内容正文:
九年级数学阶段性学情反馈
一、选择题(共10小题,每题3分,共30分)
1. 下列方程中,一定是关于x的一元二次方程的是( )
A. B. C. D.
2. 如图是一张书法练习纸,其中的竖格线都互相平行,且相邻两条竖格线间的距离都相等.不同竖格线上的三点A,,在同一直线上.若线段,则线段的长为( )
A. B. C. D.
3. 下图是我市某展览馆出入口示意图.小颖和母亲从同一入口进入分别参观,参观结束后,她们恰好从同一出口走出的概率是( )
A. B. C. D.
4. 在复习特殊的平行四边形时,某小组同学画出了如图关系图,组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件,其中填写正确的是( )
A. ①对角相等 B. ③对边相等
C. ②对角线互相垂直 D. ④邻角互补
5. 班级组织互赠图书活动,每个同学都向本组其他成员赠送一本图书,某组共互赠了56本图书,如果设该组共有x名同学,那么依题意,可列出的方程是( )
A. B.
C. D. 2
6. 一元二次方程x2+x﹣1=0的两根分别为x1,x2,则=( )
A. B. 1 C. D.
7. 在平面直角坐标系中,已知点,以原点O为位似中心,相似比为,把缩小,则点A的对应点的坐标是( )
A. B.
C. 或 D. 或
8. 如图,四边形的对角线于点O,点E,F,G,H分别为边和的中点,顺次连接和得到四边形.若,,则四边形的面积等于( )
A. B. C. D.
9. 如图,在菱形纸片ABCD中,AB=2,∠A=60°,将菱形纸片翻折,使点A落在CD的中点E处,折痕为FG,点F,G分别在边AB,AD上,则EF的长为( )
A. B. C. D.
10. 如图,矩形的对角线与相交于点O,过点O作于点,连接交于点;过点作于点,连接交于点;按此方法继续作图.则与的数量关系是( )
A. B. C. D.
二、填空题(共5小题,每题3分,共15分)
11. 已知,则的值为_____.
12. 某口袋中有红色、黄色、黑色的小球共个,这些小球除颜色外都相同,通过多次试验后发现摸到红色球的频率稳定在,则袋中红色球是______个.
13. 已知,求___________.
14. 如图,已知,若,则______.
15. 如图,在矩形中,,为边的中点,连接,,点,分别是,边上的两个动点,连接,将沿折叠,使点的对应点恰好落在边上,若是以为腰的等腰三角形,则的长为______.
三、解答题(8小题,共75分)
16. 解方程:
(1);
(2).
17. 已知关于x的一元二次方程.
(1)求证:方程有两个不相等的实数根;
(2)设此方程的两个根分别为,,且.若,求m的值.
18. 如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点的坐标分别为A(0,3)、B(3,4)、C(2,2)(正方形网格中每个小正方形的边长为1个单位长度).
(1)画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1,点C1的坐标是 ;
(2)以点B为位似中心,在网格中画出△A2B2C2,使△A2B2C2与△ABC位似,且位似比为2∶1;
(3)求出△A2BC2的面积
19. 如图,在菱形中,对角线交于点O,过点A作于点E,延长到点F,使,连接.
(1)求证:四边形是矩形;
(2)连接,若,求的长度.
20. 为了了解学生对围棋、象棋、军棋、跳棋、五子棋五项活动的喜爱情况,学校随机调查了一些学生,已知每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种.根据以下统计图提供的信息,请解答下列问题.
(1)本次被调查的学生有 名,请补全条形统计图.
(2)求扇形统计图中“五子棋”对应的扇形的圆心角度数.
(3)学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全市中学生围棋比赛,请用列表法或画树状图法求甲同学和乙同学同时被选中的概率.
21. 学科实践--测量物体的高度
活动课题:借助标杆测量校园内路灯、国旗杆的高度.活动工具:标杆、皮尺、激光仪等工具.
方案设计及问题解决(图中各点均在同一竖直平面内):
(1)笃行组进行路灯测量(如图1),在路灯旁的水平空地上直立一根高2米的标杆,调整点处的激光仪,使它从点处发出的激光束恰好同时经过.测量数据:米,米.计算图1中路灯的高度.
(2)缜密组想直接用笃行组的方法进行图2中国旗杆高度的测量,操作中发现:由于国旗杆底部台阶影响,无法测得线段的长,因此不能求得国旗杆高度.于是对笃行组的方案作出补充:在如图2中仍先直立一根高2米的标杆,调整点处的激光仪,使它从点处发出的激光束恰好同时经过,A,测得线段米;再直立一根同样高度的标杆,调整点处的激光仪,使它从点处发出的激光束恰好同时经过,A.并测得米,计算国旗杆的高度.
22. 某村大力发展文旅产业,先后投资建设了“甜瓜采摘基地”,“水上童话梦工厂”等文旅项目.不仅为本村和周边群众提供了就近务工机会,而且使本村经济得到快速增长.据悉,2025年此村集体经济收益从2023年的1000万元升至1440万元.
(1)求此村从2023年到2025年这两年,集体经济收入的年平均增长率;
(2)该村还积极培养特色高效农业,使大棚产业成为农民增收致富的“一把金钥匙”,种植了条件适宜的甜瓜等大棚果蔬.2025年五月份,甜瓜成熟并开始采摘销售,若每千克盈利10元,每天可售出.经市场调查发现,若每千克涨价1元,日销售量就减少.该大棚基地要保证每天盈利6000元,同时又要使顾客得到实惠,每千克甜瓜应涨价多少元?
23. 已知与为直角三角形,.
(1)【问题发现】如图1,若时,点是线段上一动点,连接.则___________,___________;
(2)【类比探究】如图2,若,点是线段上一动点,连接.请判断的值及的度数,并说明理由;
(3)【拓展延伸】如图3,在(2)的条件下,将点改为直线上一动点,其余条件不变,取线段的中点连接,若,则当是直角三角形时,请直接写出线段的长.
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九年级数学阶段性学情反馈
一、选择题(共10小题,每题3分,共30分)
1. 下列方程中,一定是关于x的一元二次方程的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的定义,根据一元二次方程的定义逐一判断即可,掌握一元二次方程的定义是解题的关键.
【详解】解:A、在中,当时,不是一元二次方程,故选项不符合题意;
B、是一元二次方程,故选项符合题意;
C、是分式方程,故选项不符合题意;
D、整理后为,不是一元二次方程,故选项不符合题意;
故选:B.
2. 如图是一张书法练习纸,其中的竖格线都互相平行,且相邻两条竖格线间的距离都相等.不同竖格线上的三点A,,在同一直线上.若线段,则线段的长为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例,掌握平行线分线段成比例是解题的关键.
如图:过点A作于点E,交于点D,根据平行线分线段成比例得出,然后代入数据计算即可.
【详解】解:如图:过点A作于点E,交于点D,
∵纸中的竖格线都平行,且相邻两条竖格线间的距离都相等,
∴,即,解得:.
故选:B.
3. 下图是我市某展览馆出入口示意图.小颖和母亲从同一入口进入分别参观,参观结束后,她们恰好从同一出口走出的概率是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查列表法或画树状图法求概率.正确的列出表格或画出树状图是解题关键.根据题意列出表格表示出所有等可能的情况,再找出符合题意的情况,最后根据概率公式计算即可.
【详解】解:根据题意可列表格如下,
小颖 母亲
C
D
E
C
C,C
C,D
C,E
D
D,C
D,D
D,E
E
E,C
E,D
E,E
由表格可知共有9种等可能的情况,其中她们恰好从同一出口走出的情况有3种,
∴她们恰好从同一出口走出的概率是.
故选:C.
4. 在复习特殊的平行四边形时,某小组同学画出了如图关系图,组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件,其中填写正确的是( )
A. ①对角相等 B. ③对边相等
C. ②对角线互相垂直 D. ④邻角互补
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了矩形、菱形、正方形的判定,根据矩形、菱形、正方形的判定定理逐一判断即可求解,掌握矩形、菱形、正方形的判定定理是解题的关键.
【详解】解:、平行四边形的对角都相等但不一定是矩形,该选项错误;
、矩形的对边都相等但不一定是正方形,该选项错误;
、对角线互相垂直的平行四边形是菱形,该选项正确;
、菱形的邻角都互补但不一定是正方形,该选项错误;
故选:.
5. 班级组织互赠图书活动,每个同学都向本组其他成员赠送一本图书,某组共互赠了56本图书,如果设该组共有x名同学,那么依题意,可列出的方程是( )
A. B.
C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用,根据题意列出方程是解题的关键.
设该组共有名同学,依题意,每位同学送出本书,进而列出方程,即可求解.
【详解】解:设该组共有x名同学,那么依题意,可列出的方程是,
故选:A.
6. 一元二次方程x2+x﹣1=0的两根分别为x1,x2,则=( )
A. B. 1 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2=-1,x1•x2=-1,然后把进行通分,再利用整体代入的方法进行计算.
【详解】根据题意得x1+x2=-1,x1•x2=-1,
所以==1,
故选B.
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系:若方程两个为x1,x2,则x1+x2=-,x1•x2=.
7. 在平面直角坐标系中,已知点,以原点O为位似中心,相似比为,把缩小,则点A的对应点的坐标是( )
A. B.
C. 或 D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】根据位似比的性质可知,用点的坐标分别乘以即可求解.
【详解】解:∵,相似比为,
∴点的对应点的坐标是,即或,即,
故选:.
【点睛】本题主要考查位似的性质,掌握位似的性质,用点坐标乘以相似比(正数相似比,负数相似比)是解题的关键.
8. 如图,四边形的对角线于点O,点E,F,G,H分别为边和的中点,顺次连接和得到四边形.若,,则四边形的面积等于( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了中点四边形,涉及了三角形的中位线定理,由题意得四边形是矩形,据此即可求解;
【详解】解:由题意得:分别是的中位线,
∴,,
∴四边形是平行四边形,
∵,
∴,
∴,
∴四边形是矩形,
∴四边形的面积
故选:C
9. 如图,在菱形纸片ABCD中,AB=2,∠A=60°,将菱形纸片翻折,使点A落在CD的中点E处,折痕为FG,点F,G分别在边AB,AD上,则EF的长为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】连接BE,BD,如图,利用菱形的性质得△BDC为等边三角形,在Rt△BCE中计算出BE=,接着证明BE⊥AB, 利用折叠的性质得到EF=AF.,设EF=AF=x, FG垂直平分AE,所以在Rt△BEF中利用勾股定理列方程求解即可.
【详解】解: 连接BE,BD,如图,
∵四边形ABCD为菱形,∠A=60°,
∴△BDC为等边三角形, ∠C=∠A=60°,
∴∠CBE=90°-60°=30°.
∵E点为CD的中点,
∴CE=DE=1,BE⊥CD.
在Rt△BCE中,
BC=2CE=2,
BE= .
∵AB∥CD,
∴BE⊥AB.
∵菱形纸片翻折,使点A落在CD的中点E处,
∴EF=AF.
设EF=AF=x,则BF=2-x,
在Rt△BEF中,
,
解得 .
故选A.
点睛:本题考查了菱形的性质,等边三角形的判定与性质,含30°的直角三角形的性质,折叠的性质,勾股定理,求出BE的长并能利用Rt△BEF的三条边列方程是解答本题的关键.
10. 如图,矩形的对角线与相交于点O,过点O作于点,连接交于点;过点作于点,连接交于点;按此方法继续作图.则与的数量关系是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】通过证明,可得,证明,可得,找出规律即可求解.
【详解】解:四边形是矩形,
,,,
,,
,
,
,
,
,
即,
,
,
,
,
又,
,
,
,
又,
,
,
,
,
…
,
即,
故选:C.
【点睛】本题考查了图形类规律探索,根据平行线判定与性质证明,根据矩形的性质求线段长,相似三角形的判定与性质综合等知识点,解题关键是掌握上述知识点并能运用求解.
二、填空题(共5小题,每题3分,共15分)
11. 已知,则的值为_____.
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了比例的性质,掌握比例的性质是解此题的关键.
根据比例的性质代入,即可求出答案.
【详解】解:∵,
,
故答案为:.
12. 某口袋中有红色、黄色、黑色的小球共个,这些小球除颜色外都相同,通过多次试验后发现摸到红色球的频率稳定在,则袋中红色球是______个.
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了频数与频率,正确理解频数与频率的关系是解题的关键根据“频数总数频率”计算即可.
【详解】解:∵通过多次试验后发现摸到红色球的频率稳定在,
∴袋中红色球是个,
故答案为:.
13. 已知,求___________.
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查因式分解,偶次方的非负性,解题关键在于掌握计算公式.先利用完全平方公式把多项式整理成两个整式平方和的形式,再根据平方数为非负数列式求解出的值,然后代入计算即可求出的值.
【详解】解:,
,
.
根据偶次方的非负性可得,
,
.
.
故答案为:.
14. 如图,已知,若,则______.
【答案】
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质,证明,列出比例式进行求解即可.
【详解】解:∵,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴;
故答案为:
15. 如图,在矩形中,,为边的中点,连接,,点,分别是,边上的两个动点,连接,将沿折叠,使点的对应点恰好落在边上,若是以为腰的等腰三角形,则的长为______.
【答案】或
【解析】
【分析】本题关键在于利用矩形性质、勾股定理确定,得出,再对以为腰的两种情况(、),结合相似三角形判定与性质,通过设未知数、列比例式求解 ,核心是分类讨论等腰三角形腰的情况,借助相似关系转化边长计算.
【详解】解:四边形是矩形,
,,,
点是的中点,
,
在中,由勾股定理得,,
在中,由勾股定理得,,
,
,
由折叠可知,,
当时,,
,
,
,
即,解得,
;
当时,,
,
,
又,
,
,即,解得,
;
综上所述,的长为或.
故答案为:或.
三、解答题(8小题,共75分)
16. 解方程:
(1);
(2).
【答案】(1),
(2),
【解析】
【分析】本题考查了公式法解一元二次方程,因式分解法解一元二次方程,解题关键是掌握上述知识点并能运用求解.
(1)用公式法求解;
(2)用因式分解法求解.
【小问1详解】
解:,
其中,,,
,
,
解得:,;
【小问2详解】
解:,
移项,得,
方程左边分解因式,得,
,,
解得:,.
17. 已知关于x的一元二次方程.
(1)求证:方程有两个不相等的实数根;
(2)设此方程的两个根分别为,,且.若,求m的值.
【答案】(1)证明:依题意,得,
此方程有两个不相等的实数根;
(2)
【解析】
【分析】(1)根据方程的系数结合根的判别式,求出出,即可证明结论成立;
(2)首先求出,,然后根据得到,然后求解即可.
本题考查了根的判别式,以及因式分解法解一元二次方程,解题的关键是:(1)牢记“当时,方程有两个不相等的实数根”;(2)利用因式分解法解一元二次方程,求出方程的两个根.
【小问1详解】
略
【小问2详解】
解:,
,
解得,
∵,
,,
,
,
.
18. 如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点的坐标分别为A(0,3)、B(3,4)、C(2,2)(正方形网格中每个小正方形的边长为1个单位长度).
(1)画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1,点C1的坐标是 ;
(2)以点B为位似中心,在网格中画出△A2B2C2,使△A2B2C2与△ABC位似,且位似比为2∶1;
(3)求出△A2BC2的面积
【答案】(1)
如图,△A1B1C1即为所作,由图可知C1的坐标为(2,-2),
故答案为:(2,-2);
(2)
如图,△A2B2C2即为所作;
(3)
【解析】
【分析】(1)将三个顶点分别向下平移4个单位得到其对应点,再首尾顺次连接即可;
(2)延长BA到A2,使BA2=2BA,延长BC到C2,使BC2=2BC,继而可得答案;
(3)由勾股定理可求出,,即得出,从而可判断为等腰直角三角形,再利用三角形面积公式计算即可.
【小问1详解】
略
【小问2详解】
略
【小问3详解】
由图可知,,
∴,
∴为等腰直角三角形,
∴.
【点睛】本题考查了作图—位似变换与平移变换,勾股定理与勾股定理逆定理.熟练掌握位似变换与平移变换的性质是解答本题的关键.
19. 如图,在菱形中,对角线交于点O,过点A作于点E,延长到点F,使,连接.
(1)求证:四边形是矩形;
(2)连接,若,求的长度.
【答案】(1)
证明:∵四边形是菱形,
∴且,
∵,,
∴,
∴,
∵,
∴四边形是平行四边形,
∵,
∴,
∴四边形是矩形;
(2)
【解析】
【分析】(1)先证明四边形是平行四边形,根据,得到,即可得证;
(2)勾股定理求出的长,再利用勾股定理求出的长,斜边上的中线求出的长即可.
【小问1详解】
略
【小问2详解】
解:∵四边形是菱形,,
∴,
∵,
∴,
在中,,
在中,,
∵四边形是菱形,
∴,
∵,
∴.
【点睛】本题考查菱形的性质,矩形的判定,勾股定理,斜边上的中线等知识点,熟练掌握相关知识点,并灵活应用,是解题的关键.
20. 为了了解学生对围棋、象棋、军棋、跳棋、五子棋五项活动的喜爱情况,学校随机调查了一些学生,已知每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种.根据以下统计图提供的信息,请解答下列问题.
(1)本次被调查的学生有 名,请补全条形统计图.
(2)求扇形统计图中“五子棋”对应的扇形的圆心角度数.
(3)学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全市中学生围棋比赛,请用列表法或画树状图法求甲同学和乙同学同时被选中的概率.
【答案】(1)
100,补全条形统计图如下:
(2)
(3)
【解析】
【分析】本题主要考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图,解答本题的关键是明确题意,画出相应的树状图,求出相应的概率.
(1)用选择“围棋”的人数除以其所占百分比,可得本次被调查的学生总人数;求出选择“象棋”的人数,再补全条形统计图即可.
(2)用选择“五子棋”的人数除以本次被调查的学生总人数再乘以即可.
(3)画树状图得出所有等可能的结果数,以及甲和乙同学同时被选中的结果数,再利用概率公式可得出答案.
【小问1详解】
解:调查的学生人数为(名).
“象棋”的人数为(名).
故答案为:100;
【小问2详解】
解:“五子棋”对应的扇形的圆心角度数为.
【小问3详解】
解:画树状图如下:
由树状图知,共有12种等可能的结果,其中甲和乙同学同时被选中的结果有2种,
∴甲和乙同学同时被选中的概率为.
21. 学科实践--测量物体的高度
活动课题:借助标杆测量校园内路灯、国旗杆的高度.活动工具:标杆、皮尺、激光仪等工具.
方案设计及问题解决(图中各点均在同一竖直平面内):
(1)笃行组进行路灯测量(如图1),在路灯旁的水平空地上直立一根高2米的标杆,调整点处的激光仪,使它从点处发出的激光束恰好同时经过.测量数据:米,米.计算图1中路灯的高度.
(2)缜密组想直接用笃行组的方法进行图2中国旗杆高度的测量,操作中发现:由于国旗杆底部台阶影响,无法测得线段的长,因此不能求得国旗杆高度.于是对笃行组的方案作出补充:在如图2中仍先直立一根高2米的标杆,调整点处的激光仪,使它从点处发出的激光束恰好同时经过,A,测得线段米;再直立一根同样高度的标杆,调整点处的激光仪,使它从点处发出的激光束恰好同时经过,A.并测得米,计算国旗杆的高度.
【答案】(1)路灯的高度为5.8米
(2)米
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和应用.解决本题的关键是根据相似三角形对应边成比例求出相应的线段的长度.
(1)根据可知,根据米,米,米,可知,从而可求的长度;
(2)首先根据可知,根据米,米,,从而可得,根据可知,根据又米,米,,可得,等量代换可得,整理可得.
【小问1详解】
解:,
,
,
米,米,米,
米,
,
解得:米;
【小问2详解】
解: ,
,
,
又米,米,
,
整理得:,
,
,
,
又米,米,,
,
,
解得:.
即国旗杆的高度为米.
22. 某村大力发展文旅产业,先后投资建设了“甜瓜采摘基地”,“水上童话梦工厂”等文旅项目.不仅为本村和周边群众提供了就近务工机会,而且使本村经济得到快速增长.据悉,2025年此村集体经济收益从2023年的1000万元升至1440万元.
(1)求此村从2023年到2025年这两年,集体经济收入的年平均增长率;
(2)该村还积极培养特色高效农业,使大棚产业成为农民增收致富的“一把金钥匙”,种植了条件适宜的甜瓜等大棚果蔬.2025年五月份,甜瓜成熟并开始采摘销售,若每千克盈利10元,每天可售出.经市场调查发现,若每千克涨价1元,日销售量就减少.该大棚基地要保证每天盈利6000元,同时又要使顾客得到实惠,每千克甜瓜应涨价多少元?
【答案】(1)
(2)每千克甜瓜应涨价5元
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用,正确理解题意列出方程求解是解题的关键.
(1)设此村从2023年到2025年这两年,集体经济收入的年平均增长率为,根据2025年此村集体经济收益从2023年的1000万元升至1440万元建立方程求解即可;
(2)设每千克甜瓜应涨价元,则每千克盈利元,销售量为,根据总盈利等于每千克的盈利乘以销售量建立方程求解即可.
【小问1详解】
解:设此村从2023年到2025年这两年,集体经济收入的年平均增长率为,
根据题意得,
解得:(不合题意,舍去),
答:此村从2023年到2025年这两年,集体经济收入的年平均增长率为;
【小问2详解】
解:设每千克甜瓜应涨价元,
根据题意得,
整理得,
解得:,,
∵要使顾客得到实惠,
∴,
答:每千克甜瓜应涨价5元.
23. 已知与为直角三角形,.
(1)【问题发现】如图1,若时,点是线段上一动点,连接.则___________,___________;
(2)【类比探究】如图2,若,点是线段上一动点,连接.请判断的值及的度数,并说明理由;
(3)【拓展延伸】如图3,在(2)的条件下,将点改为直线上一动点,其余条件不变,取线段的中点连接,若,则当是直角三角形时,请直接写出线段的长.
【答案】(1)1,90
(2)
解:,;理由如下:
∵,,
∴,,
∴,
,
∴
又∵,
∴,
∴,
∴,,
(3)的长为或
【解析】
【分析】本题是三角形综合题,考查了相似三角形的判定和性质,勾股定理,等腰三角形的性质,直角三角形的性质,证明是本题的关键.
(1)由直角三角形的性质可得,可得,,由“”可证,可得,,即可求解;
(2)通过证明,可得的值,,即可求的度数;
(3)分点D在线段上和延长线上两种情况讨论,由直角三角形的性质可证,即可求,由相似三角形的性质可得,,由勾股定理可求的长.
【小问1详解】
解:∵,,
∴,
∴,,
∵,
∴,
在和中,
,
∴,
∴,,
∴,,
故答案为:1,90;
【小问2详解】
略
【小问3详解】
解:由(2)知:,,
∴,
∵,,,
∴,,
∵,且点M是中点,
∴,
∵是直角三角形,
∴,
∴,
∴,
设,
①当点D在线段上时,如图,
∵,
∴,
∴,(舍去)
∴.
②当点D在线段延长线上,如图
∵,
∴,
,(舍去)
∴,
综上所述:BE的长为或.
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