精品解析：石家庄市二中西校区2025-2026高一下学期6月月考数学试卷

石家庄二中西校区2025—2026学年度第二学期6月月考 高一年级数学学科试题 （考试时间：120分钟，满分：150分） 一、单选题（本题共10小题，每小题5分，共50分） 1. 设、是任意两个非零向量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合向量垂直关系与数量和意义判断. 【详解】由，得；反之当，也可推出， 所以“”是“”的充要条件. 故选：C 2. 三棱锥中，平面为垂足，则是的 A. 重心 B. 内心 C. 外心 D. 垂心 【答案】C 【解析】 【分析】连接，可证即是的外心. 【详解】如图，连接， 因为平面，平面，所以，同理， 因为，，所以，所以， 同理，故是的外心.故选C. 【点睛】在三棱锥中，如果，那么在平面内的射影为的外心，如果，则那么在平面内的射影为的垂心. 3. 已知向量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平面向量模与数量积的坐标表示分别求得，从而利用平面向量余弦的运算公式即可得解. 【详解】因为，所以， 则，， 所以. 故选：B. 4. 正四棱锥的侧棱长为2，侧棱与底面所成角为，则棱锥的体积为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 18 【答案】B 【解析】 【详解】考点：棱柱、棱锥、棱台的体积． 分析：求出底面正四边形的对角线的长，然后求出边长，求出棱锥的高，即可求出棱锥的体积． 解：正四棱锥的侧棱长为2，侧棱与底面所成的角为60°， 所以底面对角线的长为2××2=2，底面边长为． 棱锥的高为2×=3 棱锥的体积为× ()2×3=6 故选：B 5. 已知向量，满足，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量投影向量的定义，并结合已知的向量的坐标与两向量的数量积计算即可得. 【详解】由，得，因此. 根据向量投影向量的定义，向量在向量上的投影向量为：   将，，，代入得： . 因此，向量在向量上的投影向量为. 6. 已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设圆柱的底面半径为，根据圆锥和圆柱的侧面积相等可得半径的方程，求出解后可求圆锥的体积. 【详解】设圆柱的底面半径为，则圆锥的母线长为， 而它们的侧面积相等，所以即， 故，故圆锥的体积为. 故选：B. 7. 在四棱锥中，底面为平行四边形，E为线段上靠近A的三等分点，F为线段上一点，当平面时，（ ） A. 3 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据线面平行性质定理得出线线平行，再根据平行得出比例关系即可. 【详解】 如图，连接交于点，连接 因为平面平面，平面平面所以， 所以，因为为的三等分点， 则即. 故选：D. 8. 正三棱锥侧棱长为，底面棱长为，该三棱锥内切球表面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设正三棱锥的表面积、体积分别为、 ，设正三棱锥的内切球半径为，由三棱锥体积公式 可求内切球半径，从而求解出内切球的表面积. 【详解】正三棱锥的顶点 在底面的投影为底面中心 ，侧棱长 ， , 则， 侧面为全等的等腰三角形，斜高， 正三棱锥的表面积 ， 正三棱锥的体积， 设正三棱锥的内切球半径为， 由三棱锥体积公式，得 ，解得， 所以. 9. 记的内角的对边分别为，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理得，再利用余弦定理有，由正弦定理得到的值，最后代入计算即可. 【详解】因为，则由正弦定理得. 由余弦定理可得:， 即:，根据正弦定理得， 所以， 因为为三角形内角，则，则. 故选：C. 10. 在如图所示的棱长为1的正方体中.点P在该正方体的表面上运动.且.记点P的轨迹长为.则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图，当时，点P在正方体表面上的轨迹是以圆A上的三段弧，计算即可；当时，点P在正方体表面上的轨迹分别为在平面A1B1C1D1上为圆A1的，在平面B1BCC1上为圆B的，在平面DCC1D1上为圆D的，计算最后相加即可． 【详解】如图，当时，点P在正方体表面上的轨迹是以A为圆心，1为半径的三个面上的三段弧. 分别为，则； 当时，点P在正方体表面上的轨迹分别为在平面上以为圆心，1为半径， 在平面上以B为圆心，1为半径的， 在平面上以D为圆心，1为半径的， 则.所以． 故选：C． 二、多选题（本题共5小题，每小题6分，共30分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得满分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 11. 已知向量，，是三个非零向量，则下列结论正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】A注意，方向相反的情况，B由向量平行的定义，注意向量平行传递性的前提条件，C根据向量数量积的定义有，即不一定成立，D利用向量数量积的运算律求，即可知正误. 【详解】A：，当，方向相反时，错误； B：，，且，，是三个非零向量，则有，正确； C：知：，不一定有，错误； D：即，可得，即，正确. 故选：BD 12. 已知复数在复平面内对应的向量，则下列关于复数的说法正确的是（ ） A. B. 的虚部为 C. D. 复数满足，则的最大值为6 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据复数对应点，复数的模，复数的虚部，复数模的几何意义求解即可. 【详解】复数在复平面内对应的向量，则． 的虚部为，故A，C正确，B错误； 由复数满足，所以点的集合是以点为圆心，以1为半径的圆， 所以，故D正确． 13. 设内角，，的对边分别为，，，则下列条件能判定是等腰三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用正弦定理、三角形内角和性质、三角恒等变换，将各选项的边化角推导角或边的关系，判断是否一定为等腰三角形可得. 【详解】选项A：由正弦定理得，即，又， 所以或，即或， 因此为等腰三角形或直角三角形，不能判定为等腰三角形，故A错误. 选项B：由正弦定理得，，则， 所以，又正弦定理得，即. 所以为等腰三角形，故B正确. 选项C：由正弦定理得，结合， 化简得，所以或，且， 所以或，因此三角形为直角三角形或等腰三角形， 故不能判定一定为等腰三角形，故C错误. 选项D：由正弦定理得，结合， 化简得，又由，得， 所以，即，因此为等腰三角形，故D正确. 14. 将正方形沿对角线折成直二面角，则对于翻折后的几何图形，下列结论正确的是（ ） A. 与所成的角为 B. 与所成的角为 C. 与平面所成角为 D. 二面角的平面角的正切值是 【答案】AD 【解析】 【分析】A.通过线面垂直可证线线垂直；B. 利用余弦定理求解与所成的角；C. 根据线面角定义求解；D.先找出二面角的平面角，再求出正切值. 【详解】设正方形 边长为 ，则对角线 ，取 中点 ，连接 原正方形中，，，且 ，折成直二面角 后，平面 平面 ，交线为 ， 因为 ，且 平面 ，由面面垂直的性质，得 平面 ， 因为平面 故 ， 为等腰直角三角形，； 选项 A：因为，，且 ， 平面， 故 平面 ，因 平面 ，因此 ， 即直线 与 所成角为 ，A 正确； 选项 B：过 作 ，且 ，连接 ，则四边形 为矩形， 所以与互相平分，所以为的中点， （或其补角）就是异面直线 与 所成角, 正方形边长，故， 因为平面， 平面，所以， 因为是的中点，所以是等腰三角形，所以， 所以 所以是等边三角形，所以， 即异面直线 与 所成角为 ，B 错误； 选项 C：因为 平面 ，故 是 在平面 内的射影，则 即为 与平面 所成的角， 在 中，，，，故， 即 ，所以与平面所成角为C 错误； 选项 D：在平面 内，过 作 于 ，连接 , 因为 平面 ， 平面 ，故 ； 又 ，，故 平面 ，因为平面 ， 所以，因此 即为二面角 的平面角， 在等腰直角 中，，，斜边上的高 ， 在 中，，，故， 即二面角 的平面角的正切值是，D 正确. 15. 在中，，直线交于点，则下列说法正确的是（ ） A. 若为的重心，则 B. 若为的外心，则 C. 若为的垂心，则 D. 若为的内心，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用向量数量积的运算律计算判断A；利用正弦定理、余弦定理及等面积思想计算判断BCD. 【详解】对于A，由为的重心，得， 则，A正确； 对于B，由余弦定理得，而为的外心， 由正弦定理得，B正确； 对于C，由为的垂心，则为边上的高，由面积相等可得 ，则，C错误； 对于D，当为的内心时，为的角平分线，故， 由，可得， 解得，D正确. 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 16. 已知等边的边长为3，则________ 【答案】 【解析】 【分析】根据平面数量积概念求解即可. 【详解】. 故答案为： 17. 的内角，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积为____． 【答案】或 【解析】 【详解】在中，由正弦定理得，，解得，， 因为，，， 所以，或，， 当时，，； 当时，，. 综上所述，的面积为或. 18. 已知点均在半径为2的球面上，是边长为3的等边三角形，平面，则________． 【答案】2 【解析】 【分析】先用正弦定理求底面外接圆半径，再结合直棱柱的外接球以及求的性质运算求解. 【详解】如图，将三棱锥转化为正三棱柱， 设的外接圆圆心为，半径为， 则，可得， 设三棱锥的外接球球心为，连接，则， 因为，即，解得. 故答案为：2. 【点睛】方法点睛：多面体与球切、接问题的求解方法 （1）涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题求解； （2）若球面上四点P、A、B、C构成的三条线段PA、PB、PC两两垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，根据4R2＝a2＋b2＋c2求解； （3）正方体的内切球的直径为正方体的棱长； （4）球和正方体的棱相切时，球的直径为正方体的面对角线长； （5）利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解． 19. 如图，已知在矩形ABCD中，，，M为边BC的中点，将，分别沿着直线AM，MD翻折，使得B，C两点重合于点P，则点P到平面MAD的距离为______． 【答案】## 【解析】 【分析】由题意可得平面，设点到平面MAD的距离为h，然后利用等体积法可求得结果. 【详解】因为ABCD为矩形，所以，， 因，平面， 所以平面， 因， 所以， ， 点到平面MAD的距离为h，， 所以，解得． 故答案为： 四、解答题（本大题共4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 20. 如图，三棱锥中，，. （1）求证：； （2）求二面角余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用线线垂直得到线面垂直，进而利用线面垂直性质即可得证； （2）利用二面角平面角定义得出二面角的平面角，求出对应长度即可求出余弦值. 【小问1详解】 取线段AB的中点E，连结VE、CE， 因为，， 所以，. 又因为，平面，平面， 所以平面VEC， 因为平面VEC， 所以. 【小问2详解】 由（1）知：是二面角的平面角， 又等边与等边的边长为4， 所以， 所以， 故所求二面角的余弦值为. 21. 已知，，与的夹角为. （1）求； （2）求向量与向量的夹角的余弦值． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用平面向量数量积可计算得出的值； （2）求出、的值，利用平面向量数量积可求得的值. 【详解】（1）由平面向量数量积的定义可得， 所以，； （2）, ， 因此，. 22. 记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， （1）求B； （2）若的面积为，求c． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出，最后结合已知得的值即可； （2）首先求出，然后由正弦定理可将均用含有式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解. 【小问1详解】 由余弦定理有，对比已知， 可得， 因为，所以， 从而， 又因为，即， 注意到， 所以. 【小问2详解】 由（1）可得，，，从而，， 而， 由正弦定理有， 从而， 由三角形面积公式可知，的面积可表示为 ， 由已知的面积为，可得， 所以. 23. 如图，四边形是边长为4的菱形，平面将菱形沿对角线折起，使得点到达点的位置，且平面平面． （1）求证：平面； （2）若，求多面体体积． 【答案】（1）证明见解析；（2）12． 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，由已知可得，平面平面，得平面，所以，可得答案． （2）算出利用，可得. 【详解】（1）取中点，连接，四边形是边长为4的菱形，， 则为正三角形，所以，而平面平面， 平面平面平面， 所以平面， 因为平面，所以，平面，所以平面． （2）依题意，， 由（1）知，平面， 所以点到平面的距离与点到平面的距离相等，则， 而， 所以多面体的体积为 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 石家庄二中西校区2025—2026学年度第二学期6月月考 高一年级数学学科试题 （考试时间：120分钟，满分：150分） 一、单选题（本题共10小题，每小题5分，共50分） 1. 设、是任意两个非零向量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 2. 三棱锥中，平面为垂足，则是的 A. 重心 B. 内心 C. 外心 D. 垂心 3. 已知向量，则（ ） A. B. C. D. 4. 正四棱锥的侧棱长为2，侧棱与底面所成角为，则棱锥的体积为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 18 5. 已知向量，满足，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 在四棱锥中，底面为平行四边形，E为线段上靠近A的三等分点，F为线段上一点，当平面时，（ ） A. 3 B. 4 C. D. 8. 正三棱锥侧棱长为，底面棱长为，该三棱锥内切球表面积是（ ） A. B. C. D. 9. 记的内角的对边分别为，若，，则（ ） A. B. C. D. 10. 在如图所示的棱长为1的正方体中.点P在该正方体的表面上运动.且.记点P的轨迹长为.则的值为（　　） A. B. C. D. 二、多选题（本题共5小题，每小题6分，共30分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得满分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 11. 已知向量，，是三个非零向量，则下列结论正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，则 12. 已知复数在复平面内对应的向量，则下列关于复数的说法正确的是（ ） A. B. 的虚部为 C. D. 复数满足，则的最大值为6 13. 设内角，，的对边分别为，，，则下列条件能判定是等腰三角形的是（ ） A. B. C. D. 14. 将正方形沿对角线折成直二面角，则对于翻折后的几何图形，下列结论正确的是（ ） A. 与所成的角为 B. 与所成的角为 C. 与平面所成角为 D. 二面角的平面角的正切值是 15. 在中，，直线交于点，则下列说法正确的是（ ） A. 若为的重心，则 B. 若为的外心，则 C. 若为的垂心，则 D. 若为的内心，则 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 16. 已知等边的边长为3，则________ 17. 的内角，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积为____． 18. 已知点均在半径为2的球面上，是边长为3的等边三角形，平面，则________． 19. 如图，已知在矩形ABCD中，，，M为边BC的中点，将，分别沿着直线AM，MD翻折，使得B，C两点重合于点P，则点P到平面MAD的距离为______． 四、解答题（本大题共4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 20. 如图，三棱锥中，，. （1）求证：； （2）求二面角的余弦值. 21. 已知，，与的夹角为. （1）求； （2）求向量与向量的夹角的余弦值． 22. 记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， （1）求B； （2）若的面积为，求c． 23. 如图，四边形是边长为4的菱形，平面将菱形沿对角线折起，使得点到达点的位置，且平面平面． （1）求证：平面； （2）若，求多面体体积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $