精品解析：浙江省金华市曙光学校2024-2025学年高二上学期第一次阶段性考试（10月）数学试题

金华市曙光学校2024－2025学年第一学期第一次阶段性考试 高二年级数学试题卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线过点，，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点（ ） A. B. C. D. 3. 已知为空间的一组基底，则下列向量也能作为空间的一组基底的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在正三棱锥中，点为的重心，点是线段上的一点，且，记，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知点，，若过点的直线与线段AB相交，则该直线斜率的取值范围是（ ） A. B. C D. 6. 已知四棱锥平面BCDE，底面EBCD是为直角，直角梯形，如图所示，且，点为AD的中点，则到直线BC的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列结论，其中正确结论的个数是（ ） ①若，且，则 ②若且，则 ③若，且，则 ④若，且，则 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 已知，，直线与直线垂直，则的最小值是（ ） A. B. 4 C. D. 6 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分． 9. 同一坐标系中，直线与大致位置正确是（ ） A. B. C. D. 10. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 若直线l方向向量为，平面的一个法向量为，则 B. 若空间中任意一点O，有，则四点共面 C. 若空间向量，满足，则与夹角为钝角 D. 若空间向量，，则在上的投影向量为 11. 在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则下列选项正确的是（ ） A. B. 直线与所成角的余弦值为 C. 三棱锥的体积为 D. 存在实数使得 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 向量，，则在方向上的投影向量为________．（坐标表示） 13. 一条光线沿经过点且斜率为的直线射到x轴上后反射，则反射光线所在的直线方程为______． 14. 正方体的棱长为，是正方体外接球的直径，为正方体表面上的动点，则的取值范围是___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，，点，. （1）求的值； （2）在直线上存在一点E，使得，求点E的坐标. 16. 已知的三个顶点是，，，求： （1）边上的中线所在直线的方程； （2）边上的高所在直线的方程. 17. 如图，在平行六面体中，，，，，，E是的中点，设，，． （1）求的长； （2）求和夹角的余弦值． 18. 已知直线． （1）证明：直线过定点； （2）若直线不经过第四象限，求取值范围； （3）若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值． 19. 如图，四棱锥的底面ABCD是正方形，是正三角形，平面平面ABCD，M是PD的中点. （1）求证：平面MAC； （2）求二面角的余弦值； （3）在棱PC上是否存在点Q使平面平面MAC成立？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 金华市曙光学校2024－2025学年第一学期第一次阶段性考试 高二年级数学试题卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线过点，，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求得直线的斜率，进而求得直线的倾斜角. 【详解】直线的斜率为，对应倾斜角为. 故选：B 2. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合空间直角坐标系的性质，即可求解. 【详解】根据空间直角坐标系的性质，都可点关于平面的对称点是． 故选：A. 3. 已知为空间的一组基底，则下列向量也能作为空间的一组基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间基底的概念，结合选项，判断每组向量是否共面，即可求解. 【详解】对于A中，由，所以不能作为一组空间基底； 对于B中，假设共面，则存在，使得， 即，可得，此时方程组无解，所以不共面，所以向量可以作为空间的一组基底； 对于C中，由，所以不能作为空间的一组基底； 对于D中，由，所以不能作为空间的一组基底. 故选：B. 4. 如图，在正三棱锥中，点为的重心，点是线段上的一点，且，记，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据重心的性质可得，利用空间向量的线性运算即可求解. 【详解】因为为的重心，所以， 又点是线段上的一点，且， 所以． 故选：A． 5. 已知点，，若过点的直线与线段AB相交，则该直线斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出直线、的斜率，然后结合图象即可写出答案． 【详解】解：记为点，直线斜率，直线的斜率， 因为直线l过点，且与线段相交， 结合图象，可得直线的斜率的取值范围是． 故选：B． 6. 已知四棱锥平面BCDE，底面EBCD是为直角，的直角梯形，如图所示，且，点为AD的中点，则到直线BC的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可. 【详解】由题意知，平面，平面， 所以，又， 故以为原点，所在的直线分别为轴，建立如图空间直角坐标系， 则，得 所以，， 记， 则， 所以F到直线BC的距离为. 故选：A 7. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列结论，其中正确结论的个数是（ ） ①若，且，则 ②若且，则 ③若，且，则 ④若，且，则 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】利用方向向量与法向量判断线面位置关系，从而判断①④；利用面面平行的判定定理判断②，举特例可排除③，从而得解. 【详解】设分别是直线的方向向量， 对于①，因为，所以分别是平面的法向量， 又，即，所以，故①正确； 对于②，由面面平行的判定定理可知，当不相交时，不一定成立，故②错误； 对于③，当时，可满足时有， 又，显然此时位置关系不确定，故③错误； 对于④，因为，所以是平面的法向量， 又，所以也是平面的法向量， 又，即，所以，故④错误. 故选：A. 8. 已知，，直线与直线垂直，则的最小值是（ ） A. B. 4 C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】由两线垂直的判定可得，再应用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值，注意等号成立的条件. 【详解】因为直线与直线垂直， 所以，即， 所以（当且仅当，时，等号成立）. 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分． 9. 同一坐标系中，直线与大致位置正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】结合各选项分析直线的斜率与在轴上的截距，从而得以判断. 【详解】因为，， 对于A，由图可得直线的斜率，在轴上的截距； 而的斜率，矛盾，故A错误； 对于B，由图可得直线的斜率，在轴上的截距； 而的斜率，在轴上的截距，即，符合题意，故B正确； 对于C，由图可得直线的斜率，在轴上的截距； 而的斜率，在轴上的截距，即，符合题意，故C正确． 对于D，由图可得直线的斜率，在轴上的截距； 而的斜率，矛盾，故D错误. 故选：BC. 10. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 若直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，则 B. 若空间中任意一点O，有，则四点共面 C. 若空间向量，满足，则与夹角为钝角 D. 若空间向量，，则在上的投影向量为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，由平面法向量的定义分析A，由空间向量基本定理分析B，由向量平行的性质分析C，由投影向量分析D． 【详解】对于A：若直线的方向向量为，平面的一个法向量为，易得，即，则有，A正确； 对于B：在中，由于，故四点共面，B正确； 对于C：当， 反向共线时， 也成立，但与夹角不为钝角，C错误； 对于D，在上的投影向量为，D正确． 故选：ABD． 11. 在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则下列选项正确的是（ ） A. B. 直线与所成角余弦值为 C. 三棱锥体积为 D. 存在实数使得 【答案】BD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求出，对于A，计算的值即可判断；对于B，计算的值即可判断；对于C，先计算得，接着计算，再由和平面且结合锥体体积公式即可计算求解；对于D，由计算求出即可得解. 【详解】由题可建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 对于A，，故与不垂直，故A错误； 对于B，， 所以直线与所成角的余弦值为，故B正确； 对于C，由上，所以， 所以即，又， 所以， 因为，又由正方体性质可知平面即平面， 所以，故C错误； 对于D，若存在实数使得， 则， 所以，所以，故D正确. 故选：BD. 【点睛】思路点睛：建立坐标系解决立体几何中的问题是一种常用方法，它的思维量小，计算量虽多但是计算简单，解法直接自然和简单，本题根据正方体的结构特征建立了空间直角坐标系，接着计算所需向量坐标，从而根据各个问题的向量法理论公式直接计算即可判断求解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 向量，，则在方向上的投影向量为________．（坐标表示） 【答案】 【解析】 【分析】利用投影向量的求解公式即可求解. 【详解】在方向上的投影向量为， 故答案为： 13. 一条光线沿经过点且斜率为的直线射到x轴上后反射，则反射光线所在的直线方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据点斜式求入射光线所在直线方程，然后利用对称性可得所求. 【详解】由题知，入射光线所在直线方程为，即， 因为入射光线所在直线和反射光线所在直线关于x轴对称， 所以反射光线所在的直线方程为. 故答案为： 14. 正方体的棱长为，是正方体外接球的直径，为正方体表面上的动点，则的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用向量数量积的运算律可知，，进一步只需求出即可得解． 【详解】由题意等于正方体的体对角线长，设点为的中点， 所以， 则， 当点与某个侧面的中心重合时，最小，且， 当点与正方体的顶点重合时，最大，且， 由于点是在正方体表面连续运动，所以的取值范围是， 的取值范围是． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，，点，. （1）求的值； （2）在直线上存在一点E，使得，求点E的坐标. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据空间向量运算的坐标表示公式，结合空间向量模的坐标表示公式进行求解即可； （2）根据空间向量坐标表示公式，结合空间向量垂直的坐标表示公式进行求解即可. 【小问1详解】 因为向量，， 所以向量，， 因此， 所以； 【小问2详解】 因为，， 所以， 因为点E在直线上， 所以设， 因为，所以， 因为， 所以， 所以， 因此点E的坐标. 16. 已知的三个顶点是，，，求： （1）边上的中线所在直线的方程； （2）边上的高所在直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据中点及B求所在直线的斜率求解； （2）根据高所在直线斜率求解即可. 【小问1详解】 设中点为，则， 所以， 所以中线所在直线方程为， 即. 【小问2详解】 因为， 所以边的高所在直线的斜率为， 所以边上高所在直线为， 即直线方程为. 17. 如图，在平行六面体中，，，，，，E是的中点，设，，． （1）求的长； （2）求和夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据空间向量基本定理得到，平方后结合空间数量积公式求出，求出答案； （2）先求出，结合空间向量夹角余弦公式求出答案. 【小问1详解】 由题意得， 又，，，，， 故 ， 故； 【小问2详解】 ， 则. 18. 已知直线． （1）证明：直线过定点； （2）若直线不经过第四象限，求的取值范围； （3）若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）4 【解析】 【分析】（1）直线方程化为，可以得出直线l总过定点； （2）考虑直线的斜率及在y轴上的截距建立不等式求解； （3）利用直线在坐标轴上的截距表示出三角形的面积，利用均值不等式求最值. 【小问1详解】 证明： 直线l的方程可化为，故无论k取何值，直线l总过定点． 【小问2详解】 直线l的方程为， 则直线l在y轴上的截距为，要使直线l不经过第四象限，则， 解得，故k的取值范围是． 【小问3详解】 依题意，直线l在x轴上截距为，在y轴上的截距为， ∴，． 又且， ∴ ． 故， 当且仅当，即时，取等号． 故S的最小值为4． 19. 如图，四棱锥的底面ABCD是正方形，是正三角形，平面平面ABCD，M是PD的中点. （1）求证：平面MAC； （2）求二面角的余弦值； （3）在棱PC上是否存在点Q使平面平面MAC成立？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据线线平行证明线面平行； （2）根据二面角的定义找出二面角的平面角，解三角形得解； （3）假设存在，利用面面垂直的判定定理证明即可. 【小问1详解】 设，交于点，连接，则为中点. 在中，，分别为，中点，所以. 因为平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 过点作，垂足为，过点作，垂足为，连接. 因为平面平面，平面平面， 所以平面. 因为平面，所以. 又，，，平面. 所以平面. 因为平面，所以， 则即为平面与底面所成二面角的平面角. 设，则，，故， 所以， 即二面角的余弦值为. 【小问3详解】 存在点，当时，平面平面. 证明如下： 如图，取中点，连接交于点，连接， 因为是正三角形，所以. 因为平面平面，平面平面， 所以平面. 因为，所以，所以平面. 因为平面，所以. 因为底面是正方形，所以. 又，，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面， 所以棱上点存在点，当时，平面平面. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$