精品解析：河北省沧州市南皮县第四中学2025-2026学年八年级上学期10月月考数学试题

2025～2026学年第一学期八年级学业水平综合评价（一） 数学（冀教版） （考试时间：120分钟，满分：120分） 卷Ⅰ（选择题，共36分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 无论取何值，下列分式中，总有意义的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件是分母不等于0逐项分析即可． 【详解】解：当时，分式无意义，所以A不符合题意； 当时，分式无意义，所以B不符合题意； 当时，分式无意义，所以C不符合题意； 无论a取何值，分式总有意义，所以D符合题意． 故选：D． 2. 能说明命题“若，则”是假命题的反例是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了利用举例法证明一个命题错误，要说明数学命题的错误，只需举出一个反例即可，这是数学中常用的一种方法． 根据要证明一个命题结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题． 【详解】解：∵能说明判定命题“若，则”是假命题的反例， ∴举例需满足，且， 选项中只有，满足，，所以能说明命题“若，则”是假命题， 其他选项不能说明． 故选：D． 3. 计算：的结果为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了异分母分式加法，先把异分母分式转化成同分母分式进行运算，再约分即可得出答案． 【详解】解： 故选：D 4. 将分式方程化为整式方程，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程； 将分式方程转化为整式方程的关键是确定最简公分母，并对方程两边同时乘以该公分母，消去分母． 【详解】解：方程两边同乘以得：， 故选：D． 5. 下列分式中，为最简分式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了最简分式，最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．根据最简分式的定义分别对每一项进行判断，即可得出答案． 【详解】解：选项A、，不符合题意； 选项B、，不符合题意； 选项C、不能约分，符合题意； 选项D、，不符合题意， 故选：C． 6. 若分式的值为，则x的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式值为的条件，熟练掌握分式值为的条件是解题的关键． 根据分式值为可得分子为，分母不为，即可求解． 【详解】解：分式的值为， ，且， 解得：， 故选：A． 7. 关于命题“对顶角相等”，下列说法正确的是( ) A. 原命题是真命题，逆命题是假命题 B. 原命题是假命题，逆命题是真命题 C. 原命题和逆命题都是真命题 D. 原命题和逆命题都是假命题 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了逆命题，判断真假命题；原命题“对顶角相等”是真命题，其逆命题为“相等的角是对顶角”，需判断逆命题的真假． 【详解】解：对顶角的定义是两条直线相交形成的角中，互为反向延长线的两个角．根据几何基本定理，对顶角一定相等，因此原命题是真命题． 逆命题为“如果两个角相等，那么它们是对顶角”， 原命题的逆命题是假命题． 故选：A． 8. 如果把的与（，均为正数）都扩大到原来的5倍，那么分式的值（ ） A. 不变 B. 扩大到原来的5倍 C. 扩大到原来的10倍 D. 缩小到原来的 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的基本性质， 将x，y值都扩大5倍，并化简可得答案. 【详解】解：， ∴分式的值扩大到原来的5倍. 故选：B 9. 已知，关于甲、乙的说法，下列判断正确的是（ ） 甲：可化为最简分式；：当时，． A. 甲、乙都正确 B. 甲、乙都不正确 C. 只有甲正确 D. 只有乙正确 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，根据分式的除法法则进行计算，求出时的函数值，进行判断即可． 【详解】解： ； 当时，，分式无意义， 故甲正确，乙不正确； 故选C． 10. 若关于x的分式方程有增根，则m的值是（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的概念与解法、分式方程的增根以及方程的解与方程成立条件的关系，解题的关键在于识别增根，将原方程化简为整式方程进行求解．分式方程的增根是使分母为零的根，先确定增根为，然后将分式方程转化为整式方程，代入增根求解的值． 【详解】解：原方程的最简公分母为， 令分母，解得增根为． 将方程两边同乘，得， 整理，得． ， 将代入整式方程，得， 解得，， 故选：B． 11. 过斑马线，斑马线前“车让人”，不仅体现一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，某路口的斑马线路段A-B-C横穿双向行驶车道，其中AB＝BC＝6m，在绿灯亮时，小明共用11s通过，其中通过时的速度是通过时速度的1.2倍，则小明通过时的速度为 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式方程的实际应用，设通过的速度是，则根据题意可列分式方程，解出x即可．根据题意找出等量关系并列出分式方程是解答本题的关键． 【详解】解：设通过的速度是， 根据题意可列方程：， 解得， 经检验：是原方程的解且符合题意． 故通过时的速度是． 故选：C． 12. 已知，则的值是（     ） A. 21 B. 23 C. 25 D. 27 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了完全平方公式，将已知等式变形得到，再将两边平方，利用完全平方公式展开即可求出所求式子的值． 【详解】解：∵， ∴， 将两边平方得：， ∴， ∴． 故选：D． 卷Ⅱ（非选择题，共84分） 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 若，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的运算，由题可得，然后代入分式化简解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 直角三角形的两个锐角互余的逆命题为____________． 【答案】有两个角互余的三角形是直角三角形 【解析】 【分析】本题考查的命题与定理，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，难度不大．直接写出原命题的逆命题即可． 【详解】解：直角三角形的两个锐角互余的逆命题为有两个角互余的三角形是直角三角形， 故答案为：有两个角互余的三角形是直角三角形． 15. 若关于x分式方程的解为正数，则的取值范围是：____________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查解分式方程并根据其解求代数的取值范围，注意分式分母不为0的情况即可. 根据题干直接解分式方程，进而利用分式方程的解是正数得出 a 的取值范围，进而结合分式方程有意义的条件分析得出答案． 【详解】解： 去分母得 解得 由分式方程的解为正数得 解得 再由使分式有意义的条件可知 则有， 故的取值范围是且 故答案为：且． 16. 有一个计算程序，每次运算都是把一个数先乘2，再除以它与1的和，多次重复进行这种运算的过程如下： 则第n次的运算结果是_____(用含字母x和n的代数式表示)． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了分式的规律题，根据分式的除法法则逐项计算，得到规律即可． 【详解】解：根据题意得； ； ； …… 根据以上规律可得：． 三、解答题（本大题共8个小题、共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程：． 【答案】无解 【解析】 【分析】根据解分式方程的步骤去解答：去分母将分式方程化为整式方程、解整式方程、检验、回答． 【详解】解：原方程可化为：． 方程两边同时乘以，得 ． 化简，得． 解得 ． 检验：时， 所以不是原分式方程的解， 所以原分式方程无解． 【点睛】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤，尤其是检验是解分式方程的重要步骤． 18. 先化简代数式，再从，，三个数中选一个恰当的数作为的值代入求值． 【答案】； 【解析】 【分析】先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后根据分式有意义的条件确定的值，将字母的值代入求解． 【详解】解： ， ∵，， ∴当时，原式 【点睛】本题考查了分式化简求值，解题关键是熟练运用分式运算法则进行求解． 19. （1）填写下列空格： 已知：如图，分别平分和． 求证：． 证明： 分别平分和（已知）， ， ，（ ） （已知） （ ） （等式的性质） （ ） （2）说出（1）的证明中运用了哪两个互逆的真命题． 【答案】（1）；；角平分线的定义；两直线平行，内错角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行；（2）“两直线平行，内错角相等”与“内错角相等，两直线平行” 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质，可得∠1＝∠2，根据角平分线的定义，可得∠ABC＝∠BCD，再根据平行线的判定，即可得出AB∥CD； （2）在两个命题中，如果一个命题的结论和题干是另一个命题的题干和结论，则称它们为互逆命题． 【详解】解：（1）∵BE、CF分别平分∠ABC和∠BCD（已知） ∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠BCD（角平分线的定义） ∵BE∥CF（已知） ∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等） ∴∠ABC＝∠BCD（等量代换） ∴∠ABC＝∠BCD（等式的性质） ∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行） 故答案为：ABC；BCD；角平分线的定义；已知；两直线平行，内错角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行； （2）两个互逆的真命题为： 两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行． 【点睛】本题考查的是平行线的判定与性质的运用，解题时注意：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系；平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项． 20. 嘉琪在计算时把整式M抄错了，得到的化简结果是，他在核对时发现所抄写的M比原来大． （1）求整式M； （2）计算正确的结果 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查分式的加减法，掌握异分母分式相加减，先通分，再按照同分母分式加减法的法则进行计算是正确解答的前提． （1）利用抄错M时的错误等式，通过分式运算求出抄错的M，再结合“抄写的M比原来大”，算出正确的M ． （2）将正确的M代入原式，通过分式通分、化简，得出正确结果 ． 【小问1详解】 嘉琪在抄错整式M情况下，有， 则 ∴， 则不抄错的， 【小问2详解】 解：解把代入原式的化简结果是 ． 21. 已知关于x的分式方程． （1）当时，求这个分式方程的解； （2）若此分式方程无解，求的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程以及分式方程无解的问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）把代入方程，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解，得到前的系数为或者最简公分母为，即可求解． 【小问1详解】 解：把代入分式方程得：， 整理得：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项、合并同类项，得：， 解得：， 检验：把代入得：， 是分式方程的解； 【小问2详解】 分式方程变形得：， 去分母，得：，即， 若，即时，此方程无解，即分式方程无解； 若，即时， 分式方程无解， ，即， 把代入整式方程得：， 综上所述，或． 22. 阅读理解： 求不等式的解集． 解：根据“同号两数相乘除，积为正”可得：①或②． 解①得；解②得． ∴不等式的解集为或． 请你仿照上述方法解决下列问题： （1）求不等式的解集． （2）求不等式的解集． 【答案】（1）不等式的解集为； （2）不等式的解集为或． 【解析】 【分析】（1）根据“异号两数相除，积为负”化为两个一元一次不等式组求解即可； （2）根据分式不等式大于零可以得到其分子、分母同号，从而转化两个一元一次不等式组求解即可． 【小问1详解】 解：根据“异号两数相除，积为负”可得 ①，或②． 解②，得无解．解①，得， ∴不等式的解集为：； 【小问2详解】 解：根据“同号两数相除，商为正”可得 ①，或②． 解①，得．解②，得， ∴不等式的解集为或． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 23. 中国是世界上种茶、制茶和饮茶最早的国家，中国茶以其博大精深的文化内涵，滋养了几千年的历史．而贵州，是中国种茶、制茶和饮茶最早的地区之一，为发展农业新质生产力，某农科院研发的智能采茶机器人正式上岗作业．经观察和测试，一个工人每分钟采25片茶叶，一个机器人每分钟采30片茶叶． （1）经科研人员研发指导，工人和机器人的采茶速度都得到了提高，工人每分钟比之前多采片茶叶，机器人每分钟比之前多采片茶叶，这时，一个机器人采1200片茶叶所用的时间是一个工人采600片茶叶所用时间的1.5倍，求的值． （2）在（1）的条件下，某茶庄计划在采茶时安排工人和机器人共20个合采茶叶，且机器人的数量少于工人数量的2倍．要使每分钟合采茶叶的总片数不低于710片，有哪几种安排方案？ 【答案】（1）的值为 （2）有三种方案：方案一：安排工人人，机器人人；方案二：安排工人人，机器人人；方案三：安排工人人，机器人人 【解析】 【分析】本题考查分式方程和不等式组的应用； （1）根据“一个机器人采1200片茶叶所用的时间是一个工人采600片茶叶所用时间的1.5倍”列关于a的分式方程解题即可； （2）设安排工人x人，根据题意列不等式组求出x的取值范围，根据整数解得到方案即可． 【小问1详解】 解：根据题意列方程得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意； 答：的值为． 【小问2详解】 解：设安排工人x人，则： ， 解得：， ∵x为整数， ∴x可取，，， 故有三种方案： 方案一：安排工人人，机器人人； 方案二：安排工人人，机器人人； 方案三：安排工人人，机器人人． 24. 一般情况下，一个分式通过适当的变形，我们可以把它化成一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式，例如： ①； ②． （1）仿照上述方法，试将分式，化为一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式； （2）已知，均为正整数，，，且，均为正数．若，请求出，的值． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简， 对于（1），将化成，即可得出整数和分式和形式； 将化成，即可得出整式和分式的和的形式； 对于（2），先把M，N化成整数和分式的和的形式，再根据，可得， 然后令，，可得，再讨论a，b的值可得答案. 【小问1详解】 解：． ； 【小问2详解】 解：，， 因为，所以， 即， 令，，则， ， ， ， ， ，均为正数，，均为正整数， ，为正整数， 或或 当时，则，； 当时，则，（舍） 当时，则，（舍）． ，， ，，经检验，符合题意， ，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年第一学期八年级学业水平综合评价（一） 数学（冀教版） （考试时间：120分钟，满分：120分） 卷Ⅰ（选择题，共36分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 无论取何值，下列分式中，总有意义的是（ ） A. B. C. D. 2. 能说明命题“若，则”是假命题的反例是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 计算：的结果为（ ） A. B. C. D. 1 4. 将分式方程化为整式方程，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列分式中，为最简分式的是（ ） A. B. C. D. 6. 若分式的值为，则x的值为（ ） A. B. C. D. 7. 关于命题“对顶角相等”，下列说法正确的是( ) A. 原命题是真命题，逆命题是假命题 B. 原命题是假命题，逆命题是真命题 C. 原命题和逆命题都是真命题 D. 原命题和逆命题都是假命题 8. 如果把的与（，均为正数）都扩大到原来的5倍，那么分式的值（ ） A. 不变 B. 扩大到原来的5倍 C. 扩大到原来的10倍 D. 缩小到原来的 9. 已知，关于甲、乙的说法，下列判断正确的是（ ） 甲：可化为最简分式；：当时，． A. 甲、乙都正确 B. 甲、乙都不正确 C. 只有甲正确 D. 只有乙正确 10. 若关于x的分式方程有增根，则m的值是（ ） A. B. C. 1 D. 2 11. 过斑马线，斑马线前“车让人”，不仅体现一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，某路口的斑马线路段A-B-C横穿双向行驶车道，其中AB＝BC＝6m，在绿灯亮时，小明共用11s通过，其中通过时的速度是通过时速度的1.2倍，则小明通过时的速度为 （ ） A. B. C. D. 12. 已知，则的值是（     ） A 21 B. 23 C. 25 D. 27 卷Ⅱ（非选择题，共84分） 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 若，则值为_____． 14. 直角三角形的两个锐角互余的逆命题为____________． 15. 若关于x的分式方程的解为正数，则的取值范围是：____________． 16. 有一个计算程序，每次运算都是把一个数先乘2，再除以它与1的和，多次重复进行这种运算的过程如下： 则第n次的运算结果是_____(用含字母x和n的代数式表示)． 三、解答题（本大题共8个小题、共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程：． 18. 先化简代数式，再从，，三个数中选一个恰当的数作为的值代入求值． 19. （1）填写下列空格： 已知：如图，分别平分和． 求证：． 证明： 分别平分和（已知）， ， ，（ ） （已知） （ ） （等式的性质） （ ） （2）说出（1）证明中运用了哪两个互逆的真命题． 20. 嘉琪在计算时把整式M抄错了，得到化简结果是，他在核对时发现所抄写的M比原来大． （1）求整式M； （2）计算正确的结果 21. 已知关于x的分式方程． （1）当时，求这个分式方程的解； （2）若此分式方程无解，求的值． 22. 阅读理解： 求不等式的解集． 解：根据“同号两数相乘除，积为正”可得：①或②． 解①得；解②得． ∴不等式的解集为或． 请你仿照上述方法解决下列问题： （1）求不等式的解集． （2）求不等式的解集． 23. 中国是世界上种茶、制茶和饮茶最早的国家，中国茶以其博大精深的文化内涵，滋养了几千年的历史．而贵州，是中国种茶、制茶和饮茶最早的地区之一，为发展农业新质生产力，某农科院研发的智能采茶机器人正式上岗作业．经观察和测试，一个工人每分钟采25片茶叶，一个机器人每分钟采30片茶叶． （1）经科研人员研发指导，工人和机器人的采茶速度都得到了提高，工人每分钟比之前多采片茶叶，机器人每分钟比之前多采片茶叶，这时，一个机器人采1200片茶叶所用的时间是一个工人采600片茶叶所用时间的1.5倍，求的值． （2）在（1）的条件下，某茶庄计划在采茶时安排工人和机器人共20个合采茶叶，且机器人的数量少于工人数量的2倍．要使每分钟合采茶叶的总片数不低于710片，有哪几种安排方案？ 24. 一般情况下，一个分式通过适当的变形，我们可以把它化成一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式，例如： ①； ②． （1）仿照上述方法，试将分式，化为一个整式和一个分子是整数分式的和的形式； （2）已知，均为正整数，，，且，均为正数．若，请求出，的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $