精品解析：河南省商丘市夏邑县2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

河南省2025-2026学年第一学期学情质量评估一 九年级数学 人教版 （考试时间：100分钟，满分：120分） 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、是一元一次方程，不符合题意； B、是一元二次方程，符合题意； C、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； D、含有分式，不是一元二次方程，不符合题意． 故选：B． 2. 下列各点不在二次函数的图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象． 将各选项的横坐标代入二次函数解析式，计算对应的纵坐标，判断是否与给定点的纵坐标一致即可． 【详解】解： A． 当时，，点在图象上； B． 当时，，点在图象上； C． 当时，，点在图象上； D． 当时，，点不在图象上； 故选：D． 3. 已知方程．在中添加一个合适的数字，使该方程有两个不相等的实数根．则添加的数字可以是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式． 根据一元二次方程根的判别式，当判别式大于0时，方程有两个不相等的实数根．设中的数字为k，代入判别式计算并解不等式即可． 【详解】解：设方程， 则， ∵该方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， 只有B符合要求， 故选：B． 4. 剪纸是我国的民间传统艺术，能为节日增加许多喜庆的氛围．剪纸中有一种“抛物线剪纸”艺术，即作品的外轮廓在抛物线上，体现了一种曲线美，如图，这是利用“抛物线剪纸”艺术剪出的蝴蝶，建立适当的平面直角坐标系，使外轮廓上的四点落在抛物线上，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，根据抛物线开口向上，与轴交于正半轴，即可判断的符号，即可求解． 【详解】解：∵根据抛物线开口向上，与轴交于正半轴， ∴，则， 故选：C． 5. 关于x的一元二次方程可通过配方法转化为的形式，则m的值为（ 　） A. B. 9 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键．根据配方法解一元二次方程的步骤即可求解． 【详解】解： ， 方程可通过配方法转化为的形式， ， 解得：． 故选：C． 6. 已知抛物线的顶点坐标为，与轴交于，则抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式是解题的关键． 设抛物线解析式为，将点代入，即可求解． 【详解】解：设抛物线解析式为，将点代入，得 解得： ∴解析式为， 故选：D． 7. 如图，根据小明与的对话，在深度思考后，给出的答案是（ ） 有没有这样的数，先算这个数的平方， 再减去这个数的3倍，最后加上4， 运算结果和这个数相同 A. 1 B. 2 C. D. 2或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． 根据题意建立方程，解方程即可． 【详解】解：设这个数为，根据题意得方程： 移项整理为： 因式分解得： 解得：． 故选：B． 8. 老师在画二次函数（、为常数，且）的图象时列表如下： … … … … 四位同学根据表格得到结论如下： 甲：该函数图象的对称轴为直线； 乙：当时，随的增大而减小； 丙：； 丁：图象开口向下． 针对四人的说法，其中不正确的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，待定系数法求解析式，熟练掌握以上知识点是关键．利用二次函数图象的特征，根据题意逐一判断即可． 【详解】解：将、代入得： ， 解得：， 二次函数的解析式为， 该函数图象的对称轴为直线，故甲正确； 又，函数图象的对称轴为直线， 二次函数的开口向下，当时，随的增大而增大，故乙不正确，丁正确； 当时，，即，故丙正确； 故选：B． 9. 若是关于的方程的一个根，则关于的方程必有一个根为（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2027 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，由关于x的一元二次方程有一个根为2027，可得出关于的一元二次方程有一个根为，解之可得出x的值，此题得解． 【详解】解： 方程变形为， ∵是关于的方程的一个根， ∴是关于的方程的一个根， 此时， 即关于的方程必有一个根为2025． 故选：C 10. 如图，抛物线与抛物线交于点，以下结论： ①无论取何值，总是负数； ②抛物线可由抛物线向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到； ③当时，随着的增大，的值先增大后减小； ④当直线与抛物线有3个交点时，． 下列说法正确的是（ ） A. 只有①正确 B. 只有②④正确 C. 只有③④不正确 D. ①②③④都正确 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数顶点式的图象及性质，二次函数的平移等．根据题意逐一对序号进行判断分析即可得到本题答案． 【详解】解：∵，且， ∴的最大值为， ∴无论取何值，总是负数，故①正确； 把点代入得： ，解得：， ∴， ∴的顶点坐标为， ∵， ∴顶点坐标为， ∴抛物线可由抛物线向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到的，故②正确； ， ∴当时，的值随着的增大而减小，故③错误； 根据题意得：当直线与抛物线有3个交点时，直线过的顶点或点A， 此时或，故④错误． 故选：C 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知是一元二次方程的两个根，若，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：，，根据得出，进而直接得出即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个根，， ∴ ∴ ∴， 故答案为：． 12. 如果一元二次方程的两个根恰好是一个直角三角形的两条边长，那么这个直角三角形的周长为___________． 【答案】12或 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，解一元二次方程．先解一元二次方程，然后分两种情况，利用勾股定理解答即可． 【详解】解：， ∴， 解得：， ∵一元二次方程的两个根恰好是一个直角三角形的两条边长， ∴直角三角形的两条边长分别为4和5， 若5为斜边，另一条直角边长为， 此时这个直角三角形的周长为； 若5为直角边，斜边长为， 此时这个直角三角形的周长为； 综上所述，这个直角三角形的周长为12或． 故答案为：12或 13. 点A（，）、B（，）在二次函数的图象上，若＞＞2，则与的大小关系是______________．（用“＞”、“＜”、“=”填空） 【答案】< 【解析】 【分析】先根据函数解析式确定出对称轴为直线x＝1，再根据二次函数的增减性，x＜1时，y随x的增大而减小解答． 【详解】∵y＝x2−2x−1＝（x−1）2−2， ∴二次函数图象的对称轴为直线x＝1， ∵x2＞x1＞2， ∴y1＜y2． 故答案为：＜． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性，求出对称轴解析式是解题的关键． 14. 刘聪同学发明了一个魔术盒，当任意实数对进入其中时，会得到一个新的实数．例如，把放入其中，就会得到．现将实数对放入其中，得到实数5，则的值是___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解新定义的运算方法是解题的关键． 根据新定义得到一元二次方程，再由配方法求解即可． 【详解】解：由题意得，， ， ， ， ∴或， 故答案为：或． 15. “科教兴国，强国有我”．某中学在科技实验活动中，设计制作了“水火箭”升空实验，已知“水火箭”的升空高度与飞行时间满足的关系为．则“水火箭”升空的最大高度为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确配方是解题的关键． 先配方成顶点式，即可求解最值． 【详解】解：， ∵， ∴当时，取得最大值为， ∴“水火箭”升空的最大高度为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． （）利用公式法求解即可； （）利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解： ， 或， ∴，． 17. 已知是二次函数，且当时，随的增大而增大． （1）求的值； （2）直接写出抛物线的顶点坐标和对称轴． 【答案】（1） （2）顶点坐标为，对称轴为y轴 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义：形如（，a、b、c为常数）的函数叫二次函数．也考查了二次函数的性质． （1）根据二次函数的定义得到且，解得，，由于当时，y随x的增大而增大，根据二次函数的性质则有，于是得到； （2）根据二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：∵是二次函数， ∴且， 解得，， ∵二次函数当时，y随x的增大而增大， ∴二次函数的图象的开口向下，即， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得， ∴顶点坐标为，对称轴为y轴． 18. 随着消费观念的转变，中药代茶饮“火爆出圈”，成为众多年轻人的饮品首选．据统计，某购物网站上某品牌的中药茶饮包7月份的销量为4万盒，9月份的销量为4.84万盒． （1）求该购物网站上这个品牌的中药茶饮包销量的月平均增长率； （2）假设该购物网站上这个品牌的中药茶饮包销量的月平均增长率保持不变，则10月份的销量能不能达到5.5万盒？请通过计算说明． 【答案】（1）该购物网站上这个品牌的中药茶饮包销量的月平均增长率为 （2）10月份的销量不能达到5.5万盒 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、有理数的混合运算的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． （1）设该购物网站上这个品牌的中药茶饮包销量的月平均增长率为，根据“某购物网站上某品牌的中药茶饮包7月份的销量为4万盒，9月份的销量为4.84万盒”列出一元二次方程，计算即可得解； （2）先求出10月份的销量，再与万盒比较即可得解． 【小问1详解】 解：设该购物网站上这个品牌的中药茶饮包销量的月平均增长率为， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴该购物网站上这个品牌的中药茶饮包销量的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：（万盒）， ∵， ∴10月份的销量不能达到5.5万盒． 19. 如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴正半轴交于点． （1）求的坐标； （2）若点在此抛物线上，求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求一次函数的解析式，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）根据题意当时以及时解一元二次方程，即可得到答案； （2）先求出，过点作轴，交于点，然后求出的函数解析式为，即可求出，再由求解即可． 【小问1详解】 解：当时，， ∴， 当时，， 解得， ； 【小问2详解】 解：∵点在此抛物线上， ∴ ∴， 过点作轴，交于点， 设的函数解析式为， 将代入， ， 解得， 故的函数解析式为， ∴， ∴， ∴． 20. 已知关于的方程． （1）若该方程有一个根为3，求方程的另一根； （2）求证：不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【答案】（1） （2） 解：， ∴不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程根的定义、一元二次方程根与系数的关系及根的判别式． （1）根据方程根的定义，把代入方程，求出的值，再由一元二次方程根与系数的关系得到方程的另一根； （2）根据一元二次方程的根的判别式列出关于m的代数式，再由完全平方式的非负性证明即可． 【小问1详解】 解：由题意得，将代入， 则， 解得， ∴方程为， 设另一个根为，则由一元二次方程根与系数的关系得： 解得， ∴另一个根为； 【小问2详解】 略 21. 如图，轴上依次有六个点，且，从点处向右上方沿抛物线发出一个发光的点． （1）在图中补画出轴； （2）当点与上述六个点中的某个点重合时，重合的这个点就会发光，则发光的点是___________； （3）在轴上从左到右有两点，且，从点向上作垂直轴，且，在沿轴左右平移时，必须保证沿抛物线下落的点能落在（包括端点）上，请写出点横坐标的最大值与最小值． 【答案】（1） 图形如图所示： （2）E （3）点横坐标的最大值为8，最小值为 【解析】 【分析】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法等知识，解题的关键是学会寻找特殊点解决问题，属于中考压轴题． （1）令，则，可得抛物线与y轴交于点，即可求解； （2）由（1）可知抛物线与x轴的另一个交点为，点B为坐标原点，根据，即可解答； （3）判断出当点M与点重合时，点N的横坐标最大，当点G与重合时，点N的横坐标最小，两种特殊位置点N的横坐标的值，可得结论． 【小问1详解】 解：当时，， ∴抛物线与y轴交于点， 当时，， 解得：， ∴点A的坐标为， ∵， ∴点B的坐标为， 【小问2详解】 解：由（1）得：抛物线与x轴的另一个交点为，点B为坐标原点， ∵， ∴， ∴点E的坐标为， ∴发光的点是点E； 故答案为：E 【小问3详解】 解：当点M与点重合时，点N的横坐标最大， ∵， ∴此时点N的横坐标的最大值为8； 当时，， 解得：， ∴抛物线经过点， ∴当点G与重合时，点N的横坐标最小，最小值为； 综上所述，点横坐标的最大值为8，最小值为． 22. 某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，尽可能减少库存，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件． （1）如果商场通过销售这批衬衫每天盈利1050元，那么衬衫的单价降了多少元？ （2）单价降了多少元时，销售这批衬衫每天盈利最大？最大盈利是多少元？ 【答案】（1）衬衫的单价应下降25元 （2）单价降了15元时，销售这批衬衫每天盈利最大，最大盈利是1250元． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，找出数量关系列出方程和函数解析式是解答本题的关键． （1）根据“总利润每件利润销售量”列方程，求解即可； （2）设每天利润为w元，每件衬衫应降价x元，根据题意可得利润表达式，运用函数的性质求最值． 【小问1详解】 设衬衫的单价应下降x元，由题意得： ， 解得：， 经检验都符合题意． ∵为了扩大销售，尽可能减少库存，增加盈利， ∴x应取25元． 答：衬衫的单价应下降25元． 【小问2详解】 设每天利润为w元， 由题意，得： ， ， 当时，盈利最多为1250元， 所以单价降了15元时，销售这批衬衫每天盈利最大，最大盈利是1250元． 23. 某市一处十字路口立交桥的横断面如图所示，桥拱的部分为一段抛物线，顶点的高度为米，它两侧和是高为米的支柱，和为两个方向的机动车通行区，宽都为米，线段和为两段对称的上桥斜坡，且．以所在直线为轴，横断面的对称轴为轴建立平面直角坐标系． （1）求桥拱所在抛物线的解析式及的长； （2）和为支撑斜坡的立柱，其高都为米，相应的和为两个方向的行人及非机动车通行区，若，求的宽度； （3）按规定，汽车通过该桥下时，载货最高处和桥拱之间的距离不得小于米．今有一大型运货汽车，装载某大型设备后，其宽为米，车载大型设备的顶部与地面的距离均为米．它能否从桥下区域安全通过？请说明理由． 【答案】（1）桥拱所在抛物线的解析式为，的宽为米； （2）的宽为米； （3） 解：该大型运货汽车可以从桥下区域安全通过，理由， 当时，， ∵， ∴该大型运货汽车可以从桥下区域安全通过． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求解析式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）设桥拱所在抛物线的解析式为，由题意得，，然后代入即可求解； （）根据题意求出米，然后通过线段和差即可求解； （）在抛物线中当时，，然后与比较即可． 【小问1详解】 解：设桥拱所在抛物线的解析式为， 由题意得，，， ∴，解得， ∴桥拱所在抛物线的解析式为， ∵，， ∴（米）， ∴（米）， 答：的长为米； 【小问2详解】 解：∵，米， ∴（米）， ∴（米）， 答：的宽为米； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省2025-2026学年第一学期学情质量评估一 九年级数学 人教版 （考试时间：100分钟，满分：120分） 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各点不在二次函数的图象上的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知方程．在中添加一个合适的数字，使该方程有两个不相等的实数根．则添加的数字可以是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4. 剪纸是我国的民间传统艺术，能为节日增加许多喜庆的氛围．剪纸中有一种“抛物线剪纸”艺术，即作品的外轮廓在抛物线上，体现了一种曲线美，如图，这是利用“抛物线剪纸”艺术剪出的蝴蝶，建立适当的平面直角坐标系，使外轮廓上的四点落在抛物线上，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 关于x的一元二次方程可通过配方法转化为的形式，则m的值为（ 　） A. B. 9 C. D. 3 6. 已知抛物线的顶点坐标为，与轴交于，则抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，根据小明与的对话，在深度思考后，给出的答案是（ ） 有没有这样的数，先算这个数的平方， 再减去这个数的3倍，最后加上4， 运算结果和这个数相同 A. 1 B. 2 C. D. 2或 8. 老师在画二次函数（、为常数，且）的图象时列表如下： … … … … 四位同学根据表格得到结论如下： 甲：该函数图象的对称轴为直线； 乙：当时，随的增大而减小； 丙：； 丁：图象开口向下． 针对四人的说法，其中不正确的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 9. 若是关于的方程的一个根，则关于的方程必有一个根为（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2027 10. 如图，抛物线与抛物线交于点，以下结论： ①无论取何值，总是负数； ②抛物线可由抛物线向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到； ③当时，随着的增大，的值先增大后减小； ④当直线与抛物线有3个交点时，． 下列说法正确的是（ ） A. 只有①正确 B. 只有②④正确 C. 只有③④不正确 D. ①②③④都正确 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知是一元二次方程的两个根，若，则___________． 12. 如果一元二次方程的两个根恰好是一个直角三角形的两条边长，那么这个直角三角形的周长为___________． 13. 点A（，）、B（，）在二次函数的图象上，若＞＞2，则与的大小关系是______________．（用“＞”、“＜”、“=”填空） 14. 刘聪同学发明了一个魔术盒，当任意实数对进入其中时，会得到一个新的实数．例如，把放入其中，就会得到．现将实数对放入其中，得到实数5，则的值是___________． 15. “科教兴国，强国有我”．某中学在科技实验活动中，设计制作了“水火箭”升空实验，已知“水火箭”的升空高度与飞行时间满足的关系为．则“水火箭”升空的最大高度为___________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 已知是二次函数，且当时，随的增大而增大． （1）求的值； （2）直接写出抛物线的顶点坐标和对称轴． 18. 随着消费观念的转变，中药代茶饮“火爆出圈”，成为众多年轻人的饮品首选．据统计，某购物网站上某品牌的中药茶饮包7月份的销量为4万盒，9月份的销量为4.84万盒． （1）求该购物网站上这个品牌的中药茶饮包销量的月平均增长率； （2）假设该购物网站上这个品牌的中药茶饮包销量的月平均增长率保持不变，则10月份的销量能不能达到5.5万盒？请通过计算说明． 19. 如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴正半轴交于点． （1）求的坐标； （2）若点在此抛物线上，求的值． 20. 已知关于的方程． （1）若该方程有一个根为3，求方程的另一根； （2）求证：不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 21. 如图，轴上依次有六个点，且，从点处向右上方沿抛物线发出一个发光的点． （1）在图中补画出轴； （2）当点与上述六个点中的某个点重合时，重合的这个点就会发光，则发光的点是___________； （3）在轴上从左到右有两点，且，从点向上作垂直轴，且，在沿轴左右平移时，必须保证沿抛物线下落的点能落在（包括端点）上，请写出点横坐标的最大值与最小值． 22. 某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，尽可能减少库存，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件． （1）如果商场通过销售这批衬衫每天盈利1050元，那么衬衫的单价降了多少元？ （2）单价降了多少元时，销售这批衬衫每天盈利最大？最大盈利是多少元？ 23. 某市一处十字路口立交桥的横断面如图所示，桥拱的部分为一段抛物线，顶点的高度为米，它两侧和是高为米的支柱，和为两个方向的机动车通行区，宽都为米，线段和为两段对称的上桥斜坡，且．以所在直线为轴，横断面的对称轴为轴建立平面直角坐标系． （1）求桥拱所在抛物线的解析式及的长； （2）和为支撑斜坡的立柱，其高都为米，相应的和为两个方向的行人及非机动车通行区，若，求的宽度； （3）按规定，汽车通过该桥下时，载货最高处和桥拱之间的距离不得小于米．今有一大型运货汽车，装载某大型设备后，其宽为米，车载大型设备的顶部与地面的距离均为米．它能否从桥下区域安全通过？请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $