精品解析： 浙江省金华市义乌市佛堂镇初级中学2025-2026学年上学期九年级期中考试数学卷

2025~2026学年第一学期期中检测 九年级数学试题卷 一、选择题：（本大题有10个小题，每小题3分，共30分）． 1. 已知，下列变形错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，根据比例里，两个内项之积等于两个外项的积，对每一个选项进行分析判断即可． 【详解】解：A、与题干不符，故错误，本选项符合题意； B、，正确，本选项不符合题意； C、，正确，本选项不符合题意； D、，正确，本选项不符合题意． 故选：A． 2. 如图，点是的黄金分割点，即点满足，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 0.618 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，解题的关键是熟记黄金比的值进行计算．根据黄金比的值为求解即可． 【详解】解：∵点是的黄金分割点，即点满足， ∴为较长线段， 由，得， 故选：A． 3. 如图，是二次函数的图象，则与的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，解题的关键在于熟练掌握二次函数的图象和性质． 根据抛物线的开口大小与二次函数的二次项系数的关系直接得出即可． 【详解】解：由函数图象可知，的图象开口更小， 根据系数越大，开口越小， ； 故选：A． 4. 已知二次函数，那么它的图象一定不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】先根据题意判断出二次函数的对称轴方程，再令x=0求出y的值，进而可得出结论． 【详解】解：∵二次函数y=ax2-2x+2（a＞0）的对称轴为直线， ∴其顶点坐标在第一或四象限， ∵当x=0时，y=2， ∴抛物线一定经过第二象限， ∴此函数的图象一定不经过第三象限． 故选：C． 【点睛】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的对称轴方程是解答此题的关键． 5. 在中，．用无刻度的直尺和圆规任内部作一个角，下列作法中不等于的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据角平分线和线段垂直平分线的尺规作图、等腰直角三角形、直角三角形的性质、三角形外角的性质逐一判断即可．本题主要考查作图—复杂作图，解题的关键是掌握角平分线和线段垂直平分线的尺规作图与性质、直角三角形的性质． 【详解】解：A．此选项是作直角的平分线，则，不符合题意； B．如图， 此选项是作，由 ∴，不符合题意； C．此选项是作的垂直平分线，可知不一定等于，符合题意； D．此选项是作和的平分线可知，不符合题意； 故选：C． 6. 若关于x的不等式组无解，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出不等式组的解集，再由不等式组无解，可得关于m的不等式，即可求解． 【详解】解： 解不等式②得， ∵不等式组无解， ∴， 故选：C． 7. 如图，在中，，分别以、、为边在的同侧作正方形、正方形、正方形，点在边上．若，则阴影部分的面积和为（ ） A. 12 B. 9 C. 18 D. 15 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形，理解勾股定理与几何图形面积，掌握勾股定理的计算，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 根据题意，如图所示，连接，过点作于点，设交于点，交于点，可证，，，，阴影部分的面积为，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，过点作于点，设交于点，交于点， ∵，以、、为边在的同侧作正方形、正方形、正方形， ∴， ∵， ∴， 又，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又， ∴， ∴，， ∵， ∵，， ∴，即， ∵，，，， ∴， ∴，， ∵， 又，， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为， 故选：A ． 8. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点P为直线上的动点，以为边作等边，则的最小值为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图所示，过点A作轴于C，连接，先证明是等边三角形，进而证明，得到，过点P作轴于H，取中点T，连接，设，则，，证明是等边三角形，得到，进而推出，则点Q在直线上运动，过点O作交直线于E，则，由垂线段最短可知的最小值为2． 【详解】解：如图所示，过点A作轴于C，连接， ∵点A的坐标为， ∴， ∴， 取，连接， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点P作轴于H，取中点T，连接， 设， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴点Q在直线上运动， 过点O作交直线于E， ∴， ∴， ∴的最小值为2， 故选B． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，勾股定理，一次函数与几何综合，全等三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造全等三角形，从而确定点Q的运动轨迹是解题的关键． 9. 矩形中，，，连结，，分别在边，上，连结，分别交于点，，若，，则下列结论中：①；②；③；④；⑤；结论正确的有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理得与两个三角形所有内角相加为，结合矩形性质：每个内角都为即可判断①；利用勾股定理求出，利用矩形的性质证明，利用相似三角形相似比即可求出，从而判断②；利用矩形的性质及已知条件，证明，得到，进而说明，，得，再证明，即可求得，进而求得，再证明，即可求出，从而判断③④⑤． 【详解】解：，， ， ， ， ，， ， ，故①正确； ，， 在中， ， ， ， ， ，， ， ，故②正确； 在中，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ，， ， ， ， ，故③错误； ，故④错误； ，故⑤错误； 故选：B． 【点睛】本题考查矩形的性质、三角形内角和定理、勾股定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，属于中考选择题中的压轴题． 10. 如图，在中（），，点，分别是，上的动点，连接，，点和关于对称，点和关于对称，且点，都在所在的直线上．已知，设，．下列代数式的值不变的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，角平分线的性质，轴对称图形的性质，由轴对称的性质可得，则点E到和到的距离相等，利用等面积法可证明，同理可得，证明，求出，再证明，得到，即，据此可得． 【详解】解：由轴对称的性质可得， ∴分别平分， ∴点E到和到的距离相等， 设点E到的距离为h， ∴， ∴， 同理可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 故选：C． 二、填空题（本大题共6题，每小题3分，共18分） 11. 函数y=中，自变量x的取值范围是_______. 【答案】x≤2且x≠-1 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0，分式有意义的条件：分母不为0，列不等式组求出不等式的解集即可. 【详解】∵y=有意义， ∴， 解得：x≤2且x≠-1， 故答案为：x≤2且x≠-1 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，要使二次根式有意义，被开方数为非负数；要使分式有意义，分母不为0；正确求出不等式组的解集是解题关键. 12. 线段是线段、的比例中项，且，，则长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例中项的概念，根据两条线段的比例中项的平方是两条线段的乘积，列出方程是解决问题的关键． 【详解】解：∵线段是线段、的比例中项， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点为轴上的一点，将绕点按顺时针旋转至，反比例函数的图象经过点，过作交反比例函数图象于点，若的面积为，则的值为________ 【答案】 【解析】 【分析】根据，得到，是解答本题的关键．过B点作于E点，根据旋转的性质可得：，，即有是等边三角形，则有，，根据，可得，即可得，解方程可得（负值舍去），则有，问题随之得解． 【详解】解：过B点作于E点，如图， 根据旋转的性质可得：，， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象经过点B， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，反比例函数的性质，二次根式的运算等知识，作出合适的辅助线是解本题的关键． 14. 如图，正方形的顶点A，C在抛物线上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，n，则________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质、二次函数的性质等知识点，分别过点和点作轴的垂线，垂足分别为和，证得；由题意得：，进而得，即可求解； 【详解】解：分别过点和点作y轴的垂线，垂足分别为和， ∵， ∴； ∵， ∴； ∴； 由题意得：， ∴， ∴， 整理得：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：1 15. 如图，在坐标系中放置一菱形，已知，先将菱形沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转，连续翻转2025次，点B的落点依次为，，，…，则B2025的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的几何规律问题、菱形的性质等知识点，依据题意，正确归纳出规律是解题关键． 先利用菱形的性质、翻转的性质分别求出点坐标，再归纳总结出规律，由此即可得出答案． 【详解】如图，连接，交y轴于点D 四边形是菱形， ， 在中， 由翻转的性质得：旋转后的四边形仍是菱形，且边长为1 则点的横坐标为，纵坐标为，即 重合，它们的横坐标为，纵坐标为0，即 点的横坐标为，纵坐标为，即 点的横坐标为，纵坐标为，即 由翻转过程可知，每翻转6次，点B向右平移4个单位长度 的纵坐标为0，横坐标在横坐标的基础上加上，即为 则 故答案为：． 16. 如图，在矩形中，为对角线，点F在上，连接交于点E，且，； （1）则__________； （2）若，为等腰直角三角形，，则___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）设，，利用矩形的性质证明，利用相似三角形性质得到，进而得到，即可求得； （2）作于点，作于点，利用矩形的性质和等腰直角三角形得到，利用勾股定理算出，利用等面积法得到，利用解直角三角形得到，再利用等面积法得到，继而利用解直角三角形得到，证明，利用相似三角形性质建立等式求解，即可解题． 【详解】（1）解：， 设，， 四边形是矩形， ，，， ， ， ，则，解得， ， ， 故答案为：． （2）解：作于点，作于点， 为等腰直角三角形，，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 解得， ， 即， 解得， ， ， ， ， ， 即， 解得， ， ， ， ， ， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形性质和判定，勾股定理，等面积法，解直角三角形，熟练掌握相关性质并灵活运用，即可解题． 三、解答题（共8小题，满分72分） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，二次根式的运算． 先计算零指数幂，负整数指数幂，绝对值，并化简二次根式，再计算乘法，最后计算加减即可． 【详解】解： ． 18. 解方程： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程. 先将分式方程化为整式方程，再解方程，最后检验即可. 【详解】解： 经检验，是原分式方程的解 19. 已知在关于x，y的二元一次方程组中，x为非负数，y为负数． （1）求m的取值范围． （2）在（1）的条件下，若不等式的解集为，则整数m的值是多少？ 【答案】（1） （2） 整数的值是 【解析】 【分析】（1）先解二元一次方程组得到用表示的，再根据为非负数，为负数列出不等式组，求解得到的取值范围； （2）整理不等式后，根据解集判断系数的符号，得到的新范围，结合（1）的范围即可求出整数． 【小问1详解】 解：给定方程组， ，得， 解得； ，得， 解得． ∵为非负数，为负数， ∴， 解第一个不等式，得； 解第二个不等式，得． 因此的取值范围是． 【小问2详解】 解：整理不等式得， 当时，，不合题意； 当时，x不存在； 当时，， 此时， 结合（1）中，可得． 因此范围内的整数为． 20. 如图，在中，以为圆心，线段的长为半径画弧交边于点，连结，将沿直线对折使点落在处，交边于点． （1）求证：； （2）若，求的值． 【答案】（1） 证明：由作图可得， ∴， 由折叠可得：，， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查翻折的性质，等边对等角，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据等边对等角得到，然后根据翻折得到，，然后利用三角形的外角和角的和差解题即可； （2）先证明两个对应角相等得到，即可得到，然后代入计算解题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴，即， 又∵,， ∴， ∴． 21. 平面直角坐标系中，横坐标为2的点A在反比例函数y(k＞0)的图象上，过点A作AB⊥x轴于点B，． (1)求k的值； (2)在x轴的负半轴上找点P，将点A绕点P顺时针旋转90°，其对应点A落在此反比例函数第三象限的图象上，求点P的坐标； (3)直线yx+n(n＜0)与AB的延长线交于点C，与反比例函数图象交于点E，若点E到直线AB的距离等于AC，求n的值． 【答案】(1)k=8；(2)点P坐标为(﹣1，0)；(3)n的值为﹣3或． 【解析】 【分析】（1）设OAa，则AB＝2a，OB＝2，利用勾股定理解出a，得到A点，代入得到k即可；（2）过点A′作AG⊥x轴交于点G，设点P(a，0)，易证△PAB≌△A′PG，得到点A′的坐标为(a+4，a﹣2)，得(a+4)(a﹣2)＝8，解出a即可；（3）设线yx+n(n＜0)与AB和双曲线分别交于点C、点E(E′)，过点E(E′)作E(′E)F(F′)⊥AB交于点F(F′)，E点有两种情况，在第一象限或者第三象限，将直线表达式与反比例函数表达式联立，用n表示出EF，E到直线AB的距离为FE等于AC，得到方程解出n即可 【详解】解：(1)，设：OAa，则AB＝2a，OB＝2， 由勾股定理得：(a)2＝(2a)2+4，解得：a＝2， 则点A(2，4)， 则k＝2×4＝8； (2)点A绕点P顺时针旋转90°，点A对应点A′落在此反比例函数第三象限的图象上， 过点A′作AG⊥x轴交于点G，设点P(a，0)， ∵∠PAB+∠BPA＝90°，∠BPA+∠A′PG＝90°， ∴∠A′PG＝∠PAB， ∠ABP＝∠A′GP＝90°，PA＝PA′， ∴△PAB≌△A′PG(AAS)， ∴PG＝AB＝4，GA′＝PB＝2﹣a， 则点A′的坐标为(a+4，a﹣2)， 则(a+4)(a﹣2)＝8， 解得：a＝﹣1(正值已舍去) 故点P坐标为(﹣1，0)； (3)设线yx+n(n＜0)与AB和双曲线分别交于点C、点E(E′) 过点E(E′)作E(′E)F(F′)⊥AB交于点F(F′)， ①当直线与双曲线交点为E时， 则点C(2，1+n)，AC＝4﹣1﹣n＝3﹣n， 将直线表达式与反比例函数表达式联立并整理得：x2+2nx﹣16＝0， 解得：x＝﹣n±，则xE＝﹣n， 则EF＝﹣n2， E到直线AB的距离为FE等于AC， 则﹣n2＝3﹣n， 解得：n＝﹣3(正值已舍去)； ②当直线与双曲线交点为E′时， 同理可得：n； 故：n的值为﹣3或． 【点睛】本题考查反比例与几何的综合，涉及到全等三角形证明与性质、旋转性质等知识点，综合程度比较高，第三问的关键在于能搞找到E点的两种情况 22. 在平面直角坐标系中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“完美点”．抛物线（a为常数且）与y轴交于点A． （1）若，求抛物线的顶点坐标； （2）若线段（含端点）上的“完美点”个数大于3个且小于6个，求a的取值范围； （3）若抛物线与直线交于M、N两点，线段与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“完美点”，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象上点的特征．数形结合解题是解题的关键． （1）把代入后再将抛物线化成顶点式为，即可求顶点坐标； （2）根据整点个数的范围确定点A纵坐标的范围； （3）结合图象确定有4个“完美点”时a的最大和最小值，进而确定a的范围． 【小问1详解】 解：当时，抛物线． ∴顶点坐标． 【小问2详解】 令，则， ∴， ∵线段上的“完美点”的个数大于3个且小于6个， ∴“完美点”的个数为4个或5个． ∵， ∴当“完美点”个数为4个时，分别为，，，； 当“完美点”个数为5个时，分别为，，，，． ∴． ∴a的取值范围是． 【小问3详解】 根据， 得抛物线的顶点坐标为，过点，，． ∵抛物线与直线交于M、N两点，线段与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“完美点”， 显然，“完美点”，，符合题意． 下面讨论抛物线经过，的两种情况： ①当抛物线经过时，解得此时，，，． 如图所示，满足题意的“完美点”有，，，，共4个． ②当抛物线经过时，解得此时，，，． 如图所示，满足题意的“完美点”有，，，，，，共6个． ∴a的取值范围是． 23. 如图1，在正方形中，E为的中点，点 P 从点 B 出发，沿B→C→D匀速运动，同时点Q从点 E出发，沿E→B→C 匀速运动，点P的速度是每秒2个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度．当点P运动到点D时，P，Q两点同时停止运动，设点P运动的时间为，的面积为S．当点Q在上运动时，S关于t的函数图象是图2所示的抛物线的一段． （1）的长为_____；当点Q与点B重合时，的面积为_____． （2）当点Q在上运动时，求S关于t的函数解析式，并在图2的平面直角坐标系中画出该函数的图象． （3）若存在3个时刻 其对应的 的面积均相等，且 求的值． 【答案】（1）4，8 （2），图见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查动点问题的函数图象，二次函数的图象与性质； （1）由函数图象可得，当时，，此时与重合，则，得到； （2）当点Q在上运动时，点在上运动，，，，，根据计算即可； （3）由图（2）中函数图象可得，当存在3个时刻 其对应的 的面积均相等，，其中，再根据和的函数值相等，且都在上，得到，求出，即可求出3个时刻 其对应的 相等的面积，再代入计算求出即可． 【小问1详解】 解：∵正方形中，E为的中点， ∴， 由函数图象可得，当时，，此时与重合，则， ∴， 故答案为：4，8； 【小问2详解】 解：当时，与重合，此时运动的路程，即与重合， ∴当点Q在上运动时，点在上运动， ∵当点P运动到点D时，P，Q两点同时停止运动， ∴， ∴当点Q在上运动时，点在上运动，， ∴，，， ∴ ， ∴当点Q在上运动时，， 函数图象为： 【小问3详解】 解：由图（2）中函数图象可得，当存在3个时刻 其对应的 的面积均相等，，其中， ∵和的函数值相等，且都在上， ∴， ∵ ∴， 当时，点Q在上运动，此时，，，， ∴是方程的两个解， 整理得 解得，． 24. 如图，抛物线与轴交于和两点，与轴交于点，点是抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式和顶点的坐标； （2）点在轴上，直线将的面积分成两部分，请求出点的坐标； （3）如图，作轴于点，点是上方的抛物线上一点，是上一点，是否存在点使得与相似？若存在，请直接写出坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），点的坐标为； （2）或； （3）N；N 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式是，把二次函数整理成顶点坐标式，可得：，根据解析式可得点的坐标； （2）作点、三等分线段，根据平行线分线段成比例定理可知点、的横坐标是、，用待定系数法求出直线的解析式，根据解析式可得点、的坐标，用待定系数法求出、的解析式，根据解析式求出点的坐标； （3）设点的坐标是，作，延长交于点，过点作，利用相似三角形的性质可知，点的坐标是，点的坐标是，利用待定系数法求出的解析式，根据点在直线上，即可求出点的坐标；作，作，可证，利用勾股定理求出的长度，根据全等三角形的性质可知的长度，利用相似三角形的性质即可求出点的坐标． 【小问1详解】 解：把点和点的坐标代入， 可得：， 解得：， 抛物线的解析式是； 把二次函数的解析整理，可得：， 抛物线的顶点的坐标为； 【小问2详解】 解：如下图所示，点、是线段的三等分点， 过点作，， 则， ， ， ， 点、的横坐标分别是、， 设直线的解析式是， 把点和点的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式是， 当时，可得：， 当时，可得：， 点的坐标是，点的坐标是， 点和点在直线上， 直线与轴的交点坐标是， 即点的坐标是， 设直线的解析式是， 把点和点的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式是， 当时，可得：， 解得：， 直线与轴的交点坐标是， 即点的坐标是， 综上所述，点的坐标是或； 【小问3详解】 解：点的坐标或， 设点的坐标是， 如下图所示，作，延长交于点，过点作， 点的坐标是，点的坐标是， ，，， ， ，， ， ， ， ， 点的坐标是， ， ， 在和中，， ， ， 点的坐标是， 即点的坐标是， 设直线的解析式是， 把点，的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式是， 把点的坐标代入， 可得：， 整理得：， 解得：，(与点重合，舍去)， 当时，， 则， 点的坐标是； 如下图所示，作，作， 则， 当时，， 点的坐标是， ， 在和中，， ， ， ， ， ， ， 解得：， 点的横坐标是， 把代入， 可得：， 点的坐标是， 综上所述，点的坐标或． 【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质、待定系数法求函数解析式、二次函数与几何综合、全等三角形的判定与性质、解直角三角形、相似三角形的判定和性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年第一学期期中检测 九年级数学试题卷 一、选择题：（本大题有10个小题，每小题3分，共30分）． 1. 已知，下列变形错误的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，点是的黄金分割点，即点满足，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 0.618 3. 如图，是二次函数的图象，则与的关系是（ ） A. B. C. D. 4. 已知二次函数，那么它的图象一定不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 在中，．用无刻度的直尺和圆规任内部作一个角，下列作法中不等于的是（ ） A. B. C. D. 6. 若关于x的不等式组无解，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，分别以、、为边在的同侧作正方形、正方形、正方形，点在边上．若，则阴影部分的面积和为（ ） A. 12 B. 9 C. 18 D. 15 8. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点P为直线上的动点，以为边作等边，则的最小值为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 9. 矩形中，，，连结，，分别在边，上，连结，分别交于点，，若，，则下列结论中：①；②；③；④；⑤；结论正确的有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 如图，在中（），，点，分别是，上的动点，连接，，点和关于对称，点和关于对称，且点，都在所在的直线上．已知，设，．下列代数式的值不变的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6题，每小题3分，共18分） 11. 函数y=中，自变量x的取值范围是_______. 12. 线段是线段、的比例中项，且，，则长为________． 13. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点为轴上的一点，将绕点按顺时针旋转至，反比例函数的图象经过点，过作交反比例函数图象于点，若的面积为，则的值为________ 14. 如图，正方形的顶点A，C在抛物线上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，n，则________． 15. 如图，在坐标系中放置一菱形，已知，先将菱形沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转，连续翻转2025次，点B的落点依次为，，，…，则B2025的坐标为________． 16. 如图，在矩形中，为对角线，点F在上，连接交于点E，且，； （1）则__________； （2）若，为等腰直角三角形，，则___________． 三、解答题（共8小题，满分72分） 17. 计算： 18. 解方程： 19. 已知在关于x，y的二元一次方程组中，x为非负数，y为负数． （1）求m的取值范围． （2）在（1）的条件下，若不等式的解集为，则整数m的值是多少？ 20. 如图，在中，以为圆心，线段的长为半径画弧交边于点，连结，将沿直线对折使点落在处，交边于点． （1）求证：； （2）若，求的值． 21. 平面直角坐标系中，横坐标为2的点A在反比例函数y(k＞0)的图象上，过点A作AB⊥x轴于点B，． (1)求k的值； (2)在x轴的负半轴上找点P，将点A绕点P顺时针旋转90°，其对应点A落在此反比例函数第三象限的图象上，求点P的坐标； (3)直线yx+n(n＜0)与AB的延长线交于点C，与反比例函数图象交于点E，若点E到直线AB的距离等于AC，求n的值． 22. 在平面直角坐标系中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“完美点”．抛物线（a为常数且）与y轴交于点A． （1）若，求抛物线的顶点坐标； （2）若线段（含端点）上的“完美点”个数大于3个且小于6个，求a的取值范围； （3）若抛物线与直线交于M、N两点，线段与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“完美点”，求a的取值范围． 23. 如图1，在正方形中，E为的中点，点 P 从点 B 出发，沿B→C→D匀速运动，同时点Q从点 E出发，沿E→B→C 匀速运动，点P的速度是每秒2个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度．当点P运动到点D时，P，Q两点同时停止运动，设点P运动的时间为，的面积为S．当点Q在上运动时，S关于t的函数图象是图2所示的抛物线的一段． （1）的长为_____；当点Q与点B重合时，的面积为_____． （2）当点Q在上运动时，求S关于t的函数解析式，并在图2的平面直角坐标系中画出该函数的图象． （3）若存在3个时刻 其对应的 的面积均相等，且 求的值． 24. 如图，抛物线与轴交于和两点，与轴交于点，点是抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式和顶点的坐标； （2）点在轴上，直线将的面积分成两部分，请求出点的坐标； （3）如图，作轴于点，点是上方的抛物线上一点，是上一点，是否存在点使得与相似？若存在，请直接写出坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $