精品解析：四川省内江市第六中学2025-2026学年高三上学期第一次月考数学试题

内江六中2025—2026学年（上）高2026届第一次月考 数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 第I卷选择题（满分58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 2. 已知函数，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. 下列函数中，既是偶函数，又是上的减函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 样本数据40，70，110，130，160，200，200，290，320的极差和中位数分别为（ ） A. 280，160 B. 280，130 C. 250，160 D. 250，145 5. 数列，则（ ） A. 44 B. 143 C. 165 D. 502 6. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最大值为 7. 已知函数，若关于的方程（）有四个不同的根，它们从小到大依次记为，，，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，，都恒成立， 且函数在上单调递增.则的值为（ ） A. 3 B. 9 C. 3或9 D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知是随机事件，且，则下列说法正确的有（ ） A. 与可能为互斥事件 B. 若，则与相互独立 C. 若，则 D. 若与相互独立，则 10. 设，且，则下列关系式可能成立的是（ ） A. B. C. D. 11. 在中，角，，所对的边长分别为a，b，c，且满足．点在线段的延长线上，则下列选项中正确的是（ ） A. B. 若，则 C. D. 若，当点运动时，为定值 第II卷 非选择题（满分92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，且，则_____． 13. 某高中学校经过推荐和选拔，挑选6名同学（4名男生、2名女生）参加奥林匹克生物竞赛，并进行合影留念．若女生必须相邻，则有___________种不同的排法．（用数字作答） 14. 三个内角的对边分别为且且，则角C的大小为______，______． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知是公差为2的等差数列，是公比为2的等比数列，满足． （1）求数列，的通项公式； （2）记，的前n项和分别为，若，求n的值． 16. 随着科技的发展，人工智能生成的虚拟角色正逐步取代传统的真人直播带货.某公司使用虚拟角色直播带货后销售金额逐步提升，根据该公司使用虚拟角色直播带货后20个月的销售金额的情况统计，得到一组样本数据，其中和分别表示月份编号和销售金额（单位：万元），并计算得，，. （1）求样本的相关系数（精确到），并推断销售金额（单位：万元）和月份编号的相关程度； （2）已知这20个月中有8个月的销售金额低于平均数，从这20个月中随机抽取2个月的销售金额，记抽到销售金额低于平均数的月份数为，求随机变量的分布列. 附：相关系数. 17. 设函数，其中，已知函数的图象关于点成中心对称． （1）求函数解析式； （2）若，且． （i）求的值； （ii）求值． 18. 在中，三个内角的对边分别为．已知. （1）求角； （2）将射线AB绕点A旋转交线段BC于点E，已知. （i）若，求c； （ii）求面积的最小值. 19. 已知函数. （1）若，求的单调区间; （2）若，求证:; （3）若使得，求证:. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 内江六中2025—2026学年（上）高2026届第一次月考 数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 第I卷选择题（满分58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】先解一元二次不等式，再利用补集的定义直接求解. 【详解】由，得，则， 所以或. 故选：C 2. 已知函数，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】由分段函数的解析式代入计算即可. 【详解】由题意得. 故选：B. 3. 下列函数中，既是偶函数，又是上的减函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据基本初等函数的性质，以及复合函数的性质，判断选项. 【详解】A.是偶函数，在区间上有增区间也有减区间，故A错误； B. 函数不是偶函数，在区间上单调递增，故B错误； C.函数定义域为，满足，所以函数是偶函数，，，所以函数在区间上不是减函数，故C错误； D.函数是偶函数，外层函数是增函数，内层函数在区间是减函数，所以函数在区间上是减函数，故D正确. 故选：D 4. 样本数据40，70，110，130，160，200，200，290，320的极差和中位数分别为（ ） A. 280，160 B. 280，130 C. 250，160 D. 250，145 【答案】A 【解析】 【分析】利用极差和中位数公式求解. 【详解】样本数据40，70，110，130，160，200，200，290，320，最小数为40，最大数为320， 则极差为；这组数据共有9个，因此第五个数据是中位数，即中位数为160. 故选：A 5. 数列，则（ ） A. 44 B. 143 C. 165 D. 502 【答案】C 【解析】 【分析】利用分组求和及等差数列求和公式计算即可. 【详解】易知. 故选：C 6. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最大值为 【答案】C 【解析】 【分析】利用均值不等式和平方均值不等式即可求解. 【详解】由基本不等式得，即， 当且仅当时取得等号，故A，B错误; 由恒成立可知：，当且仅当时等号成立，D错误． 故选：C. 7. 已知函数，若关于的方程（）有四个不同的根，它们从小到大依次记为，，，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析可知与的图象有4个交点，结合函数的图象，可得，，，代入运算求解即可. 【详解】作出函数的图象， 关于的方程有四个不同的解， 可知与的图象有4个交点， 结合图象可得，且，即， 又因为，即， 可得，所以，即， 则， 因为在内单调递增，且，， 可知，即，可得， 所以的取值范围是. 故选：C. 【点睛】方法点睛：数形结合的重点是“以形助数”，在解题时要注意培养这种思想意识，做到心中有图，见数想图，以开拓自己的思维．使用数形结合法的前提是题目中的条件有明确的几何意义，解题时要准确把握条件、结论与几何图形的对应关系，准确利用几何图形中的相关结论求解． 8. 已知函数，，都恒成立， 且函数在上单调递增.则的值为（ ） A. 3 B. 9 C. 3或9 D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出后结合题意可得，，结合周期性与题意所给单调性可得或，再分别验证即可得. 【详解】，由， 则有，即，， 由，则，故，， 则，，， 化简得，，， 令，则，， 由函数在上单调递增，则，即， 又，则或， 当时，， 则，，又，则， 当时，， 由在上单调递增，故在上单调递增， 故时符合题意； 当时，， 则，，又，则， 当时，， 由在上单调递减，在上单调递增， 故在上不单调，故不合题意； 综上所述：. 故选：A. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知是随机事件，且，则下列说法正确的有（ ） A. 与可能为互斥事件 B. 若，则与相互独立 C. 若，则 D. 若与相互独立，则 【答案】BC 【解析】 【分析】由题设结合独立事件、互斥事件的定义、概率公式与性质逐项判断即可. 【详解】选项A：因为，所以，与不可能为互斥事件，A说法错误； 选项B：因为，所以若，则与相互独立，B说法正确； 选项C：若，则，C说法正确； 选项D：若与相互独立，则与也相互独立，证明如下： 因为与互斥，且， 所以， 所以，即与也相互独立， 所以， 因为，所以， 代入得，D说法错误； 故选：BC 10. 设，且，则下列关系式可能成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】首先求出，再分别构造函数，结合导数，利用函数单调性一一分析即可. 【详解】由于，知，及其，则，解得． AB项，，设函数， 则，故在上单调递减，则， 故函数的值域为．而，，故A对B错； C，D项，由于，设， 则，故在上单调递减，所以， 故函数的值域为，若，则，故C对，D错. 故选：AC. 11. 在中，角，，所对的边长分别为a，b，c，且满足．点在线段的延长线上，则下列选项中正确的是（ ） A. B. 若，则 C. D. 若，当点运动时，为定值 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用正弦定理与余弦定理的边角变换可判断A；结合A选项化简可得，，再由余弦定理化简计算即可判断B；结合A选项，由正弦定理化简可判断C；利用诱导公式与余弦定理，结合A选项化得，从而可判断D. 【详解】对于A，因为，由正弦定理可得， 再由余弦定理得，整理得，故A正确； 对于B，若，则，则，， 由余弦定理可得，故B错误； 对于C，由可知：， 因为， 由正弦定理得，， 即，因为，所以， 所以，故或（不符合题意舍去），故C正确； 对于D，因为互补，所以， 结合余弦定理可得，因为，， 则，整理得，又， 则， 从而，故为定值，故D正确. 故选：ACD. 第II卷 非选择题（满分92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，且，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】应用向量垂直的坐标表示列方程求参数值. 【详解】由，则，可得. 故答案为： 13. 某高中学校经过推荐和选拔，挑选6名同学（4名男生、2名女生）参加奥林匹克生物竞赛，并进行合影留念．若女生必须相邻，则有___________种不同的排法．（用数字作答） 【答案】240 【解析】 【分析】根据题意，使用捆绑法，2名女生相邻，将其排在一起当做一个元素，有2种情况，再将其与其他4名男生全排列，由分步计数原理乘法公式，计算可得答案． 【详解】根据题意，分2步进行， 先将2名女生排在一起，看成一个元素，考虑其顺序，有种情况， 再将其与其他4名男生全排列，有种情况， 则其不同的排列方法为种， 故答案为：240． 14. 三个内角的对边分别为且且，则角C的大小为______，______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用边化角，再由内角和定理和两角和的余弦公式进行化简，通过分类讨论或反证法来得到，利用第一问答案，代入第二个式子就可以化简为，从而可求角，即可求值. 【详解】由正弦定理可得，由诱导公式，， 展开可得， 即， 下证． 方法一：分类讨论 若，则可知等式成立； 若，即， 由诱导公式和正弦函数的单调性可知，，同理， 又，于是， 与条件不符，则不成立； 若，类似可推导出， 则不成立．综上讨论可知，，即． 方法二：边角转化 时，由，则， 于是，由正弦定理，， 再由余弦定理可知，，则， 若，则，注意到，则， 于是（两者同负会有两个钝角，不成立）， 于是，结合， 而都是锐角，则， 于是，这和相矛盾， 故不成立，则 第二空：由， 由，则，即， 则，不妨设，则，即， 由两角和差的余弦公式可知． 故答案为：， 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知是公差为2的等差数列，是公比为2的等比数列，满足． （1）求数列，的通项公式； （2）记，的前n项和分别为，若，求n的值． 【答案】（1）； （2）15 【解析】 【分析】（1）根据等差数列和等比数列的性质，列出方程组，求出参数，写出通项公式即可； （2）根据等差数列和等比数列的前项和公式，写出前项和，列出方程，求出结果即可. 【小问1详解】 由题意得，， 又因为， 则，又 解得，可得， 因此，. 【小问2详解】 由（1）得，， 由，得，即，解得． 16. 随着科技的发展，人工智能生成的虚拟角色正逐步取代传统的真人直播带货.某公司使用虚拟角色直播带货后销售金额逐步提升，根据该公司使用虚拟角色直播带货后20个月的销售金额的情况统计，得到一组样本数据，其中和分别表示月份编号和销售金额（单位：万元），并计算得，，. （1）求样本的相关系数（精确到），并推断销售金额（单位：万元）和月份编号的相关程度； （2）已知这20个月中有8个月的销售金额低于平均数，从这20个月中随机抽取2个月的销售金额，记抽到销售金额低于平均数的月份数为，求随机变量的分布列. 附：相关系数. 【答案】（1），相关性强 （2）分布列见解析 【解析】 【分析】（1）由条件结合相关系数公式求出相关系数，根据相关系数性质判断结论； （2）由条件确定的可能取值，再求取各值的概率，由此可得其分布列. 【小问1详解】 样本的相关系数为 . 由于相关系数，则相关性很强，的值越大，相关性越强. 故，故销售金额和月份编号成很强的正相关性. 【小问2详解】 由题意得：的可能取值为0，1，2， 20个月中有8个月的销售金额低于平均数，有12个月的销售金额不低于平均数， 所以， 所以的分布列为： 0 1 2 17. 设函数，其中，已知函数的图象关于点成中心对称． （1）求函数解析式； （2）若，且． （i）求的值； （ii）求值． 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换得到，将代入，结合，求出，可得函数解析式； （2）（i）由代入计算可得；（ii）由两角和的余弦结合同角三角函数基本关系计算得，结合的范围可求解. 【小问1详解】 ， 将代入得，故， 解得，又，故当时，满足要求， 所以； 【小问2详解】 （i）由题意得，故， （ii）因为，所以， 因为，所以， 故，， 又，故， 又，所以， 所以， 因为，，所以， 因为 ，所以. 18. 在中，三个内角的对边分别为．已知. （1）求角； （2）将射线AB绕点A旋转交线段BC于点E，已知. （i）若，求c； （ii）求面积的最小值. 【答案】（1）； （2）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）由余弦定理可得答案； （2）（i）由余弦定理求出可得答案，（ii）解法1：，得出，利用基本不等式求出可得答案；解法2：，由正弦定理求出可得，根据的范围可得答案. 【小问1详解】 因为， 由余弦定理得：， 因为A为三角形内角，所以； 【小问2详解】 （i）由和，可知， 因为，在中，由余弦定理得： ， 所以，所以， 因为，所以，所以； （ii）解法1：由和，可知， 因为， 所以， 又因为，所以，即， 又， 当且仅当，即时，等号成立， 所以， 所以， 所以的面积的最小值为. 解法2：由和，可知， 因为，，所以 因为，所以， 在中，由正弦定理得：， 所以， 在中，， 所以 因为，所以， 所以当时，的面积的最小值为. 19. 已知函数. （1）若，求的单调区间; （2）若，求证:; （3）若使得，求证:. 【答案】（1）单调递减区间是，无增区间. （2） ∵， 当时，显然成立， 当时，，令， ∴， ∴在区间上单调递减，∴， ∴在区间上单调递减，∴， 综上所述，当时，. （3） ， ∴，令，则，∴在区间上单调递减，在区间上单调递增， ∵，∴. 不妨设，则，， 先证：， 易知在处的切线方程为，该切线与直线的交点的横坐标为， 令，则， 当时，，此时， ∴当时，图像在下方. ∴， ∴， 再证，设，， 易知直线方程为，直线方程为， 则直线，与直线交点的横坐标为，， ∴， ∵，同理可证：， ∴，类似的可以证明， ∴，即， ∴ 【解析】 【分析】（1）利用导函数求得的最大值，再得到在上递减； （2）时函数值恒为负数，所以研究的最大值，借助导函数得到在区间上小于0，所以函数单减，从而得到函数值一定小于0，得证； （3）利用导函数求单调区间，由此得出的所在区间，构造直线使得与的交点见距离等于不等式两边的值，再由线段长短得出相应结论. 【小问1详解】 当时，，， 则 令，则， 令，∵， ∴， ∴在区间上单调递增，在区间上单调递减， ∴， ∴的单调递减区间是，无增区间. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】思路点睛：本题不等式证明可以分别证明两边成立，因为是与的交点，可以构造其他交点使得线段长度等于不等式两端的值，再证明点的位置，得到线段长度即可得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $