精品解析：　江西省萍乡市鸡冠山中学2025-2026学年上学期第一次月考九年级数学试卷　

2025江西省萍乡市鸡冠山中学 九年级上学期第一次月考数学试卷 大单元·素养测评卷（一） 说明：1．考试范围：第一章1.1～第二章2.4． 2．考试时间120分钟，满分120分． 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 2. 在数学活动课上，老师和同学判断教室中的瓷砖是否为菱形，下面是某小组拟定的4种方案，其中不正确的是（ ） A. 测量两条对角线是否分别平分两组内角 B. 测量四个内角是否相等 C. 测量两条对角线是否互相垂直且平分 D. 测量四条边是否相等 3. 老师设计了接力游戏，用合作的方式完成配方法解方程，规则：每人只能看到前一人给的方程，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后解出方程，过程如图1所示，接力中，自己负责的一步出现错误的是（ ） A. 只有甲 B. 只有丁 C. 乙和丁 D. 甲和丁 4. 嘉嘉在解方程时，只得到一个解是，则他漏掉的解是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，于点，为的中点，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在矩形中，，，点是上一点，将沿翻折，使点落在上，得到．下列哪条线段的长度是方程的一个根（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 已知m是方程的一个根，则的值为______________． 8. 如图，矩形的对角线，相交于点，．．若，，则四边形的周长为______．     9. 如图，数学课上老师给出了以下四个条件：①两组对边分别相等；②一组对边平行且相等；③一组邻边相等；④一个角是直角．写出一个你认为能得到正方形的组合：______．（填序号） 10. 一个矩形的两边长分别是方程的两个根，这个矩形的一条对角线的长是______． 11. 在实数范围内定义运算“☆”和“★”，其规则为：a☆b＝a2+b2，a★b，则方程3☆x＝x★12的解为___． 12. 如图，矩形在平面直角坐标系中，点B，C分别在x轴，y轴上，，点D为的中点，点P沿运动，速度为每秒1个单位长度．若为等腰三角形，则点P的坐标为________． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 解方程： （1）； （2）． 14. 如图，公路，互相垂直，公路的中点M与点C被湖隔开，若测得，，求M，C两点间的距离． 15. 已知：如图，在中，，过点D作交的延长线于点E．求证：四边形是矩形； 16. 已知关于x的一元二次方程 ． （1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根． （2）若，求此方程的根． 17. 老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌遮住了一部分，如图所示． （1）若所捂的部分为，求的值； （2）若所捂的部分为，求的值． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，线段AC是矩形ABCD的对角线． （1）在边AB、CD上分别求作点E、F，使点E、F关于直线AC对称；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，连接AF、CE，求证：四边形AECF是菱形． 19. 如图，四边形是正方形，E是上一点，四边形是菱形． （1）若正方形的边长为1，求线段与之间的距离． （2）求的度数． 20. 先仔细阅读材料，再尝试解决问题， 因式分解的思想对解决其他一些数学问题有很大的帮助，比如求方程的解时，我们可以这样处理： 第一步：将方程的左边通过提取公因式进行因式分解，得． 第二步：根据“两个数之积为零，则这两个数中必有一个数为零”得或． 第三步：分别解上述两个一元一次方程得或． 所以原方程的解为，． 解决问题：请根据上面的解题思路，求方程的解． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 已知：的两边，的长是关于x的方程的两个实数根． （1）若的长为2，求的长？ （2）当a为何值时，是菱形？ 22. 在正方形，点P是直线上一个动点，连接，分别过点B，D作，．垂足分别为E，F． （1）如图1，当点P在边上时，，，这三条线段长度之间的数量关系是______． （2）如图2，如果点P在的延长线上，那么，，这三条线段的长度之间又具有怎样的数量关系？请证明你的结论． （3）若点P在的延长线上，则，，这三条线段的长度之间的数量关系又是怎样的呢？画出图形，并直接写出你的结论． 六、解答题（本大题共12分） 23. 如图，在矩形中，，，E，F是对角线上的两个动点，分别从点A，C同时出发，相向而行，速度均为，运动时间为． （1）若G，H分别是，的中点，当时，求证：以E，G，F，H为顶点的四边形始终是平行四边形． （2）当t为何值时，以E，G，F，H为顶点的四边形是矩形？ （3）若G，H分别是折线，上的动点，分别从点A，C开始，以与E，F相同的速度同时出发，当为何值时，以E，G，F，H为顶点的四边形是菱形？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025江西省萍乡市鸡冠山中学 九年级上学期第一次月考数学试卷 大单元·素养测评卷（一） 说明：1．考试范围：第一章1.1～第二章2.4． 2．考试时间120分钟，满分120分． 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，求出判别式的值，再进行判断根的情况即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根； 故选D． 2. 在数学活动课上，老师和同学判断教室中的瓷砖是否为菱形，下面是某小组拟定的4种方案，其中不正确的是（ ） A. 测量两条对角线是否分别平分两组内角 B. 测量四个内角是否相等 C. 测量两条对角线是否互相垂直且平分 D. 测量四条边是否相等 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形的判定定理分别进行判定即可得到答案． 【详解】解：A、两条对角线是否分别平分两组内角可以判定四边形是不是菱形，故不符合题意； B、四个内角是否相等不能判定四边形是不是菱形，故符合题意； C、两条对角线是否互相垂直且平分可以判定四边形是不是菱形，故不符合题意； D、四条边是否相等可以判定四边形是不是菱形，故不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的判定定理：①邻边相等的平行四边形是菱形；②四条边都相等的四边形是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形的四边形是菱形．熟记菱形的判定定理是解题的关键． 3. 老师设计了接力游戏，用合作的方式完成配方法解方程，规则：每人只能看到前一人给的方程，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后解出方程，过程如图1所示，接力中，自己负责的一步出现错误的是（ ） A. 只有甲 B. 只有丁 C. 乙和丁 D. 甲和丁 【答案】D 【解析】 【分析】根据解一元二次方程-配方法，进行计算即可解答． 【详解】解：由变形得：，故甲错误； 由配方得：，故乙正确； 由得：，故丙正确； 由解得：，故丁错误； ∴接力中，自己负责的一步出现错误的是甲和丁， 故选：D． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握解一元二次方程-配方法是解题的关键． 4. 嘉嘉在解方程时，只得到一个解是，则他漏掉的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用因式分解法解方程，求出两个解，即可得出漏掉的解． 【详解】解：， 因式分解得， ∴ 或， ∴，， ∴ 他漏掉的解是． 故选：A． 【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，属于基础题，掌握因式分解法解一元二次方程的基本步骤是解题的关键． 5. 如图，在中，于点，为的中点，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查直角三角形斜边中线等于斜边的一半，等边三角形的判定和性质，三角形内角和等知识的综合；根据于点，为的中点，可判定，是等边三角形，可求出，由三角形内角和即可求出的度数． 【详解】解：∵于点，为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 6. 如图，在矩形中，，，点是上一点，将沿翻折，使点落在上，得到．下列哪条线段的长度是方程的一个根（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先解方程，得出，由折叠得出，根据勾股定理得出，根据，得出，即可得出答案． 【详解】解：方程的根为： ， 由折叠可知， ， ． ， ， 的长度是方程的一个根． 【点睛】本题巧妙地将代数问题与几何问题结合在一起，主要考查了二元一次方程根的求解、翻折的性质、勾股定理、矩形的性质，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的求根公式，并能用含，的代数式正确表示出图形中各线段的长度． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 已知m是方程的一个根，则的值为______________． 【答案】2024 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，将代入，得到，即可求得的值． 【详解】解：∵m是方程的一个根， ∴， ∴． 故答案为：2024． 8. 如图，矩形的对角线，相交于点，．．若，，则四边形的周长为______．     【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理．由，，可证得四边形是平行四边形，又由四边形是矩形，根据矩形的性质，，即可判定四边形是菱形，继而求得答案． 【详解】 解：∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵四边形是矩形， ∴，， ∴四边形是菱形． ∵，， ∴，即， ∴四边形的周长为． 故答案为：． 9. 如图，数学课上老师给出了以下四个条件：①两组对边分别相等；②一组对边平行且相等；③一组邻边相等；④一个角是直角．写出一个你认为能得到正方形的组合：______．（填序号） 【答案】①③④或②③④ 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的判定，熟练掌握正方形的判定方法是解决问题的关键． 根据有一个角是直角的菱形是正方形即可求解． 【详解】解：由①得到两组对边分别相等的四边形是平行四边形，添加③得一组邻边相等的平行四边形是菱形，再添加④得一个角是直角的菱形是正方形； 由②得到一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，同样再添加③④即可得到正方形． 故能得到正方形的组合有①③④或②③④． 故答案为：①③④或②③④． 10. 一个矩形的两边长分别是方程的两个根，这个矩形的一条对角线的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，解方程，得，，推出矩形对角线的长为； 【详解】解：解方程，得，， ∴矩形对角线的长为． 故答案为：． 11. 在实数范围内定义运算“☆”和“★”，其规则为：a☆b＝a2+b2，a★b，则方程3☆x＝x★12的解为___． 【答案】x=3 【解析】 【分析】根据新定义运算列式，对方程进行变形，由此求得方程的解； 【详解】解：由题意得：3☆x＝x★12 即, 32+x2= 9+ x2=6x x2-6x+9=0 (x-3)2=0 ∴x1=x2=3 故答案为：x=3 【点睛】本小题主要考查新定义运算的理解和运用，考查一元二次方程的解法，属于基础题． 12. 如图，矩形在平面直角坐标系中，点B，C分别在x轴，y轴上，，点D为的中点，点P沿运动，速度为每秒1个单位长度．若为等腰三角形，则点P的坐标为________． 【答案】或或 【解析】 【分析】根据矩形中点的坐标求出相应线段的长度，设运动时间为t秒，分，，，三种情况，结合等腰三角形的定义和勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：在矩形中，， ∴，， ∵D为的中点， ∴， ∴，， 设运动时间为t秒， 当时， 点P与点C重合，此时； 当时， ，， ∵， ∴， 解得：， ∴，即； 当时， 同理：， ∵， ∴， 解得：或（舍）， ∴，即； 综上：点P的坐标为或或， 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了坐标与图形，矩形的性质，等腰三角形的定义，勾股定理，解题的关键是找准所有情况，利用等腰三角形两腰相等结合勾股定理列出方程求解． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法求解可得； （2）利用公式法求解可得． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 则或， 解得； 【小问2详解】 解： 移项得 ， ， 方程有两个不相等的实数根， ， ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 14. 如图，公路，互相垂直，公路的中点M与点C被湖隔开，若测得，，求M，C两点间的距离． 【答案】M，C两点间的距离为． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，两点之间的距离．掌握这些是解题的关键． 先用勾股定理求出的值，再利用直角三角形斜边中线的性质即可求出答案． 【详解】解：在中， ∵，， ∴． 又∵点M是的中点， ∴． 即M，C两点间的距离为． 15. 已知：如图，在中，，过点D作交的延长线于点E．求证：四边形是矩形； 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． 【解析】 【分析】先证明四边形是平行四边形，再根据，得到，即可得证． 【详解】略 【点睛】本题考查矩形的判定．熟练掌握平行四边形的对边平行，有一个角是的平行四边形是矩形，是解题的关键． 16. 已知关于x的一元二次方程 ． （1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根． （2）若，求此方程的根． 【答案】（1） 证明：， ∵， ∴． ∴无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根． （2）， 【解析】 【分析】本题考查根据判别式判断一元二次方程根的情况，以及方程的求解，掌握相关结论即可； （1）对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根；若，则方程有两个相等的实数根；若，则方程没有实数根．据此即可求解． （2）利用配方法即可求解； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：当时，方程为， 配方，得，， ∴，． 17. 老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌遮住了一部分，如图所示． （1）若所捂的部分为，求的值； （2）若所捂的部分为，求的值． 【答案】（1）或； （2）或． 【解析】 【分析】()根据题意可得，利用因式分解法解答，即可求解； ()根据题意可得，再利用因式分解法解答，即可求解． 【小问1详解】 由已知得，， ∴， 解得或； 【小问2详解】 由已知得，， ∴， 解得或． 【点睛】此题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程方法是解题的关键． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，线段AC是矩形ABCD的对角线． （1）在边AB、CD上分别求作点E、F，使点E、F关于直线AC对称；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，连接AF、CE，求证：四边形AECF是菱形． 【答案】 （1）如图点E、F为所求作的点； （2）设AC与EF交于点O． ∵四边形ABCD是矩形，且， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵AC是EF的垂直平分线， ∴，， ∴， ∴四边形ABCD为菱形． 【解析】 【分析】（1）作线段AC的垂直平分线即可； （2）利用ASA证明，再根据线段AC的垂直平分线的性质即可证明四边形AECF是菱形． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握菱形的性质，线段垂直平分线的尺规作图等知识点． 19. 如图，四边形是正方形，E是上一点，四边形是菱形． （1）若正方形的边长为1，求线段与之间的距离． （2）求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了正方形和菱形的性质，以及勾股定理等知识． （1）过点D作，则线段的长就是平行线与之间的距离．推出，，根据，即可求解； （2）根据，，推出，即可求解； 【小问1详解】 解：（1）如图，过点D作，垂足为点G，则线段的长就是平行线与之间的距离． 由题意得：，， ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，解得． 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴． 20. 先仔细阅读材料，再尝试解决问题， 因式分解的思想对解决其他一些数学问题有很大的帮助，比如求方程的解时，我们可以这样处理： 第一步：将方程的左边通过提取公因式进行因式分解，得． 第二步：根据“两个数之积为零，则这两个数中必有一个数为零”得或． 第三步：分别解上述两个一元一次方程得或． 所以原方程的解为，． 解决问题：请根据上面的解题思路，求方程的解． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，注意计算的准确性即可；原方程化简得．因式分解，得．即可求解； 【详解】解：原方程化简得． 因式分解，得． ∴或． 解得，． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 已知：的两边，的长是关于x的方程的两个实数根． （1）若的长为2，求的长？ （2）当a为何值时，是菱形？ 【答案】（1）AD的长为5 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可知，是关于x的方程的实数根，将代入原方程可求出a值，进而可得出原方程为，再利用因式分解法，即可求出方程的两个实数根，进而可得出的长； （2）利用菱形的性质，可得出关于x的方程有两个相等的实数根，根据，可求出a的值，将其代入原方程中，解之可求出菱形的边长，再利用菱形的周长计算公式，即可求出此时菱形的周长． 【小问1详解】 解：∵的长为2， ∴根据题意，得． 解得． ∴方程为：． 解得，． ∴求得AD的长为5． 【小问2详解】 解：∵是菱形， ∴． ∴ 解得，． 经检验，当时，解得，不合题意，舍去． ∴当时，是菱形． 【点睛】本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程、配方法解一元二次方程、平行四边形的性质以及菱形的判定与性质，解题的关键是：（1）代入，求出a的值；（2）利用菱形的性质及根的判别式，求出a的值． 22. 在正方形，点P是直线上一个动点，连接，分别过点B，D作，．垂足分别为E，F． （1）如图1，当点P在边上时，，，这三条线段长度之间的数量关系是______． （2）如图2，如果点P在的延长线上，那么，，这三条线段的长度之间又具有怎样的数量关系？请证明你的结论． （3）若点P在的延长线上，则，，这三条线段的长度之间的数量关系又是怎样的呢？画出图形，并直接写出你的结论． 【答案】（1）； （2） 证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． （3） ，，之间的数量关系是． 画出图形如图所示． 证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据正方形的性质可得，再根据同角的余角相等求出，再证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得然后结合图形求解即可； （2）同（1）证明两个三角形全等，再结合图形求解； （3）同（1）证明两个三角形全等，再结合图形求解． 【小问1详解】 解：； 证明：， 四边形是正方形， ， ， 在和中 ， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 六、解答题（本大题共12分） 23. 如图，在矩形中，，，E，F是对角线上的两个动点，分别从点A，C同时出发，相向而行，速度均为，运动时间为． （1）若G，H分别是，的中点，当时，求证：以E，G，F，H为顶点的四边形始终是平行四边形． （2）当t为何值时，以E，G，F，H为顶点的四边形是矩形？ （3）若G，H分别是折线，上的动点，分别从点A，C开始，以与E，F相同的速度同时出发，当为何值时，以E，G，F，H为顶点的四边形是菱形？ 【答案】（1） 解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵G，H分别是，的中点， ∴，， ∴． ∵E，F分别从点A，C同时出发，相向而行，速度均为，且， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴以E，G，F，H为顶点的四边形始终是平行四边形． （2）当t为或时，以E，G，F，H为顶点的四边形是矩形 （3）当时，四边形是菱形 【解析】 【分析】（1）当时，可证得，从而，，进而得出，从而，从而四边形是平行四边形； （2）平行四边形变矩形需对角线相等，先确定长度，再分E、F运动的不同阶段，根据与的数量关系列方程求解； （3）连接、，判定四边形是菱形，得到，根据勾股定理求出，得到的长，根据题意解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图1，连接． 由（1）可知当时，四边形是平行四边形， 同理可得当时，四边形也是平行四边形． 在中，∵，， ∴， ∵G，H分别是，的中点， ∴， ∴当时，四边形是矩形． 分两种情况：①若， 则， 解得； ②若， 则， 解得． 综上，当t为或时，以E，G，F，H为顶点的四边形是矩形． 【小问3详解】 如图2，连接，． ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴． 设，则， 由勾股定理，得， 即，解得， ∴， ∴，， ∴当时，四边形是菱形． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，平行四边形的判定，全等三角形判定与性质，勾股定理，解题关键是熟练掌握特殊四边形的判定与性质，结合图形分情况分析，运用勾股定理等建立方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $