精品解析：天津市第五十四中学2025-2026学年高一上学期10月月考数学试题

高一数学第一次质量调查 一、单选题： 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 若aR，则a=2是（a-1）（a-2）=0的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 4. 下列结论正确的是 A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 下列各组函数是同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 6. 已知，，且，则的最小值是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 7. 设集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数设，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是 A. B. C. D. 二、填空题： 10. 函数的定义域是_______________. 11. 已知，且，则的值为__________． 12. 已知，使成立的的取值范围是________． 13. 已知集合，，若，则实数的取值范围是______． 14. 函数的最小值是__________. 15. 如图，在半径为的半圆形(为圆心)铁皮上截取一块矩形材料， 其顶点在直径上，顶点在圆周上，则矩形面积的最大值为_____. 三、解答题： 16. 已知集合A＝{x|－4≤x≤－2}，集合B＝{x|x＋3≥0}.求： （1）； （2）. 17. 已知全集，，，． （1）求； （2）求． 18. 已知关于的不等式． （1）若不等式的解集为，求a，b的值. （2）求关于x的不等式（其中）的解集． 19. 已知二次函数 （1）当时，函数的最大值和最小值分别是多少? （2）当 时，函数的最大值为m，最小值为n，且求的值. 20. 已知且 ，记为的最大值，记为的最大值. （1）求的值; （2）若，且对任意，恒成立， 求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学第一次质量调查 一、单选题： 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出，再根据交集的定义可求. 【详解】，故， 故选：A. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定直接判断即可. 【详解】“，”的否定是，. 故选：D. 3. 若aR，则a=2是（a-1）（a-2）=0的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】由a=2可得（a-1）（a-2）=0成立，反之不一定成立，故选A. 4. 下列结论正确的是 A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】不等式的两边同时乘以，得到，不等式的两边同时乘以，得到，即可判断A选项；利用特殊值排除B,C,D选项即可. 【详解】不等式的两边同时乘以，得到，不等式的两边同时乘以，得到,所以，故A正确； 当时，，故B错误； 当时，，故C错误； 当时，，故D错误. 故选：A 【点睛】本题主要考查了不等式的性质，属于基础题. 5. 下列各组函数是同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数相等的定义，逐个选项进行判断可得答案. 【详解】对于A，的定义域为，的定义域为，故两函数不相等，A错误； 对于B，与的定义域和解析式一致，故两函数相等，两函数为同一函数，B正确； 对于C，的定义域为，的定义域为，故两函数不相等，C错误； 对于D，与的定义域相等，但是解析式不相等，故两函数不相等，D错误； 故选：B 6. 已知，，且，则的最小值是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】 由，则，化简用均值不等式求最值. 【详解】由题意可得， 则， 当且仅当，时等号成立， 故的最小值为9. 故选：C. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”，“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 7. 设集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别解出集合和集合，再根据交集的定义即可得到答案. 【详解】由题得则， ， 故选：D． 8. 已知，则函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】换元法，令，需注意的范围，再将用表示，代入即可． 【详解】设，则，，所以， 故选：C． 9. 已知函数设，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】不等式为(*)， 当时，(*)式即为，， 又（时取等号）， （时取等号）， 所以， 当时，(*)式为，， 又（当时取等号）， （当时取等号）， 所以， 综上．故选A． 【考点】不等式、恒成立问题 【名师点睛】首先满足转化为去解决，由于涉及分段函数问题要遵循分段处理原则，分别对的两种不同情况进行讨论，针对每种情况根据的范围，利用极端原理，求出对应的的范围. 二、填空题： 10. 函数的定义域是_______________. 【答案】 【解析】 【分析】列出需满足的不等式，再取交集即为函数定义域. 【详解】由题意，，解得且， 所以的定义域为， 故答案为： 11. 已知，且，则的值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】由,有或，显然，解方程求出实数的值，但要注意集合元素的互异性. 【详解】因为，所以有或，显然， 当时，，此时不符合集合元素的互异性，故舍去； 当时，解得，由上可知不符合集合元素的互异性，舍去，满足题意. 所以. 故答案为： 12. 已知，使成立的的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式做出函数的图象，使成立的的取值范围就是函数在虚线及以上的部分中的取值范围，再分别求解和，可得的取值范围. 【详解】函数图象如下图所示： 虚线表示，函数在虚线及以上的部分中的取值范围即为不等式的解集， 由图可知，的取值范围就是点横坐标与点横坐标之间的范围． 中令，得，即为点横坐标． 中令，得或，所以点横坐标为， 所以不等式的解集为. 故填：. 【点睛】本题考查根据分段函数的解析式求解不等式的问题，关键在于做出图像求解出满足不等式的范围端点值，属于基础题. 13. 已知集合，，若，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】分和两种情况讨论，求出时的范围，即可得出答案. 【详解】解：若， 当时，，则， 当时，因为， 所以或，解得或， 综上当时，， 所以时，实数的取值范围是. 故答案为：. 14. 函数的最小值是__________. 【答案】 【解析】 【分析】 函数式变形后用基本不等式求得最小值． 【详解】由于，故，故，当且仅当，即时，函数取得最小值为. 故答案为：. 【点睛】本题考查用基本不等式求最值，解题关键是把函数式变形，凑出积为定值，则和可得最小值，但要注意等号成立的条件． 15. 如图，在半径为的半圆形(为圆心)铁皮上截取一块矩形材料， 其顶点在直径上，顶点在圆周上，则矩形面积的最大值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】设，进而得，进而得矩形面积为，，最后根据基本不等式求解即可. 【详解】解：设，则在中，有， 所以，矩形面积为， 由于边，，解得， 所以，由基本不等式得：， 当且仅当，即时等号成立， 所以，矩形面积的最大值为. 故答案为： 三、解答题： 16. 已知集合A＝{x|－4≤x≤－2}，集合B＝{x|x＋3≥0}.求： （1）； （2）. 【答案】（1）；（2）或. 【解析】 【分析】（1）先求得，然后求得. （2）先求得，然后求得. 【详解】（1）依题意，所以. （2），所以或. 【点睛】本小题主要考查集合交集、并集和补集，属于基础题. 17. 已知全集，，，． （1）求； （2）求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据交集与并集的概念直接可得解； （2）根据并集与补集的概念可得解. 【小问1详解】 用列举法分别表示各集合可得，，， 则， 则； 【小问2详解】 用列举法表示全集， 则，， 则. 18. 已知关于的不等式． （1）若不等式的解集为，求a，b的值. （2）求关于x的不等式（其中）的解集． 【答案】（1）； （2）时，不等式解集为；时，不等式解集为； 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式的解集，结合对应方程根与系数关系列方程组求参数； （2）分类讨论参数a，求对应不等式解集即可. 【小问1详解】 由题设，易知且是方程的两个不同根， 则，经验证满足题设， 所以. 【小问2详解】 由题设，且，所以， 当，即时，不等式解集为； 当，即时，不等式解集为； 19. 已知二次函数 （1）当时，函数的最大值和最小值分别是多少? （2）当 时，函数的最大值为m，最小值为n，且求的值. 【答案】（1）最小值为，最大值为. （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的性质，得到函数单调性和区间端点的函数值，进而求得最大值和最小值； （2）根据二次函数的图象与性质，分，和，三种情况讨论，分别求得函数最大值和最小值，结合，列出方程，求得的值. 【小问1详解】 解：由二次函数，其图象开口向上，且对称轴方程为， 当时，函数单调递减；当时，函数单调递增， 所以，又由，所以， 故函数的最小值为，最大值为. 【小问2详解】 解：由二次函数，其图象开口向上，且对称轴方程为， ①当时，即时，可知函数在上单调递减， 当时，可得； 当时，可得， 由，令，解得（舍去）； ②当且时，即时，可得， （i）当时，即时，可得， 令，即，解得或（舍去）； （ii）当时，即时，可得， 由，解得或（舍去）； ③时，可知函数在上单调递增， 当时，可得， 当时，可得， 由，解得（舍去） 综上可得，实数的值为或. 20. 已知且 ，记为的最大值，记为的最大值. （1）求的值; （2）若，且对任意，恒成立， 求的最大值. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用基本不等式结合已知可求得，则，从而可求出的值，再结合完全平方公式可求出； （2）令，则，得，根据时，，求得的关系，从而可得的取值范围，根据取最大值的的值检验不等式恒成立，即可求得结果. 【小问1详解】 因为，所以， 因为，所以， 因为，当且仅当时取等号， 所以，得，当且仅当时取等号， 所以的最大值为1，即， 因为，所以， 所以， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最大值为2，即， 【小问2详解】 由题可得， 令， 则，故. 对任意，，则恒成立， 因为a为正数，所以 所以， 此时， 所以， 当时，等号成立， 此时成立， 所以的最大值为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $