精品解析：河南省许昌市禹州市第三高级中学2025-2026学年高一上学期10月月考数学试题

禹州市第三高级中学集萃校区 2025-2026学年上学期高一第二次阶段性训练 数学卷 一、单选题 1. “”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】A 【解析】 【分析】先判断充分性，即由能否推出，再判断必要性，即由能否推出，最后根据充分性和必要性的分析结果判断选项． 【详解】若，代入方程得，即能推出，充分性成立； 若，解方程，因式分解得，解得或，不能推出，必要性不成立． “”是“”的充分不必要条件． 故选：A． 2. 设集合，若，则的值为（ ） A -2 B. 2 C. -1 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用集合元素的互异性及相等集合的定义列出方程组求解. 【详解】由集合，得，又，则或， 当时，， 于是，得，因此； 当时，集合，有，则，解得，不满足题意， 所以. 故选：D 3. 下列命题为假命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若且，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】对于A，取，可得，由此判断A，对于B，先求的范围，利用不等式的可加性求的范围，判断B，对于C，由不等式性质可得，利用不等式的性质证明，判断C，对于D，先证明，由此证明，判断D. 【详解】对于A，取，由，可得，A错误， 对于B，因为，故，又， 所以，B正确， 对于C，因为，所以， 所以，又， 所以，C正确， 对于D，因为， 所以， 所以，D正确， 故选：A. 4. 下列选项中是“，”成立的一个必要不充分条件的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】变形得到，根据函数单调性得到，故，由于是的真子集，故A正确，其他选项不合要求. 【详解】，， 即，， ∴，其中在上单调递减， 在上单调递增， 其中时，，当时，， 故，即， 由于是的真子集，故“”的必要不充分条件为“”， 其他选项均不合要求. 故选：A 5. 已知关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由条件可得且，然后代入不等式，即可得到结果. 【详解】由题意可知，是关于的方程的两实根，且， 则，解得， 则不等式可化为， 即，所以，解得， 所以不等式的解集为. 故选：A 6. 若函数的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用抽象函数的意义求出函数的定义域，进而求出目标函数的定义域. 【详解】由函数的定义域为，得当时，， 因此在函数中，由函数有意义，得， 解得，所以定义域为. 故选：D 7. 若满足，，，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】就、结合函数的单调性分类讨论后可求参数的取值范围，从而可得正确的选项. 【详解】当时，在上为减函数， 故，当时，有，符合题意； 当时，在上为增函数，在上为增函数， 当时即时，的图象如图所示： 则存在，且， 综上，， 故选：C. 8. 表示不超过的最大整数，如，，则“”时“”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定的新定义，应用特殊值法及绝对值不等式结合充分条件、必要条件的定义判断. 【详解】若，当时，不满足， 即“”不能推出“”； 当时，， 或，所以； 即 “”能推出“”， 所以“”是“”的充分不必要条件． 故选：C. 二、多选题 9. 已知集合，.则下列表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】解一元二次方程求解集合A，然后求解集合B，逐项判断即可. 【详解】因为，所以， 则，，均正确，错误. 故选：ABD 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若的定义域为，则的定义域为 B. 关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是 C. 函数的值域为 D. 函数在上的值域为，则的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由抽象函数的定义域即可判断A；由含参的一元二次不等式恒成立问题的解法即可判断B；由初等函数单调性可确定函数值域，即可判断C；由二次函数的单调性即可判断D. 【详解】对于A，的定义域为， ，解得， 则的定义域为，故A正确； 对于B，时，成立， 时，，解得， 综上，的取值范围是，故B错误； 对于C，函数的定义域为，且单调递增， 所以，则值域，故C正确； 对于D，，其图象开口向下，对称轴为， ，， 又函数在上的值域为， 所以，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知为正实数，且，则（ ） A. 的最大值为8 B. 的最小值为8 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用基本不等式及“1”的妙用逐项求解判断. 【详解】对于A，由，得，即， 解得，则，当且仅当时取等号，A正确； 对于B，，即， 解得，当且仅当时取等号，B正确； 对于C，由，得，则， 当且仅当时取等号，C错误； 对于D，由，得，且， 因此 ， 当且仅当，即时取等号，D正确. 故选：ABD 三、填空题 12. 已知，，且，则的最小值为______. 【答案】4 【解析】 【分析】应用基本不等式即可得出最小值. 【详解】因为且, 所以, 当且仅当，即时取等最小值. 故答案为： 13. 已知集合，，且，则实数的取值范围为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据包含关系即可列不等式求解. 【详解】由于，故，解得， 故答案为： 14. 已知，且，则的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】利用基本不等式变形，然后解不等式即可. 【详解】由题意，且，当且仅当时，即时等号成立， 令，则上式为：，即， 解得或（舍），所以的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题 15. 已知，，． （1）求及； （2）若，求． 【答案】（1），或. （2）或 【解析】 【分析】（1）将集合化简，结合交集以及并集的运算，即可得到结果； （2）结合交集以及补集的运算，即可得到结果. 【小问1详解】 由已知或． ． ． 或． 【小问2详解】 ． 或． 所以或. 16 已知命题，；命题：对任意，且，不等式恒成立； （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题为真命题，求实数的取值范围； （3）若命题和命题中至少有一个为真命题，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用二次函数的性质解决不等式能成立问题即可； （2）利用基本不等式计算最小值，再解一元二次不等式即可； （3）利用（1）、（2）的结论，分类讨论计算即可. 【小问1详解】 若命题为真命题，则有， 记，时取得等号，所以； 【小问2详解】 易知， 当且仅当时取得等号，所以， 即，所以； 【小问3详解】 由上可知若命题和命题都是真命题，即且， 所以； 若命题为真命题，命题为假命题，则且， 所以； 若命题为假命题，命题为真命题，则且， 所以； 综上所述若命题和命题中至少有一个为真命题，则. 17. 如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花园AMPN，要求B在AM上，D在AN上，且对角线MN过C点，已知米，米． （1）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则AN的长应在什么范围内？ （2）当AN的长度是多少时，矩形的面积最小？并求出最小面积． 【答案】（1） （2）AN长为4米时，矩形的面积最小，最小为24平方米 【解析】 【分析】（1）由题意设出AN的长为x米，因为三角形三角形，则对应线段成比例可知AM，表示出矩形的面积令其大于32得到关于x的一元二次不等式，求出解集即可； （2）解法1：利用当且仅当时取等号的方法求出S的最大值即可； 解法2：讨论函数的增减性得出函数的最大值即可． 【小问1详解】 设的长为x米， 由题意可知：∵，∴，∴， ∴， 由，得， ∵， ∴，即, 解得：或， 即长的取值范围是； 【小问2详解】 解法一：∵， ∴ ， 当且仅当，即时，取“=”号， 即的长为4米，矩形的面积最小，最小为24平方米． 解法二：∵∴， 令得， 当时，，当时， 当时，S取极小值，且为最小值， 即长为4米时，矩形的面积最小，最小为24平方米． 18. 已知函数，． （1）单调性的定义证明在区间上是增函数； （2）解关于的不等式：． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意利用作差法结合单调性定义分析证明； （2）根据函数单调性解不等式，注意函数的定义域. 【小问1详解】 任取，且， 则， 因为，， 则，且，， 可得，则，即， 所以在上单调递增. 【小问2详解】 由（1）知：在上单调递增， 因为，可得，解得：， 故不等式的解集为. 19. 《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、新结论的重要方法． 例如，已知，求证：． 证明：原式． 波利亚在《怎样解题》中也指出：“当你找到第一个蘑菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长．”类似上述问题，我们有更多的式子满足以上特征． 请根据上述材料解答下列问题： （1）已知，求的值； （2）若，解方程； （3）若正数满足，求的最小值． 【答案】（1）1 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意把代入式中可求值； （2）将代入方程可求解； （3）由已知条件可得，利用基本不等式求出的最小值即可． 【小问1详解】 ． 【小问2详解】 原方程可化为： 即： ，即，解得：． 【小问3详解】 ，当且仅当，即时，等号成立， 有最小值，此时有最大值， 从而有最小值，即有最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 禹州市第三高级中学集萃校区 2025-2026学年上学期高一第二次阶段性训练 数学卷 一、单选题 1. “”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 2. 设集合，若，则的值为（ ） A. -2 B. 2 C. -1 D. 1 3. 下列命题为假命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若且，则 D. 若，则 4. 下列选项中是“，”成立的一个必要不充分条件的是（ ） A B. C. D. 5. 已知关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是（ ） A. B. 或 C. D. 或 6. 若函数的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 7. 若满足，，，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 表示不超过最大整数，如，，则“”时“”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 二、多选题 9. 已知集合，.则下列表示正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若的定义域为，则的定义域为 B. 关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是 C. 函数的值域为 D. 函数在上的值域为，则的取值范围为 11. 已知正实数，且，则（ ） A. 的最大值为8 B. 的最小值为8 C. 的最小值为 D. 的最小值为 三、填空题 12. 已知，，且，则的最小值为______. 13. 已知集合，，且，则实数的取值范围为_____. 14. 已知，且，则的取值范围为________. 四、解答题 15. 已知，，． （1）求及； （2）若，求． 16. 已知命题，；命题：对任意，且，不等式恒成立； （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题为真命题，求实数的取值范围； （3）若命题和命题中至少有一个为真命题，求实数的取值范围. 17. 如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花园AMPN，要求B在AM上，D在AN上，且对角线MN过C点，已知米，米． （1）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则AN的长应在什么范围内？ （2）当AN的长度是多少时，矩形的面积最小？并求出最小面积． 18. 已知函数，． （1）单调性的定义证明在区间上是增函数； （2）解关于不等式：． 19. 《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、新结论的重要方法． 例如，已知，求证：． 证明：原式． 波利亚在《怎样解题》中也指出：“当你找到第一个蘑菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长．”类似上述问题，我们有更多的式子满足以上特征． 请根据上述材料解答下列问题： （1）已知，求的值； （2）若，解方程； （3）若正数满足，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $