【轮轮清·期中模拟考试】2026届山东省大联考高三数学学科试题

绝密★启用前 山东省大联考高三数学学科试题 本试卷总分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名，考号等填写在答题卡和试卷指定位置。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 A是 C.$ n号 写在本试卷上无效。 7.若函数f(x)=e+ax一1在区间[0，+o∞)上单调递增，则a的取值范围是 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 A.[-1,+∞) B.[-1,e] C.[-e,+o∞) D.[-e,1] 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 8.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,bc,面积为S,已知S-中mC,c=2厅， 符合题目要求的。 D为边BC的中点，则当AD取得最大值时，sin2∠BAC= 1.已知集合M={-1,0,1},N={x|x-x一2<0}，则M∩N= A停 R25 c吗 n阿 A.(0,1} B.（-1,0} 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目 C.{-1,0,1 D.(0,1,2} 要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 2.已知x=(1+i)(2i-1),则|x= 9.已知函数f(x)=sin(arx十p)(o>0,p<)的部分图象如图所示，f(x)的图象与y轴 A.2 B.2 C.10 D.10 交于点M,与x轴交于点C,点N在f(x)的图象上，点M,N关于点C对称，则下列说法 3已知coe-)-言，则m2a-) 正确的是 A.f(x)的最小正周期是2x A话 R是 c 5 D.12 且f:)的图象关于点(，0)对称 4.“a<号”是方程2+3x十a=0(x∈R)有正实数根的 C.f(x)在区间（一 一)上单调递地 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 D.fx)的图象向右平移君个单位长度后，得到g(x)的图象，则g(x)为奇函数 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 10.我们把由平面内夹角成30°的两条数轴Ox,Oy构成的坐标系称为“@未来坐标系”，e1, 5.已知二次函数f)=a2+2z+ccER)的值城为[2，+)，则+是的最小值为 e:分别为Ox,Oy正方向上的单位向量.若向量OP=xe1+ye2,则把实数对{x,y}叫做 向量OP的“@未来坐标”，记OP={x,y.若向量a,b的“@未来坐标”分别为{x1,y1, A.3 B.4 C.5 D.6 {xy2},则下列说法正确的是 6.赵爽是我国古代著名的数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周牌算经》一书作 序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图①，以弦为边长得到的正方形是由4个 全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的)类比“赵爽弦图”，可类似地构造 B.a十b的“@未来坐标”为{x1十xy,十y:】 如图②所示的图形，它是由6个全等的三角形与中间的一个小正六边形CC2C3C,C:C6 3 C.a.b=xix:+y:42(riy:+zy) 拼成的一个大正六边形A1A:A3A,AsA.若正六边形A1AzA,A,AsA的边长为2， A,C=3A,Ci,A,C=xA,A+yA1A,则x十y= D.若向量a,b的°@未来坐标”分别为sinx,l,cosx,l,则a·b的最大值为3+6 2 高三·数学试题第1页（共4页） 高三·数学试题第2页（共4页） 11.设定义在R上的函数f(x)的导函数是f'(x),且f(x)不是常函数.若y=f(x一1)是偶 17.(15分) 函数，且y=f(x一2)是奇函数，则 A.4是f(x)的一个周期 B.f(x)是偶函数 在AABC中，mAeB+8)-受C C.点(-1,0)是f'(x)图象的对称中心D.受f')=0 (1)求A: (2)若△ABC是等腰三角形，AB=23,D,E是边BC上的动点（异于端点），且∠DAE= 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知向量a=(2m十1，一1)，b=(m,m十1)，若a⊥b,则m的值为 F,求DE长的最小值， 13.设a,b为实数，且ab≠0，虚数之为方程ax2+bx+a=0的一个根，则引g一1一i的最大 值为· 14.若对任意的x1∈（0，十oo),都存在4∈[0，十四)，使得e_1n+≥十e十m十1 成立，则m的取值范围是一· 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18.(17分) 15.(13分) 已知函数f(x)=e一alnx,其中a>0. 已知函数f(x)=3 sin wzcos wr一√3sin'u.x十 2(>0. (1)求曲线y■f(x)在点(1，e)处的切线方程： (2)若f(x)的极小值为e,求a的值： 1)若Vx∈R,fx)≤f(君)引，求w的取值范围： (3)在(2)的条件下，证明：g(x)■f(x)一ex有两个零点. (2若m=1,求fx)在区间[0，]上的值域. 19.(17分) 已知集合A为非空数集，定义：S={x|x=a十b,a,b∈A},T={xx=a一b,a,b∈A}. 16.(15分) (1)若A={1,3},求S,T, 已知向量a=(2cos2x,2sin2x),b=(1,3),其中0<x<元. (2)若A={x1,xgx,x4},x1<x2<x<x4:且T=A,证明：x4=3x2: (1)若a与b共线，求x的值： (3)若A≤{x∈N|0≤x≤2024}，S∩T=⑦，记|A|为A中元素的个数，求|A|的最 (2)若a,b不共线，0A=a,OB=2b,OC=a+b,A,B,C三点共线，A0·AC>0,求x 大值. 的取值范围. 高三·数学试题第3页（共4页】 高三·数学试题第4页（共4页） ·数学· 参考答案及解析 叁考答桌及解折 山东省大联考高三数学学科答案 一、选择题 6.D【解析】如图，设正六边形的中心为点O,连 1.A【解析】因为N={x|(x+1)(x-2)< 接OA1,OA2,OA,OA,则四边形A6A1OA和 0}={x|-1<x<2)},所以M∩N={0,1. A1AOA6为菱形.由A1C=xA1A+yA1A 2.C【解析】因为之=(1+i)(2i-1)=2i-1十 及对称性，得AC1=xAA1+yAA5 22-i=-3+i,所以|x=√10 -x AA+y A:O=-x A:As+y (A:A2+ 3.C【解析】sin(2a-)=cos[2-(2a AA)=(y-x)AA6+yA1A2,所以AC= 】=cos(3F-2a）=cos2(a-) 3A1C=3(A1A+A6C)=3[A1A+(y x)A1A+yA1A2]=3yA1A2+3(1+y 2o*(e-）-1=2x 7 251=25 9 X= 4.B【解析】由方程x2+3x十a=0有正实数 x)AA,则=3， 解得 所 y=3(1+y-x), 3 根，得函数y=x2十3x十a有正零点.抛物线 y= 7 y=x2十3x十a的对称轴为直线x=- ,且 以x+y号 -8<0,所以y=x2+3x十a有一正一负两 2 △=9-4a>0, 个零点，所以 解得a<0.因 a<0, 为(-0,0)(-，]，所以a<”是“方 程x2十3x十a=0(x∈R)有正实数根”的必要 B 不充分条件. 7.D【解析】当x∈[0,1)时，f(x)=e+a(1 5.B【解析】因为抛物线f(x)的对称轴为直线 x).若f'(x)=e-a≥0，则1-a≥0，即a≤1. x=日且a>0,所以f(-)。名+ 当x∈[1，十∞)时，f(x)=e十a(x-1).若 f'(x)=e2+a≥0，则e十a≥0，即a≥-e,因 c=-是+c=2,所以后=6-2由a>0,得c> 此a∈[-e,1]. cc+9 2,所以+9=c-2+9 c 2≥25-8.D【解析】因为S=: F4tanC=a 2sinC,所以 2=4,当且仅当c=9,即c=3时，等号成立， cos C=- 因为C∈(0，x,所以C=于在 所以1+9的最小值为4. a b △ABC中，由正弦定理可知 sin/BAC sin B ·1 ·数学· 参考答案及解析 sinC=4,则b=4sinB,a=4sin∠BAC.在 C B正确；对于C,当x∈(-，-石）时，2x十 △ABC中，c2=a2+b2-2 abcos C=a2+b2 ab=12,即ab=a2+b2-12;在△ACD中， 吾∈(-0小由y=mx不在区间（答o】 AD=星+6-2号·6sC= -+b2 上单调递增，得fx)不在区间（(-2，一石)上单 含6，所以AD-g+6-a+6-12)= 调递增，故C错误；对于D,g(x)=sin2x一2× 6-8sin'B-4sin'BAC+6 若+)=n2x,定义拔为R且g(-2)- sin(-2x)=-sin2x=-g(x),所以g(x)为 8sin'(∠BAC+3）-4sin∠BAC+6=4[1 奇函数，故D正确. ca2∠BAC+号】-21-os2∠BAC)+10.D【解折】对于Ae,·e,=1X1×号- 2 6=4cos2∠BAC+2√3sin2∠BAC+8= 3 ,故A错误；对于B,a+b=x1e1十ye,十 27(27s∠BAC+m∠BAC)+8 x2e1+y2e2=(x1+x2)e1+(y1+y2)e2,即 令sm0=29msg=牙，则AD=27 a+b的“@未来坐标”为{x1十x2,y1十y2, 故B正确；对于C,a·b=(x1e1十y1e2)· sin(0+2∠BAC)+8当9+2∠BAC=2+ (x2e1+y2e2)-x1x2e+y1y2e2+(x1y2+ 2k,k∈Z,即2∠BAC=+2kx-0,k∈乙 ee:=++(十 时，AD取得最大值，此时，sin2∠BAC x2y1),故C正确；对于D,由C选项结论可 sin(2r+-0)-os0=四 知，若向量a,b的“@未来坐标”分别为{sinx, 71 1},{cosx,1},则a·b=sin xcos x+1+ 二、选择题 √3 (sin x cos x).t=sin x cos x= 9.BD【解析】对于A,由点M,N关于点C对 2 称，得T--(-吾)+0-(6)=，故 归sm+引则s如msx-”,显然： A错误；对于B,m-=2,又w>0,则w 的取值范围为[一√2，√2]，所以a·b= 2,2×(-石）十p=2x(兔∈2Z),则9=2kx+ sin zcos 1 (sin cos )2 2 3∈z.又p<受，则g=于，故f(x)= 1+受=(+受)+g所以当= n(2z+当x-时，2z+-+ 时，(a·b)ax= 2)1+1+×2= 2 2,则f()的图象关于点（晉0）对称，故 3+√6 2°，故D正确. ·2· ·数学· 参考答案及解析 11.ACD【解析】由y=f(x-1)是偶函数，得14.(-o∞，-1]【解析】法一：设p(x)=e2一 f(x-1)=f(-x-1),即f(-x)=f(x z∈(0，+o),则p'(x)=e+lnz In x+1 2).由y=f(x-2)是奇函数，得f(-x x2 2)=-f(x-2),即f(-x)=-f(x-4),所 令q(x)=x2e+lnx,则q(x)=(x2+2x)e+ 以f(x一2)=一f(x-4),所以f(x)= 1>0,所以q(x)在区间(0，十∞)上单调递 -f(x-2)=f(x-4),则4是f(x)的一个 周期，故A正确；由f(一x)=一f(x-4)= 增又g(2）-c+1n20,g0=e>0 1 一f(x),得f(x)是奇函数，故B错误；将 所以q(x)在区间(0，十∞)上有唯一零点xo, f(一x)=f(x一2)两边求导可得-f(-x)= 即ze+lnxo=0,所以，e=-ln0= f'(x-2),则点(-1,0)为f'(x)图象的对称 中心，故C正确；因为f(一x)=一f(x),所 -lnxo·eh.令h(x)=xe,则h'(x)= 以f'(x)=f'(-x),即f'(x)=-f'(x e(x+1),当x∈(0，+∞)时，h'(x)>0,即 h(x)在区间(0，十∞)上单调递增，所以由 2),所以f'(1)+f'(2)+f'(3)+f'(4)=0, 且4是(x)的一个周期，所以罗f'() xoe=-lnxo·eno,得h(x)=h(-lnxo), i 所以xo=一lnxo.当x∈(0，xo)时，q(x)< 506[f'(1)+f'(2)+f'(3)+f'(4)]=0,故 0,p'(x)<0,则p(x)在区间(0，xo)上单调递 D正确， 减；当x∈(xo,+∞)时，q(x)>0,9'(x)>0, 三、填空题 则p(x)在区间(xo,十∞)上单调递增，所以 2。士2【解析】因为a⊥b,所以a·b 9(x)i=(20)=e".-In so+1=1+ 即(2m十1)m-(m+1)=0,即2m2=1,解得 xo-1=1.令g(x)=x十e+m+1,x∈ xo m生号 [0,十∞)，易知g(x)在区间[0，十∞)上单调 13.√2十1【解析】因为虚数之为实系数方程 递增，所以g(x)min=0+e°十m十1=m十2， 所以m+2≤1，解得m≤-1. ax2+bx十a=0的一个根，所以乏也是方程的 一个根，所以2…区=合=1.设x=2十ix, 法二：令p(x)=e_nx+1-xe-nx-1 y∈R),在复平面内对应的点P的坐标为(x, e+a-lhx1,易知c≥x十1，所以p(x)≥ y).由之·乏=1，得(x十yi)(x-yi)=1,即 x+lnz+l-Inz-1=1,+In z-0 x2+y2=1,因此点P(x,y)在圆O:x2十 y2=1上运动，圆心O的坐标为(0,0)，半径 时，等号成立，以下同法一 r=1.因为z-1-i=|(x-1)+(y-1)i= 四、解答题 x-1)干Gy-),所以x-1-i可以看成15.解：(1)由题意知f(x)=号sin2ax- 是点P(x,y)与点A(1,1)的距离，显然点A(1, 1)在圆O外，所以|之-1-ix=|PA|x (1-cos2+-5sin(2wx+） 2 2 1OA|+r=12+1+1=√2+1. (2分) ·3· ·数学· 参考答案及解析 因为fx)≤r() ,所以直线x=为曲 1 k-2=0, 入= 所以 解得 2 线y=f(x)的一条对称轴， kλ-k+1=0, k=2, 所以2w· 6 -x十分及∈Z,解得w= 所以Ad·AC=-a…(-2a+b)-2a2 3k+1,k∈Z. (4分) a.b=2-(2cos 2x+23 sin 2x)=2- 又w>0,所以w=3k+1,k∈N, 4cos(2x-)片 (10分) 故ω的取值范围为{wω=3k十1，k∈N}. (6分) 由Ad.AC>0,得2-4cos(2x-3)>0, (2)当a=1时，f(x)=3sin(2x+6): 即cos(x-)<号 (12分) (7分) 因为0≤a受所以后s2:+吾≤任， 由0K<,得-<2x一<警 所以<2x-吾<解得<<元 π5π 所以-2<sin(2x+)≤1， 又a,b不共线， 所以-5<5n(2x+)<厅， (12分) 所以：的取值范围为行，U(答小 (15分) 即fx)在区间[0,2]上的值域为[ - (13分) 1.解：)由inco(B+答)-sinC,得 16.解：(1)因为a与b共线， 2 sin C= 所以2sin2x-2√3cos2x=0, √ 即sin2x=√3cos2x, 2 sin(A+B), (2分) 所以tan2x=√3. (2分) 所以W3 sin Acos B-sin Asin B=√3sinA· 由0<x<π，得0<2x<2π， cosB+√3 cos Asin B, 所以2x-音或2x-行， 即-sin Asin B=√3 cos Asin B. (4分) 因为在△ABC中，sinB≠0， 故x=或x餐 2π (5分) 所以-sinA=√3cosA, (2)由已知，得AB=0B-OA=2b-a,AC= 即tanA=-√3. (5分) 0元-0A=(x-1)a+b. 因为0<A<元，所以A=2 (6分) 因为A,B,C三点共线， 所以存在∈R,使得AB=AC, (2)因为△ABC是等腰三角形，且∠BAC= 3, 即2b-a=k[(入-1)a+b], 整理得(k入一k+1)a十(k-2)b=0.(7分) 所以AB=AC=2W5,BC=6,B=C-8 因为a,b不共线， (8分) 。4· ·数学· 参考答案及解析 如图，设∠ADE=a,则∠AED 2一c 令h(x)=xe-a,则h'(x)=(x十l)e. 3 当x∈(0，+∞)时，h'(x)>0,h(x)单调递增. (5分) 又h(0)=-a<0,h(a)=a(e-1)>0, 所以存在x。∈(0，a),使得h(x。)=0,即 在△ABD中，由正弦定理，得sin(x一a AB xoe*o-a. 当0<x<x0时，h(x)<0,即f'(x)<0, AD -,所以AD= 3 f(x)单调递减； sin 6 sin a (10分) 当x>x。时，h(x)>0,即f'(x)>0,f(x)单 调递增， 在△ADE中，由正弦定理，得 DE 所以f(x)的极小值为f(xo)=eo一aln xo= sin 3 eto-xoetoIn xo-e, (7分) AD 即e-1(1-xoln xo)=1. sn(-e 令s(x)=ex-1(1-xlnx), 则s'(x)=-e-1(1+x)lnx. 所以DE= 3 2 sin asin(-c】 当x∈(0,1)时，s'(x)>0,s(x)单调递增； 当x∈(1，+∞)时，s'(x)<0,s(x)单调递减， 3 3 (10分) sina+√3 sin acos a 1-cos 2a3 2 2 sin 2a 所以s(x)max=s(1)=1, 所以s(x)=1有唯一解x=1, 3 (13分) 2+sn2a-引 即xo=1,则a=e. (11分) (3)证明：由(2)可知a=e,所以g(x)=e elnx一ex,定义域为(0，十∞)， 所以当2a一音-，即a=等时，DE的长最 则g'x)=e--e=e-e1+) 3 小，且DEmin=2, 令x)=e-1+）x>0, 所以DE长的最小值为2. (15分) 18.(1)解：由f(x)=e-alnx,得f'(x)=e- 则tx)=e+号>0， 所以t(x)在区间(0，十∞)上单调递增， 2 (2分) 即g'(x)在区间(0，十∞)上单调递增。 所以f'(1)=e-a, (3分) (12分) 所以曲线y=f(x)在点(1，e)处的切线方程 又g)=-e<0,g(2)=e->0,当z 为y-e=(e-a)(x-1), 即(e-a)x-y十a=0. (4分) 趋近于0时，g'(x)趋近于一∞，当x趋近 (2)解：f(x)的定义域为(0，+∞)，f'(x)= 于十∞时，g'(x)趋近于十∞， e-a-Ie*-a 所以g'(x)连续，且从一∞递增至十∞，存在 唯一的x1∈(1,2)，使得g'(x1)=0, ·5· ·数学· 参考答案及解析 故g(x)在区间(0，x1)上单调递减，在区 又0<x3-x2<x4一x2<x4一x1, 间(x1,十∞)上单调递增. 所以x3一x2=x2,x4一x2=x3,从而x3= 又g(1)=0,所以g(x1)<0. 2x2,x4=x2十x3=3x2, 又当x趋近于0时，g(x)趋近于十∞， 此时x4一x3=x2满足题意， 故x=1是g(x)的一个零点，即g(x)在区 所以x4=3x2. (9分) 间(0，x1)上存在唯一的零点x=1.（14分) (3)解：设A={a1,a2,…,a。}满足题意，其中 又g(3)=e3-eln3-3e>e3-2e-3e=(e2 1≤k≤2025，k∈N*, 5)e>0, 不妨设a1<a2<…<a, 所以g(x)在区间(x1,3)上存在唯一的零点 则2a1<a1十a2<a1十a3<…<a1+a。< a,使得g(a)=0, a2十ag<a3十ag<…<ag-1十ag<2ak, 故g(x)在区间(x1,十∞)上存在唯一的零点. 所以|S|≥2k-1. (11分) (16分) 因为a1-a1<a2-a1<a3-a1<…< 综上，g(x)有两个零点. (17分) ak-a1, 19.(1)解：因为A={1,3}, 所以|T|≥. (12分) 所以S={2,4,6},T={0,2}. (3分) 因为S∩T=,所以|SUT=|S|+|TI≥ (2)证明：因为A={x1,x2,x3,x4〉，x1< 3k-1. (13分) x2<x3<x4,且T=A, 又ST中最小的元素为0，最大的元素 所以T中只包含4个元素， 为2ak, 因为0<x2-x1<x3一x1<x4一x1, 所以|SUT|≤2ak+1,则3k-1≤2ak+1≤ 即T={0,x2-x1,x3-x1,x4一x1},且x1 4049,解得k≤1350. (16分) 0,即T={0,x2,x3,x4} (6分) 综上，lA的最大值是1350. (17分) ·6绝密★启用前 山东省大联考高三数学学科试题 本试卷总分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号等填写在答题卡和试卷指定位置。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 别 符合题目要求的。 1.已知集合M={-1,0,1},N={x|x2-x-2<0},则M∩N= A.{0,1} B.{-1,0} C.{-1,0,1}》 D.{0,1,2} 2.已知之=(1+i)(2i-1),则|之|= A.√2 B.2 C.10 D.10 3已知cose-=青则n(2a到 3元 7 A. 、6 25 B.一12 c D. "是“方程x2+3x十a=0(x∈R)有正实数根”的 4.“a≤4” A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知二次函数f(x)=ax2+2x十c(x∈R)的值域为[2，十∞)，则二+9的最小值为 a A.3 B.4 C.5 D.6 6.赵爽是我国古代著名的数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作 序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图①，以弦为边长得到的正方形是由4个 全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的).类比“赵爽弦图”，可类似地构造 如图②所示的图形，它是由6个全等的三角形与中间的一个小正六边形C1C2C3C4CsC。 拼成的一个大正六边形A1A2A3A4AsA6.若正六边形A1A2A3A4A5A6的边长为2， A1C=3A1C,A1C2=xA1A2+yA1A6,则x十y= 高三·数学试题第1页（共4页） B B A B ① ② A c号 号 7.若函数f(x)=e+a|x-1|在区间[0，+∞)上单调递增，则a的取值范围是 A.[-1,+∞) B.[-1,e] C.[-e,+∞) D.[-e,1] 8。记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,6c,面积为S,已知S-中anC,c=23。 D为边BC的中点，则当AD取得最大值时，sin2∠BAC= 号 B.23 C27 3 7 D.②7 7 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 .已知函数f(x)-sin(ox十)(o>0,p<受)的部分图象如图所示，f(x)的图象与y轴 交于点M,与x轴交于点C,点N在f(x)的图象上，点M,N关于点C对称，则下列说法 正确的是 A.f(x)的最小正周期是2π Rf()的图象关于点（百0）对称 2 C.fx)在区间（一受，-否）上单调递增 D.f(x)的图象向右平移个单位长度后，得到g(x)的图象，则g(x)为奇函数 10.我们把由平面内夹角成30°的两条数轴Ox,Oy构成的坐标系称为“@未来坐标系”，1， e2分别为Ox,Oy正方向上的单位向量.若向量OP=xe1十ye2,则把实数对{x,y}叫做 向量OP的“@未来坐标”，记OP={x,y}.若向量a,b的“@未来坐标”分别为{x1,y1}, {x2,y2},则下列说法正确的是 Aee:-号 B.a十b的“@未来坐标”为{x1+x2,y1十y2} C.a·b=x1t十y1y+ 2(x1y2十x2y1) D.若向量a,b的“@未来坐标分别为(sinx,1,(cosx,1,则a·b的最大值为3+6 2 高三·数学试题第2页（共4页） 11.设定义在R上的函数f(x)的导函数是f'(x),且f(x)不是常函数.若y=f(x一1)是偶 函数，且y=f(x一2)是奇函数，则 A.4是f(x)的一个周期 B.f(x)是偶函数 C.点（一1,0）是f'(x)图象的对称中心 D.登f()=0 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知向量a=(2m十1，-1)，b=(m,m+1),若a⊥b,则m的值为 13.设a,b为实数，且ab≠0，虚数z为方程ax2+bx+a=0的一个根，则|z一1一i的最大 值为 14.若对任意的x1∈(0，十∞)，都存在x,∈[0，十∞)，使得e-1血十 -≥x2十e:+m+1 成立，则m的取值范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知函数f(x)=3 sinc-5sin'ar+5。 2(ω>0). (1)若Vx∈R,f(x)≤f(),求u的取值范围， (2)若ω=1，求f(x)在区间[0,2]上的值域 16.(15分) 已知向量a=(2cos2x,2sin2x),b=(1,W3),其中0<x<π. (1)若a与b共线，求x的值； (2)若a,b不共线，OA=a,OB=2b,OC=λa+b,A,B,C三点共线，AO·AC>0,求x 的取值范围. 高三·数学试题第3页（共4页） 17.(15分) 在△AC巾，nAeB+若)-nC (1)求A; (2)若△ABC是等腰三角形，AB=2W3,D,E是边BC上的动点（异于端点），且∠DAE= 哥，求DE长的最小值 18.(17分) 已知函数f(x)=ex-alnx,其中a>0. (1)求曲线y=f(x)在点(1，e)处的切线方程； (2)若f(x)的极小值为e,求a的值； (3)在(2)的条件下，证明：g(x)=f(x)-ex有两个零点. 19.(17分) 已知集合A为非空数集，定义：S={xlx=a十b,a,b∈A},T={xx=|a-b|,a,b∈A}. (1)若A={1,3},求S,T; （2)若A={x1,x2,x3,x4},x1<x2<x3<x4,且T=A,证明：x4=3x2; (3)若A二{x∈N|0≤x≤2024}，S∩T=,记|A|为A中元素的个数，求|A|的最 大值. 高三·数学试题第4页（共4页） ·数学· 参考答案及解析 叁考答桌及解折 山东省大联考高三数学学科答案 一、选择题 6.D【解析】如图，设正六边形的中心为点O,连 1.A【解析】因为N={x|(x+1)(x-2)< 接OA1,OA2,OA,OA,则四边形A6A1OA和 0}={x|-1<x<2)},所以M∩N={0,1. A1AOA6为菱形.由A1C=xA1A+yA1A 2.C【解析】因为之=(1+i)(2i-1)=2i-1十 及对称性，得AC1=xAA1+yAA5 22-i=-3+i,所以|x=√10 -x AA+y A:O=-x A:As+y (A:A2+ 3.C【解析】sin(2a-)=cos[2-(2a AA)=(y-x)AA6+yA1A2,所以AC= 】=cos(3F-2a）=cos2(a-) 3A1C=3(A1A+A6C)=3[A1A+(y x)A1A+yA1A2]=3yA1A2+3(1+y 2o*(e-）-1=2x 7 251=25 9 X= 4.B【解析】由方程x2+3x十a=0有正实数 x)AA,则=3， 解得 所 y=3(1+y-x), 3 根，得函数y=x2十3x十a有正零点.抛物线 y= 7 y=x2十3x十a的对称轴为直线x=- ,且 以x+y号 -8<0,所以y=x2+3x十a有一正一负两 2 △=9-4a>0, 个零点，所以 解得a<0.因 a<0, 为(-0,0)(-，]，所以a<”是“方 程x2十3x十a=0(x∈R)有正实数根”的必要 B 不充分条件. 7.D【解析】当x∈[0,1)时，f(x)=e+a(1 5.B【解析】因为抛物线f(x)的对称轴为直线 x).若f'(x)=e-a≥0，则1-a≥0，即a≤1. x=日且a>0,所以f(-)。名+ 当x∈[1，十∞)时，f(x)=e十a(x-1).若 f'(x)=e2+a≥0，则e十a≥0，即a≥-e,因 c=-是+c=2,所以后=6-2由a>0,得c> 此a∈[-e,1]. cc+9 2,所以+9=c-2+9 c 2≥25-8.D【解析】因为S=: F4tanC=a 2sinC,所以 2=4,当且仅当c=9,即c=3时，等号成立， cos C=- 因为C∈(0，x,所以C=于在 所以1+9的最小值为4. a b △ABC中，由正弦定理可知 sin/BAC sin B ·1 ·数学· 参考答案及解析 sinC=4,则b=4sinB,a=4sin∠BAC.在 C B正确；对于C,当x∈(-，-石）时，2x十 △ABC中，c2=a2+b2-2 abcos C=a2+b2 ab=12,即ab=a2+b2-12;在△ACD中， 吾∈(-0小由y=mx不在区间（答o】 AD=星+6-2号·6sC= -+b2 上单调递增，得fx)不在区间（(-2，一石)上单 含6，所以AD-g+6-a+6-12)= 调递增，故C错误；对于D,g(x)=sin2x一2× 6-8sin'B-4sin'BAC+6 若+)=n2x,定义拔为R且g(-2)- sin(-2x)=-sin2x=-g(x),所以g(x)为 8sin'(∠BAC+3）-4sin∠BAC+6=4[1 奇函数，故D正确. ca2∠BAC+号】-21-os2∠BAC)+10.D【解折】对于Ae,·e,=1X1×号- 2 6=4cos2∠BAC+2√3sin2∠BAC+8= 3 ,故A错误；对于B,a+b=x1e1十ye,十 27(27s∠BAC+m∠BAC)+8 x2e1+y2e2=(x1+x2)e1+(y1+y2)e2,即 令sm0=29msg=牙，则AD=27 a+b的“@未来坐标”为{x1十x2,y1十y2, 故B正确；对于C,a·b=(x1e1十y1e2)· sin(0+2∠BAC)+8当9+2∠BAC=2+ (x2e1+y2e2)-x1x2e+y1y2e2+(x1y2+ 2k,k∈Z,即2∠BAC=+2kx-0,k∈乙 ee:=++(十 时，AD取得最大值，此时，sin2∠BAC x2y1),故C正确；对于D,由C选项结论可 sin(2r+-0)-os0=四 知，若向量a,b的“@未来坐标”分别为{sinx, 71 1},{cosx,1},则a·b=sin xcos x+1+ 二、选择题 √3 (sin x cos x).t=sin x cos x= 9.BD【解析】对于A,由点M,N关于点C对 2 称，得T--(-吾)+0-(6)=，故 归sm+引则s如msx-”,显然： A错误；对于B,m-=2,又w>0,则w 的取值范围为[一√2，√2]，所以a·b= 2,2×(-石）十p=2x(兔∈2Z),则9=2kx+ sin zcos 1 (sin cos )2 2 3∈z.又p<受，则g=于，故f(x)= 1+受=(+受)+g所以当= n(2z+当x-时，2z+-+ 时，(a·b)ax= 2)1+1+×2= 2 2,则f()的图象关于点（晉0）对称，故 3+√6 2°，故D正确. ·2· ·数学· 参考答案及解析 11.ACD【解析】由y=f(x-1)是偶函数，得14.(-o∞，-1]【解析】法一：设p(x)=e2一 f(x-1)=f(-x-1),即f(-x)=f(x z∈(0，+o),则p'(x)=e+lnz In x+1 2).由y=f(x-2)是奇函数，得f(-x x2 2)=-f(x-2),即f(-x)=-f(x-4),所 令q(x)=x2e+lnx,则q(x)=(x2+2x)e+ 以f(x一2)=一f(x-4),所以f(x)= 1>0,所以q(x)在区间(0，十∞)上单调递 -f(x-2)=f(x-4),则4是f(x)的一个 周期，故A正确；由f(一x)=一f(x-4)= 增又g(2）-c+1n20,g0=e>0 1 一f(x),得f(x)是奇函数，故B错误；将 所以q(x)在区间(0，十∞)上有唯一零点xo, f(一x)=f(x一2)两边求导可得-f(-x)= 即ze+lnxo=0,所以，e=-ln0= f'(x-2),则点(-1,0)为f'(x)图象的对称 中心，故C正确；因为f(一x)=一f(x),所 -lnxo·eh.令h(x)=xe,则h'(x)= 以f'(x)=f'(-x),即f'(x)=-f'(x e(x+1),当x∈(0，+∞)时，h'(x)>0,即 h(x)在区间(0，十∞)上单调递增，所以由 2),所以f'(1)+f'(2)+f'(3)+f'(4)=0, 且4是(x)的一个周期，所以罗f'() xoe=-lnxo·eno,得h(x)=h(-lnxo), i 所以xo=一lnxo.当x∈(0，xo)时，q(x)< 506[f'(1)+f'(2)+f'(3)+f'(4)]=0,故 0,p'(x)<0,则p(x)在区间(0，xo)上单调递 D正确， 减；当x∈(xo,+∞)时，q(x)>0,9'(x)>0, 三、填空题 则p(x)在区间(xo,十∞)上单调递增，所以 2。士2【解析】因为a⊥b,所以a·b 9(x)i=(20)=e".-In so+1=1+ 即(2m十1)m-(m+1)=0,即2m2=1,解得 xo-1=1.令g(x)=x十e+m+1,x∈ xo m生号 [0,十∞)，易知g(x)在区间[0，十∞)上单调 13.√2十1【解析】因为虚数之为实系数方程 递增，所以g(x)min=0+e°十m十1=m十2， 所以m+2≤1，解得m≤-1. ax2+bx十a=0的一个根，所以乏也是方程的 一个根，所以2…区=合=1.设x=2十ix, 法二：令p(x)=e_nx+1-xe-nx-1 y∈R),在复平面内对应的点P的坐标为(x, e+a-lhx1,易知c≥x十1，所以p(x)≥ y).由之·乏=1，得(x十yi)(x-yi)=1,即 x+lnz+l-Inz-1=1,+In z-0 x2+y2=1,因此点P(x,y)在圆O:x2十 y2=1上运动，圆心O的坐标为(0,0)，半径 时，等号成立，以下同法一 r=1.因为z-1-i=|(x-1)+(y-1)i= 四、解答题 x-1)干Gy-),所以x-1-i可以看成15.解：(1)由题意知f(x)=号sin2ax- 是点P(x,y)与点A(1,1)的距离，显然点A(1, 1)在圆O外，所以|之-1-ix=|PA|x (1-cos2+-5sin(2wx+） 2 2 1OA|+r=12+1+1=√2+1. (2分) ·3· ·数学· 参考答案及解析 因为fx)≤r() ,所以直线x=为曲 1 k-2=0, 入= 所以 解得 2 线y=f(x)的一条对称轴， kλ-k+1=0, k=2, 所以2w· 6 -x十分及∈Z,解得w= 所以Ad·AC=-a…(-2a+b)-2a2 3k+1,k∈Z. (4分) a.b=2-(2cos 2x+23 sin 2x)=2- 又w>0,所以w=3k+1,k∈N, 4cos(2x-)片 (10分) 故ω的取值范围为{wω=3k十1，k∈N}. (6分) 由Ad.AC>0,得2-4cos(2x-3)>0, (2)当a=1时，f(x)=3sin(2x+6): 即cos(x-)<号 (12分) (7分) 因为0≤a受所以后s2:+吾≤任， 由0K<,得-<2x一<警 所以<2x-吾<解得<<元 π5π 所以-2<sin(2x+)≤1， 又a,b不共线， 所以-5<5n(2x+)<厅， (12分) 所以：的取值范围为行，U(答小 (15分) 即fx)在区间[0,2]上的值域为[ - (13分) 1.解：)由inco(B+答)-sinC,得 16.解：(1)因为a与b共线， 2 sin C= 所以2sin2x-2√3cos2x=0, √ 即sin2x=√3cos2x, 2 sin(A+B), (2分) 所以tan2x=√3. (2分) 所以W3 sin Acos B-sin Asin B=√3sinA· 由0<x<π，得0<2x<2π， cosB+√3 cos Asin B, 所以2x-音或2x-行， 即-sin Asin B=√3 cos Asin B. (4分) 因为在△ABC中，sinB≠0， 故x=或x餐 2π (5分) 所以-sinA=√3cosA, (2)由已知，得AB=0B-OA=2b-a,AC= 即tanA=-√3. (5分) 0元-0A=(x-1)a+b. 因为0<A<元，所以A=2 (6分) 因为A,B,C三点共线， 所以存在∈R,使得AB=AC, (2)因为△ABC是等腰三角形，且∠BAC= 3, 即2b-a=k[(入-1)a+b], 整理得(k入一k+1)a十(k-2)b=0.(7分) 所以AB=AC=2W5,BC=6,B=C-8 因为a,b不共线， (8分) 。4· ·数学· 参考答案及解析 如图，设∠ADE=a,则∠AED 2一c 令h(x)=xe-a,则h'(x)=(x十l)e. 3 当x∈(0，+∞)时，h'(x)>0,h(x)单调递增. (5分) 又h(0)=-a<0,h(a)=a(e-1)>0, 所以存在x。∈(0，a),使得h(x。)=0,即 在△ABD中，由正弦定理，得sin(x一a AB xoe*o-a. 当0<x<x0时，h(x)<0,即f'(x)<0, AD -,所以AD= 3 f(x)单调递减； sin 6 sin a (10分) 当x>x。时，h(x)>0,即f'(x)>0,f(x)单 调递增， 在△ADE中，由正弦定理，得 DE 所以f(x)的极小值为f(xo)=eo一aln xo= sin 3 eto-xoetoIn xo-e, (7分) AD 即e-1(1-xoln xo)=1. sn(-e 令s(x)=ex-1(1-xlnx), 则s'(x)=-e-1(1+x)lnx. 所以DE= 3 2 sin asin(-c】 当x∈(0,1)时，s'(x)>0,s(x)单调递增； 当x∈(1，+∞)时，s'(x)<0,s(x)单调递减， 3 3 (10分) sina+√3 sin acos a 1-cos 2a3 2 2 sin 2a 所以s(x)max=s(1)=1, 所以s(x)=1有唯一解x=1, 3 (13分) 2+sn2a-引 即xo=1,则a=e. (11分) (3)证明：由(2)可知a=e,所以g(x)=e elnx一ex,定义域为(0，十∞)， 所以当2a一音-，即a=等时，DE的长最 则g'x)=e--e=e-e1+) 3 小，且DEmin=2, 令x)=e-1+）x>0, 所以DE长的最小值为2. (15分) 18.(1)解：由f(x)=e-alnx,得f'(x)=e- 则tx)=e+号>0， 所以t(x)在区间(0，十∞)上单调递增， 2 (2分) 即g'(x)在区间(0，十∞)上单调递增。 所以f'(1)=e-a, (3分) (12分) 所以曲线y=f(x)在点(1，e)处的切线方程 又g)=-e<0,g(2)=e->0,当z 为y-e=(e-a)(x-1), 即(e-a)x-y十a=0. (4分) 趋近于0时，g'(x)趋近于一∞，当x趋近 (2)解：f(x)的定义域为(0，+∞)，f'(x)= 于十∞时，g'(x)趋近于十∞， e-a-Ie*-a 所以g'(x)连续，且从一∞递增至十∞，存在 唯一的x1∈(1,2)，使得g'(x1)=0, ·5· ·数学· 参考答案及解析 故g(x)在区间(0，x1)上单调递减，在区 又0<x3-x2<x4一x2<x4一x1, 间(x1,十∞)上单调递增. 所以x3一x2=x2,x4一x2=x3,从而x3= 又g(1)=0,所以g(x1)<0. 2x2,x4=x2十x3=3x2, 又当x趋近于0时，g(x)趋近于十∞， 此时x4一x3=x2满足题意， 故x=1是g(x)的一个零点，即g(x)在区 所以x4=3x2. (9分) 间(0，x1)上存在唯一的零点x=1.（14分) (3)解：设A={a1,a2,…,a。}满足题意，其中 又g(3)=e3-eln3-3e>e3-2e-3e=(e2 1≤k≤2025，k∈N*, 5)e>0, 不妨设a1<a2<…<a, 所以g(x)在区间(x1,3)上存在唯一的零点 则2a1<a1十a2<a1十a3<…<a1+a。< a,使得g(a)=0, a2十ag<a3十ag<…<ag-1十ag<2ak, 故g(x)在区间(x1,十∞)上存在唯一的零点. 所以|S|≥2k-1. (11分) (16分) 因为a1-a1<a2-a1<a3-a1<…< 综上，g(x)有两个零点. (17分) ak-a1, 19.(1)解：因为A={1,3}, 所以|T|≥. (12分) 所以S={2,4,6},T={0,2}. (3分) 因为S∩T=,所以|SUT=|S|+|TI≥ (2)证明：因为A={x1,x2,x3,x4〉，x1< 3k-1. (13分) x2<x3<x4,且T=A, 又ST中最小的元素为0，最大的元素 所以T中只包含4个元素， 为2ak, 因为0<x2-x1<x3一x1<x4一x1, 所以|SUT|≤2ak+1,则3k-1≤2ak+1≤ 即T={0,x2-x1,x3-x1,x4一x1},且x1 4049,解得k≤1350. (16分) 0,即T={0,x2,x3,x4} (6分) 综上，lA的最大值是1350. (17分) ·6绝密★启用前 山东省大联考高三数学学科试题 本试卷总分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号等填写在答题卡和试卷指定位置。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 别 符合题目要求的。 1.已知集合M={-1,0,1},N={x|x2-x-2<0},则M∩N= A.{0,1} B.{-1,0} C.{-1,0,1}》 D.{0,1,2} 2.已知之=(1+i)(2i-1),则|之|= A.√2 B.2 C.10 D.10 3已知cose-=青则n(2a到 3元 7 A. 、6 25 B.一12 c D. "是“方程x2+3x十a=0(x∈R)有正实数根”的 4.“a≤4” A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知二次函数f(x)=ax2+2x十c(x∈R)的值域为[2，十∞)，则二+9的最小值为 a A.3 B.4 C.5 D.6 6.赵爽是我国古代著名的数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作 序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图①，以弦为边长得到的正方形是由4个 全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的).类比“赵爽弦图”，可类似地构造 如图②所示的图形，它是由6个全等的三角形与中间的一个小正六边形C1C2C3C4CsC。 拼成的一个大正六边形A1A2A3A4AsA6.若正六边形A1A2A3A4A5A6的边长为2， A1C=3A1C,A1C2=xA1A2+yA1A6,则x十y= 高三·数学试题第1页（共4页） B B A B ① ② A c号 号 7.若函数f(x)=e+a|x-1|在区间[0，+∞)上单调递增，则a的取值范围是 A.[-1,+∞) B.[-1,e] C.[-e,+∞) D.[-e,1] 8。记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,6c,面积为S,已知S-中anC,c=23。 D为边BC的中点，则当AD取得最大值时，sin2∠BAC= 号 B.23 C27 3 7 D.②7 7 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 .已知函数f(x)-sin(ox十)(o>0,p<受)的部分图象如图所示，f(x)的图象与y轴 交于点M,与x轴交于点C,点N在f(x)的图象上，点M,N关于点C对称，则下列说法 正确的是 A.f(x)的最小正周期是2π Rf()的图象关于点（百0）对称 2 C.fx)在区间（一受，-否）上单调递增 D.f(x)的图象向右平移个单位长度后，得到g(x)的图象，则g(x)为奇函数 10.我们把由平面内夹角成30°的两条数轴Ox,Oy构成的坐标系称为“@未来坐标系”，1， e2分别为Ox,Oy正方向上的单位向量.若向量OP=xe1十ye2,则把实数对{x,y}叫做 向量OP的“@未来坐标”，记OP={x,y}.若向量a,b的“@未来坐标”分别为{x1,y1}, {x2,y2},则下列说法正确的是 Aee:-号 B.a十b的“@未来坐标”为{x1+x2,y1十y2} C.a·b=x1t十y1y+ 2(x1y2十x2y1) D.若向量a,b的“@未来坐标分别为(sinx,1,(cosx,1,则a·b的最大值为3+6 2 高三·数学试题第2页（共4页） 11.设定义在R上的函数f(x)的导函数是f'(x),且f(x)不是常函数.若y=f(x一1)是偶 函数，且y=f(x一2)是奇函数，则 A.4是f(x)的一个周期 B.f(x)是偶函数 C.点（一1,0）是f'(x)图象的对称中心 D.登f()=0 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知向量a=(2m十1，-1)，b=(m,m+1),若a⊥b,则m的值为 13.设a,b为实数，且ab≠0，虚数z为方程ax2+bx+a=0的一个根，则|z一1一i的最大 值为 14.若对任意的x1∈(0，十∞)，都存在x,∈[0，十∞)，使得e-1血十 -≥x2十e:+m+1 成立，则m的取值范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知函数f(x)=3 sinc-5sin'ar+5。 2(ω>0). (1)若Vx∈R,f(x)≤f(),求u的取值范围， (2)若ω=1，求f(x)在区间[0,2]上的值域 16.(15分) 已知向量a=(2cos2x,2sin2x),b=(1,W3),其中0<x<π. (1)若a与b共线，求x的值； (2)若a,b不共线，OA=a,OB=2b,OC=λa+b,A,B,C三点共线，AO·AC>0,求x 的取值范围. 高三·数学试题第3页（共4页） 17.(15分) 在△AC巾，nAeB+若)-nC (1)求A; (2)若△ABC是等腰三角形，AB=2W3,D,E是边BC上的动点（异于端点），且∠DAE= 哥，求DE长的最小值 18.(17分) 已知函数f(x)=ex-alnx,其中a>0. (1)求曲线y=f(x)在点(1，e)处的切线方程； (2)若f(x)的极小值为e,求a的值； (3)在(2)的条件下，证明：g(x)=f(x)-ex有两个零点. 19.(17分) 已知集合A为非空数集，定义：S={xlx=a十b,a,b∈A},T={xx=|a-b|,a,b∈A}. (1)若A={1,3},求S,T; （2)若A={x1,x2,x3,x4},x1<x2<x3<x4,且T=A,证明：x4=3x2; (3)若A二{x∈N|0≤x≤2024}，S∩T=,记|A|为A中元素的个数，求|A|的最 大值. 高三·数学试题第4页（共4页）·数学· 参考答案及解析 叁考答桌及解折 山东省大联考高三数学学科答案 一、选择题 6.D【解析】如图，设正六边形的中心为点O,连 1.A【解析】因为N={x|(x+1)(x-2)< 接OA1,OA2,OA,OA,则四边形A6A1OA和 0}={x|-1<x<2)},所以M∩N={0,1. A1AOA6为菱形.由A1C=xA1A+yA1A 2.C【解析】因为之=(1+i)(2i-1)=2i-1十 及对称性，得AC1=xAA1+yAA5 22-i=-3+i,所以|x=√10 -x AA+y A:O=-x A:As+y (A:A2+ 3.C【解析】sin(2a-)=cos[2-(2a AA)=(y-x)AA6+yA1A2,所以AC= 】=cos(3F-2a）=cos2(a-) 3A1C=3(A1A+A6C)=3[A1A+(y x)A1A+yA1A2]=3yA1A2+3(1+y 2o*(e-）-1=2x 7 251=25 9 X= 4.B【解析】由方程x2+3x十a=0有正实数 x)AA,则=3， 解得 所 y=3(1+y-x), 3 根，得函数y=x2十3x十a有正零点.抛物线 y= 7 y=x2十3x十a的对称轴为直线x=- ,且 以x+y号 -8<0,所以y=x2+3x十a有一正一负两 2 △=9-4a>0, 个零点，所以 解得a<0.因 a<0, 为(-0,0)(-，]，所以a<”是“方 程x2十3x十a=0(x∈R)有正实数根”的必要 B 不充分条件. 7.D【解析】当x∈[0,1)时，f(x)=e+a(1 5.B【解析】因为抛物线f(x)的对称轴为直线 x).若f'(x)=e-a≥0，则1-a≥0，即a≤1. x=日且a>0,所以f(-)。名+ 当x∈[1，十∞)时，f(x)=e十a(x-1).若 f'(x)=e2+a≥0，则e十a≥0，即a≥-e,因 c=-是+c=2,所以后=6-2由a>0,得c> 此a∈[-e,1]. cc+9 2,所以+9=c-2+9 c 2≥25-8.D【解析】因为S=: F4tanC=a 2sinC,所以 2=4,当且仅当c=9,即c=3时，等号成立， cos C=- 因为C∈(0，x,所以C=于在 所以1+9的最小值为4. a b △ABC中，由正弦定理可知 sin/BAC sin B ·1 ·数学· 参考答案及解析 sinC=4,则b=4sinB,a=4sin∠BAC.在 C B正确；对于C,当x∈(-，-石）时，2x十 △ABC中，c2=a2+b2-2 abcos C=a2+b2 ab=12,即ab=a2+b2-12;在△ACD中， 吾∈(-0小由y=mx不在区间（答o】 AD=星+6-2号·6sC= -+b2 上单调递增，得fx)不在区间（(-2，一石)上单 含6，所以AD-g+6-a+6-12)= 调递增，故C错误；对于D,g(x)=sin2x一2× 6-8sin'B-4sin'BAC+6 若+)=n2x,定义拔为R且g(-2)- sin(-2x)=-sin2x=-g(x),所以g(x)为 8sin'(∠BAC+3）-4sin∠BAC+6=4[1 奇函数，故D正确. ca2∠BAC+号】-21-os2∠BAC)+10.D【解折】对于Ae,·e,=1X1×号- 2 6=4cos2∠BAC+2√3sin2∠BAC+8= 3 ,故A错误；对于B,a+b=x1e1十ye,十 27(27s∠BAC+m∠BAC)+8 x2e1+y2e2=(x1+x2)e1+(y1+y2)e2,即 令sm0=29msg=牙，则AD=27 a+b的“@未来坐标”为{x1十x2,y1十y2, 故B正确；对于C,a·b=(x1e1十y1e2)· sin(0+2∠BAC)+8当9+2∠BAC=2+ (x2e1+y2e2)-x1x2e+y1y2e2+(x1y2+ 2k,k∈Z,即2∠BAC=+2kx-0,k∈乙 ee:=++(十 时，AD取得最大值，此时，sin2∠BAC x2y1),故C正确；对于D,由C选项结论可 sin(2r+-0)-os0=四 知，若向量a,b的“@未来坐标”分别为{sinx, 71 1},{cosx,1},则a·b=sin xcos x+1+ 二、选择题 √3 (sin x cos x).t=sin x cos x= 9.BD【解析】对于A,由点M,N关于点C对 2 称，得T--(-吾)+0-(6)=，故 归sm+引则s如msx-”,显然： A错误；对于B,m-=2,又w>0,则w 的取值范围为[一√2，√2]，所以a·b= 2,2×(-石）十p=2x(兔∈2Z),则9=2kx+ sin zcos 1 (sin cos )2 2 3∈z.又p<受，则g=于，故f(x)= 1+受=(+受)+g所以当= n(2z+当x-时，2z+-+ 时，(a·b)ax= 2)1+1+×2= 2 2,则f()的图象关于点（晉0）对称，故 3+√6 2°，故D正确. ·2· ·数学· 参考答案及解析 11.ACD【解析】由y=f(x-1)是偶函数，得14.(-o∞，-1]【解析】法一：设p(x)=e2一 f(x-1)=f(-x-1),即f(-x)=f(x z∈(0，+o),则p'(x)=e+lnz In x+1 2).由y=f(x-2)是奇函数，得f(-x x2 2)=-f(x-2),即f(-x)=-f(x-4),所 令q(x)=x2e+lnx,则q(x)=(x2+2x)e+ 以f(x一2)=一f(x-4),所以f(x)= 1>0,所以q(x)在区间(0，十∞)上单调递 -f(x-2)=f(x-4),则4是f(x)的一个 周期，故A正确；由f(一x)=一f(x-4)= 增又g(2）-c+1n20,g0=e>0 1 一f(x),得f(x)是奇函数，故B错误；将 所以q(x)在区间(0，十∞)上有唯一零点xo, f(一x)=f(x一2)两边求导可得-f(-x)= 即ze+lnxo=0,所以，e=-ln0= f'(x-2),则点(-1,0)为f'(x)图象的对称 中心，故C正确；因为f(一x)=一f(x),所 -lnxo·eh.令h(x)=xe,则h'(x)= 以f'(x)=f'(-x),即f'(x)=-f'(x e(x+1),当x∈(0，+∞)时，h'(x)>0,即 h(x)在区间(0，十∞)上单调递增，所以由 2),所以f'(1)+f'(2)+f'(3)+f'(4)=0, 且4是(x)的一个周期，所以罗f'() xoe=-lnxo·eno,得h(x)=h(-lnxo), i 所以xo=一lnxo.当x∈(0，xo)时，q(x)< 506[f'(1)+f'(2)+f'(3)+f'(4)]=0,故 0,p'(x)<0,则p(x)在区间(0，xo)上单调递 D正确， 减；当x∈(xo,+∞)时，q(x)>0,9'(x)>0, 三、填空题 则p(x)在区间(xo,十∞)上单调递增，所以 2。士2【解析】因为a⊥b,所以a·b 9(x)i=(20)=e".-In so+1=1+ 即(2m十1)m-(m+1)=0,即2m2=1,解得 xo-1=1.令g(x)=x十e+m+1,x∈ xo m生号 [0,十∞)，易知g(x)在区间[0，十∞)上单调 13.√2十1【解析】因为虚数之为实系数方程 递增，所以g(x)min=0+e°十m十1=m十2， 所以m+2≤1，解得m≤-1. ax2+bx十a=0的一个根，所以乏也是方程的 一个根，所以2…区=合=1.设x=2十ix, 法二：令p(x)=e_nx+1-xe-nx-1 y∈R),在复平面内对应的点P的坐标为(x, e+a-lhx1,易知c≥x十1，所以p(x)≥ y).由之·乏=1，得(x十yi)(x-yi)=1,即 x+lnz+l-Inz-1=1,+In z-0 x2+y2=1,因此点P(x,y)在圆O:x2十 y2=1上运动，圆心O的坐标为(0,0)，半径 时，等号成立，以下同法一 r=1.因为z-1-i=|(x-1)+(y-1)i= 四、解答题 x-1)干Gy-),所以x-1-i可以看成15.解：(1)由题意知f(x)=号sin2ax- 是点P(x,y)与点A(1,1)的距离，显然点A(1, 1)在圆O外，所以|之-1-ix=|PA|x (1-cos2+-5sin(2wx+） 2 2 1OA|+r=12+1+1=√2+1. (2分) ·3· ·数学· 参考答案及解析 因为fx)≤r() ,所以直线x=为曲 1 k-2=0, 入= 所以 解得 2 线y=f(x)的一条对称轴， kλ-k+1=0, k=2, 所以2w· 6 -x十分及∈Z,解得w= 所以Ad·AC=-a…(-2a+b)-2a2 3k+1,k∈Z. (4分) a.b=2-(2cos 2x+23 sin 2x)=2- 又w>0,所以w=3k+1,k∈N, 4cos(2x-)片 (10分) 故ω的取值范围为{wω=3k十1，k∈N}. (6分) 由Ad.AC>0,得2-4cos(2x-3)>0, (2)当a=1时，f(x)=3sin(2x+6): 即cos(x-)<号 (12分) (7分) 因为0≤a受所以后s2:+吾≤任， 由0K<,得-<2x一<警 所以<2x-吾<解得<<元 π5π 所以-2<sin(2x+)≤1， 又a,b不共线， 所以-5<5n(2x+)<厅， (12分) 所以：的取值范围为行，U(答小 (15分) 即fx)在区间[0,2]上的值域为[ - (13分) 1.解：)由inco(B+答)-sinC,得 16.解：(1)因为a与b共线， 2 sin C= 所以2sin2x-2√3cos2x=0, √ 即sin2x=√3cos2x, 2 sin(A+B), (2分) 所以tan2x=√3. (2分) 所以W3 sin Acos B-sin Asin B=√3sinA· 由0<x<π，得0<2x<2π， cosB+√3 cos Asin B, 所以2x-音或2x-行， 即-sin Asin B=√3 cos Asin B. (4分) 因为在△ABC中，sinB≠0， 故x=或x餐 2π (5分) 所以-sinA=√3cosA, (2)由已知，得AB=0B-OA=2b-a,AC= 即tanA=-√3. (5分) 0元-0A=(x-1)a+b. 因为0<A<元，所以A=2 (6分) 因为A,B,C三点共线， 所以存在∈R,使得AB=AC, (2)因为△ABC是等腰三角形，且∠BAC= 3, 即2b-a=k[(入-1)a+b], 整理得(k入一k+1)a十(k-2)b=0.(7分) 所以AB=AC=2W5,BC=6,B=C-8 因为a,b不共线， (8分) 。4· ·数学· 参考答案及解析 如图，设∠ADE=a,则∠AED 2一c 令h(x)=xe-a,则h'(x)=(x十l)e. 3 当x∈(0，+∞)时，h'(x)>0,h(x)单调递增. (5分) 又h(0)=-a<0,h(a)=a(e-1)>0, 所以存在x。∈(0，a),使得h(x。)=0,即 在△ABD中，由正弦定理，得sin(x一a AB xoe*o-a. 当0<x<x0时，h(x)<0,即f'(x)<0, AD -,所以AD= 3 f(x)单调递减； sin 6 sin a (10分) 当x>x。时，h(x)>0,即f'(x)>0,f(x)单 调递增， 在△ADE中，由正弦定理，得 DE 所以f(x)的极小值为f(xo)=eo一aln xo= sin 3 eto-xoetoIn xo-e, (7分) AD 即e-1(1-xoln xo)=1. sn(-e 令s(x)=ex-1(1-xlnx), 则s'(x)=-e-1(1+x)lnx. 所以DE= 3 2 sin asin(-c】 当x∈(0,1)时，s'(x)>0,s(x)单调递增； 当x∈(1，+∞)时，s'(x)<0,s(x)单调递减， 3 3 (10分) sina+√3 sin acos a 1-cos 2a3 2 2 sin 2a 所以s(x)max=s(1)=1, 所以s(x)=1有唯一解x=1, 3 (13分) 2+sn2a-引 即xo=1,则a=e. (11分) (3)证明：由(2)可知a=e,所以g(x)=e elnx一ex,定义域为(0，十∞)， 所以当2a一音-，即a=等时，DE的长最 则g'x)=e--e=e-e1+) 3 小，且DEmin=2, 令x)=e-1+）x>0, 所以DE长的最小值为2. (15分) 18.(1)解：由f(x)=e-alnx,得f'(x)=e- 则tx)=e+号>0， 所以t(x)在区间(0，十∞)上单调递增， 2 (2分) 即g'(x)在区间(0，十∞)上单调递增。 所以f'(1)=e-a, (3分) (12分) 所以曲线y=f(x)在点(1，e)处的切线方程 又g)=-e<0,g(2)=e->0,当z 为y-e=(e-a)(x-1), 即(e-a)x-y十a=0. (4分) 趋近于0时，g'(x)趋近于一∞，当x趋近 (2)解：f(x)的定义域为(0，+∞)，f'(x)= 于十∞时，g'(x)趋近于十∞， e-a-Ie*-a 所以g'(x)连续，且从一∞递增至十∞，存在 唯一的x1∈(1,2)，使得g'(x1)=0, ·5· ·数学· 参考答案及解析 故g(x)在区间(0，x1)上单调递减，在区 又0<x3-x2<x4一x2<x4一x1, 间(x1,十∞)上单调递增. 所以x3一x2=x2,x4一x2=x3,从而x3= 又g(1)=0,所以g(x1)<0. 2x2,x4=x2十x3=3x2, 又当x趋近于0时，g(x)趋近于十∞， 此时x4一x3=x2满足题意， 故x=1是g(x)的一个零点，即g(x)在区 所以x4=3x2. (9分) 间(0，x1)上存在唯一的零点x=1.（14分) (3)解：设A={a1,a2,…,a。}满足题意，其中 又g(3)=e3-eln3-3e>e3-2e-3e=(e2 1≤k≤2025，k∈N*, 5)e>0, 不妨设a1<a2<…<a, 所以g(x)在区间(x1,3)上存在唯一的零点 则2a1<a1十a2<a1十a3<…<a1+a。< a,使得g(a)=0, a2十ag<a3十ag<…<ag-1十ag<2ak, 故g(x)在区间(x1,十∞)上存在唯一的零点. 所以|S|≥2k-1. (11分) (16分) 因为a1-a1<a2-a1<a3-a1<…< 综上，g(x)有两个零点. (17分) ak-a1, 19.(1)解：因为A={1,3}, 所以|T|≥. (12分) 所以S={2,4,6},T={0,2}. (3分) 因为S∩T=,所以|SUT=|S|+|TI≥ (2)证明：因为A={x1,x2,x3,x4〉，x1< 3k-1. (13分) x2<x3<x4,且T=A, 又ST中最小的元素为0，最大的元素 所以T中只包含4个元素， 为2ak, 因为0<x2-x1<x3一x1<x4一x1, 所以|SUT|≤2ak+1,则3k-1≤2ak+1≤ 即T={0,x2-x1,x3-x1,x4一x1},且x1 4049,解得k≤1350. (16分) 0,即T={0,x2,x3,x4} (6分) 综上，lA的最大值是1350. (17分) ·6绝密★启用前 山东省大联考高三数学学科试题 本试卷总分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名，考号等填写在答题卡和试卷指定位置。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 A是 C.$ n号 写在本试卷上无效。 7.若函数f(x)=e+ax一1在区间[0，+o∞)上单调递增，则a的取值范围是 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 A.[-1,+∞) B.[-1,e] C.[-e,+o∞) D.[-e,1] 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 8.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,bc,面积为S,已知S-中mC,c=2厅， 符合题目要求的。 D为边BC的中点，则当AD取得最大值时，sin2∠BAC= 1.已知集合M={-1,0,1},N={x|x-x一2<0}，则M∩N= A停 R25 c吗 n阿 A.(0,1} B.（-1,0} 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目 C.{-1,0,1 D.(0,1,2} 要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 2.已知x=(1+i)(2i-1),则|x= 9.已知函数f(x)=sin(arx十p)(o>0,p<)的部分图象如图所示，f(x)的图象与y轴 A.2 B.2 C.10 D.10 交于点M,与x轴交于点C,点N在f(x)的图象上，点M,N关于点C对称，则下列说法 3已知coe-)-言，则m2a-) 正确的是 A.f(x)的最小正周期是2x A话 R是 c 5 D.12 且f:)的图象关于点(，0)对称 4.“a<号”是方程2+3x十a=0(x∈R)有正实数根的 C.f(x)在区间（一 一)上单调递地 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 D.fx)的图象向右平移君个单位长度后，得到g(x)的图象，则g(x)为奇函数 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 10.我们把由平面内夹角成30°的两条数轴Ox,Oy构成的坐标系称为“@未来坐标系”，e1, 5.已知二次函数f)=a2+2z+ccER)的值城为[2，+)，则+是的最小值为 e:分别为Ox,Oy正方向上的单位向量.若向量OP=xe1+ye2,则把实数对{x,y}叫做 向量OP的“@未来坐标”，记OP={x,y.若向量a,b的“@未来坐标”分别为{x1,y1, A.3 B.4 C.5 D.6 {xy2},则下列说法正确的是 6.赵爽是我国古代著名的数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周牌算经》一书作 序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图①，以弦为边长得到的正方形是由4个 全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的)类比“赵爽弦图”，可类似地构造 B.a十b的“@未来坐标”为{x1十xy,十y:】 如图②所示的图形，它是由6个全等的三角形与中间的一个小正六边形CC2C3C,C:C6 3 C.a.b=xix:+y:42(riy:+zy) 拼成的一个大正六边形A1A:A3A,AsA.若正六边形A1AzA,A,AsA的边长为2， A,C=3A,Ci,A,C=xA,A+yA1A,则x十y= D.若向量a,b的°@未来坐标”分别为sinx,l,cosx,l,则a·b的最大值为3+6 2 高三·数学试题第1页（共4页） 高三·数学试题第2页（共4页） 11.设定义在R上的函数f(x)的导函数是f'(x),且f(x)不是常函数.若y=f(x一1)是偶 17.(15分) 函数，且y=f(x一2)是奇函数，则 A.4是f(x)的一个周期 B.f(x)是偶函数 在AABC中，mAeB+8)-受C C.点(-1,0)是f'(x)图象的对称中心D.受f')=0 (1)求A: (2)若△ABC是等腰三角形，AB=23,D,E是边BC上的动点（异于端点），且∠DAE= 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知向量a=(2m十1，一1)，b=(m,m十1)，若a⊥b,则m的值为 F,求DE长的最小值， 13.设a,b为实数，且ab≠0，虚数之为方程ax2+bx+a=0的一个根，则引g一1一i的最大 值为· 14.若对任意的x1∈（0，十oo),都存在4∈[0，十四)，使得e_1n+≥十e十m十1 成立，则m的取值范围是一· 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18.(17分) 15.(13分) 已知函数f(x)=e一alnx,其中a>0. 已知函数f(x)=3 sin wzcos wr一√3sin'u.x十 2(>0. (1)求曲线y■f(x)在点(1，e)处的切线方程： (2)若f(x)的极小值为e,求a的值： 1)若Vx∈R,fx)≤f(君)引，求w的取值范围： (3)在(2)的条件下，证明：g(x)■f(x)一ex有两个零点. (2若m=1,求fx)在区间[0，]上的值域. 19.(17分) 已知集合A为非空数集，定义：S={x|x=a十b,a,b∈A},T={xx=a一b,a,b∈A}. 16.(15分) (1)若A={1,3},求S,T, 已知向量a=(2cos2x,2sin2x),b=(1,3),其中0<x<元. (2)若A={x1,xgx,x4},x1<x2<x<x4:且T=A,证明：x4=3x2: (1)若a与b共线，求x的值： (3)若A≤{x∈N|0≤x≤2024}，S∩T=⑦，记|A|为A中元素的个数，求|A|的最 (2)若a,b不共线，0A=a,OB=2b,OC=a+b,A,B,C三点共线，A0·AC>0,求x 大值. 的取值范围. 高三·数学试题第3页（共4页】 高三·数学试题第4页（共4页）