精品解析：湖南省长沙市天心区2025-2026学年九年级上学期联考数学试卷（9月份）

2025-2026学年湖南省长沙市天心区九年级（上）联考数学试卷（9月份） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各数中，比4大比5小的无理数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查无理数的估算，熟练掌握无理数的估算是解题的关键；因此此题可根据无理数的估算进行排除选项即可． 【详解】解：A．， ，故本选项符合题意； B．，故本选项不符合题意； C．是有理数，故本选项不符合题意； D．是有理数，故本选项不符合题意． 故选：A． 2. 式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式中被开方数是非负数是解题的关键．根据二次根式有意义的条件，确定被开方数的取值范围，进而求解的取值范围． 【详解】解：由题意，得， 解得． 故选：C． 3. 太阳距离银河系中心约为250000000000000000公里，其中数据250000000000000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【详解】解：将250000000000000000用科学记数法表示为． 故选B． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了合并同类项，完全平方公式，积的乘方，同底数幂的除法，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据合并同类项，完全平方公式，积的乘方，同底数幂的除法逐项分析即可． 【详解】解：A. ，不是同类项，无法合并，故此选项错误； B. ，故此选项错误； C. ，故此选项错误； D. ，故此选项正确． 故选：D． 5. 某校为了解九年级学生在校的锻炼情况，随机抽取10名学生，记录他们某一天在校的锻炼时间（单位：分钟）：65，67，75，65，75，80，75，88，78，80．对这组数据判断正确的是（ ） A. 方差为0 B. 众数为75 C. 中位数为77.5 D. 平均数为75 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查方差，众数，中位数和平均数，分别根据相关定义求解即可． 【详解】解：这组数据的平均数为：，故选项D错误，不符合题意； 方差为 ，故选项A错误，不符合题意； 这组数据中，75出现次数最多，共出现3次，故众数是75，故选项B正确，符合题意； 这组数据按大小顺序排列为：65，65，67，75， 75，75，78，80，80，88． 最中间的两个数是75，75， 故中位数为，故项C错误，不符合题意， 故选：B． 6. 下列图形中，是轴对称图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称图形的定义，解题的关键是掌握轴对称图形的定义，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合即可．根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，依次判断即可． 【详解】解：A，B，C选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； D选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选： 7. 若，下列不等式不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即可得到答案． 【详解】解：A、不等式的两边都加3，不等号的方向不变，故A不符合题意； B、不等式的两边都乘以﹣3，不等号的方向改变，故B不符合题意； C、不等式的两边都除以3，不等号的方向不变，故C不符合题意； D、如；故D符合题意； 故选D． 【点睛】主要考查了不等式的基本性质，“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱 8. 一副三角板如图摆放（直角顶点重合），边与交于点，，则等于（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意知图中是一个等腰直角三角形和一个含角的直角三角形，故，，由平行线的性质可知，由三角形内角和定理可求出的度数． 【详解】解：由题意知，， ∵， ∴， 在中， ， 故选A． 【点睛】本题考查了特殊直角三角形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理等，解题关键是要搞清楚一副三角板是指一个等腰直角三角形和一个含角的直角三角形． 9. 如图，在中，，，以点为圆心，以的长为半径作弧交于点，连接，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，连接，则下列结论中不正确的是（ ） A. B. C. D. 垂直平分线段 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了含角的直角三角形的性质、线段垂直平分线的判定和性质．根据线段垂直平分线的判定和性质，可知；根据角平分线的性质可知，根据等角对等边可知，根据含角的直角三角形的性质，可知，等量代换可知；可知，根据，可得：，所以可得：；根据含角的直角三角形的性质，可知，由作图可知，因为，可得，根据，可得，可证，所以可知垂直平分线段． 【详解】解：由作法得，， 垂直平分， ， 故A选项不符合题意； ，， ， 由作法得平分， ， ， ， 在中，， ， ， 故B选项不符合题意； 在中，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故C选项符合题意； ，， 为等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 垂直平分线段， 故D选项不符合题意． 故选： 10. 已知两个函数图象的表达式分别为，，，与相交于，则的值为（ ） A. B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的交点问题，解题的关键是将交点的坐标代入两个一次函数的解析式，然后通过适当的变形求解．将点的坐标分别代入两个函数的表达式，然后结合已知条件，通过适当的变形即可求得的值． 【详解】解：，，，与相交于， ，， ①②，得， ， ， 故选：． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】题目中每项都含有x，提取公因式x；先提取公因式，再用完全平方公式即可得出答案． 【详解】 故答案为． 【点睛】本题考查了整式的因式分解，提公因式法和公式法，熟练掌握提公因式法分解因式、完全平方公式法分解因式是解题关键． 12. 一次函数y=x+2的图象不经过第________象限． 【答案】四 【解析】 【分析】根据一次函数的性质解答即可． 【详解】解：∵1＞0，2＞0， ∴一次函数的图象经过一、二、三象限，即不经过第四象限． 故答案为：四． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，一次函数的图象经过第几象限，取决于x的系数及常数是大于0或是小于0． 13. 如图，，直线与射线相交于点．若，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，邻补角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．利用平行线的性质得出，再利用邻补角的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 代数学家吴敬的《九章算法比类大全》中有一个“哪吒夜叉”问题，大意是：有个头只手的哪吒若干，有个头只手的夜叉若干，两方交战，共有个头，只手．问哪吒、夜叉各有多少？设哪吒有个，夜叉有个，则所列方程组是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，审清题意、找准等量关系、列出方程是解题的关键．设哪吒有个，夜叉有个，然后根据等量关系“共有个头”和“只手”列出二元一次方程组即可解答． 【详解】解：每个哪吒有个头，每个夜叉有个头，交战双方共有个头， ， 每个哪吒有只手，每个夜叉有只手，交战双方共有只手， ， 根据题意可列出方程组， 故答案为：． 15. 如图，中，，为边上的高，为边上的中线，，，则_________． 【答案】8 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质，求出，，证明∽，得到，代入数据即可得到答案． 【详解】解：在中，，CE为AB边上的中线，， 则， ， ， ， ， 为AB边上的高， ， ， ， ， ∽， ，即， ， 故答案为： 16. 如图，线段的长为10，点D在线段上运动，以为边长作等边．再以为边长，在线段上方作正方形，记正方形的对角线交点为O．连接，则线段的最小值为______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，直角三角形的性质．连接、，则、交于点O，连接并延长，过点B作于点M，证明，得出，证明点O一定在射线上，根据垂线段最短，得出点O在点M处时，线段取最小值，求出最小值即可． 【详解】解：连接、，则、交于点O，连接并延长，过点B作于点M，如图所示： ∵为等边三角形， ∴，， ∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点O一定在射线上， ∵垂线段最短， ∴点O在点M处时，线段取最小值， ∵，， ∴， ∴线段取最小值为5． 故答案为：5． 三、解答题：本题共7小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算： ． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，解题的关键是熟练掌握零指数幂运算法则，绝对值的意义、立方根的定义、算术平方根的定义．根据零指数幂运算法则，绝对值的意义、立方根的定义、算术平方根的定义进行化简，然后再进行计算即可． 【详解】解： ． 18. 先化简，再求值：，其中a，b满足． 【答案】-1 【解析】 【分析】根据平方差公式进行变形，再根据分式混合运算法则进行计算，再根据完全平方公式的性质和二次根式的性质进行求解，即可得到答案. 【详解】解：原式 ， ∵a，b满足， ∴，， ，， 原式． 【点睛】本题考查平方差公式、完全平方公式和二次根式的性质，解题的关键是掌握完全平方公式和二次根式的性质. 19. 解不等式组：并在数轴上表示它的解集． 【答案】不等式组的解集为． 【解析】 【分析】分别解不等式，进而得出不等式组的解集，进而得出答案． 【详解】解： 解不等式①，得 ． 解不等式②，得 ． ∴不等式组的解集为． 【点睛】此题主要考查了解一元一次不等式组以及在数轴上表示不等式的解集，正确解不等式是解题关键,一元一次不等式的解法先移项，再化简（同乘除）；求一元一次不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）． 20. 2024年3月25日是第29个全国中小学生安全教育日，为提高学生安全防范意识和自我防护能力，某校开展了校园安全知识竞赛（百分制），八年级学生参加了本次活动．为了解该年级的答题情况，该校随机抽取了八年级部分学生的竞赛成绩（成绩用x表示，单位：分）．并对数据（成绩）进行统计整理．数据分为五组：A：；B：；C：；D：；E：． 下面给出了部分信息： a：C组的数据：70，71，71，72，72，72，74，74，75，76，76，76，78，78，79，79． b：不完整的学生竞赛成绩频数分布直方图和扇形统计图如下： 请根据以上信息完成下列问题： （1）求随机抽取的八年级学生人数； （2）请补全频数分布直方图； （3）抽取的八年级学生竞赛成绩的中位数是________分； （4）该校八年级共900人参加了此次竞赛活动，请你估计该校八年级参加此次竞赛活动成绩达到80分及以上的学生人数． 【答案】（1）60 （2） 补全直方图如图： （3）77 （4）390 【解析】 【分析】本题考查统计图的综合应用，求中位数，利用样本估计总体，解题的关键是掌握以上知识点． （1）A组人数除以所占的比例求出八年级学生人数即可； （2）求出D组人数，补全直方图即可； （3）根据中位数的确定方法进行求解即可； （4）利用样本估计总体的思想进行求解即可． 【小问1详解】 解：（人）， ∴随机抽取的八年级学生人数为60人； 【小问2详解】 解：D组人数为：； 【小问3详解】 解：将数据排序后第30个和第31个数据分别为76，78， ∴中位数为：； 【小问4详解】 解：（人）， ∴估计该校八年级参加此次竞赛活动成绩达到80分及以上的学生人数为390人． 21. 如图，点B、F、C、E在同一条直线上，． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴； （2）11 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先根据平行线的性质得到，再由“”直接证明即可； （2）由，，再由线段和差即可得到，最后由即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 22. 如图，在▱ABCD中，E为CD边的中点，连接BE并延长，交AD的延长线于点F，延长ED至点G，使DG＝DE，分别连接AE、AG、FG． （1）求证：△BCE≌△FDE； （2）当BF平分∠ABC时，四边形AEFG是什么特殊四边形？请说明理由． 【答案】（1） 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ADBC， ∴∠DFE＝∠CBE， ∵E为CD边的中点， ∴DE＝CE， 在△BCE和△FDE中， ， ∴△BCE≌△FDE（AAS）； （2） 四边形AEFG是矩形，理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，ADBC， ∴∠AFB＝∠FBC， 由（1）得：△BCE≌△FDE， ∴BC＝FD，BE＝FE， ∴FD＝AD， ∵GD＝DE， ∴四边形AEFG是平行四边形， ∵BF平分∠ABC， ∴∠FBC＝∠ABF， ∴∠AFB＝∠ABF， ∴AF＝AB， ∵BE＝FE， ∴AE⊥FE， ∴∠AEF＝90°， ∴平行四边形AEFG是矩形． 【解析】 【分析】（1）由AAS证明△BCE≌△FDE即可； （2）先证四边形AEFG是平行四边形，再证∠AEF＝90°，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明△BCE≌△FDE是解题的关键． 23. 一条公路上依次有A、B、C三地，一辆轿车从A地出发途经B地接人，停留一段时间后原速驶往C地；一辆货车从C地出发，送货到达B地后立即原路原速返回C地（卸货时间忽略不计）．两车同时出发，轿车比货车晚到达终点，两车均按各自速度匀速行驶．如图是轿车和货车距各自出发地的距离y（单位：）与轿车的行驶时间x（单位：h）之间的函数图象，结合图象回答下列问题： （1）图中a的值是_______，b的值是_______； （2）在货车从B地返回C地的过程中，求货车距出发地的距离y（单位：）与行驶时间x（单位：h）之间的函数解析式； （3）直接写出轿车出发多长时间与货车相距40． 【答案】（1）300，2 （2） （3）或或 【解析】 【分析】本题考查一次函数的实际应用，从函数图象中有效的获取信息，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）根据货车的图象得到B、C两地的距离为，进而求出的值，求出轿车的速度，求出轿车从开往地所需的时间，进而求出的值； （2）根据轿车比货车晚到达终点，求出点坐标，进而求出点坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （3）分轿车到达地之前，轿车到达地，货车离地，以及货车到达地时，三种情况进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：由图象可知，B、C两地的距离为，A、B两地的距离为， ∴， ∵轿车的速度为：， ∴轿车从开往地所需的时间为：， ∴； 故答案为：300，2； 【小问2详解】 ∵轿车比货车晚到达终点， ∴货车到达地所用时间为：， ∴， ∵货车从C地出发，送货到达B地后立即原路原速返回C地， ∴， 设， ∴，解得：， ∴； 【小问3详解】 由（2）可知，货车的速度为：， ∴当轿车到达地之前，，解得：； 当轿车到达地，货车离地时，，则：符合题意； 当货车到达地时，此时轿车离点的距离为：，恰好满足题意，此时； 综上：轿车出发或或时与货车相距40． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年湖南省长沙市天心区九年级（上）联考数学试卷（9月份） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各数中，比4大比5小的无理数是（ ） A. B. C. D. 2. 式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 太阳距离银河系中心约为250000000000000000公里，其中数据250000000000000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 某校为了解九年级学生在校的锻炼情况，随机抽取10名学生，记录他们某一天在校的锻炼时间（单位：分钟）：65，67，75，65，75，80，75，88，78，80．对这组数据判断正确的是（ ） A. 方差为0 B. 众数为75 C. 中位数为77.5 D. 平均数为75 6. 下列图形中，是轴对称图形是（ ） A. B. C. D. 7. 若，下列不等式不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 8. 一副三角板如图摆放（直角顶点重合），边与交于点，，则等于（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，以点为圆心，以的长为半径作弧交于点，连接，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，连接，则下列结论中不正确的是（ ） A. B. C. D. 垂直平分线段 10. 已知两个函数图象的表达式分别为，，，与相交于，则的值为（ ） A. B. 8 C. 9 D. 10 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 分解因式：______． 12. 一次函数y=x+2的图象不经过第________象限． 13. 如图，，直线与射线相交于点．若，则_______． 14. 代数学家吴敬的《九章算法比类大全》中有一个“哪吒夜叉”问题，大意是：有个头只手的哪吒若干，有个头只手的夜叉若干，两方交战，共有个头，只手．问哪吒、夜叉各有多少？设哪吒有个，夜叉有个，则所列方程组是__________． 15. 如图，中，，为边上的高，为边上的中线，，，则_________． 16. 如图，线段的长为10，点D在线段上运动，以为边长作等边．再以为边长，在线段上方作正方形，记正方形的对角线交点为O．连接，则线段的最小值为______． 三、解答题：本题共7小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算： ． 18. 先化简，再求值：，其中a，b满足． 19. 解不等式组：并在数轴上表示它的解集． 20. 2024年3月25日是第29个全国中小学生安全教育日，为提高学生安全防范意识和自我防护能力，某校开展了校园安全知识竞赛（百分制），八年级学生参加了本次活动．为了解该年级的答题情况，该校随机抽取了八年级部分学生的竞赛成绩（成绩用x表示，单位：分）．并对数据（成绩）进行统计整理．数据分为五组：A：；B：；C：；D：；E：． 下面给出了部分信息： a：C组的数据：70，71，71，72，72，72，74，74，75，76，76，76，78，78，79，79． b：不完整的学生竞赛成绩频数分布直方图和扇形统计图如下： 请根据以上信息完成下列问题： （1）求随机抽取的八年级学生人数； （2）请补全频数分布直方图； （3）抽取的八年级学生竞赛成绩的中位数是________分； （4）该校八年级共900人参加了此次竞赛活动，请你估计该校八年级参加此次竞赛活动成绩达到80分及以上的学生人数． 21. 如图，点B、F、C、E在同一条直线上，． （1）求证：； （2）若，求的长． 22. 如图，在▱ABCD中，E为CD边的中点，连接BE并延长，交AD的延长线于点F，延长ED至点G，使DG＝DE，分别连接AE、AG、FG． （1）求证：△BCE≌△FDE； （2）当BF平分∠ABC时，四边形AEFG是什么特殊四边形？请说明理由． 23. 一条公路上依次有A、B、C三地，一辆轿车从A地出发途经B地接人，停留一段时间后原速驶往C地；一辆货车从C地出发，送货到达B地后立即原路原速返回C地（卸货时间忽略不计）．两车同时出发，轿车比货车晚到达终点，两车均按各自速度匀速行驶．如图是轿车和货车距各自出发地的距离y（单位：）与轿车的行驶时间x（单位：h）之间的函数图象，结合图象回答下列问题： （1）图中a的值是_______，b的值是_______； （2）在货车从B地返回C地的过程中，求货车距出发地的距离y（单位：）与行驶时间x（单位：h）之间的函数解析式； （3）直接写出轿车出发多长时间与货车相距40． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $