精品解析：四川省彭州中学2025-2026学年高三上学期期中考试数学试题

2025-2026学年度四川省彭州中学高2023级高三上期中考试 数学试题 考试时间：120分钟满分：150分 （作答在试卷上无效，请全部作答在答题卡上） 一、单项选择题：本大题共5小题，共40分. 1. 已知集合，，且，则（ ） A. 0 B. 3 C. D. 3或0 2. 设，则= A. 2 B. C. D. 1 3. 已知向量满足，，则 A. 4 B. 3 C. 2 D. 0 4. 已知函数是定义在上的偶函数，又，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知正四棱锥的所有棱长均为2，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知点，到同一直线的距离分别为2和3，若这样的直线恰有2条，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 在等差数列中，其前项和为，若，，则中最大的是（    ） A. B. C. D. 8. 已知，若对任意两个不等的正实数、都有成立，则实数a的取值范围是 A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分.（全选对得6分，选对但不全得部分分，有选错得0分.） 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 函数是偶函数 B. 存在实数，使 C. 直线是函数图象的一条对称轴 D. 若，都是第一象限角，且，则 10. 设椭圆的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，点是椭圆上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 离心率 B. 面积的最大值为1 C. 以线段为直径的圆与直线相切 D. 为定值 11. 已知数列的前项和为，，数列的前项和为，，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本大题共3小题，共15分. 12. 已知直线与曲线相切，则= 13. 有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是______结果用最简分数表示． 14. 如图，已知二面角的大小为，，，，且，，则______. 四、解答题：本大题共5小题，共77分. 15. （1）已知，求的值. （2）已知，求的值. 16. 如图，在直三棱柱中，AB⊥AC，，点E，F分别为棱AB、的中点． （1）求直线与直线AF的夹角的余弦值； （2）求点F到平面的距离． 17. 随着时代发展和社会进步，教师职业越来越受青睐，考取教师资格证成为不少人的就业规划之一．当前，中小学教师资格考试分笔试和面试两部分．已知某市2021年共有10000名考生参加了中小学教师资格考试的笔试，现从中随机抽取100人的笔试成绩（满分视为100分）作为样本，整理得到如下频数分布表： 笔试成绩X 人数 5 15 35 30 10 5 （1）假定笔试成绩不低于90分为优秀，若从上述样本中笔试成绩不低于80分的考生里随机抽取2人，求至少有1人笔试成绩为优秀的概率； （2）由频数分布表可认为该市全体考生的笔试成绩X近似服从正态分布，其中近似为100名样本考生笔试成绩的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代替），，据此估计该市全体考生中笔试成绩不低于82.4的人数（结果四舍五入精确到个位）； （3）考生甲为提升综合素养报名参加了某拓展知识竞赛，该竞赛要回答3道题，前两题是哲学知识，每道题答对得3分，答错得0分；最后一题是心理学知识，答对得4分，答错得0分．已知考生甲答对前两题的概率都是，答对最后一题的概率为，且每道题答对与否相互独立，求考生甲的总得分Y的分布列及数学期望．（参考数据：；若，则，，．） 18. 已知直线相交于点M，且它们的斜率之积是点M的轨迹记为 （1）求轨迹C的方程； （2）设是线段AB的从左至右的两个三等分点. （）试比较与的大小，并说明理由； （）若直线分别与曲线C相交于另一点E和F，直线与C交于另一点G，求证：直线经过一定点. 19. 已知函数（，）. （1）当时，求证：； （2）讨论的单调性； （3）当时，，求a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度四川省彭州中学高2023级高三上期中考试 数学试题 考试时间：120分钟满分：150分 （作答在试卷上无效，请全部作答在答题卡上） 一、单项选择题：本大题共5小题，共40分. 1. 已知集合，，且，则（ ） A. 0 B. 3 C. D. 3或0 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合相等列方程，解方程，然后根据元素的互异性进行取舍. 【详解】由得，解得或， 当时，，不满足元素的互异性，舍去； 当时，成立. 故选：A. 2. 设，则= A. 2 B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】先由复数的除法运算（分母实数化），求得，再求． 【详解】因为，所以，所以，故选C． 【点睛】本题主要考查复数的乘法运算，复数模的计算．本题也可以运用复数模的运算性质直接求解． 3. 已知向量满足，，则 A. 4 B. 3 C. 2 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量模的性质以及向量乘法得结果. 【详解】因为. 4. 已知函数是定义在上的偶函数，又，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，先求出的值，由二次函数的性质分析的单调性，进而分析的对称性和单调性，由此分析可得答案. 【详解】根据题意，数是定义在上的偶函数， 则有，解可得， 则函数是开口向下的二次函数，在区间上为减函数， 又，函数的对称轴为，且在上为减函数， 则有， 即. 故选：D. 5. 如图，已知正四棱锥的所有棱长均为2，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题中条件连接，取的中点，连接,，作出异面直线所成的角，利用余弦定理求解即可. 【详解】连接，取的中点，连接,， 由题意知，，则异面直线与所成角为（或其补角）， 在中，， 则， 则异面直线与所成角的余弦值为. 故选：B. 6. 已知点，到同一直线的距离分别为2和3，若这样的直线恰有2条，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】符合题意的直线分别与圆和圆相切，进而可得两圆相交，可求得的范围. 【详解】以为圆心，2为半径的圆为， 以为圆心，3为半径的圆为. 若符合题设的直线恰有2条，则上述两圆相交. 又，所以. 可得，所以. 故选：C. 7. 在等差数列中，其前项和为，若，，则中最大的是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求得数列的首项和公差的关系式，然后结合二次函数的性质求得正确答案. 【详解】设等差数列的公差为， 由得， 所以，由，得到 所以，， 从而当时有最大值． 故选：C 8. 已知，若对任意两个不等的正实数、都有成立，则实数a的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先将条件“对任意两个不等的正实数，，都有恒成立”转换成，构造函数，根据增减性求出导函数，即可求出的范围． 【详解】解：对任意两个不等的正实数，，都有恒成立，假设， ，即对于任意成立， 令，在为增函数， 在上恒成立， ，则 故选：A． 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，以及函数恒成立问题，同时考查了转化与化归的数学思想，属于中档题． 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分.（全选对得6分，选对但不全得部分分，有选错得0分.） 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 函数是偶函数 B. 存在实数，使 C. 直线是函数图象的一条对称轴 D. 若，都是第一象限角，且，则 【答案】AC 【解析】 【分析】 A选项，根据诱导公式，以及余弦函数的奇偶性，可判断A正确； B选项，根据二倍角公式，结合正弦函数的性质，可判断B错； C选项，将代入解析式验证，即可判断C正确； D选项，根据特殊值法，可判断D错. 【详解】A选项，显然是偶函数，即A正确； B选项，因为，所以不存在实数，使，即B错； C选项，当时，，所以直线是函数图象的一条对称轴，即C正确； D选项，若，，满足，都是第一象限角，且，但，，故D错； 故选：AC. 10. 设椭圆的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，点是椭圆上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 离心率 B. 面积的最大值为1 C. 以线段为直径的圆与直线相切 D. 为定值 【答案】BD 【解析】 【分析】由，直接求椭圆离心率即可，将看成△的底，高的最大值即为，即可求出△面积的最大值，写出以线段为直径的圆方程，圆心到直线的距离即可判定直线和圆的位置关系，直接用斜率公式求解即可. 【详解】对于选项A，由已知得，，则，即，故A错； 对于选项B，由已知得，要使△的面积最大，当底边上的高最大即可，高的最大值即为， 则△的面积最大值为，故B正确； 对于选项C，以线段为直径的圆的方程为， 则该圆的圆心到直线的距离为，即以线段为直径的圆与直线相交，故C不正确； 对于选项D，设点，则，故D正确. 故选：BD. 11. 已知数列的前项和为，，数列的前项和为，，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】 在中，令，则A易判断；由，B易判断；令，， 时，，裂项求和，则CD可判断. 【详解】解：由，所以，故A正确；，故B错误； ，，所以时，，， 所以时，， 令，， 时，， ，时， 所以时，，故CD正确； 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：已知与之间的关系，一般用递推数列的通项，注意验证是否满足；裂项相消求和时注意裂成的两个数列能够抵消求和. 三、填空题：本大题共3小题，共15分. 12. 已知直线与曲线相切，则= 【答案】3 【解析】 【分析】设切点为（x0，y0），求出函数y＝ln（x+）的导数为y＝，得k切＝＝1，并且y0＝x0+2，y0＝ln（x0+），进而求出． 【详解】设切点为（x0，y0），由题意可得：曲线的方程为y＝ln（x+），所以y＝． 所以k切＝＝1，并且y0＝x0+2，y0＝ln（x0+），解得：y0＝0，x0＝﹣2，＝3． 故答案为3． 【点睛】本题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，属于基础题. 13. 有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是______结果用最简分数表示． 【答案】 【解析】 【分析】求出所有事件的总数，求出三个砝码的总质量为9克的事件总数，然后用古典概率公式求解概率即可． 【详解】编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个， 从中随机选取三个，所有的事件总数为：， 这三个砝码的总质量为9克的事件只有：5，3，1或5，2，2两种情况， 所以：这三个砝码的总质量为9克的概率是：， 故答案为：． 14. 如图，已知二面角的大小为，，，，且，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，得到，利用，结合向量的数量积的运算公式，即可求解. 【详解】因为二面角的大小为，所以与的夹角为， 又因为， 所以，所以. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分. 15. （1）已知，求的值. （2）已知，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式及同角三角函数的基本关系可得原式，代值求解即可； （2）将两边平方可求，从而可求，利用平方差公式可得，故可求解. 【详解】（1）原式= （2） 两边平方得 . ∴ 16. 如图，在直三棱柱中，AB⊥AC，，点E，F分别为棱AB、的中点． （1）求直线与直线AF的夹角的余弦值； （2）求点F到平面的距离． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）以点A为坐标原点，AB、AC、所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与直线AF的夹角的余弦值； （2）求得平面的法向量，利用空间向量法可求得点F到平面的距离. 【小问1详解】 因为丄平面ABC，AB⊥AC，以点A为坐标原点，AB、AC、所在直线分别为x，y，z轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 因为，则A(0,0,0)、、E(1,0,0)、F(1,0,2)， 所以，，， ， 所以，直线与直线AF的夹角的余弦值为． 【小问2详解】 易知，，， 设平面的法向量为， 则，取x=2，可得， 所以平面的一个法向量为， 且，所以，点F到平面的距离为． 17. 随着时代发展和社会进步，教师职业越来越受青睐，考取教师资格证成为不少人的就业规划之一．当前，中小学教师资格考试分笔试和面试两部分．已知某市2021年共有10000名考生参加了中小学教师资格考试的笔试，现从中随机抽取100人的笔试成绩（满分视为100分）作为样本，整理得到如下频数分布表： 笔试成绩X 人数 5 15 35 30 10 5 （1）假定笔试成绩不低于90分为优秀，若从上述样本中笔试成绩不低于80分的考生里随机抽取2人，求至少有1人笔试成绩为优秀的概率； （2）由频数分布表可认为该市全体考生的笔试成绩X近似服从正态分布，其中近似为100名样本考生笔试成绩的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代替），，据此估计该市全体考生中笔试成绩不低于82.4的人数（结果四舍五入精确到个位）； （3）考生甲为提升综合素养报名参加了某拓展知识竞赛，该竞赛要回答3道题，前两题是哲学知识，每道题答对得3分，答错得0分；最后一题是心理学知识，答对得4分，答错得0分．已知考生甲答对前两题的概率都是，答对最后一题的概率为，且每道题答对与否相互独立，求考生甲的总得分Y的分布列及数学期望．（参考数据：；若，则，，．） 【答案】（1） （2）1587人 （3） Y 0 3 4 6 7 10 P 数学期望 【解析】 【分析】（1）根据表格，求出样本中笔试成绩不低于80分的考生人数和其中成绩优秀的人数，根据古典概型概率计算即可； （2）根据表中数据求出平均数，根据正太分布曲线的对称性和即可求，从而估计成绩不低于82.4的人数； （3）根据题意可知Y的所有可能取值为0，3，4，6，7，10，根据独立事件概率的计算方法即可求出分布列，根据数学期望公式即可求出数学期望. 【小问1详解】 由已知，样本中笔试成绩不低于80分的考生共有15人，其中成绩优秀的10人． 故至少有1人笔试成绩为优秀的概率为. 【小问2详解】 由表格中的数据可知，， 又，即， ∴， 由此可估计该市全体考生中笔试成绩不低于82.4的人数为10000×0.15865≈1587人. 【小问3详解】 考生甲的总得分Y的所有可能取值为0，3，4，6，7，10， 则， ， ， ， ， ， 故Y的分布列为： Y 0 3 4 6 7 10 P ∴． 18. 已知直线相交于点M，且它们的斜率之积是点M的轨迹记为 （1）求轨迹C的方程； （2）设是线段AB的从左至右的两个三等分点. （）试比较与的大小，并说明理由； （）若直线分别与曲线C相交于另一点E和F，直线与C交于另一点G，求证：直线经过一定点. 【答案】（1） （2）（），理由：因为P，Q是线段AB的从左至右的两个三等分点， 所以 设的焦点坐标为所以即 所以为C的焦点， 因为所以 所以； （）证明：设 ①当斜率存在时，不妨令直线 联立化简得 因为与C的另一个交点为E， 所以 因为 所以式可以化为 所以所以点同理点 当轴,即时 所以直线EG过x轴上点 下证：三点共线， 因为 同理 因为三点共线，所以所以 即三点共线,所以直线经过一定点 ②当轴时，即所以 此时联立解得 所以直线交C于所以 综上,直线经过定点 【解析】 【分析】（1）根据已知条件中直线斜率之积的关系，通过设点坐标，利用斜率公式列出等式，再进行化简得到一个方程. （2）（）先根据已知点的坐标确定线段三等分点坐标，再由椭圆方程求出焦点坐标，进而判断出相关点与焦点的关系，最后利用均值不等式等知识来比较式子的大小.（）通过设点坐标和直线方程，联立方程求解交点坐标，再利用斜率等知识来证明三点共线，从而确定直线所过的定点. 【小问1详解】 设因为直线AM，BM的斜率之积是 所以 化简得 【小问2详解】 （）略 （ii）略 【点睛】易错点睛：求解轨迹方程问题，设出动点坐标，根据条件求列出方程，再化简整理求解，还应特别注意：补上在轨迹上而坐标不是方程解的点，剔出不在轨迹上而坐标是方程解的点. 19. 已知函数（，）. （1）当时，求证：； （2）讨论的单调性； （3）当时，，求a的取值范围. 【答案】（1）证明：当时，设， 所以单调递增， 所以当时，单调递增； 当时，单调递减； 所以，所以， 所以； （2）当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递增； （3） 【解析】 【分析】（1）构造函数结合函数单调性得出函数最小值证明求解； （2）求出导函数，再分，，，四种情况，得到函数的单调性； （2）参变分离得到，构造函数，求导得到其单调性和最大值，从而得到答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 函数的定义域为，求导得， 当时，， 当时，单调递增；当时，单调递减； 当时，， 令，解得， 当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增； 当时，， 令，解得， 当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增； 当时，， 令，解得， 当时，单调递增； 综上，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递增； 【小问3详解】 当时，符合题意； 当时，，则等价于恒成立， 令， ， 由（1）知，所以，， 当时，单调递减；当时，单调递增； 则， 因为恒成立，所以， 所以， 实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $