第4章 一元二次方程 单元综合练习2025－2026学年青岛版数学九年级上册

《一元二次方程》单元综合练习 一．选择题 1．关于x的方程（k+1）x2﹣x＝0是一元二次方程的条件是（　　） A．k＝﹣1 B．k＝1 C．k≠﹣1 D．k≠1 2．下列方程是一元二次方程的是（　　） A．x2＝2 B． C．x2+2y＝1 D．mx2+2x＝3 3．若关于x的方程（k+2）x2+3x+k2＝0的两根互为倒数，则k＝（　　） A．3 B．1 C．﹣1 D．±1 4．方程x2﹣2x﹣3＝0经过配方法化为（x+a）2＝b的形式，正确的是（　　） A．（x﹣1）2＝4 B．（x+1）2＝4 C．（x﹣1）2＝16 D．（x+1）2＝16 5．2024年7月5日，曲靖市举行避暑旅游新闻发布会，诚邀各地游客来曲靖避暑，体验“19.7℃的夏天”．随着川渝避暑大军的到来，我市某景区游客人数逐月增加，七月份游客人数为16万人，九月份游客人数为25万人．设八、九两个月该景区游客人数的月平均增长率为x，根据题意，可列方程为（　　） A．25（x﹣1）2＝16 B．25（x+1）2＝16 C．16（x﹣1）2＝25 D．16（x+1）2＝25 6．某校八年级组织班级足球友谊赛，每个班级都要和其他班级比一场，共比赛了21场．设参加这次比赛的有x个班级，根据题意，可列方程为（　　） A．x（x+1）＝21 B． C．x（x﹣1）＝21 D． 7．一元二次方程﹣（x+1）2+a2＝0（a是常数，a≠0）的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定有没有实数根 8．若关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2025，则一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣b+2＝0必有一根为（　　） A．x＝2024 B．x＝2025 C．x＝2026 D．x＝2027 9．若关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0），满足a+b+c＝0，则这个方程必有一个根是（　　） A．x＝﹣1 B．x＝0 C．x＝1 D．x 10．某小区利用一块长方形空地建一个停车场，其布局如图所示．已知停车场的长为52米，宽为34米，阴影部分设计为停车位，其余部分是等宽的通道，要使停车位占地面积为880m2，则通道宽应为多少米？设通道宽为x米，可列方程为（　　） A．52×34﹣52x﹣34x＝880 B．（52﹣2x）（34﹣2x）+2x2＝880 C．（52﹣2x）（34﹣2x）＝880 D．52•2x+34•x＝52×34﹣880 二．填空题 11．已知xm+x﹣1＝0是关于x的一元二次方程，则代数式（m﹣3）2025＝　 　 ． 12．某商场将进货价为55元的某种服装以75元售出，平均每天可售30件，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现：每件降价1元，则每天可多售5件，如果每天要盈利800元，设每件降价x元．则可列出方程为　 　 ． 13．已知关于x的方程x2﹣3x+m＝0的一个根是1，则另一个根是 　 　 ． 14．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1＝0无实数根，则k的取值范围是 　 　 ． 15．已知a是方程x2+3x﹣1＝0的一个实数根，则2a2+6a+2023的值为　 　 ． 三．解答题 16．用你喜欢的方法解方程． （1）x2﹣6＝0； （2）3x2+8x﹣3＝0； （3）x（x﹣4）+x﹣4＝0； （4）2x2﹣3x＝x2﹣6x﹣5． 17．已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2﹣2m+3＝0，m为常数． （1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； （2）小明认为该方程的根不会为0，他的观点正确吗？请说明理由． 18．备受瞩目成都世界科幻大会将于10月18日启幕．这是世界科幻大会第一次走进中国，成都也将成为亚洲第二个、中国首个举办世界最高规格科幻盛会的城市．某书店正在销售A、B两种科幻书，它们的进价和售价如表，若老板进A种科幻书200本和B种科幻书300本，则需资金18000元；若老板进A种科幻书300套和B种科幻书400本，则需要资金25000元． 种类 A B 进价（元/套） a b 售价（元/套） 48 66 （1）求A、B两种科幻书的进价； （2）该书店打算在今年10月把科幻书A进行降价促销，若按原价销售则平均每天卖出6本，经调查发现每降价1元，平均每天可多售3本，将销售价定为每本多少元时，才能使科幻书A平均每天的销售利润为225元？ 19．在“金山情一日游”的研学活动中，小明发现某农场有一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，墙长为22米，养鸡场的面积是160平方米． （1）据农场管理人员介绍，养鸡场今年养鸡320只，计划明后两年增长率相同，预估后年养鸡500只，请求出这个增长率； （2）为了改善养鸡场环境，今年对养鸡场进行重建，重建后的养鸡场如图所示，围成养鸡场的板材共用去40米，在板材上有两处各开了一扇宽为2米的门，养鸡场的面积不变，求重建后的养鸡场的宽AB为多少米？ 20．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”，例如：方程x2﹣3x+2＝0的两个根是1和2，则这个方程就是“倍根方程”． （1）下列方程是倍根方程的是　 　 ； ①x2+6x+8＝0； ②x2﹣2x＝0； ③x2﹣7x+12＝0． （2）若关于x的方程x2﹣（m+4）x﹣2m＝0（m是常数）是“倍根方程”，试求出m值； （3）若关于x的方程ax2+bx+1＝0（a、b是常数，a＞0）是“倍根方程”，令t＝9a﹣b，试求t的最小值． 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A C A D D A C C C 二．填空题 11．﹣1． 12．（75﹣x﹣55）（30+5x）＝800． 13．2． 14．k＞1． 15．2025． 三．解答题 16．解：（1）∵x2﹣6＝0， ∴x＝±． 即x1，x2； （2）∵3x2+8x﹣3＝0， ∴（3x﹣1）（x+3）＝0， ∴3x﹣1＝0，x+3＝0， 即x1，x2＝﹣3； （3）∵x（x﹣4）+x﹣4＝0； ∴（x﹣4）（x+1）＝0， ∴x﹣4＝0，x+1＝0， 即x1＝4，x2＝﹣1； （4）2x2﹣3x＝x2﹣6x﹣5． ∴x2+3x+5＝0， Δ＝b2﹣4ac＝9﹣20＜0， ∴原方程没有实数根． 17．解：（1）∵关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2﹣2m+3＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝[﹣2（m+1）]2﹣4×1×（m2﹣2m+3）＝16m﹣8＞0， 解得：m， ∴m的取值范围是m； （2）小明的观点正确，理由如下： 当x＝0时，m2﹣2m+3＝0， ∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×3＝﹣8＜0， ∴方程m2﹣2m+3＝0没有实数根， ∴关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2﹣2m+3＝0的根不会为0． 18．解：（1）∵若老板进A种科幻书200本和B种科幻书300本，则需资金18000元；若老板进A种科幻书300套和B种科幻书400本，则需要资金25000元， ∴， 解得， ∴A种科幻书的进价为每本30元，B种科幻书的进价为每本40元； （2）设销售价定为每本x元， 根据题意得：（x﹣30）[6+3（48﹣x）]＝225， 解得x＝45或x＝35， 答：将销售价定为每本45元或35元时，才能使科幻书A平均每天的销售利润为225元． 19．解：（1）设这个增长率为x， 由题意得：320（1+x）2＝500， 解得：x1＝﹣2.25（不合题意舍去），x2＝0.25＝25%， 答：这个增长率为25%； （2）设重建后的养鸡场的宽AB为y米，则BC的长为（40+2×2﹣3y）米， 由题意得：y（40+2×2﹣3y）＝160， 整理得：3y2﹣44y+160＝0， 解得：y1，y2＝8， 当y时，BC的长为：40+2×2﹣3y＝40+2×2﹣324（米）＞22米，不合题意，舍去； 当y＝8时，BC的长为：40+2×2﹣3y＝40+2×2﹣3×8＝20（米）＜22米，符合题意； ∴AB＝8米， 答：重建后的养鸡场的宽AB为8米． 20．解：（1）①x2+6x+8＝0， （x+2）（x+4）＝0， x+2＝0或x+4＝0， 解得：x1＝﹣2，x2＝﹣4， 满足一个根是另一个根的2倍，故是“倍根方程”； ②x2﹣2x＝0， x（x﹣2）＝0， 解得：x1＝0，x2＝2， 不满足一个根是另一个根的2倍，故不是“倍根方程”； ③x2﹣7x+12＝0， （x﹣3）（x﹣4）＝0， x﹣4＝0或x﹣3＝0， 解得：x1＝4，x2＝3， 不满足一个根是另一个根的2倍，故不是“倍根方程”； ∴是“倍根方程”的是①， 故答案为：①； （2）∵关于x的方程是“倍根方程”， ∴设两根为p，2p， 则p+2p＝m+4，p•2p＝﹣2m， ∴， 将代入p•2p＝﹣2m，则， 解得：m＝﹣1或m＝﹣16（均符合题意）； （3）∵关于x的方程是“倍根方程”， ∴设两根为p，2p， 则， ∴将代入，则， ∴， ∵t＝9a﹣b， ∴t＝2b2﹣b， ∴2b2﹣b﹣t＝0， ∵关于b的方程有解， ∴（﹣1）2+4×2t≥0， 解得， ∴t的最小值为． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/10/24 23:26:34；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 学科网（北京）股份有限公司 $