【答案】（1） 解：“直播”教学方式，学生的参与度更高． 理由：“直播”参与度在及以上的人数为，“录播”参与度在及以上的人数为，参与度在及以上的“直播”人数多于“录播”人数：“直播”教学方式学生的参与度更高． （2）从选择“直播”的学生中任意抽取一位学生，估计该学生的参与度在及以上的概率是 （3）参与度在以下的学生共有人 【解析】 【分析】本题考查了由样本所占百分比估计总体的数量，根据概率公式计算概率，由频率估计概率，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）根据表格数据得出两种教学方式参与度在以上的人数，比较即可作出判断； （2）用表格中“直播”教学方式学生参与度在以上的人数除以被调查的总人数即可估计对应概率； （3）先根据“录播”和“直播”的人数之比为及该校学生总人数求出“直播”、“录播”人数，再分别乘以两种教学方式中参与度在以下人数所占比例求出对应人数，再相加即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： 答：从选择“直播”的学生中任意抽取一位学生，估计该学生的参与度在及以上的概率是． 【小问3详解】 解：选择“录播”的学生人数为人， 选择“直播”的学生人数为人， 人， 估计参与度在以下的学生共有人． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出绕原点逆时针方向旋转后得到的． （2）求旋转过程中，点经过的路径有多长？线段扫过的图形的面积是多少？ 【答案】（1） 即为所求作： （2）； 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转作图，弧长的计算，扇形面积计算，熟练掌握旋转的性质，是解题的关键． （1）先作出点M、B绕点O旋转后的对应点、，然后再顺次连接即可； （2）根据弧长公式和扇形面积公式进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：点经过的路径长为：； 线段扫过的图形的面积是． 19. 某超市如果将进价为每件8元的商品按每件10元出售，那么每天可销售200件，现采用提高售价、减少进货量的方法增加利润，如果这种商品每件的售价每涨1元，那么每天的销售量就会减少20件，若设每件商品的售价定为元． （1）每天的销售量为多少件？（用含的代数式表示） （2）每件售价应定为多少元，才能使每天获得640元的利润，并尽量减少进货量？ 【答案】（1）件 （2）每件商品的售价应定为16元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，正确列出一元二次方程是解题的关键； （1）原来每天的销售量减去因涨价减少的销售量即为现在每天的销售量； （2）根据利润等于每天的销售量与单件利润的积，列出一元二次方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：每天的销售量为件； 答：每天的销售量为件； 【小问2详解】 解：由题意得：， 整理得：， 解得：，， 要尽量减少进货量， ∴取， 答：每件商品的售价应定为16元． 20. 如图，已知抛物线对称轴为直线，且与轴交于点，与轴交于点． （1）求此抛物线的解析式． （2）在抛物线上，若点与点之间有一动点（不与点，点重合），当的面积最大时，求此时点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象与性质，二次函数最值问题，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）运用待定系数法求出直线的解析式为，作轴于，交直线于，设，则，求出，得出，根据二次函数的性质可得结论． 【小问1详解】 解：抛物线对称轴是直线且抛物线经过点 抛物线与轴的另一个交点为 设抛物线的解析式为 把代入得 抛物线的解析式为 【小问2详解】 解：设直线的解析式为 ，在函数图象上 ， 解得， 直线的解析式为， 作轴于，交直线于 设，则 当时， 当的面积最大时，点的坐标为 21. 在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b和反比例函数的图象都经过点A（3，m），B（n，-3）． （1）求n的值和一次函数的表达式； （2）不等式的解集是 ． 【答案】（1）n＝2，y＝x-5 （2）x≥3或0＜x≤2 【解析】 【分析】（ 1）先由A（3，m），B（n，-3）在反比例函数的图象上求出m＝-2，n＝2，得A（3，-2），B（2，-3），再代入y＝kx+b，即可得一次函数的表达式为y＝x-5； （2 ）画出大致图象，数形结合即可得到不等式的解集． 【小问1详解】 解：将A（3，m），B（n，-3）代入得： m＝，-3＝-，解得m＝-2，n＝2， ∴A（3，-2），B（2，-3）， 将A（3，-2），B（2，-3）代入y＝kx+b得： ，解得， ∴一次函数的表达式为y＝x-5； 【小问2详解】 解：图象大致如图： 根据图象可得，不等式的解集是x≥3或0＜x≤2， 故答案为：x≥3或0＜x≤2． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的综合应用，利用函数图象解不等式，掌握待定系数法和数形结合的运用是解题的关键． 22. 如图，△ABC和△AED是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，点D、E在∠BAC的外部，连结DC，BE． （1）求证：BE=CD； （2）若将△AED绕点A旋转，直线CD交直线AB于点G，交直线BE于点K． ①如果AC=8，GA=2，求GC·KG的值； ②当△BED为等腰直角三角形时，请你直接写出AB∶BD的值． 【答案】 （1）证明：∵∠BAC=∠EAD=90° ∴∠BAC+∠BAD=∠EAD+∠BAD ∴∠CAD=∠BAE 在△BAE和△CAD中 ∴△BAE≌△CAD ∴BE=CD （2）①12或20；② 【解析】 【分析】(1)证明△BAE≌△CAD即可；（2）①分“点G在线段AB上”和“点G在线段AB延长线上”两种情况进行讨论；②当∠EFB=90°时，AB：BF=. 【详解】解：（1） 略 （2）①当点G在线段AB上时（如图27-a） ∵△BAE≌△CAD ∴∠ACD=∠ABE 又∵∠CGA=∠BGK ∴△CGA∽△BGK ∴ ∴ ∵AC=8 ∴AB=8 ∵GA=2 ∴GB=6 ∴ 当点G在线段AB延长线上时（如图b） ∵△BAE≌△CAD ∴∠ACD=∠ABE 又∵∠BGK=∠CGA ∴△CGA∽△BGK ∴ ∴ ∵AC=8 ∴AB=8 ∵GA=2 ∴GB=10 ∴ ②当∠EFB=90°时，AB：BF= 【点睛】考点：1.全等三角形的性质与判定；2.相似三角形的性质与判定. 23. 某草莓种植大棚基地研发种植一种巧克力奶油草莓的成本为每株4元，一共投入了160万元研发这种巧克力奶油草莓，在销售的过程中发现：每年的年销售量（万株）与销售价格（元/株）的关系如图所示，其中为一次函数图象的一部分，为反比例函数图象的一部分，设公司销售这种巧克力奶油草莓的年利润为（万元）．（说明：若上一年亏损，则亏损计入下一年的成本，反之不计入） （1）请直接写出与之间的函数关系式． （2）求出第一年年利润的最大值． （3）根据基地巧克力奶油草莓第一年按恰好年利润取得最大值时进行销售，在第二年将这种巧克力奶油草莓每株销售价格定在8元以上，当第二年的年利润不低于103万元时，直接写出销售价格的取值范围． 【答案】（1） （2）万元 （3） 【解析】 【分析】（1）分及两种情况，分别用待定系数法即可求解； （2）分及两种情况，求出各自范围内利润的最大值，再进行比较即可确定利润的最大值； （3）列出w关于n的二次函数关系式，再令年利润等于103，解一元二次方程并结合图像性质即可得出答案． 【小问1详解】 解：当时，反比例函数图象过点， 设反比例函数解析式为， 把点代入反比例函数解析式中，得：， 解得：， ∴当时，反比例函数解析式为：； 当时，线段过点，， 设线段的解析式为， 则，解得：， ∴当时，线段的解析式为， 综上，与之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：当时， ， 当时，取得最大值为； 当时，， 整理得：， 当时，取得最大值为； 而， 最大利润为万元， 即第一年年利润的最大值万元； 【小问3详解】 解：第一年的年利润为万元应作为第二年的成本， 又∵， ∴第二年的年利润， 令，则， 解得：， 由于二次函数的图象开口向下，如图， ∴当时，， ∴当时，第二年的年利润不低于103万元． 【点睛】本题考查的是经济利润问题，涉及待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，一次函数与反比例函数的图象与性质，解一元二次方程等知识，属于中考常考题型，需要熟练掌握经济利润问题的相关公式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学人教版 （考试时间：100分钟，满分：120分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围为（ ） A. B. 且 C. 且 D. 2. 若点和点关于原点对称，则的值为（ ） A. 1 B. C. 8 D. 3. 已知二次函数与一次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 4. 有5张背面完全相同的卡片，正面写有：①，②，③，④，⑤将卡片背面朝上放置，随机从中抽取一张，则卡片上的函数的图象关于轴对称的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，将矩形绕点旋转一定角度得到矩形，使得点恰好落在边上，若，则的长为（   ） A. 3 B. 1 C. D. 6. 如图，扇形是圆锥的侧面展开图，且扇形半径，圆心角，则此圆锥的高（ ） A. B. C. D. 7. 若反比例函数的图象过点，则一次函数的图象过（ ） A. 第一，二，三象限 B. 第一，二，四象限 C. 第二，三，四象限 D. 第一，三，四象限 8. 如图，点的坐标为，与是位似图形，则位似中心的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 若点，在双曲线上，且，则比较与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 10. 按如下步骤操作：如图，在中，平分．第一步：分别以点，为圆心，大于的长为半径在两侧作弧，交于，两点．第二步：连接，分别交，于点，．第三步：连接，．若，，，则（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 7 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 二次函数中与的部分对应值如下表所示，则该函数图像的对称轴是________． … 0 1 … … … 12. ，，三人各自随机选择甲、乙两个献血站进行爱心献血，则这三个人在同一个献血站献血的概率为 ． 13. 如图，点在上，点，分别在线段和上，和是的两条切线，，．若，则的度数为________ 14. 如图，的内接三角形是，，，是直径，，则的长为________ 15. 如图，一次函数（，为常数，）的图像与反比例函数（为常数，且）的图像在第二象限交于点，在第四象限交于点，过点作轴于．那么不等式的解集为________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 解方程： （1） （2） 17. 某校在新冠疫情期间，开展线上教学，有“录播”和“直播”两种教学方式供学生选择其中一种，为分析该校学生线上学习情况，在接受这两种教学方式的学生中各随机抽取人调查学习参与度，数据整理结果如下表（数据分组包含左端值不包含右端值）． 录播 7 直播 6 （1）你认为哪种教学方式学生的参与度更高？简要说明理由． （2）从选择直播的学生中任意抽取一位学生，估计该学生的参与度在及以上的概率是多少？ （3）该校共有名学生接受这两种教学方式，选择“录播”和“直播”的人数之比是，估计参与度在以下的共有多少人? 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出绕原点逆时针方向旋转后得到的． （2）求旋转过程中，点经过的路径有多长？线段扫过的图形的面积是多少？ 19. 某超市如果将进价为每件8元的商品按每件10元出售，那么每天可销售200件，现采用提高售价、减少进货量的方法增加利润，如果这种商品每件的售价每涨1元，那么每天的销售量就会减少20件，若设每件商品的售价定为元． （1）每天的销售量为多少件？（用含的代数式表示） （2）每件售价应定为多少元，才能使每天获得640元的利润，并尽量减少进货量？ 20. 如图，已知抛物线对称轴为直线，且与轴交于点，与轴交于点． （1）求此抛物线的解析式． （2）在抛物线上，若点与点之间有一动点（不与点，点重合），当的面积最大时，求此时点的坐标． 21. 在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b和反比例函数的图象都经过点A（3，m），B（n，-3）． （1）求n的值和一次函数的表达式； （2）不等式的解集是 ． 22. 如图，△ABC和△AED是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，点D、E在∠BAC的外部，连结DC，BE． （1）求证：BE=CD； （2）若将△AED绕点A旋转，直线CD交直线AB于点G，交直线BE于点K． ①如果AC=8，GA=2，求GC·KG的值； ②当△BED为等腰直角三角形时，请你直接写出AB∶BD的值． 23. 某草莓种植大棚基地研发种植一种巧克力奶油草莓的成本为每株4元，一共投入了160万元研发这种巧克力奶油草莓，在销售的过程中发现：每年的年销售量（万株）与销售价格（元/株）的关系如图所示，其中为一次函数图象的一部分，为反比例函数图象的一部分，设公司销售这种巧克力奶油草莓的年利润为（万元）．（说明：若上一年亏损，则亏损计入下一年的成本，反之不计入） （1）请直接写出与之间的函数关系式． （2）求出第一年年利润的最大值． （3）根据基地巧克力奶油草莓第一年按恰好年利润取得最大值时进行销售，在第二年将这种巧克力奶油草莓每株销售价格定在8元以上，当第二年的年利润不低于103万元时，直接写出销售价格的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $