精品解析：河北省保定市四校2025-2026学年高二上学期10月期中数学试题

唐县一中2025-2026学年度高二数学10月期中试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线：，：，若，则a的值为（ ） A. B. 3 C. D. 3或 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线平行得到方程，解出最后验证即可. 【详解】因为，则，解得或， 当时，：，：，两直线重合，故舍去， 当时，：，：，两直线平行，符合题意， 综上所述，. 故选：C. 2. 双曲线的渐近线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化简双曲线的方程为，即得解. 【详解】由题得双曲线的方程为， 所以 所以渐近线方程为. 故选：D 3. 已知，，若直线与线段有公共点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】判断出直线 经过定点，分别求出，即可求解. 【详解】由于直线 的斜率为， 且经过定点， 设此定点为. 而直线 的斜率为 ， 直线 的斜率为  ， 要使直线与线段有公共点，只需. 故选 ：C. 4. 设椭圆的两个焦点分别为、，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 解法一，根据条件可知，列式建立等量关系求离心率；解法二， 根据是等腰直角三角形，结合椭圆的定义，求椭圆的离心率. 【详解】解一：设椭圆方程为，依题意，显然有，则， 即，即，解得，故选B. 解二：∵为等腰直角三角形，∴，， ∵，∴，∴. 故选:B. 5. 已知双曲线：的左顶点为，右焦点为，焦距为6，点在双曲线上，且，，则双曲线的实轴长为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】运用代入法，结合已知等式进行求解即可. 【详解】把代入中，得，即， 因为，， 所以， 又，所以，解得，舍去，则. 故选：A 6. 已知圆，直线.若直线与圆相交于两点，则弦长度的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出直线所过的定点，利用点与圆的位置关系的判断方法可得定点在圆内，故直线与直线垂直时，弦长度最小，再利用弦长公式，即可求解. 【详解】由，得到， 由，得到，所以直线过定点， 又圆，即，得到圆的圆心为，半径为， 又，所以定点在圆内， 故当直线与直线垂直时，弦长度最小， 又，所以弦长度的最小值为， 故选：B. 7. 在△ABC中，已知，边的中线所在的直线方程为：，边的高线所在的直线方程为：，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由和的方程求出点，设，分别利用的中点在直线上与，建立方程组，求得点，最后利用点斜式求出直线方程即可. 【详解】由解得：，即, 设点，则的中点在直线上，故得① ，又,则得：，即②， 联立① 和② ，解得：，即， 所以直线的斜率为， 于是直线的方程为：，即. 故选：D. 8. 已知圆，以圆上任意一点为圆心，为半径的圆与圆：交于，两点，则当最大时，的面积为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，结合等腰三角形性质确定顶角最大的条件，再借助直角三角形求解即可. 【详解】由题意知，，在中，， 显然，锐角，， 又函数在上单调递增， 因此当且仅当公共弦最大时，最大，此时弦为圆的直径， 在中，，， 所以，. 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 过两点的直线方程为 B. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 C. 圆：与圆恰有3条公切线 D. 点在圆上，点在圆上，则最小值为3 【答案】CD 【解析】 【分析】根据直线两点式方程的性质，判断选项A的正误；根据直线截距的概念，判断选项B的正误；根据两圆的位置关系，判断圆的公切线数目和圆上点的距离的最小，判断选项C、D的正误，求出结果即可. 【详解】对于选项A，当或时，无法用两点式表示该直线，所以A错误； 对于选项B，当经过点和时，直线方程为，在轴和轴上截距都为0，所以B错误； 对于选项C，圆 标准方程为，圆心为，半径， 圆的标准方程为，圆心为，半径， 可知，且，所以圆与圆外切，所以有3条公切线，所以C正确； 对于选项D，圆的标准方程为，则圆心，半径， 圆的标准方程为，则圆心，半径， ，则圆外离，则两圆上点的最小距离，所以D正确； 故选：CD. 10. 已知圆，则（ ） A. 点在圆内 B. 若点在圆上，则的最大值为 C. 若圆上恰有三个点到直线的距离为1，则实数m的值为 D. 若点P在直线上，点在圆上，，则的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用点圆位置关系的判定方法可判断A，将问题转化为直线与圆的位置关系，从而列式可判断B，将问题转化为圆心到直线的距离问题，从而列式可判断C，利用将军钦马问题，结合定点到圆上动点的距离问题可判断D，从而得解. 【详解】对于A，因为， 所以点在圆外，故A错误； 对于B，因为圆，可化为， 所以圆心，半径为， 设，则，又点在圆上， 所以直线与圆有交点， 即，解得， 所以的最大值为，故B正确； 因为圆上恰有三个点到直线的距离为1，而圆的半径为， 所以圆心到直线的距离为1， 即，解得，故C正确； 对于D，设关于直线的对称点为， 则，解得，则， 则， 而的最小值为， 所以， 当且仅当四点共线，且在线段时，等号成立， 则的最小值为. 故选：BCD. 11. 已知椭圆，，分别为它的左右焦点，点，分别为它的左右顶点，已知定点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（ ） A. 直线与直线斜率乘积为定值 B. 存在点，使得 C. 有最小值 D. 的范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】设，根据椭圆的方程，以及斜率公式化简运算，可得判定A；根据椭圆的几何性质，结合正切函数的性质，可判定B；根据椭圆的定义，结合基本不等式“1”的妙用，可判定C；设直线与椭圆相交于，结合椭圆的定义和三角形的性质，可得判定D. 【详解】对于A，由椭圆，可得，则， 设，则，可得， 所以，故A正确； 对于B，设椭圆的上顶点为C，由，可得， 则，故B错误； 对于C，由椭圆的定义，可得， 则 ， 当且仅当时，即时等号成立， 即有最小值，故C正确； 对于D，因为，则点Q在椭圆外，由 如图所示，设直线与椭圆相交于，又， 则， 因为，且， 可得，即， 所以， 所以，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略： （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设向量，满足.求动点的轨迹的方程________. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量模长的坐标表示及已知有，结合其几何意义和椭圆的定义确定轨迹方程即可. 【详解】由题设， 所以其几何意义是动点到点的距离之和为4，又， 根据椭圆的定义知，的轨迹是以为焦点，长轴长为4的椭圆， 所以对应椭圆参数为，故所求的轨迹方程为. 故答案为： 13. 设椭圆：(，)的左､右焦点分别为，，离心率为，是上一点，且，若的面积为，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知公式，结合椭圆的定义，勾股定理和面积公式，即可求解. 【详解】根据题意，离心率为，所以，所以，设，， 由椭圆的定义可得，，因为，所以，因为的面积为， 所以，即，所以，即，解得， 因为，所以. 故答案为：. 14. 已知点在直线上，若的最小值为4，则_______． 【答案】或9 【解析】 【分析】根据的几何意义，结合点线距离公式求参数即可. 【详解】因为点在直线上， 那么的最小值是定点到直线的距离的平方， 所以，解得或9． 故答案为：或9 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知顶点、、． （1）求直线BC的方程及其在y轴上的截距； （2）求边BC的垂直平分线l的方程 （3）求的面积． 【答案】（1）；； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由题可得直线的斜率，然后根据点斜式即得； （2）由题可知的中点坐标及中垂线的斜率，进而即得； （3）根据两点间距离，点到直线的距离公式及三角形面积公式即得. 【小问1详解】 因为、， 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 令，得，即直线的方程在y轴上的截距为； 【小问2详解】 由题可知的中点为，直线的斜率为， 线段的垂直平分线的斜率为， 所以线段的垂直平分线的方程为，即； 【小问3详解】 因为直线的方程为，又， 所以到的距离为， 又， 所以的面积为. 16. 已知椭圆C与双曲线有相同的焦点，且椭圆C经过点. （1）求椭圆C的标准方程； （2）若直线l与椭圆C相交于，且的中点为，求直线l的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用椭圆与双曲线的性质先确定焦点坐标，结合椭圆的定义与两点距离公式计算即可； （2）设利用点差法确定直线斜率，根据点斜式计算直线方程即可. 【小问1详解】 由题意可设椭圆方程，焦距为， 易知双曲线焦点坐标为，则椭圆C的焦点坐标为，即， 又椭圆C经过点， 根据椭圆的定义可知：， 所以， 所以， 所以椭圆C标准方程为； 【小问2详解】 易知点在椭圆内部，设，则 ，作差得， 则， 所以，则直线l的斜率为， 由点斜式可知直线l的方程为 所以直线l的方程为：. 17. 已知：圆的圆心在第一象限，与轴相切，与轴交于，两点，且，，点在斜率为的直线上． （1）若直线与圆交于，两点，且，求直线的方程； （2）若存在圆心在直线上，半径为的圆与圆外切，求的取值范围． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，求出圆方程，设直线：，求出圆心到直线的距离，结合，求解即可. （2）由题，求出到的距离，利用，求解. 【小问1详解】 设圆：，，根据题意可得，解得，， 所以圆的标准方程为，可知直线：， 圆心到的距离，因为，所以， 即，解得或，所以直线方程为或. 【小问2详解】 若存在圆与圆外切，连接，即存在点使得,因为到的距离， 所以，所以，即，所以或， 所以的取值范围为. 18. 已知椭圆的两个焦点为和，点为椭圆的上顶点，为等腰直角三角形． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知点为椭圆上一动点，求点到直线距离的最值； （3）分别过，作平行直线，若直线与曲线交于两点，直线与曲线交于两点，其中点在轴上方，求四边形的面积的取值范围． 【答案】（1） （2）最大值为，最小值为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意求出即可得解； （2）求出与直线平行且与椭圆相切直线方程，则切线与的距离即为最值； （3）设直线的方程为，则直线的方程为，，联立方程，利用韦达定理求出，再根据弦长公式求出，利用两平行直线间的距离公式求出间的距离，从而可得出四边形的面积的表达式，进而可得出答案. 【小问1详解】 由题意得， 因为点为椭圆的上顶点，为等腰直角三角形， 所以， 所以， 所以椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 设与直线平行且与椭圆相切直线方程为， 联立，消得， 则，解得， 平行直线与的距离， 所以， 所以点到直线距离的最大值为，最小值为； 【小问3详解】 由题意可得直线的斜率不为零， 设直线的方程为，则直线的方程为， 联立，消得， 设， 则， 则， 直线之间的距离， 则四边形的面积， 令，则， 故， 当且仅当，即时取等号， 又，所以，所以， 由椭圆的对称性可得四边形的面积， 所以四边形的面积的取值范围为. 19. 已知椭圆分别为左右焦点，短轴长为2，点为椭圆在第一象限的动点，的周长为. （1）求的标准方程； （2）若，求点的坐标； （3）若，直线交椭圆于E，F两点，且的面积为，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意列式求，即可得方程； （2）利用余弦定理可得，设，利用面积和方程运算求解即可； （3）联立方程，利用韦达定理可得，结合面积关系分析求解即可. 【小问1详解】 设，则，且， 由题意可知：，解得， 所以椭圆的标准方程. 【小问2详解】 由（1）可知：，且， 由余弦定理可得， 即，解得， 设， 由的面积可得， 即，解得， 且，则，可得， 所以点的坐标为. 【小问3详解】 因为直线过定点，且点在椭圆C内， 则直线与椭圆C必相交，设， 联立方程，消去x可得， 则， 可得， 则的面积为，解得（负值舍去）， 所以的值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 唐县一中2025-2026学年度高二数学10月期中试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线：，：，若，则a的值为（ ） A B. 3 C. D. 3或 2. 双曲线的渐近线方程是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，若直线与线段有公共点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 设椭圆的两个焦点分别为、，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ） A. B. C. D. 5. 已知双曲线：左顶点为，右焦点为，焦距为6，点在双曲线上，且，，则双曲线的实轴长为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 6. 已知圆，直线.若直线与圆相交于两点，则弦长度的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 在△ABC中，已知，边的中线所在的直线方程为：，边的高线所在的直线方程为：，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆，以圆上任意一点为圆心，为半径圆与圆：交于，两点，则当最大时，的面积为（ ） A. 2 B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 过两点的直线方程为 B. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 C. 圆：与圆恰有3条公切线 D. 点在圆上，点在圆上，则最小值为3 10. 已知圆，则（ ） A. 点在圆内 B. 若点在圆上，则的最大值为 C. 若圆上恰有三个点到直线的距离为1，则实数m的值为 D. 若点P在直线上，点在圆上，，则的最小值为 11. 已知椭圆，，分别为它的左右焦点，点，分别为它的左右顶点，已知定点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（ ） A. 直线与直线斜率乘积为定值 B. 存在点，使得 C. 有最小值 D. 的范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设向量，满足.求动点轨迹的方程________. 13. 设椭圆：(，)的左､右焦点分别为，，离心率为，是上一点，且，若的面积为，则_______． 14. 已知点在直线上，若的最小值为4，则_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知顶点、、． （1）求直线BC的方程及其在y轴上的截距； （2）求边BC的垂直平分线l的方程 （3）求的面积． 16. 已知椭圆C与双曲线有相同的焦点，且椭圆C经过点. （1）求椭圆C的标准方程； （2）若直线l与椭圆C相交于，且的中点为，求直线l的方程. 17. 已知：圆的圆心在第一象限，与轴相切，与轴交于，两点，且，，点在斜率为的直线上． （1）若直线与圆交于，两点，且，求直线的方程； （2）若存在圆心在直线上，半径为的圆与圆外切，求的取值范围． 18. 已知椭圆的两个焦点为和，点为椭圆的上顶点，为等腰直角三角形． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知点为椭圆上一动点，求点到直线距离的最值； （3）分别过，作平行直线，若直线与曲线交于两点，直线与曲线交于两点，其中点在轴上方，求四边形面积的取值范围． 19. 已知椭圆分别为左右焦点，短轴长为2，点为椭圆在第一象限的动点，的周长为. （1）求的标准方程； （2）若，求点的坐标； （3）若，直线交椭圆于E，F两点，且的面积为，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $