【轮轮清·期中模拟考试】山东省菏泽市2024级高二上学期期中模拟考试数学试题

绝密★启用前 菏泽市2024级第一学期期中模拟考试 数学试题 本试卷总分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号等填写在答题卡和试卷指定位置。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 别 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。 1.若直线l的斜率为一√3，则1的倾斜角为 A-8 B-6 C.2 D. π 3 6 2.若直线x十y十a=0与圆(x+1)2+y2=2相切，则a= A.-1 B.3 C.-3或1 D.3或-1 8,已知双曲线r2十=1的渐近线过点(2，-3，则m m A号 c号 n-号 如 4.已知圆C1:x2+y2=1与圆C2:(x-3)2+y2=r2(r>0)有3条公切线，圆C覆盖圆C1, C2,则圆C面积的最小值为 A.9π B.12π C.16π D.18π 5.在平面直角坐标系xOy中，定义d(A,B)=|x1-x2|+|y1一y2为A(x1,y1),B(x2,y2) 1 两点之间的“折线距离”.已知点Q(1,0),若动点P满足d(Q,P)=2,则点P的轨迹所围 成图形的面积为 A司 B. 2 c停 D.1 6.已知抛物线E:y2=2x(p>0)的焦点为F,准线为1，过E上的一点A作1的垂线，垂足 为点B.若|AB|=3OF(O为坐标原点)，且△ABF的面积为12√2，则E的方程为 A.y2=4x B.y2=4√5x C.y2=8x D.y2=8√5x 7.已知F1,F,分别为椭圆C:C2十，31(@>6>0)的左、右焦点，A,B是C上的两点.若 边形ABF1F2为梯形，AF2∥BF1,|BF1|=2|AF2|,∠BF1F2=60°，则C的离心率为 B.3 c D.5 高二·数学试题第1页（共4页） 8.已知圆O:x2+y2=4上的动点M和定点A(一1,0)，B(1,1),则2MA+MB|的最小 值为 A.√21 B.√26 C.2+√10 D.√/29 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知直线11：x+(a一1)y+1=0,直线l2:ax+2y十2=0，则下列说法正确的是 A.L1在x轴上的截距为一1 B.12过定点(0，一1) C.若l1∥12，则a=一1或a=2 、2 D.若l1⊥l2,则a=3 10.E知椭圆C:君+装-1a>6>0)的左，右焦点分别为F,(-10,51,0),离心率为 1y2 2,左、右顶点分别为A,B,M是C上的动点，则下列说法正确的是 A.C的方程为+ =1 3 B.|MF2|的最小值为√2 C.若点M异于点A,B,则直线MA,MB的斜率之积为定值 D.若cos∠F,MF,=号，则△F,MF,的面积为1 11.已知双曲线C:x2一y2=2,点M为C右支上的一个动点，过点M分别作两条渐近线的 垂线，垂足分别为点A,B,O为坐标原点，则 A.C的离心率为3 B.存在点M,使得四边形OAMB为正方形 C.直线AB,OM的斜率之积为1 D.存在点M,使得MA+|MB|=√ 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 1 12.已知抛物线C:y=2x2的焦点为F,则点F到C的准线的距离是 13.数学家欧拉在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同 一条直线上，后人称这条直线为“欧拉线”.已知△ABC的顶点分别为A(3,0),B(3,3), C(0,0),则△ABC的欧拉线方程是 +y2 4.已知椭圆C:6十16>0的左右焦点分别是F,F2,0为坐标原点，P是C上位 于第一象限内的一点，若△PF,:的面积为7，且1OP=FF,则点P的坐 标是 高二·数学试题第2页（共4页） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知直线l1:2x-y-2=0和l2:x十y+3=0. (1)求直线11与12的交点坐标； (2)过点P(3,0)作直线1与直线1，分别交于点A,B,且满足A户-A店，求直线1 的方程. 16.(15分) 已知M(4,4)为抛物线C:y2=2px(p>0)上的一点，F为C的焦点，O为坐标原点. (1)求△MOF的面积； (2)若A,B为C上的两个动点，直线MA与MB的斜率之积恒为一2，证明：直线AB过 定点. 17.(15分) 已知圆O:x2十y2=2与圆C外切，点C在第一象限，直线OC与直线1：x一y一4=0平 行，且圆C与直线1相切. (1)求圆C的标准方程； (2)若直线'与圆O及直线1从上到下依次交于点A(一1,1)，B,P,当|AP|+IPC最 小时，求AB|. 高二·数学试题第3页（共4页） 18.(17分) x2 y2 已知双曲线C:)=1(a>0,6>0)的左、右焦点分别为F,F2,且FF:=8,渐近 线方程为y=士√3x. (1)求C的方程； (2)设x轴上方的点A,B分别在C的左支与右支上，若F2B=3F1A,求四边形 AF1F2B的面积. 19.（17分) 已知椭圆C:+,1(a>6>0)的左、右焦点分别为F,F2,G(1,1D是C上一点，且 △GR,P:的面积为酒 (1)求C的方程： (2)设斜率为，的直线与C交于A,B两点，直线GA与GB的倾斜角分别为a,R. (1)证明：a+3=180°； (i)若动点H满足|HA|=|HB=|GH|,证明：点H在定直线上. 高二·数学试题第4页（共4页） ·数学· 参考答案及解析 叁专答桌及解折 菏泽市2024级第一学期期中模拟考试·数学 一、选择题 的坐标，如图.故点P的轨迹所围成图形为正 1.C【解析】设l的倾斜角为a,则tana=一√3. 方形ACD,则S=2×1X1=号 由a∈0m得a- 2.D【解析】由题意得圆(x+1)2+y2=2的圆 D,》 心坐标为(-1,0)，半径为，2，则a1-2, 2 3 解得a=-1或a=3. 3.D【解析】由题意知m<0,由双曲线x2+ =1，可得渐近线方程为y=士一mx.将 m 6.C【解析】由题意得r(台0)，准线1：z 点(2，一3)代入渐近线方程y=-√一mx, 号所以0F-号，AB=号，则A(p, 得-3=一√一mX2,解得m=-9 4 1 士Ep),所以SAABF=Z|AB·yA=2, 4.A【解析】由题意知圆C1与圆C2外切，所以 r=2.因为圆C覆盖圆C1,C2,设点P,Q分别 之p·士2p=12厄，解得力=4，所以E的 3 在圆C1,C2上运动，则|PQ的最大值为6，所 方程为y2=8x. 以当圆C的直径为6时，恰好覆盖圆C1,C2,7.B【解析】如图，连接AF1,BF2,设AF,|= 所以圆C面积的最小值为S=9π. t,则|BF1|=2t.由椭圆的定义，得BF2|= 5.A【解析】设P(x,y),则d(Q,P)=|x 2a-2t,AF1|=2a-t.在△BF1F2中，由余 1+1g=2当x≥1，≥0时，x-1+y= 弦定理，得(2a-2t)2=4t2十4c2-2t·2c,解 得6同理可得在△AEE,中，解得 分即+y号-0，当2≥1，y<0时，x 2b2 t 所以，62=26 2a-c2a十c,解得a=3， 1-y-2,即2-y-名-0：当z<1y<0 2a+c 即C的离心率为3. 时，1-x-y-分即2+y-号-0当<1， y≥0时1-x十y=3即-y号0联立 x+y- 3 (3 2 =0, x= 解得 2’同理可得其他点 3 x-y-2=0, y=0, ·1 ·数学· 参考答案及解析 8.B【解析】如图，点M在圆O:x2+y2=4上， 取点N(-4,0),连接OM,MN,BN,则 2丙+-1，则号-1 yo y ON|=2|OM=4.当点O,M,N不共线时， ，所以一子C正对 x6_4-x6 6-ON=-2又∠A0M=∠oN,因t 4 于D,在△F1MF2中，由余弦定理得|F1M|2+ A0wON.则=8=2当点 F,M2-2E,M1·F,M·合=4c=4, 0,M,N共线，=2，则MN1=21MA1, 而lF1M|+|F2M|=2a=4,即(|F1M|+ 因此2|MA|+|MB|=IMN|+|MB|≥ 1F,M2=16,所以E,M1·R,M |BN|=√(-4-1)+1=√26，当且仅当 点M是线段BN与圆O的交点时，等号成立， 12,则E,MIF,M=号，所以Sm, 所以2MA|+|MB|的最小值为√26. E,MIR,MIsi∠F,M,=言×9 M 令1，放D正确 B 11.BC【解析】对于A,由双曲线C:x2一y2= 2,得a=√2，b=√2，所以c=√2十2=2， 故e=二=√2，故A错误；对于B,双曲线 a 二、选择题 C:x2一y2=2的渐近线为y=士x,则四边形 9.ABD【解析】对于A,在x+(a-1)y+1=0 OAMB为矩形.又C的右顶点为（√2,0）， 中，当y=0时，x=一1，则11在x轴上的截距 为-1，故A正确；对于B,在ax十2y+2=0 1 点反，0)到直线y=士x的距离均为汽 中，当x=0时，y=-1,所以直线l2恒过 故矩形OAMB为正方形，即存在点M,当M 点(0，一1)，故B正确；对于C,若l1∥12，则 为C的右顶点时，四边形OAMB为正方形， a(a-1)-2=0,且a≠2，所以a=-1,故 故B正确；对于C,设M(xo,yo),不妨设点 C错误；对于D,若l1⊥l2,则a+2(a一1)=0， A在第一象限，点B在第四象限.由MA⊥ 解得a=号，故D正确， OA,可得MA的方程为y一y0=一（x ),联立P=x, 可得x= 10.ACD【解析】对于A,由已知得c=1, C-a (y-y=-(x-x), 、7,所以a=2,b2=a2-c2=3,则C的方程为 ,则A,”)同理可 x2,y2 得MB⊥OB,可得MB的方程为y-yo= 4十3=1，故A正确；对于B,当点M与点 x一x0,联立 (y=一x, 可得x= B重合时，MF2|的最小值为1，故B错误；对 yy0=x一x0, 于C,设M(xo,y),则为Mk=, x0十2 ·2· ·数学· 参考答案及解析 xo-yo xo+yo 42 7 2 14. 3’3 【解析】设C的焦距为2c,由 xo-yo xo+yo yo 2 2 1OP=2F,F=c,可知点P在以0为圆 kow=1,故C正确；对于D,由以上分析可知 心，F1F2为直径的圆x2十y2=c2上，易知 1-2-+ PF,1PR,因此点P为箱圆C:若君-1 √2 2 |x。一y。I.同理可得|MB|= 与圆x2十y2=c2在第一象限的交点.由椭圆 2'+2-- 的定义可得|PF1|+|PF2|=2a=8,由勾股 2 定理可得|PF1I2+|PF2|2=4c2.又△PF1F2 %,放M1+1MB1-号（1x,-1十 的面积为7，所以21PF1·PF=7,即 |x。+yo).根据双曲线的对称性，不妨假设 |PF·|PF2|=14.易知PF12+|PF212+ 点M在第一象限，则x。>yo,故|MA|十 2|PF,1·|PF2|=(|PF1I+|PF2|)2,即 MB1-反，令，=，则-5将 4c2+2×14=82,解得c=3,所以|F1F2=6. 设点P的坐标为(xp,yP),利用等面积可得 -代人2y=2,得y=是，显然无 名rr·n2×y,=1,解得-子 1 解，即C上不存在点M,使得|MA|+|MB|= √3，故D错误。 ,因此点 代人x2+y2=9中，可得xp=4y2 三、填空题 12.1【解析】由题意知C的标准方程为x2= 2y,则p=1,所以点F到C的准线的距离 P的标为， 是1. 四、解答题 13.x十y一3=0【解析】如图，易得△ABC为等 解：1)由十y+3=0, x、1 3 腰直角三角形，故其垂心为点A(3,0).设 15. 得 2x-y-2=0, 8 △ABC的外心为点M,连接AM,则点M为 y=- 3, 斜边BC的中点，即M(号，)由题意知 所以直线1与2的交点坐标为(-3，一3) 18 △ABC的欧拉线即直线AM,其斜率为 (5分) kAM 2=-1,故其方程为y=一（x 3 (2)由A立=)A应，可知P是线段AB的中点。 3 2 (6分) 3),即x十y-3=0. 在直线l2上任取一点M(xo,一3一xo), 所以点M关于点P(3,0)的对称点为N(6一 3 x0,3十x0), M 点N在直线l1上，把点N(6-xo,3十xo)代 入11的方程2x一y-2=0中， 得2(6-x)-(3十x0)-2=0,解得x0=3' 7 3 ·3· ·数学· 参考答案及解析 所以M(子-9》 (10分) 因为直线OC与直线l:x-y-4=0平行， 16 所以e-名=1，即6=-a①， 3 -0 所以直线l的斜率为 8， 又圆O:x2十y2=2与圆C外切， 7 33 所以√a2+b2=r+√2②. (3分) 故直线l的方程为y=8(x一3)， 因为圆C与直线1相切，所以la一-b一4=，®. 即8x-y-24=0. (13分) √2 16.(1)解：由题意可知点M在C上，将点M的 联立①②③，解得r=2√2，a=b=3, 坐标代入，得16=8p,解得p=2, (2分) 则圆C的标准方程为(x一3)2+(y一3)2=8. 所以焦点F的坐标为(1,0)， (6分) (2)如图，设点C关于直线1的对称点为C(m, 所以5s=号10F1x=号×1×4=2. n-3 (5分) m-3 =一1， n),则 解得m7, (2)证明：由(1)可知C的方程为y2=4x. m+3n+3 (n=-1, 2 2 -4=0, 由题意可知直线AB不与x轴平行，设直线 (9分) AB的方程为x=my+b,A(小B(盟， 所以C'(7,一1)，根据对称性可得|PC引= IPC', y2),且y1y2≠±4. 所以|AP|+|PC|=|AP|+IPC'|≥|AC'I, 联立/=my+6, 当且仅当A,P,C'三点共线时，等号成立. 得y2-4my-4b=0, y2=4x, (11分) 则△=16m2+16b>0,且y1+y2=4m①， y1y2=-4b②. 因为直线AC的斜*为，二{)- (8分) 4 所以直线AC'的方程为y-1=一1 4(x+1), 一4y1十4，同理可得B二 y2+4 即直线'的方程为x+4y一3=0，(13分) (10分) 3 所以圆心O到直线AC'的距离d= √12+42 4 由题意知kMA·EMB= 4 1+4`y2+4=-2, 3√17 即4(y1+y2)+y1y2+24=0, 17 将①②代入可得4m一b+6=0,即b= 所以AB=2√2-d=107 17· (15分) 4m+6, 所以直线AB的方程可化为x=my十 4m+6, 即x-6=m(y+4), 故直线AB过定点(6，-4). (15分) 17.解：(1)设圆C的标准方程为(x一a)2+(y b)2=r2(a>0,b>0,r>0),则圆心C(a,b). ·4· ·数学· 参考答案及解析 2√a2+b2=8, 法二：设A(x1,y1),B(x2,y2), 18.解：(1)由题意得 =3, 因为F1(一4,0)，F2(4,0), a 所以F1A=(x1十4，y1),F2B=(x2-4,y2). 解得a2=4,b2=12, 由F2B=3F1A,得(x2-4,y2)=3(x1+4, 放C的方程为号花-1 (5分) y1),即x2=3x1+16,y2=3y1. (7分) (2)法一：延长BF2,交C于点M,连接MF1, 由AC0.B)均在C:号-日-1 FB. 由F2B=3F1A及C的对称性得，F2B=3MF2, 上0路-1,4造1 412 且△F1BM的面积等于四边形AF1F2B的 面积. (8分) 所以3x,)(3y1) =9, 4 12 由(1)知F2(4,0),设B(x1,y1),M(x2y2), (3x1+16)2(3y1)2 直线BM的方程为x=my十4， 12 =1, 4 [x=my+4, 两式相藏得6x+16)X(-16)=8, 联立{z2y21得(3m2-1)y2+24my+ 4 (412=1, 解得x1=-3. (10分) 36=0, 其中，3m2-1≠0，△=144m2+144>0, 由号-器-1及点A在x轴的上方， 24m 36 y1十y2= 3m2-1y1y2 3m21,(10分) 解得y1=√15， 从而x2=3x1+16=3×(-3)+16=7,y2= 所以y1一y2|= √144m2+14412√m2+1 13m2-1 3m2-1 3y1=3√15， 因为y1y2<0, 所以A(-3,√15)，B(7,3√15)，(12分) 所以3m2-1<0,故1y-y2=12m2+ 所以AB=(10,2√15)，AF2=(4,0)-(-3, 1-3m2 √15)=(7，-√15). (13分) 所以Saw-E,, 48√/1+m2 首先推导一个公式，若AB=(a,b),AF2=(c, 1-3m2 (12分) d),则S6,-名d-c,推导过程知下， 由F,B=3MF2,得(x1-4,y1)=3(4- x2,-y2),所以y1=-3y2, S,=IABIIAP,sin∠BAP: 所以y+y2) 4 1 yiy2 3 -2√AB×AF-(AB·AF) 24m 又y1+y2)2 3m2-1 16m2 ((e-(achdy yiy2 36 3m2-1 3m2-1 -lad-bcl. (15分) 专解得=品 (16分) 所以S四边形A,R,B=S△ABF:十S△AF,R:=2X 所以S△F,M=16W15, 所以四边形AF1F2B的面积为16√15. 10X(-15)-215×71+2×8×15= (17分) 16√15. (17分) ·5· ·数学· 参考答案及解析 19.(1)解：设|F1F2|=2c,则△GF1F2的面积为 (i)设直线GA的方程为y-1=k(x一1)， 合×2X1-,解得c 即y=x十(1一k), 2 代入x2+2y2=3,得(2k2+1)x2+4k(1- 故a-=3①. 2 (1分) k)·x十2(1-k)2-3=0. 因为A,G为直线GA与C的交点， 由G1,D是C上一点，得。十1 ②. 4k(1-k) 所以x1+1= 2k2十1 (10分) (2分) 设GA的中点为P(xoyo), 联立①②，解得a2=3,6=3 (3分) 则x0=一 2k(1-k) 2k2+1, 故C的方程为+2y 3T3 1. (4分) 所以yo=k红十(1-b)=k·[- 2k(1-k) 2k2+1 (2)证明：(1)设直线AB的方程为y=2x+ 1-k (1-k)= 2k2+1 t,代入x2+2y2=3,得3.x2+4tx+4t2- 即P(- 2k(1-k)1-k1 6=0. 2k2+1’2k2+1, 因为直线AB与C交于A,B两点， 所以GA的中垂线方程为y 1-k1 所以△=16t2-12(4t2-6)>0, 2k2+1· 解得-是<1< [x+ 2k(1-k)1 2k2+1, 1 设A(x1,y1),B(x2y2),则x1十x2= A k-1 , 即y=一x+2k2+1 ③. (12分) x1x2= 4t2-6 设直线GB的方程为y-1=一(x一1)， 3, (6分) 1 房以a+e号子+月 同理可得GB的中垂线方程为y=友x一 +1 2k2+1 ④ (14分) (2x+i-l:-D+(2+-a-1D k2 (x1-1)(x2-1) x 2k2+1’ 联立③④，解得 x:+(-2),+x）-2z+2 1 y=一2k2+1' (x1-1)(x2-1) 消去k,得2x-y一1=0， (16分) +-》( -2t+2 显然，该直线上的点满足|HA|=|HB|= =0, (x1-1)(x2-1) GH, 即直线GA与GB的斜率互为相反数， 故点H在定直线2x-y-1=0上.(17分) 所以a+3=180°. (8分) ·6绝密★启用前 菏泽市2024级第一学期期中模拟考试 数学试题 本试卷总分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号等填写在答题卡和试卷指定位置。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 别 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。 1.若直线l的斜率为一√3，则1的倾斜角为 A-8 B-6 C.2 D. π 3 6 2.若直线x十y十a=0与圆(x+1)2+y2=2相切，则a= A.-1 B.3 C.-3或1 D.3或-1 8,已知双曲线r2十=1的渐近线过点(2，-3，则m m A号 c号 n-号 如 4.已知圆C1:x2+y2=1与圆C2:(x-3)2+y2=r2(r>0)有3条公切线，圆C覆盖圆C1, C2,则圆C面积的最小值为 A.9π B.12π C.16π D.18π 5.在平面直角坐标系xOy中，定义d(A,B)=|x1-x2|+|y1一y2为A(x1,y1),B(x2,y2) 1 两点之间的“折线距离”.已知点Q(1,0),若动点P满足d(Q,P)=2,则点P的轨迹所围 成图形的面积为 A司 B. 2 c停 D.1 6.已知抛物线E:y2=2x(p>0)的焦点为F,准线为1，过E上的一点A作1的垂线，垂足 为点B.若|AB|=3OF(O为坐标原点)，且△ABF的面积为12√2，则E的方程为 A.y2=4x B.y2=4√5x C.y2=8x D.y2=8√5x 7.已知F1,F,分别为椭圆C:C2十，31(@>6>0)的左、右焦点，A,B是C上的两点.若 边形ABF1F2为梯形，AF2∥BF1,|BF1|=2|AF2|,∠BF1F2=60°，则C的离心率为 B.3 c D.5 高二·数学试题第1页（共4页） 8.已知圆O:x2+y2=4上的动点M和定点A(一1,0)，B(1,1),则2MA+MB|的最小 值为 A.√21 B.√26 C.2+√10 D.√/29 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知直线11：x+(a一1)y+1=0,直线l2:ax+2y十2=0，则下列说法正确的是 A.L1在x轴上的截距为一1 B.12过定点(0，一1) C.若l1∥12，则a=一1或a=2 、2 D.若l1⊥l2,则a=3 10.E知椭圆C:君+装-1a>6>0)的左，右焦点分别为F,(-10,51,0),离心率为 1y2 2,左、右顶点分别为A,B,M是C上的动点，则下列说法正确的是 A.C的方程为+ =1 3 B.|MF2|的最小值为√2 C.若点M异于点A,B,则直线MA,MB的斜率之积为定值 D.若cos∠F,MF,=号，则△F,MF,的面积为1 11.已知双曲线C:x2一y2=2,点M为C右支上的一个动点，过点M分别作两条渐近线的 垂线，垂足分别为点A,B,O为坐标原点，则 A.C的离心率为3 B.存在点M,使得四边形OAMB为正方形 C.直线AB,OM的斜率之积为1 D.存在点M,使得MA+|MB|=√ 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 1 12.已知抛物线C:y=2x2的焦点为F,则点F到C的准线的距离是 13.数学家欧拉在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同 一条直线上，后人称这条直线为“欧拉线”.已知△ABC的顶点分别为A(3,0),B(3,3), C(0,0),则△ABC的欧拉线方程是 +y2 4.已知椭圆C:6十16>0的左右焦点分别是F,F2,0为坐标原点，P是C上位 于第一象限内的一点，若△PF,:的面积为7，且1OP=FF,则点P的坐 标是 高二·数学试题第2页（共4页） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知直线l1:2x-y-2=0和l2:x十y+3=0. (1)求直线11与12的交点坐标； (2)过点P(3,0)作直线1与直线1，分别交于点A,B,且满足A户-A店，求直线1 的方程. 16.(15分) 已知M(4,4)为抛物线C:y2=2px(p>0)上的一点，F为C的焦点，O为坐标原点. (1)求△MOF的面积； (2)若A,B为C上的两个动点，直线MA与MB的斜率之积恒为一2，证明：直线AB过 定点. 17.(15分) 已知圆O:x2十y2=2与圆C外切，点C在第一象限，直线OC与直线1：x一y一4=0平 行，且圆C与直线1相切. (1)求圆C的标准方程； (2)若直线'与圆O及直线1从上到下依次交于点A(一1,1)，B,P,当|AP|+IPC最 小时，求AB|. 高二·数学试题第3页（共4页） 18.(17分) x2 y2 已知双曲线C:)=1(a>0,6>0)的左、右焦点分别为F,F2,且FF:=8,渐近 线方程为y=士√3x. (1)求C的方程； (2)设x轴上方的点A,B分别在C的左支与右支上，若F2B=3F1A,求四边形 AF1F2B的面积. 19.（17分) 已知椭圆C:+,1(a>6>0)的左、右焦点分别为F,F2,G(1,1D是C上一点，且 △GR,P:的面积为酒 (1)求C的方程： (2)设斜率为，的直线与C交于A,B两点，直线GA与GB的倾斜角分别为a,R. (1)证明：a+3=180°； (i)若动点H满足|HA|=|HB=|GH|,证明：点H在定直线上. 高二·数学试题第4页（共4页）·数学· 参考答案及解析 叁专答桌及解折 菏泽市2024级第一学期期中模拟考试·数学 一、选择题 的坐标，如图.故点P的轨迹所围成图形为正 1.C【解析】设l的倾斜角为a,则tana=一√3. 方形ACD,则S=2×1X1=号 由a∈0m得a- 2.D【解析】由题意得圆(x+1)2+y2=2的圆 D,》 心坐标为(-1,0)，半径为，2，则a1-2, 2 3 解得a=-1或a=3. 3.D【解析】由题意知m<0,由双曲线x2+ =1，可得渐近线方程为y=士一mx.将 m 6.C【解析】由题意得r(台0)，准线1：z 点(2，一3)代入渐近线方程y=-√一mx, 号所以0F-号，AB=号，则A(p, 得-3=一√一mX2,解得m=-9 4 1 士Ep),所以SAABF=Z|AB·yA=2, 4.A【解析】由题意知圆C1与圆C2外切，所以 r=2.因为圆C覆盖圆C1,C2,设点P,Q分别 之p·士2p=12厄，解得力=4，所以E的 3 在圆C1,C2上运动，则|PQ的最大值为6，所 方程为y2=8x. 以当圆C的直径为6时，恰好覆盖圆C1,C2,7.B【解析】如图，连接AF1,BF2,设AF,|= 所以圆C面积的最小值为S=9π. t,则|BF1|=2t.由椭圆的定义，得BF2|= 5.A【解析】设P(x,y),则d(Q,P)=|x 2a-2t,AF1|=2a-t.在△BF1F2中，由余 1+1g=2当x≥1，≥0时，x-1+y= 弦定理，得(2a-2t)2=4t2十4c2-2t·2c,解 得6同理可得在△AEE,中，解得 分即+y号-0，当2≥1，y<0时，x 2b2 t 所以，62=26 2a-c2a十c,解得a=3， 1-y-2,即2-y-名-0：当z<1y<0 2a+c 即C的离心率为3. 时，1-x-y-分即2+y-号-0当<1， y≥0时1-x十y=3即-y号0联立 x+y- 3 (3 2 =0, x= 解得 2’同理可得其他点 3 x-y-2=0, y=0, ·1 ·数学· 参考答案及解析 8.B【解析】如图，点M在圆O:x2+y2=4上， 取点N(-4,0),连接OM,MN,BN,则 2丙+-1，则号-1 yo y ON|=2|OM=4.当点O,M,N不共线时， ，所以一子C正对 x6_4-x6 6-ON=-2又∠A0M=∠oN,因t 4 于D,在△F1MF2中，由余弦定理得|F1M|2+ A0wON.则=8=2当点 F,M2-2E,M1·F,M·合=4c=4, 0,M,N共线，=2，则MN1=21MA1, 而lF1M|+|F2M|=2a=4,即(|F1M|+ 因此2|MA|+|MB|=IMN|+|MB|≥ 1F,M2=16,所以E,M1·R,M |BN|=√(-4-1)+1=√26，当且仅当 点M是线段BN与圆O的交点时，等号成立， 12,则E,MIF,M=号，所以Sm, 所以2MA|+|MB|的最小值为√26. E,MIR,MIsi∠F,M,=言×9 M 令1，放D正确 B 11.BC【解析】对于A,由双曲线C:x2一y2= 2,得a=√2，b=√2，所以c=√2十2=2， 故e=二=√2，故A错误；对于B,双曲线 a 二、选择题 C:x2一y2=2的渐近线为y=士x,则四边形 9.ABD【解析】对于A,在x+(a-1)y+1=0 OAMB为矩形.又C的右顶点为（√2,0）， 中，当y=0时，x=一1，则11在x轴上的截距 为-1，故A正确；对于B,在ax十2y+2=0 1 点反，0)到直线y=士x的距离均为汽 中，当x=0时，y=-1,所以直线l2恒过 故矩形OAMB为正方形，即存在点M,当M 点(0，一1)，故B正确；对于C,若l1∥12，则 为C的右顶点时，四边形OAMB为正方形， a(a-1)-2=0,且a≠2，所以a=-1,故 故B正确；对于C,设M(xo,yo),不妨设点 C错误；对于D,若l1⊥l2,则a+2(a一1)=0， A在第一象限，点B在第四象限.由MA⊥ 解得a=号，故D正确， OA,可得MA的方程为y一y0=一（x ),联立P=x, 可得x= 10.ACD【解析】对于A,由已知得c=1, C-a (y-y=-(x-x), 、7,所以a=2,b2=a2-c2=3,则C的方程为 ,则A,”)同理可 x2,y2 得MB⊥OB,可得MB的方程为y-yo= 4十3=1，故A正确；对于B,当点M与点 x一x0,联立 (y=一x, 可得x= B重合时，MF2|的最小值为1，故B错误；对 yy0=x一x0, 于C,设M(xo,y),则为Mk=, x0十2 ·2· ·数学· 参考答案及解析 xo-yo xo+yo 42 7 2 14. 3’3 【解析】设C的焦距为2c,由 xo-yo xo+yo yo 2 2 1OP=2F,F=c,可知点P在以0为圆 kow=1,故C正确；对于D,由以上分析可知 心，F1F2为直径的圆x2十y2=c2上，易知 1-2-+ PF,1PR,因此点P为箱圆C:若君-1 √2 2 |x。一y。I.同理可得|MB|= 与圆x2十y2=c2在第一象限的交点.由椭圆 2'+2-- 的定义可得|PF1|+|PF2|=2a=8,由勾股 2 定理可得|PF1I2+|PF2|2=4c2.又△PF1F2 %,放M1+1MB1-号（1x,-1十 的面积为7，所以21PF1·PF=7,即 |x。+yo).根据双曲线的对称性，不妨假设 |PF·|PF2|=14.易知PF12+|PF212+ 点M在第一象限，则x。>yo,故|MA|十 2|PF,1·|PF2|=(|PF1I+|PF2|)2,即 MB1-反，令，=，则-5将 4c2+2×14=82,解得c=3,所以|F1F2=6. 设点P的坐标为(xp,yP),利用等面积可得 -代人2y=2,得y=是，显然无 名rr·n2×y,=1,解得-子 1 解，即C上不存在点M,使得|MA|+|MB|= √3，故D错误。 ,因此点 代人x2+y2=9中，可得xp=4y2 三、填空题 12.1【解析】由题意知C的标准方程为x2= 2y,则p=1,所以点F到C的准线的距离 P的标为， 是1. 四、解答题 13.x十y一3=0【解析】如图，易得△ABC为等 解：1)由十y+3=0, x、1 3 腰直角三角形，故其垂心为点A(3,0).设 15. 得 2x-y-2=0, 8 △ABC的外心为点M,连接AM,则点M为 y=- 3, 斜边BC的中点，即M(号，)由题意知 所以直线1与2的交点坐标为(-3，一3) 18 △ABC的欧拉线即直线AM,其斜率为 (5分) kAM 2=-1,故其方程为y=一（x 3 (2)由A立=)A应，可知P是线段AB的中点。 3 2 (6分) 3),即x十y-3=0. 在直线l2上任取一点M(xo,一3一xo), 所以点M关于点P(3,0)的对称点为N(6一 3 x0,3十x0), M 点N在直线l1上，把点N(6-xo,3十xo)代 入11的方程2x一y-2=0中， 得2(6-x)-(3十x0)-2=0,解得x0=3' 7 3 ·3· ·数学· 参考答案及解析 所以M(子-9》 (10分) 因为直线OC与直线l:x-y-4=0平行， 16 所以e-名=1，即6=-a①， 3 -0 所以直线l的斜率为 8， 又圆O:x2十y2=2与圆C外切， 7 33 所以√a2+b2=r+√2②. (3分) 故直线l的方程为y=8(x一3)， 因为圆C与直线1相切，所以la一-b一4=，®. 即8x-y-24=0. (13分) √2 16.(1)解：由题意可知点M在C上，将点M的 联立①②③，解得r=2√2，a=b=3, 坐标代入，得16=8p,解得p=2, (2分) 则圆C的标准方程为(x一3)2+(y一3)2=8. 所以焦点F的坐标为(1,0)， (6分) (2)如图，设点C关于直线1的对称点为C(m, 所以5s=号10F1x=号×1×4=2. n-3 (5分) m-3 =一1， n),则 解得m7, (2)证明：由(1)可知C的方程为y2=4x. m+3n+3 (n=-1, 2 2 -4=0, 由题意可知直线AB不与x轴平行，设直线 (9分) AB的方程为x=my+b,A(小B(盟， 所以C'(7,一1)，根据对称性可得|PC引= IPC', y2),且y1y2≠±4. 所以|AP|+|PC|=|AP|+IPC'|≥|AC'I, 联立/=my+6, 当且仅当A,P,C'三点共线时，等号成立. 得y2-4my-4b=0, y2=4x, (11分) 则△=16m2+16b>0,且y1+y2=4m①， y1y2=-4b②. 因为直线AC的斜*为，二{)- (8分) 4 所以直线AC'的方程为y-1=一1 4(x+1), 一4y1十4，同理可得B二 y2+4 即直线'的方程为x+4y一3=0，(13分) (10分) 3 所以圆心O到直线AC'的距离d= √12+42 4 由题意知kMA·EMB= 4 1+4`y2+4=-2, 3√17 即4(y1+y2)+y1y2+24=0, 17 将①②代入可得4m一b+6=0,即b= 所以AB=2√2-d=107 17· (15分) 4m+6, 所以直线AB的方程可化为x=my十 4m+6, 即x-6=m(y+4), 故直线AB过定点(6，-4). (15分) 17.解：(1)设圆C的标准方程为(x一a)2+(y b)2=r2(a>0,b>0,r>0),则圆心C(a,b). ·4· ·数学· 参考答案及解析 2√a2+b2=8, 法二：设A(x1,y1),B(x2,y2), 18.解：(1)由题意得 =3, 因为F1(一4,0)，F2(4,0), a 所以F1A=(x1十4，y1),F2B=(x2-4,y2). 解得a2=4,b2=12, 由F2B=3F1A,得(x2-4,y2)=3(x1+4, 放C的方程为号花-1 (5分) y1),即x2=3x1+16,y2=3y1. (7分) (2)法一：延长BF2,交C于点M,连接MF1, 由AC0.B)均在C:号-日-1 FB. 由F2B=3F1A及C的对称性得，F2B=3MF2, 上0路-1,4造1 412 且△F1BM的面积等于四边形AF1F2B的 面积. (8分) 所以3x,)(3y1) =9, 4 12 由(1)知F2(4,0),设B(x1,y1),M(x2y2), (3x1+16)2(3y1)2 直线BM的方程为x=my十4， 12 =1, 4 [x=my+4, 两式相藏得6x+16)X(-16)=8, 联立{z2y21得(3m2-1)y2+24my+ 4 (412=1, 解得x1=-3. (10分) 36=0, 其中，3m2-1≠0，△=144m2+144>0, 由号-器-1及点A在x轴的上方， 24m 36 y1十y2= 3m2-1y1y2 3m21,(10分) 解得y1=√15， 从而x2=3x1+16=3×(-3)+16=7,y2= 所以y1一y2|= √144m2+14412√m2+1 13m2-1 3m2-1 3y1=3√15， 因为y1y2<0, 所以A(-3,√15)，B(7,3√15)，(12分) 所以3m2-1<0,故1y-y2=12m2+ 所以AB=(10,2√15)，AF2=(4,0)-(-3, 1-3m2 √15)=(7，-√15). (13分) 所以Saw-E,, 48√/1+m2 首先推导一个公式，若AB=(a,b),AF2=(c, 1-3m2 (12分) d),则S6,-名d-c,推导过程知下， 由F,B=3MF2,得(x1-4,y1)=3(4- x2,-y2),所以y1=-3y2, S,=IABIIAP,sin∠BAP: 所以y+y2) 4 1 yiy2 3 -2√AB×AF-(AB·AF) 24m 又y1+y2)2 3m2-1 16m2 ((e-(achdy yiy2 36 3m2-1 3m2-1 -lad-bcl. (15分) 专解得=品 (16分) 所以S四边形A,R,B=S△ABF:十S△AF,R:=2X 所以S△F,M=16W15, 所以四边形AF1F2B的面积为16√15. 10X(-15)-215×71+2×8×15= (17分) 16√15. (17分) ·5· ·数学· 参考答案及解析 19.(1)解：设|F1F2|=2c,则△GF1F2的面积为 (i)设直线GA的方程为y-1=k(x一1)， 合×2X1-,解得c 即y=x十(1一k), 2 代入x2+2y2=3,得(2k2+1)x2+4k(1- 故a-=3①. 2 (1分) k)·x十2(1-k)2-3=0. 因为A,G为直线GA与C的交点， 由G1,D是C上一点，得。十1 ②. 4k(1-k) 所以x1+1= 2k2十1 (10分) (2分) 设GA的中点为P(xoyo), 联立①②，解得a2=3,6=3 (3分) 则x0=一 2k(1-k) 2k2+1, 故C的方程为+2y 3T3 1. (4分) 所以yo=k红十(1-b)=k·[- 2k(1-k) 2k2+1 (2)证明：(1)设直线AB的方程为y=2x+ 1-k (1-k)= 2k2+1 t,代入x2+2y2=3,得3.x2+4tx+4t2- 即P(- 2k(1-k)1-k1 6=0. 2k2+1’2k2+1, 因为直线AB与C交于A,B两点， 所以GA的中垂线方程为y 1-k1 所以△=16t2-12(4t2-6)>0, 2k2+1· 解得-是<1< [x+ 2k(1-k)1 2k2+1, 1 设A(x1,y1),B(x2y2),则x1十x2= A k-1 , 即y=一x+2k2+1 ③. (12分) x1x2= 4t2-6 设直线GB的方程为y-1=一(x一1)， 3, (6分) 1 房以a+e号子+月 同理可得GB的中垂线方程为y=友x一 +1 2k2+1 ④ (14分) (2x+i-l:-D+(2+-a-1D k2 (x1-1)(x2-1) x 2k2+1’ 联立③④，解得 x:+(-2),+x）-2z+2 1 y=一2k2+1' (x1-1)(x2-1) 消去k,得2x-y一1=0， (16分) +-》( -2t+2 显然，该直线上的点满足|HA|=|HB|= =0, (x1-1)(x2-1) GH, 即直线GA与GB的斜率互为相反数， 故点H在定直线2x-y-1=0上.(17分) 所以a+3=180°. (8分) ·6绝密★启用前 8.已知圆O:x2+y2=4上的动点M和定点A(一1,0)，B(1,1),则2|MA|+|MB的最小 菏泽市2024级第一学期期中模拟考试 值为 数学试题 A.√21 B.√26 C.2+10 D.√29 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目 本试卷总分150分，考试时间120分钟。 要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 注意事项： 9.已知直线l1:x十(a一1)y十1=0，直线l2:ax+2y十2=0，则下列说法正确的是 1.答卷前，考生务必将自己的姓名，考号等填写在答题卡和试卷指定位置。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如 A.11在x轴上的截距为一1 B.12过定点(0，一1) 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上 C.若l1∥l2,则a=一1或a=2 写在本试卷上无效。 n若山l:,则a=号 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 x3,y 10.已知椭圆C:。十行=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-1,0),F:1,0),离心率为 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。 2,左，右顶点分别为A,B,M是C上的动点，则下列说法正确的是 1.若直线1的斜率为一√，则1的倾斜角为 AC的方程为宁+苦 A-号 &-活 c n B.|MF2的最小值为② 2.若直线x十y十a=0与圆(x十1)2十y2=2相切，则a= C,若点M异于点A,B,则直线MA,MB的斜率之积为定值 A.-1 B.3 C.-3或1 D.3或-1 3。已知双曲线r+ -=1的渐近线过点(2，一3)，则m= D.若cos∠F,MF:-则△F:MF:的面积为1 m A是 R-是 c D.- 11.已知双曲线C:x2一y=2,点M为C右支上的一个动点，过点M分别作两条渐近线的 垂线，垂足分别为点A,B,O为坐标原点，则 4.已知圆C1:x2+y2=1与圆C2:(x一3)2+y2=r(r>0)有3条公切线，圆C覆盖圆C1, A.C的离心率为3 C,则圆C面积的最小值为 B.存在点M,使得四边形OAMB为正方形 A.9x B.12x C.16π D.18π 5.在平面直角坐标系xOy中，定义d(A,B)=lx1一x2|+|y1一y2为A(x1y1),B(x1y:) C.直线AB,OM的斜率之积为1 两点之铜的折线距离”，已知点Q1,0),者动点P满足1(Q,P)=?·则点P的轨连所国 D.存在点M,使得|MA|+|MB=√3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 成图形的面积为 A. 号 c 12.已知抛物线C:y一2的焦点为F,则点F到C的准线的距离是一 D.1 13.数学家欧拉在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心，重心，垂心在同 6.已知抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为1，过E上的一点A作1的垂线，垂足 一条直线上，后人称这条直线为“欧拉线”，已知△ABC的顶点分别为A(3,0),B(3,3), 为点B.若AB|=3|OF(O为坐标原点)，且△ABF的面积为122，则E的方程为 A.y=4r B.y2=43x D.y2=8/5x C(0,0),则△ABC的欧拉线方程是 C.y3=8x 久.已知FR,分别为椭圆C后+若=1a>6>0)的左，右熊点A,B是C上的两点者四 1已知树圆C:+若-16>0)的左，右焦点分别是RR,0为坐标原点：P是C上位 边形ABF1Fg为梯形，AF:∥BF1,|BF:|=2|AF|,∠BF1Fg=60°，则C的离心率为 于第一象限内的一点.若△PF,F,的面积为7，且|OP|=2|FF,,则点P的坐 c号 n台 标是 高二·数学试题第1页（共4页） 高二·数学试题第2页（共4页} 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18.(17分) 15.(13分) 已知直线11：2x一y-2=0和l:x十y+3=0. 已知双曲线C:。-=1(a>0,b>0)的左，右焦点分别为F,F,且FF=8,渐近 (1)求直线：与l2的交点坐标， 线方程为y=士√3x. (2)过点P(3,0)作直线1与直线1，山2分别交于点A,B,且满足A炉-A店，求直线1 (1)求C的方程： (2)设x轴上方的点A,B分别在C的左支与右支上，若F:B=3FA,求四边形 的方程」 AF1F:B的面积. 16.(15分) 已知M(4,4)为抛物线C:y°=2x(p>0)上的一点，F为C的焦点，O为坐标原点. (1)求△MOF的面积； (2)若A,B为C上的两个动点，直线MA与MB的斜率之积恒为一2，证明：直线AB过 19.(17分) 定点， t? 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F,G(1,1)是C上一点，且 △GF,F:的面积为 √6 (1)求C的方程： (2)设斜率为的直线与C交于A,B两点，直线GA与GB的倾斜角分别为a,A. 17.(15分) (1)证明：a+3=180°： 已知圆O:x2十y2=2与圆C外切，点C在第一象限，直线OC与直线1：x一y一4=0平 (Ⅱ)若动点H满足|HA|=|HB|=|GH引，证明：点H在定直线上. 行，且圆C与直线1相切. (1)求圆C的标准方程： (2)若直线1'与圆O及直线1从上到下依次交于点A(一1,1)，B,P,当|AP1十|PC最 小时，求AB引. 高二·数学试题第3页（共4页】 高二·数学试题第4页（共4页） ·数学· 参考答案及解析 叁专答桌及解折 菏泽市2024级第一学期期中模拟考试·数学 一、选择题 的坐标，如图.故点P的轨迹所围成图形为正 1.C【解析】设l的倾斜角为a,则tana=一√3. 方形ACD,则S=2×1X1=号 由a∈0m得a- 2.D【解析】由题意得圆(x+1)2+y2=2的圆 D,》 心坐标为(-1,0)，半径为，2，则a1-2, 2 3 解得a=-1或a=3. 3.D【解析】由题意知m<0,由双曲线x2+ =1，可得渐近线方程为y=士一mx.将 m 6.C【解析】由题意得r(台0)，准线1：z 点(2，一3)代入渐近线方程y=-√一mx, 号所以0F-号，AB=号，则A(p, 得-3=一√一mX2,解得m=-9 4 1 士Ep),所以SAABF=Z|AB·yA=2, 4.A【解析】由题意知圆C1与圆C2外切，所以 r=2.因为圆C覆盖圆C1,C2,设点P,Q分别 之p·士2p=12厄，解得力=4，所以E的 3 在圆C1,C2上运动，则|PQ的最大值为6，所 方程为y2=8x. 以当圆C的直径为6时，恰好覆盖圆C1,C2,7.B【解析】如图，连接AF1,BF2,设AF,|= 所以圆C面积的最小值为S=9π. t,则|BF1|=2t.由椭圆的定义，得BF2|= 5.A【解析】设P(x,y),则d(Q,P)=|x 2a-2t,AF1|=2a-t.在△BF1F2中，由余 1+1g=2当x≥1，≥0时，x-1+y= 弦定理，得(2a-2t)2=4t2十4c2-2t·2c,解 得6同理可得在△AEE,中，解得 分即+y号-0，当2≥1，y<0时，x 2b2 t 所以，62=26 2a-c2a十c,解得a=3， 1-y-2,即2-y-名-0：当z<1y<0 2a+c 即C的离心率为3. 时，1-x-y-分即2+y-号-0当<1， y≥0时1-x十y=3即-y号0联立 x+y- 3 (3 2 =0, x= 解得 2’同理可得其他点 3 x-y-2=0, y=0, ·1 ·数学· 参考答案及解析 8.B【解析】如图，点M在圆O:x2+y2=4上， 取点N(-4,0),连接OM,MN,BN,则 2丙+-1，则号-1 yo y ON|=2|OM=4.当点O,M,N不共线时， ，所以一子C正对 x6_4-x6 6-ON=-2又∠A0M=∠oN,因t 4 于D,在△F1MF2中，由余弦定理得|F1M|2+ A0wON.则=8=2当点 F,M2-2E,M1·F,M·合=4c=4, 0,M,N共线，=2，则MN1=21MA1, 而lF1M|+|F2M|=2a=4,即(|F1M|+ 因此2|MA|+|MB|=IMN|+|MB|≥ 1F,M2=16,所以E,M1·R,M |BN|=√(-4-1)+1=√26，当且仅当 点M是线段BN与圆O的交点时，等号成立， 12,则E,MIF,M=号，所以Sm, 所以2MA|+|MB|的最小值为√26. E,MIR,MIsi∠F,M,=言×9 M 令1，放D正确 B 11.BC【解析】对于A,由双曲线C:x2一y2= 2,得a=√2，b=√2，所以c=√2十2=2， 故e=二=√2，故A错误；对于B,双曲线 a 二、选择题 C:x2一y2=2的渐近线为y=士x,则四边形 9.ABD【解析】对于A,在x+(a-1)y+1=0 OAMB为矩形.又C的右顶点为（√2,0）， 中，当y=0时，x=一1，则11在x轴上的截距 为-1，故A正确；对于B,在ax十2y+2=0 1 点反，0)到直线y=士x的距离均为汽 中，当x=0时，y=-1,所以直线l2恒过 故矩形OAMB为正方形，即存在点M,当M 点(0，一1)，故B正确；对于C,若l1∥12，则 为C的右顶点时，四边形OAMB为正方形， a(a-1)-2=0,且a≠2，所以a=-1,故 故B正确；对于C,设M(xo,yo),不妨设点 C错误；对于D,若l1⊥l2,则a+2(a一1)=0， A在第一象限，点B在第四象限.由MA⊥ 解得a=号，故D正确， OA,可得MA的方程为y一y0=一（x ),联立P=x, 可得x= 10.ACD【解析】对于A,由已知得c=1, C-a (y-y=-(x-x), 、7,所以a=2,b2=a2-c2=3,则C的方程为 ,则A,”)同理可 x2,y2 得MB⊥OB,可得MB的方程为y-yo= 4十3=1，故A正确；对于B,当点M与点 x一x0,联立 (y=一x, 可得x= B重合时，MF2|的最小值为1，故B错误；对 yy0=x一x0, 于C,设M(xo,y),则为Mk=, x0十2 ·2· ·数学· 参考答案及解析 xo-yo xo+yo 42 7 2 14. 3’3 【解析】设C的焦距为2c,由 xo-yo xo+yo yo 2 2 1OP=2F,F=c,可知点P在以0为圆 kow=1,故C正确；对于D,由以上分析可知 心，F1F2为直径的圆x2十y2=c2上，易知 1-2-+ PF,1PR,因此点P为箱圆C:若君-1 √2 2 |x。一y。I.同理可得|MB|= 与圆x2十y2=c2在第一象限的交点.由椭圆 2'+2-- 的定义可得|PF1|+|PF2|=2a=8,由勾股 2 定理可得|PF1I2+|PF2|2=4c2.又△PF1F2 %,放M1+1MB1-号（1x,-1十 的面积为7，所以21PF1·PF=7,即 |x。+yo).根据双曲线的对称性，不妨假设 |PF·|PF2|=14.易知PF12+|PF212+ 点M在第一象限，则x。>yo,故|MA|十 2|PF,1·|PF2|=(|PF1I+|PF2|)2,即 MB1-反，令，=，则-5将 4c2+2×14=82,解得c=3,所以|F1F2=6. 设点P的坐标为(xp,yP),利用等面积可得 -代人2y=2,得y=是，显然无 名rr·n2×y,=1,解得-子 1 解，即C上不存在点M,使得|MA|+|MB|= √3，故D错误。 ,因此点 代人x2+y2=9中，可得xp=4y2 三、填空题 12.1【解析】由题意知C的标准方程为x2= 2y,则p=1,所以点F到C的准线的距离 P的标为， 是1. 四、解答题 13.x十y一3=0【解析】如图，易得△ABC为等 解：1)由十y+3=0, x、1 3 腰直角三角形，故其垂心为点A(3,0).设 15. 得 2x-y-2=0, 8 △ABC的外心为点M,连接AM,则点M为 y=- 3, 斜边BC的中点，即M(号，)由题意知 所以直线1与2的交点坐标为(-3，一3) 18 △ABC的欧拉线即直线AM,其斜率为 (5分) kAM 2=-1,故其方程为y=一（x 3 (2)由A立=)A应，可知P是线段AB的中点。 3 2 (6分) 3),即x十y-3=0. 在直线l2上任取一点M(xo,一3一xo), 所以点M关于点P(3,0)的对称点为N(6一 3 x0,3十x0), M 点N在直线l1上，把点N(6-xo,3十xo)代 入11的方程2x一y-2=0中， 得2(6-x)-(3十x0)-2=0,解得x0=3' 7 3 ·3· ·数学· 参考答案及解析 所以M(子-9》 (10分) 因为直线OC与直线l:x-y-4=0平行， 16 所以e-名=1，即6=-a①， 3 -0 所以直线l的斜率为 8， 又圆O:x2十y2=2与圆C外切， 7 33 所以√a2+b2=r+√2②. (3分) 故直线l的方程为y=8(x一3)， 因为圆C与直线1相切，所以la一-b一4=，®. 即8x-y-24=0. (13分) √2 16.(1)解：由题意可知点M在C上，将点M的 联立①②③，解得r=2√2，a=b=3, 坐标代入，得16=8p,解得p=2, (2分) 则圆C的标准方程为(x一3)2+(y一3)2=8. 所以焦点F的坐标为(1,0)， (6分) (2)如图，设点C关于直线1的对称点为C(m, 所以5s=号10F1x=号×1×4=2. n-3 (5分) m-3 =一1， n),则 解得m7, (2)证明：由(1)可知C的方程为y2=4x. m+3n+3 (n=-1, 2 2 -4=0, 由题意可知直线AB不与x轴平行，设直线 (9分) AB的方程为x=my+b,A(小B(盟， 所以C'(7,一1)，根据对称性可得|PC引= IPC', y2),且y1y2≠±4. 所以|AP|+|PC|=|AP|+IPC'|≥|AC'I, 联立/=my+6, 当且仅当A,P,C'三点共线时，等号成立. 得y2-4my-4b=0, y2=4x, (11分) 则△=16m2+16b>0,且y1+y2=4m①， y1y2=-4b②. 因为直线AC的斜*为，二{)- (8分) 4 所以直线AC'的方程为y-1=一1 4(x+1), 一4y1十4，同理可得B二 y2+4 即直线'的方程为x+4y一3=0，(13分) (10分) 3 所以圆心O到直线AC'的距离d= √12+42 4 由题意知kMA·EMB= 4 1+4`y2+4=-2, 3√17 即4(y1+y2)+y1y2+24=0, 17 将①②代入可得4m一b+6=0,即b= 所以AB=2√2-d=107 17· (15分) 4m+6, 所以直线AB的方程可化为x=my十 4m+6, 即x-6=m(y+4), 故直线AB过定点(6，-4). (15分) 17.解：(1)设圆C的标准方程为(x一a)2+(y b)2=r2(a>0,b>0,r>0),则圆心C(a,b). ·4· ·数学· 参考答案及解析 2√a2+b2=8, 法二：设A(x1,y1),B(x2,y2), 18.解：(1)由题意得 =3, 因为F1(一4,0)，F2(4,0), a 所以F1A=(x1十4，y1),F2B=(x2-4,y2). 解得a2=4,b2=12, 由F2B=3F1A,得(x2-4,y2)=3(x1+4, 放C的方程为号花-1 (5分) y1),即x2=3x1+16,y2=3y1. (7分) (2)法一：延长BF2,交C于点M,连接MF1, 由AC0.B)均在C:号-日-1 FB. 由F2B=3F1A及C的对称性得，F2B=3MF2, 上0路-1,4造1 412 且△F1BM的面积等于四边形AF1F2B的 面积. (8分) 所以3x,)(3y1) =9, 4 12 由(1)知F2(4,0),设B(x1,y1),M(x2y2), (3x1+16)2(3y1)2 直线BM的方程为x=my十4， 12 =1, 4 [x=my+4, 两式相藏得6x+16)X(-16)=8, 联立{z2y21得(3m2-1)y2+24my+ 4 (412=1, 解得x1=-3. (10分) 36=0, 其中，3m2-1≠0，△=144m2+144>0, 由号-器-1及点A在x轴的上方， 24m 36 y1十y2= 3m2-1y1y2 3m21,(10分) 解得y1=√15， 从而x2=3x1+16=3×(-3)+16=7,y2= 所以y1一y2|= √144m2+14412√m2+1 13m2-1 3m2-1 3y1=3√15， 因为y1y2<0, 所以A(-3,√15)，B(7,3√15)，(12分) 所以3m2-1<0,故1y-y2=12m2+ 所以AB=(10,2√15)，AF2=(4,0)-(-3, 1-3m2 √15)=(7，-√15). (13分) 所以Saw-E,, 48√/1+m2 首先推导一个公式，若AB=(a,b),AF2=(c, 1-3m2 (12分) d),则S6,-名d-c,推导过程知下， 由F,B=3MF2,得(x1-4,y1)=3(4- x2,-y2),所以y1=-3y2, S,=IABIIAP,sin∠BAP: 所以y+y2) 4 1 yiy2 3 -2√AB×AF-(AB·AF) 24m 又y1+y2)2 3m2-1 16m2 ((e-(achdy yiy2 36 3m2-1 3m2-1 -lad-bcl. (15分) 专解得=品 (16分) 所以S四边形A,R,B=S△ABF:十S△AF,R:=2X 所以S△F,M=16W15, 所以四边形AF1F2B的面积为16√15. 10X(-15)-215×71+2×8×15= (17分) 16√15. (17分) ·5· ·数学· 参考答案及解析 19.(1)解：设|F1F2|=2c,则△GF1F2的面积为 (i)设直线GA的方程为y-1=k(x一1)， 合×2X1-,解得c 即y=x十(1一k), 2 代入x2+2y2=3,得(2k2+1)x2+4k(1- 故a-=3①. 2 (1分) k)·x十2(1-k)2-3=0. 因为A,G为直线GA与C的交点， 由G1,D是C上一点，得。十1 ②. 4k(1-k) 所以x1+1= 2k2十1 (10分) (2分) 设GA的中点为P(xoyo), 联立①②，解得a2=3,6=3 (3分) 则x0=一 2k(1-k) 2k2+1, 故C的方程为+2y 3T3 1. (4分) 所以yo=k红十(1-b)=k·[- 2k(1-k) 2k2+1 (2)证明：(1)设直线AB的方程为y=2x+ 1-k (1-k)= 2k2+1 t,代入x2+2y2=3,得3.x2+4tx+4t2- 即P(- 2k(1-k)1-k1 6=0. 2k2+1’2k2+1, 因为直线AB与C交于A,B两点， 所以GA的中垂线方程为y 1-k1 所以△=16t2-12(4t2-6)>0, 2k2+1· 解得-是<1< [x+ 2k(1-k)1 2k2+1, 1 设A(x1,y1),B(x2y2),则x1十x2= A k-1 , 即y=一x+2k2+1 ③. (12分) x1x2= 4t2-6 设直线GB的方程为y-1=一(x一1)， 3, (6分) 1 房以a+e号子+月 同理可得GB的中垂线方程为y=友x一 +1 2k2+1 ④ (14分) (2x+i-l:-D+(2+-a-1D k2 (x1-1)(x2-1) x 2k2+1’ 联立③④，解得 x:+(-2),+x）-2z+2 1 y=一2k2+1' (x1-1)(x2-1) 消去k,得2x-y一1=0， (16分) +-》( -2t+2 显然，该直线上的点满足|HA|=|HB|= =0, (x1-1)(x2-1) GH, 即直线GA与GB的斜率互为相反数， 故点H在定直线2x-y-1=0上.(17分) 所以a+3=180°. (8分) ·6绝密★启用前 8.已知圆O:x2+y2=4上的动点M和定点A(一1,0)，B(1,1),则2|MA|+|MB的最小 菏泽市2024级第一学期期中模拟考试 值为 数学试题 A.√21 B.√26 C.2+10 D.√29 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目 本试卷总分150分，考试时间120分钟。 要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 注意事项： 9.已知直线l1:x十(a一1)y十1=0，直线l2:ax+2y十2=0，则下列说法正确的是 1.答卷前，考生务必将自己的姓名，考号等填写在答题卡和试卷指定位置。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如 A.11在x轴上的截距为一1 B.12过定点(0，一1) 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上 C.若l1∥l2,则a=一1或a=2 写在本试卷上无效。 n若山l:,则a=号 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 x3,y 10.已知椭圆C:。十行=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-1,0),F:1,0),离心率为 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。 2,左，右顶点分别为A,B,M是C上的动点，则下列说法正确的是 1.若直线1的斜率为一√，则1的倾斜角为 AC的方程为宁+苦 A-号 &-活 c n B.|MF2的最小值为② 2.若直线x十y十a=0与圆(x十1)2十y2=2相切，则a= C,若点M异于点A,B,则直线MA,MB的斜率之积为定值 A.-1 B.3 C.-3或1 D.3或-1 3。已知双曲线r+ -=1的渐近线过点(2，一3)，则m= D.若cos∠F,MF:-则△F:MF:的面积为1 m A是 R-是 c D.- 11.已知双曲线C:x2一y=2,点M为C右支上的一个动点，过点M分别作两条渐近线的 垂线，垂足分别为点A,B,O为坐标原点，则 4.已知圆C1:x2+y2=1与圆C2:(x一3)2+y2=r(r>0)有3条公切线，圆C覆盖圆C1, A.C的离心率为3 C,则圆C面积的最小值为 B.存在点M,使得四边形OAMB为正方形 A.9x B.12x C.16π D.18π 5.在平面直角坐标系xOy中，定义d(A,B)=lx1一x2|+|y1一y2为A(x1y1),B(x1y:) C.直线AB,OM的斜率之积为1 两点之铜的折线距离”，已知点Q1,0),者动点P满足1(Q,P)=?·则点P的轨连所国 D.存在点M,使得|MA|+|MB=√3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 成图形的面积为 A. 号 c 12.已知抛物线C:y一2的焦点为F,则点F到C的准线的距离是一 D.1 13.数学家欧拉在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心，重心，垂心在同 6.已知抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为1，过E上的一点A作1的垂线，垂足 一条直线上，后人称这条直线为“欧拉线”，已知△ABC的顶点分别为A(3,0),B(3,3), 为点B.若AB|=3|OF(O为坐标原点)，且△ABF的面积为122，则E的方程为 A.y=4r B.y2=43x D.y2=8/5x C(0,0),则△ABC的欧拉线方程是 C.y3=8x 久.已知FR,分别为椭圆C后+若=1a>6>0)的左，右熊点A,B是C上的两点者四 1已知树圆C:+若-16>0)的左，右焦点分别是RR,0为坐标原点：P是C上位 边形ABF1Fg为梯形，AF:∥BF1,|BF:|=2|AF|,∠BF1Fg=60°，则C的离心率为 于第一象限内的一点.若△PF,F,的面积为7，且|OP|=2|FF,,则点P的坐 c号 n台 标是 高二·数学试题第1页（共4页） 高二·数学试题第2页（共4页} 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18.(17分) 15.(13分) 已知直线11：2x一y-2=0和l:x十y+3=0. 已知双曲线C:。-=1(a>0,b>0)的左，右焦点分别为F,F,且FF=8,渐近 (1)求直线：与l2的交点坐标， 线方程为y=士√3x. (2)过点P(3,0)作直线1与直线1，山2分别交于点A,B,且满足A炉-A店，求直线1 (1)求C的方程： (2)设x轴上方的点A,B分别在C的左支与右支上，若F:B=3FA,求四边形 的方程」 AF1F:B的面积. 16.(15分) 已知M(4,4)为抛物线C:y°=2x(p>0)上的一点，F为C的焦点，O为坐标原点. (1)求△MOF的面积； (2)若A,B为C上的两个动点，直线MA与MB的斜率之积恒为一2，证明：直线AB过 19.(17分) 定点， t? 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F,G(1,1)是C上一点，且 △GF,F:的面积为 √6 (1)求C的方程： (2)设斜率为的直线与C交于A,B两点，直线GA与GB的倾斜角分别为a,A. 17.(15分) (1)证明：a+3=180°： 已知圆O:x2十y2=2与圆C外切，点C在第一象限，直线OC与直线1：x一y一4=0平 (Ⅱ)若动点H满足|HA|=|HB|=|GH引，证明：点H在定直线上. 行，且圆C与直线1相切. (1)求圆C的标准方程： (2)若直线1'与圆O及直线1从上到下依次交于点A(一1,1)，B,P,当|AP1十|PC最 小时，求AB引. 高二·数学试题第3页（共4页】 高二·数学试题第4页（共4页）