精品解析：河北省沧州市南皮县第四中学2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

2025~2026学年第一学期九年级学业水平综合评价（一） 数学（冀教版） （考试时间：120分钟，满分：120分） 卷I（选择题，共36分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知，则的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了比例的基本性质，先根据，化简得，再代入，即可作答． 【详解】解：因为， 所以， 则， 故选：D． 2. 用配方法将转化为的形式，则的值为（　　） A. B. 1 C. D. 2025 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了配方法，通过配方法将方程转化为平方形式，确定参a和b的值，再计算即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 故选B． 3. 如图是甲、乙两位女生9次一分钟跳绳成绩的统计图，则（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查折线图及方差，根据折线图可知甲的成绩比较稳定，然后问题可求解．正确理解方差的意义是解题的关键． 【详解】解：由折线图可知：甲的波动比乙小，即甲的成绩比乙的更为稳定， ∴． 故选：A． 4. 下列各组的四条线段是成比例线段的是（　　） A. B. C. ，， D. ，，， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查成比例线段的判定，根据成比例线段的定义，若，则称四条线段是成比例线段；由比例的基本性质可知，这等价于，依次验证各选项即可． 【详解】解：∵成比例线段满足 A、，，，不成比例，不符合题意； B、，，，不成比例，不符合题意； C、，，，不成比例，不符合题意； D、，，，成比例，符合题意． 故选：D． 5. 若关于x的一元二次方程有实数根，则m的值可以是（　　） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据根的判别式是非负数且二次项系数不等于0求解即可． 【详解】解：由题意，得 且， 解得 且， 故选C． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． 6. 如图，，与相交于点，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例．根据，得到，再代入数据计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 7. 如图，下列条件中，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．根据两角分别相等的两个三角形相似和两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，逐项进行判定即可得到答案． 【详解】解：A、∵，， ∴，故A选项能判定，不符合题意； B、∵，， ∴，故B选项能判定，不符合题意； C、由，不能判定， 因为两边成比例且夹角相等的两个三角形才能判定相似，故C选项不能判定，符合题意； D、∵，， ∴，故D选项能判定，不符合题意； 故选：C． 8. 为了推进“阳光体育”的实施，学校积极开展球类运动．在一次定点投篮测试中，每人投篮5次，八年级某班统计了全班50名学生投中的个数，并记录如下： 投中个数 0 1 2 3 4 5 人数 1 ● 12 ● 17 6 表格中有两处数据不小心被墨汁遮盖了，下列关于投中个数的统计量中，可以确定的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中位数，众数，平均数，方差．本题需确定在数据被遮盖的情况下，哪个统计量仍可确定．通过分析众数、中位数、平均数和方差的计算方式，结合已知数据即可得出结论． 【详解】解：∵总人数为50，投中0个、2个、4个、5个的人数分别为1、12、17、6， ∴投中1个和3个的人数之和为人， ∵众数是出现次数最多的数据，且投中4个的有17人，为当前最大人数． 无论投中1个和3个的人数如何分配投中4个的人数始终最多， ∴众数为4，保持不变，故C选项符合题意． ∵投中0个、1个、2个、3个的人数为人， ∵投中1个和3个的人数之和为14人，而无法确定投中3个的人数， ∴中位数可能为3个或2个， ∴中位数无法确定，故B选项不符合题意． ∵平均数需计算总投中个数，且投中1个和3个的人数未知， ∴总个数和平均数无法确定，故A选项不符合题意， 又方差依赖平均数， ∴方差也无法确定，故D选项不符合题意． 故选C． 9. 如图，在中，，若，，则为（ ） A. 6 B. 9 C. 27 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据，得，即，再证明，故，代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， 与分别以为底，它们的高相等 则， ∴ ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， 故选：C 10. 已知是方程的两个实数根，则的值是（ ） A. 2029 B. 2028 C. 2027 D. 2026 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根，根与系数的关系．由是方程的一个实数根，可得．由根与系数的关系，可得．代入即可求解． 【详解】解：是方程的一个实数根， ， ． 是方程的两个实数根， ． ， 故选A． 11. 如图1，有一张长、宽的矩形硬纸片，裁去角上2个小正方形和2个小矩形（图中阴影部分）之后，恰好折成如图2所示的有盖纸盒．若纸盒的底面积是，则纸盒的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设当纸盒的高为时，纸盒的底面积是，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面积是，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【详解】解：设当纸盒的高为时，纸盒的底面积是， 依题意，得：， 化简，得：， 解得：，． 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去， 答：纸盒的底面积是时，纸盒的高为． 故选：B． 12. 如图，在矩形中，为对角线，为点关于的对称点，连接，，交于点，过点作，垂足为，过点作，垂足为．若，，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查矩形，相似三角形，三角形中位线的知识，解题的关键是掌握矩形的性质，则，求出；根据等腰三角形的判定，则是等腰三角形，根据三角形的性质，则，根据相似三角形的判定和性质，则，求出，最后根据三角形的中位线的性质，求出，即可． 【详解】解：∵为点关于的对称点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∴． 故选：B． 卷Ⅱ（非选择题，共84分） 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 某市举办机器人技能大赛，最终得分由创新设计和现场成绩两部分组成，这两部分的占比如扇形统计图所示．“智慧小组”设计的机器人的创新设计得分为90分，现场成绩得分为80分，则他们设计的机器人的最终得分为_________分． 【答案】84 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数的计算及扇形统计图的应用，解题的关键是根据扇形统计图确定创新设计和现场成绩的权重，再结合对应得分计算最终加权得分．先明确创新设计占比、现场成绩占比；用创新设计得分乘以其权重，加上现场成绩乘以其权重，即可求出最终得分． 【详解】解：由扇形统计图可知，创新设计占最终得分的，现场成绩占最终得分的． 最终得分创新设计得分现场成绩得分． = = 故答案为： 14. 若关于x的方程的一个根是，则的值为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，将已知根代入原方程，得到关于的方程，解出的值即可． 【详解】解：把代入方程， 得，即， ，解得． 故的值为或． 故答案为：或． 15. 如图，古琴，又称“琴”“瑶琴”“玉琴”“绿绮”或“丝桐”是中国传统拨弦乐器，有三千年以上的历史，琴上的一根弦长，两个端点、固定在乐器板面上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点的黄金分割点，则、之间的距离______． 【答案】 【解析】 【分析】根据黄金分割的定义进行计算，即可解答． 本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 【详解】解：支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点的黄金分割点，， ，， ， 、之间的距离为， 故答案为：． 16. 三角形三条中线相交于一点，这个点称为三角形的重心．如图，分别是边的中线，则_________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】连接，如图所示，由三角形中位线的判定与性质得到，进而得到，再由相似三角形的判定与性质求解即可得到答案． 【详解】解：连接，如图所示： 分别是边的中线， ∴是的中位线， ， 则， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，涉及中位线的判定与性质、平行线的性质等知识，熟记相似三角形的判定与性质是解决问题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程 （1） （2） 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程．熟练掌握一元二次方程解法是解题关键． （1）利用因式分解即可求解． （2）移项，用平方差公式分解因式，即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． 18. 如图，在中，，求的长． 【答案】10 【解析】 【分析】利用得到，结合已知即可得解 【详解】解： ∴， ∴． ∴． ∴， 即． ∴ 【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例，结合图形，熟练掌握并应用平行线分线段成比例是解答本题的关键． 19. 已知关于x的一元二次方程（m为常数）． （1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程有两个实数根，且，求m的值． 【答案】（1） 证明：， 无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根． （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，理解一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （1）先求求出一元二次方程根的判别式，然后进行配方判断判别式的符号即可求解； （2）先根据一元二次方程根与系数的关系求出，再整理，最后将代入整理后的方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由根与系数的关系，得． ， ，即，解得． 20. 如图，四边形中，为边上一点，连接，交于点，且，． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）6 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质： （1）证明，可得，从而得到，即可求证； （2）先求出，可得，然后根据，可得，从而得到，再根据，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴，即， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 21. 定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为和，分别以为横、纵坐标得到点，则称点P为该一元二次方程的“两根点”． （1）请你直接写出方程的“两根点”P的坐标； （2）点P是关于x的一元二次方程的“两根点”，若点P在直线上，求“两根点”P的坐标． 【答案】（1） （2）“两根点”P的坐标为． 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程、新定义、一次函数上点的坐标等知识点，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）先解方程得到两根，然后根据“两根点”的定义即可解答； （2）先求出“两根点”点P，然后将点P的坐标代入即可求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， 所以该方程的解为：，， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵点P在直线上， ∴， ∴． ∴“两根点”P的坐标为． 22. 全球已进入人工智能高速发展阶段，人们正在不断学习人工智能相关知识.东莞某学校为提高学生的综合素养，开展了以“人工智能”为主题的知识竞赛活动，现从该校七、八年级中各随机抽取名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用表示，共分为四组：，，，），下面给出了部分信息． 七年级名学生的竞赛成绩：、、、、、、、、、 八年级名学生的部分学生竞赛成绩：、、 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 八年级 根据以上信息，解答下列问题. （1）填空：______，______，并补全条形统计图． （2）若规定竞赛成绩在分及以上为优秀，该校七、八年级参加此次活动的学生分别有人和人．估计在本次活动中七、八年级竞赛成绩为优秀的学生总人数． （3）分析上述信息，你认为该校七、八年级中哪个年级的学生对“人工智能”知识掌握得更好？请说明理由． 【答案】（1），， 补全统计图如下： （2）人 （3） 八年级的学生对“人工智能”知识掌握得更好，理由如下： 七、八年级竞赛成绩的平均数相同，但是八年级的竞赛成绩的中位数、众数都比七年级的高，而方差更小，因此八年级的学生对“人工智能”知识掌握得更好． 【解析】 【分析】（）根据众数和中位数的定义可求出的值，根据条线统计图求出组人数即可补全条形统计图； （）分别用七、八年级参加此次活动的学生人数乘以优秀学生的人数占比，再相加即可求解； （）根据平均数、中位数、众数和方差判断即可求解． 【小问1详解】 解：∵七年级名学生的竞赛成绩中出现次数最多的是，共出现次， ∴众数为， 由条形统计图可得，八年级组的人数为， ∵八年级名学生的竞赛成绩由低到高排列后，中位数是第个和第个学生竞赛成绩的平均数， ∴中位数是， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：， 答：估计在本次活动中七、八年级竞赛成绩为优秀的学生总人数有人； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了条线统计图，中位数，众数，方差，用样本估计总体，掌握中位数、众数和方差的意义是解题的关键． 23. 2025年初，中国神话电影《哪吒2之魔童闹海》风靡全球，于是某书店开始销售《哪吒2》绘本．已知现在每套售价定为30元时，平均每天可售出60套；根据以往同类绘本销售规律：在每套涨价小于10元时，如果每套书每涨价1元，那么少售出4套/天；在每套降价小于10元时，如果每套书每降价1元，那么多售出1套/天． （1）若该书店计划每套书涨价5元，根据以往同类绘本销售规律估计每天获得总销售额是多少； （2）能否通过每套书降价x元（x为整数，），根据以往同类绘本销售规律估计，使每天获得的总销售额刚好与题（1）中的总销售额相等？若能，求出x的值；若不能，请说明理由； （3）根据以往同类绘本销售规律书店设计了两种销售方案： 书店方案一：每套书涨价m元（m为整数，）； 书店方案二：每套书降价n元（n为整数，）． 是否存在这样的m，n数值，使得两种方案总销售额相等？若存在，求的比值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）1400元； （2） 不能，由题意可得：， 解得或， 因为x为整数且，所以都不满足题意，都舍去， 所以每套书降价x元（x为整数，）时，每天获得的销售额不能与题（1）中的总额相等； （3）存在，（）． 【解析】 【分析】本题考查销售问题中的数量关系，一元二次方程的应用和整数解的讨论，根据题意正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）销售额=销售单价销售数量，根据题意作答即可； （2）根据题意得到每套书降价x元时销售额，建立方程求解即可； （3）根据题意建立方程，求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得：， 所以书店每套书涨价5元，估计每天获得总销售额是1400元； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 存在，由题意可得：， 整理得， 解得使两种方案的销售额相等，此时． 24. 如图，在矩形中，点为的中点，连接，过点作，垂足为． （1）求证：； （2）若，，求的长； （3）连接，求证：． 【答案】（1） 证明：四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， 即； （2） （3） 证明：如图，连接，分别延长，交于点， ∵， ，． 在和中，， ， ， ，是的中点， ， ． 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质可证、，根据平行线的性质可证，根据垂直平的性质可证，根据有两个角对应相等的三角形的两相似，可证，根据相似三角形的性质可证结论成立； （2）设，则，，利用勾股定理可得，因为，所以可得，所以可得，根据，可得关于的方程，解方程求出的值，根据矩形的性质即可求出的长； （3）连接，分别延长，交于点，利用可证，根据全等三角形的性质可证，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证结论成立． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，点为的中点， ． ， ， 设，则，， ， 由（1）知， ，即， ， ，且， ， 解得：， ， 的长是； 【小问3详解】 略 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是根据矩形的性质找到相等的角和边，从而证明三角形相似或全等，利用相似三角形或全等三角形的性质证明结论成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年第一学期九年级学业水平综合评价（一） 数学（冀教版） （考试时间：120分钟，满分：120分） 卷I（选择题，共36分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知，则的值等于（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法将转化为的形式，则的值为（　　） A. B. 1 C. D. 2025 3. 如图是甲、乙两位女生9次一分钟跳绳成绩的统计图，则（ ） A. B. C. D. 无法确定 4. 下列各组的四条线段是成比例线段的是（　　） A. B. C. ，， D. ，，， 5. 若关于x的一元二次方程有实数根，则m的值可以是（　　） A. B. C. D. 1 6. 如图，，与相交于点，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，下列条件中，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 8. 为了推进“阳光体育”的实施，学校积极开展球类运动．在一次定点投篮测试中，每人投篮5次，八年级某班统计了全班50名学生投中的个数，并记录如下： 投中个数 0 1 2 3 4 5 人数 1 ● 12 ● 17 6 表格中有两处数据不小心被墨汁遮盖了，下列关于投中个数的统计量中，可以确定的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 9. 如图，在中，，若，，则为（ ） A. 6 B. 9 C. 27 D. 18 10. 已知是方程的两个实数根，则的值是（ ） A. 2029 B. 2028 C. 2027 D. 2026 11. 如图1，有一张长、宽的矩形硬纸片，裁去角上2个小正方形和2个小矩形（图中阴影部分）之后，恰好折成如图2所示的有盖纸盒．若纸盒的底面积是，则纸盒的高为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在矩形中，为对角线，为点关于的对称点，连接，，交于点，过点作，垂足为，过点作，垂足为．若，，则的值为（　　） A. B. C. D. 卷Ⅱ（非选择题，共84分） 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 某市举办机器人技能大赛，最终得分由创新设计和现场成绩两部分组成，这两部分的占比如扇形统计图所示．“智慧小组”设计的机器人的创新设计得分为90分，现场成绩得分为80分，则他们设计的机器人的最终得分为_________分． 14. 若关于x的方程的一个根是，则的值为______． 15. 如图，古琴，又称“琴”“瑶琴”“玉琴”“绿绮”或“丝桐”是中国传统拨弦乐器，有三千年以上的历史，琴上的一根弦长，两个端点、固定在乐器板面上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点的黄金分割点，则、之间的距离______． 16. 三角形三条中线相交于一点，这个点称为三角形的重心．如图，分别是边的中线，则_________． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程 （1） （2） 18. 如图，在中，，求的长． 19. 已知关于x的一元二次方程（m为常数）． （1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程有两个实数根，且，求m的值． 20. 如图，四边形中，为边上一点，连接，交于点，且，． （1）求证：； （2）若，求的长． 21. 定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为和，分别以为横、纵坐标得到点，则称点P为该一元二次方程的“两根点”． （1）请你直接写出方程的“两根点”P的坐标； （2）点P是关于x的一元二次方程的“两根点”，若点P在直线上，求“两根点”P的坐标． 22. 全球已进入人工智能高速发展阶段，人们正在不断学习人工智能相关知识.东莞某学校为提高学生的综合素养，开展了以“人工智能”为主题的知识竞赛活动，现从该校七、八年级中各随机抽取名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用表示，共分为四组：，，，），下面给出了部分信息． 七年级名学生的竞赛成绩：、、、、、、、、、 八年级名学生的部分学生竞赛成绩：、、 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 八年级 根据以上信息，解答下列问题. （1）填空：______，______，并补全条形统计图． （2）若规定竞赛成绩在分及以上为优秀，该校七、八年级参加此次活动的学生分别有人和人．估计在本次活动中七、八年级竞赛成绩为优秀的学生总人数． （3）分析上述信息，你认为该校七、八年级中哪个年级的学生对“人工智能”知识掌握得更好？请说明理由． 23. 2025年初，中国神话电影《哪吒2之魔童闹海》风靡全球，于是某书店开始销售《哪吒2》绘本．已知现在每套售价定为30元时，平均每天可售出60套；根据以往同类绘本销售规律：在每套涨价小于10元时，如果每套书每涨价1元，那么少售出4套/天；在每套降价小于10元时，如果每套书每降价1元，那么多售出1套/天． （1）若该书店计划每套书涨价5元，根据以往同类绘本销售规律估计每天获得总销售额是多少； （2）能否通过每套书降价x元（x为整数，），根据以往同类绘本销售规律估计，使每天获得的总销售额刚好与题（1）中的总销售额相等？若能，求出x的值；若不能，请说明理由； （3）根据以往同类绘本销售规律书店设计了两种销售方案： 书店方案一：每套书涨价m元（m为整数，）； 书店方案二：每套书降价n元（n为整数，）． 是否存在这样的m，n数值，使得两种方案总销售额相等？若存在，求的比值；若不存在，请说明理由． 24. 如图，在矩形中，点为的中点，连接，过点作，垂足为． （1）求证：； （2）若，，求的长； （3）连接，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $