精品解析：天津开发区第一中学2025-2026学年上学期九年级阶段练习卷一

天津开发区第一中学2025-2026学年度第一学期九年级阶段练习卷一（数学） 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分． 1. 下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，这个图形就是中心对称图形，据此来分析判断即可得解． 【详解】解：A选项，是中心对称图形，故本选项符合题意； B选项，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C选项，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D选项，不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选A． 【点睛】本题考查了中心对称图形的识别，掌握中心对称图形的概念是求解关键． 2. 如图，点A、B、C、D、O都在方格纸上，若△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为（　　） A. 30° B. 45° C. 90° D. 135° 【答案】D 【解析】 【分析】利用旋转的性质得到∠AOC为旋转角，然后利用∠AOB＝45°得到∠AOC的度数即可． 【详解】解：∵△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得， ∴∠AOC为旋转角， ∵∠AOB＝45°， ∴∠AOC＝45°+90°=135°，即旋转角为135°． 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转的性质，对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 3. 对于二次函数的图象的特征，下列描述正确的是（ ） A. 开口向上 B. 经过原点 C. 对称轴是y轴 D. 顶点在x轴上 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的性质判断即可． 【详解】在二次函数中， ∵， ∴图像开口向下，故A错误； 令，则， ∴图像不经过原点，故B错误； 二次函数的对称轴为直线，故C错误； 二次函数的顶点坐标为， ∴顶点在x轴上，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的性质，掌握二次函数相关性质是解题的关键． 4. 下列变量间具有二次函数关系的是（ ） A. 正方形的周长y与边长x B. 正方形的面积S与边长x C. 三角形的高一定时，面积y与底边长x D. 速度一定时，路程s与时间t 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义． 根据二次函数的定义（形如，其中），逐一分析各选项变量间的关系式，判断是否为二次函数即可． 【详解】解：A．正方形的周长与边长的关系为，是一次函数，不符合题意； B．正方形的面积与边长的关系为，符合二次函数形式，符合题意； C．三角形的高一定时，面积与底边的关系为（为定值），是一次函数，不符合题意； D．速度一定时，路程与时间的关系为（为定值），是一次函数，不符合题意； 故选：B． 5. 将抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】按照“左加右减，上加下减”的平移法则，变换解析式，然后化简即可． 【详解】解：将抛物线向左平移3个单位长度，得到， 再向下平移2个单位长度，得到， 整理得， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，掌握“左加右减，上加下减”的法则是解题关键． 6. 抛物线y=x2﹣2x+2的顶点坐标为（　　） A. （1，1） B. （﹣1，1） C. （1，3） D. （﹣1，3） 【答案】A 【解析】 【分析】把函数解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标即可． 【详解】∵y=x2-2x+2=（x-1）2+1， ∴顶点坐标为（1，1）． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式写出顶点坐标的方法是解题的关键． 7. 设方程的两根为， 则 的值为（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，本题可利用根与系数的关系，先化为一般式求出该一元二次方程的二次项系数以及一次项系数的值，代入公式求解即可． 【详解】解：由可知， 其二次项系数，一次项系数， ∴， 故选：C． 8. 已知二次函数的图象与x轴有两个交点，且顶点坐标为(﹣2，1)．若函数图象经过(1，y1)，(﹣1，y2)，(﹣4，y3)三点，则（　　） A. y1＜y3＜y2 B. y2＜y1＜y3 C. y1＜y2＜y3 D. y2＜y3＜y1 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知抛物线的开口向下，且(﹣4，y3)关于抛物线的对称轴对称的点为(0，y3)，则－1<0<1，根据抛物线的性质即可判断． 【详解】∵二次函数的图象与x轴有两个交点，且顶点坐标为(﹣2，1) ∴抛物线的开口向下，且对称轴为直线x=－2 ∴(﹣4，y3)关于抛物线的对称轴对称的点为(0，y3) ∵(1，y1)，(﹣1，y2)，(0，y3)三点都在抛物线对称轴的右边，且－1<0<1 ∴y1＜y3＜y2 故答案为：A． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，关键是掌握二次函数的图象与性质，两个难点：一是确定抛物线的开口方向；二是抛物线上不在对称轴同侧的点，通过作对称点使之都位于对称轴的同侧． 9. 国家统计局统计数据 显示，我国快递业务收入逐年增加．2017年至2019年我国快递业务收入由亿元增加到亿元．设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为．则可列方程为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为，根据增长率的定义即可列出一元二次方程． 【详解】设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为， ∵2017年至2019年我国快递业务收入由亿元增加到亿元 即2019年我国快递业务收入为亿元， ∴可列方程：， 故选C． 【点睛】此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系得到方程． 10. 在同一直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数和一次函数的图象与性质，根据二次函数和一次函数的图象与性质逐项排除即可，熟练掌握二次函数和一次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】、∵一次函数的图象过一、二、三象限， ∴，， ∵二次函数开口向下，对称轴直线在轴右侧， ∴，， ∴此选项不符合题意； 、∵一次函数的图象过一、二、四象限， ∴，， ∵二次函数开口向下，对称轴直线在轴左侧， ∴，， ∴此选项不符合题意； 、∵一次函数的图象过一、三、四象限， ∴，， ∵二次函数开口向上，对称轴直线在轴左侧， ∴，， ∴此选项符合题意； 、∵一次函数的图象过一、二、四象限， ∴，， ∵二次函数开口向上，对称轴直线在轴右侧， ∴，， ∴此选项不符合题意； 故选：． 11. 如图，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，点的对应点为，连接．下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用旋转的性质得AC=CD，BC=EC，∠ACD=∠BCE，所以选项A、C不一定正确 再根据等腰三角形的性质即可得出，所以选项D正确；再根据∠EBC =∠EBC+∠ABC=∠A+∠ABC=-∠ACB判断选项B不一定正确即可． 详解】解：∵绕点顺时针旋转得到， ∴AC=CD，BC=EC，∠ACD=∠BCE， ∴∠A=∠CDA=；∠EBC=∠BEC=， ∴选项A、C不一定正确， ∴∠A =∠EBC， ∴选项D正确． ∵∠EBC=∠EBC+∠ABC=∠A+∠ABC=-∠ACB不一定等于， ∴选项B不一定正确； 故选D． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰三角形的性质． 12. 如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边用篱笆，且这三边的和为．有下列结论：①的长可以为；②的长有两个不同的值满足菜园面积为；③菜园面积的最大值为．其中，正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，解一元二次方程，准确理解题意，列出二次函数解析式是解题的关键． 设的长为，矩形的面积为，则的长为，根据矩形的面积公式列二次函数解析式，再分别根据的长不能超过，二次函数的最值，解一元二次方程求解即可． 【详解】解：设的长为，矩形的面积为， ∴的长为， 由题意得 ， ∵， ∴， ①的长不可以为，原说法错误； ③菜园面积的最大值为，原说法正确； ②当时， 解得（舍去）或， 的长只有1个值满足菜园面积为，原说法错误； 综上，正确结论的个数是1个， 故选A． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 13. 点与点关于原点对称，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 根据关于原点对称的点的坐标特征求出a，b的值，进而代入计算即可． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 抛物线y=2（x+2）2+4的顶点坐标为_____． 【答案】（﹣2，4）． 【解析】 【详解】分析：根据题目中二次函数的顶点式可以直接写出它的顶点坐标． 详解：∵y=2（x+2）2+4， ∴该抛物线的顶点坐标是（-2，4）， 故答案为（-2，4）． 点睛：本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是由顶点式可以直接写出二次函数的顶点坐标． 15. 如图，抛物线与x轴交点间的距离为________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题． 直接根据图像作答即可． 【详解】解：由图可知抛物线与x轴交点间的距离为． 故答案为：． 16. 对于二次函数，当时，y的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质. 根据二次函数，得出开口方向向下，对称轴是y轴，结合，即可得出答案． 【详解】解：∵二次函数，，对称轴为y轴， ∴该函数图象开口向下，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大， 当时，， 当时，， ∴当时，y的取值范围是， 故答案为：． 17. 如图，在直角坐标系中，等边三角形ABC的顶点的坐标为，点均在轴上．将绕顶点逆时针旋转得到，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质，三角函数的计算，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．作，求出，的值即可得到答案． 详解】解：作，交y轴于点F， 由题可得：， 是等边三角形，， ∴是的角平分线， ， ， 在中，， 即， 解得， ， ， ， ， 故答案为：． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A，B，C均在格点上 （1）的大小为___________（度）； （2）在如图所示的网格中，P是边上任意一点，以A为中心，取旋转角等于，把点P逆时针旋转，点P的对应点为，当最短时，请用无刻度的直尺，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）___________． 【答案】 ①. 90 ②. 见解析 【解析】 【分析】（1）运用勾股定理逆定理求解即可； （2）取格点D，E，连接交于点T；取格点M，N，连接交延长线于点G：取格点F，连接交延长线于点，则点即为所求；当边绕点A逆时针旋转时，点B与点F重合，点F在射线上，找到点C到FG的垂足即为． 【详解】解：（1）由网格图可知 ， ， ， ∵， ∴由勾股定理逆定理，为直角三角形． ∴， 故答案为：90； （2）作图过程如下： 取格点D，E，连接交于点T；取格点M，N，连接交延长线于点G：取格点F，连接交延长线于点，则点即为所求 证明：连接， ∵为正方形网格对角线， ∴A、C、F共线， ∴， 由图形可知：，， ∵，， ∴, ∴， ∵， ∴当边绕点A逆时针旋转时，点B与点F重合，点F在射线上． 由作图可知T为中点， ∴， ∴， ∴， 此时，最短， 故答案为：取格点D，E，连接DE交AB于点T；取格点M，N，连接交延长线于点G：取格点F，连接交延长线于点，则点即为所求． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的证明、图形的旋转、三角形相似和最短距离的证明，找到线段旋转后所在成为解答本题的关键． 三、解答题：本题共7小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）根据因式分解法求解即可； （2）根据公式法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， 或， 解得：； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ． 20. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴、y轴分别交于，，三点，顶点D的坐标为，点C的坐标为． （1）求抛物线对应的函数解析式； （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了求二次函数解析式，三角形面积公式． （1）写出顶点式，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出，的坐标，根据三角形面积公式计算即可． 小问1详解】 解：抛物线的顶点坐标为， 抛物线对应的函数解析式为， 将代入，得，解得． 抛物线对应的函数解析式为； 【小问2详解】 解：把代入，得， 解得或． 点的坐标为，点的坐标为， 即， ∴． 21. 如图，△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE，CF相交于点D, （1）求证：BE＝CF ； （2）当四边形ACDE为菱形时，求BD的长． 【答案】（1）证明见解析（2）-1 【解析】 【分析】（1）先由旋转的性质得AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，则∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF，即∠EAB=∠FAC，利用AB=AC可得AE=AF，得出△ACF≌△ABE，从而得出BE=CF； （2）由菱形的性质得到DE=AE=AC=AB=1，AC∥DE，根据等腰三角形的性质得∠AEB=∠ABE，根据平行线得性质得∠ABE=∠BAC=45°，所以∠AEB=∠ABE=45°，于是可判断△ABE为等腰直角三角形，所以BE=AC=，于是利用BD=BE﹣DE求解． 【详解】（1）∵△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的， ∴AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC， ∴∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF， 即∠EAB=∠FAC， 在△ACF和△ABE中， △ACF≌△ABE BE=CF. （2）∵四边形ACDE为菱形，AB=AC=1， ∴DE=AE=AC=AB=1，AC∥DE， ∴∠AEB=∠ABE，∠ABE=∠BAC=45°， ∴∠AEB=∠ABE=45°， ∴△ABE为等腰直角三角形， ∴BE=AC=， ∴BD=BE﹣DE=． 考点：1．旋转的性质；2．勾股定理；3．菱形的性质． 22. 市场上猪肉粽每盒的进价为50元，在销售中，某商家发现猪肉粽每盒售价52元时，可售出180盒；每盒售价提高1元时，少售出10盒．设猪肉粽每盒售价x元，y表示该商家销售猪肉粽的利润（单位：元），求y关于x的函数关系式并求出y的最大值． 【答案】，最大值为1000元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用． 根据题意可列出y关于x的函数解析式，再根据二次函数的性质即可解答． 【详解】解：设猪肉粽每盒售价元，表示该商家销售猪肉粽的利润（单位：元），则， ∵，， ∴当时，取得最大值为1000元． 23. 如图，是一座抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m．当水面下降1m时，水面宽度增加多少？ （1）根据题意应如何恰当建立平面直角坐标系，请写出你的建系方案___________、____________． （2）依据你的建系方案： ①设出抛物线解析式为___________________． ②根据题意可知抛物线经过的点的坐标为________________．（根据需要的个数填写即可） （3）直接写出：当水面下降时，水面宽度增加多少？ 【答案】（1）见解析 （2）①；② （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用： （1）建立平面直角坐标系，设横轴x通过，纵轴y通过中点O且通过C点，O为原点，即可； （2）①根据题意可得抛物线的顶点坐标为，即可求解；②根据题意可得，即可求解； （3）把点代入，求出抛物线的解析式，再把代入抛物线的解析式，即可求解． 【小问1详解】 解∶ 如图所示，建立平面直角坐标系，设横轴x通过，纵轴y通过中点O且通过C点，O为原点， 【小问2详解】 解：①根据题意得：抛物线的顶点坐标为， ∴可设出抛物线解析式为； 故答案为：； ②根据题意得：， ∴抛物线经过的点； 故答案为： 【小问3详解】 解：把点代入得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为， 当时，， 解得：， ∴当水面下降时，水面宽度为， ∴当水面下降时，水面宽度增加了． 24. 在平面直角坐标系中，O为原点，点A(4，0)，点B(0，3)，把ABO绕点B逆时针旋转，得，点A，O旋转后的对应点为，，记旋转角为α． （1）如图①，若α＝90°，求的长； （2）如图②，若α＝120°，求点的坐标； （3）在（2）的条件下，边OA上 的一点P旋转后的对应点为，当P+B取得最小值时，求点的坐标（直接写出结果即可） 【答案】（1）5 （2）(，) （3）(，) 【解析】 【分析】（1）如图①，先利用勾股定理计算出AB＝5，再根据旋转的性质得BA＝BA′，∠ABA′＝90°，则可判定△ABA′为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求AA′的长； （2）作O′H⊥y轴于H，如图②，利用旋转的性质得BO＝BO′＝3，∠OBO′＝120°，则∠HBO′＝60°，再在Rt△BHO′中利用含30度的直角三角形三边的关系可计算出BH和O′H的长，然后利用坐标的表示方法写出O′点的坐标； （3）由旋转的性质得BP＝BP′，则O′P+BP′＝O′P+BP，作B点关于x轴的对称点C，连接O′C交x轴于P点，如图②，易得O′P+BP＝O′C，利用两点之间线段最短可判断此时O′P+BP的值最小，接着利用待定系数法求出直线O′C的解析式为y＝x﹣3，从而得到P（，0），则O′P′＝OP＝，作P′D⊥O′H于D，然后确定∠DP′O′＝30°后利用含30度的直角三角形三边的关系可计算出P′D和DO′的长，从而可得到P′点的坐标． 【小问1详解】 如图①， ∵点A（4，0），点B（0，3）， ∴OA＝4，OB＝3， ∴AB＝＝5， ∵△ABO绕点B逆时针旋转90°，得△A′BO′， ∴BA＝BA′，∠ABA′＝90°， ∴△ABA′为等腰直角三角形， ∴AA′＝BA＝5； 【小问2详解】 作O′H⊥y轴于H，如图②， ∵△ABO绕点B逆时针旋转120°，得△A′BO′， ∴BO＝BO′＝3，∠OBO′＝120°， ∴∠HBO′＝60°， 在Rt△BHO′中，∵∠BO′H＝90°﹣∠HBO′＝30°， ∴BH＝BO′＝，O′H＝BH＝， ∴OH＝OB+BH＝3+＝， ∴O′点的坐标为(，)； 【小问3详解】 ∵△ABO绕点B逆时针旋转120°，得△A′BO′，点P的对应点为P′， ∴BP＝BP′， ∴O′P+BP′＝O′P+BP， 作B点关于x轴的对称点C，连接O′C交x轴于P点，如图②， 则O′P+BP＝O′P+PC＝O′C，此时O′P+BP的值最小， ∵点C与点B关于x轴对称， ∴C（0，﹣3）， 设直线O′C的解析式为y＝kx+b， 把O′（，），C（0，﹣3）代入得，解得， ∴直线O′C的解析式为y＝x﹣3， 当y＝0时，x﹣3＝0，解得x＝，则P（，0）， ∴OP＝， ∴O′P′＝OP＝， 作P′D⊥O′H于D， ∵∠BO′A′＝∠BOA＝90°，∠BO′H＝30°， ∴∠DP′O′＝30°， ∴O′D＝O′P′＝，P′D＝O′D＝， ∴DH＝O′H﹣O′D＝﹣＝， ∴P′点的坐标为(，)． 【点睛】本题考查了几何变换综合题，解题的关键是，熟练掌握旋转的性质；理解坐标与图形性质；会利用两点之间线段最短解决最短路径问题；记住含30度的直角三角形三边的关系． 25. 如图①,已知抛物线y=ax2+bx+c的图像经过点A（0，3)、B（1，0），其对称轴为直线l：x=2，过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m. （1）求抛物线的解析式； （2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当m为何值时，四边形AOPE面积最大，并求出其最大值； （3）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）y=x2-4x+3.（2）当m=时，四边形AOPE面积最大，最大值为.（3）P点的坐标为 ：P1（，），P2（，），P3（，），P4（，）. 【解析】 【详解】分析：（1）利用对称性可得点D的坐标，利用交点式可得抛物线的解析式； （2）设P（m，m2-4m+3），根据OE的解析式表示点G的坐标，表示PG的长，根据面积和可得四边形AOPE的面积，利用配方法可得其最大值； （3）存在四种情况： 如图3，作辅助线，构建全等三角形，证明△OMP≌△PNF，根据OM=PN列方程可得点P的坐标；同理可得其他图形中点P的坐标． 详解：（1）如图1，设抛物线与x轴的另一个交点为D， 由对称性得：D（3，0）， 设抛物线的解析式为：y=a（x-1）（x-3）， 把A（0，3）代入得：3=3a， a=1， ∴抛物线的解析式；y=x2-4x+3； （2）如图2，设P（m，m2-4m+3）， ∵OE平分∠AOB，∠AOB=90°， ∴∠AOE=45°， ∴△AOE是等腰直角三角形， ∴AE=OA=3， ∴E（3，3）， 易得OE的解析式为：y=x， 过P作PG∥y轴，交OE于点G， ∴G（m，m）， ∴PG=m-（m2-4m+3）=-m2+5m-3， ∴S四边形AOPE=S△AOE+S△POE， =×3×3+PG•AE， =+×3×（-m2+5m-3）， =-m2+m， =（m-）2+， ∵-＜0， ∴当m=时，S有最大值是； （3）如图3，过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交l于N， ∵△OPF是等腰直角三角形，且OP=PF， 易得△OMP≌△PNF， ∴OM=PN， ∵P（m，m2-4m+3）， 则-m2+4m-3=2-m， 解得：m=或， ∴P的坐标为（，）或（，）； 如图4，过P作MN⊥x轴于N，过F作FM⊥MN于M， 同理得△ONP≌△PMF， ∴PN=FM， 则-m2+4m-3=m-2， 解得：x=或； P的坐标为（，）或（，）； 综上所述，点P的坐标是：（，）或（，）或（，）或（，）． 点睛：本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数综合应用，相似三角形的判定与性质以及解一元二次方程的方法，解第（2）问时需要运用配方法，解第（3）问时需要运用分类讨论思想和方程的思想解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津开发区第一中学2025-2026学年度第一学期九年级阶段练习卷一（数学） 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分． 1. 下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，点A、B、C、D、O都在方格纸上，若△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为（　　） A. 30° B. 45° C. 90° D. 135° 3. 对于二次函数的图象的特征，下列描述正确的是（ ） A. 开口向上 B. 经过原点 C. 对称轴y轴 D. 顶点在x轴上 4. 下列变量间具有二次函数关系的是（ ） A. 正方形的周长y与边长x B. 正方形的面积S与边长x C. 三角形高一定时，面积y与底边长x D. 速度一定时，路程s与时间t 5. 将抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 6. 抛物线y=x2﹣2x+2的顶点坐标为（　　） A. （1，1） B. （﹣1，1） C. （1，3） D. （﹣1，3） 7. 设方程的两根为， 则 的值为（ ） A. 5 B. C. D. 8. 已知二次函数的图象与x轴有两个交点，且顶点坐标为(﹣2，1)．若函数图象经过(1，y1)，(﹣1，y2)，(﹣4，y3)三点，则（　　） A. y1＜y3＜y2 B. y2＜y1＜y3 C. y1＜y2＜y3 D. y2＜y3＜y1 9. 国家统计局统计数据 显示，我国快递业务收入逐年增加．2017年至2019年我国快递业务收入由亿元增加到亿元．设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为．则可列方程为( ) A. B. C. D. 10. 在同一直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，点的对应点为，连接．下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边用篱笆，且这三边的和为．有下列结论：①的长可以为；②的长有两个不同的值满足菜园面积为；③菜园面积的最大值为．其中，正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 13. 点与点关于原点对称，则________． 14. 抛物线y=2（x+2）2+4的顶点坐标为_____． 15. 如图，抛物线与x轴交点间的距离为________________． 16. 对于二次函数，当时，y的取值范围是________． 17. 如图，在直角坐标系中，等边三角形ABC的顶点的坐标为，点均在轴上．将绕顶点逆时针旋转得到，则点的坐标为______． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A，B，C均在格点上 （1）的大小为___________（度）； （2）在如图所示的网格中，P是边上任意一点，以A为中心，取旋转角等于，把点P逆时针旋转，点P的对应点为，当最短时，请用无刻度的直尺，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）___________． 三、解答题：本题共7小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 解方程： （1）； （2）． 20. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴、y轴分别交于，，三点，顶点D的坐标为，点C的坐标为． （1）求抛物线对应的函数解析式； （2）求面积． 21. 如图，△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE，CF相交于点D, （1）求证：BE＝CF ； （2）当四边形ACDE为菱形时，求BD的长． 22. 市场上猪肉粽每盒的进价为50元，在销售中，某商家发现猪肉粽每盒售价52元时，可售出180盒；每盒售价提高1元时，少售出10盒．设猪肉粽每盒售价x元，y表示该商家销售猪肉粽的利润（单位：元），求y关于x的函数关系式并求出y的最大值． 23. 如图，是一座抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m．当水面下降1m时，水面宽度增加多少？ （1）根据题意应如何恰当建立平面直角坐标系，请写出你的建系方案___________、____________． （2）依据你的建系方案： ①设出抛物线解析式为___________________． ②根据题意可知抛物线经过的点的坐标为________________．（根据需要的个数填写即可） （3）直接写出：当水面下降时，水面宽度增加多少？ 24. 在平面直角坐标系中，O为原点，点A(4，0)，点B(0，3)，把ABO绕点B逆时针旋转，得，点A，O旋转后对应点为，，记旋转角为α． （1）如图①，若α＝90°，求的长； （2）如图②，若α＝120°，求点的坐标； （3）在（2）的条件下，边OA上 的一点P旋转后的对应点为，当P+B取得最小值时，求点的坐标（直接写出结果即可） 25. 如图①,已知抛物线y=ax2+bx+c的图像经过点A（0，3)、B（1，0），其对称轴为直线l：x=2，过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m. （1）求抛物线解析式； （2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当m为何值时，四边形AOPE面积最大，并求出其最大值； （3）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $