精品解析：江苏省盐城市大丰区飞达路初级中学2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

2025年秋学期第一次学情检测九年级数学试题 （时间： 120分钟 分值：150分） 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. （，，为常数） D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，牢记“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”是解题的关键． 直接利用一元二次方程的定义分别分析得出答案． 【详解】解：A、，最高次数为3次，故此选项不符合题意； B、，是一元二次方程，故此选项符合题意； C、当时，（、、为常数）不是一元二次方程，故此选项不符合题意； D、该方程不是整式方程，故此选项不符合题意； 故选：B． 2. 小叶在解方程时，用配方法可得（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，关键是熟练应用配方法；将常数项移到等式的右侧，左侧配成完全平方的形式，即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ．   故选：B ． 3. 的半径为3，点P到圆心O的距离为d，如果点P在圆内，则d（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有3种．设的半径为r，点P到圆心的距离，则有：①点P在圆外，②点P在圆上，③点P在圆内根据点与圆的位置关系判断得出即可． 【详解】解：∵点P在圆内，且的半径为3， ∴， 故选：D． 4. 以下说法正确的是 （　　） A. 长度相等的弧是等弧 B. 相等的圆心角所对的弦相等 C. 任意三点确定一个圆 D. 三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆的基本性质，熟练掌握圆的相关性质是解题关键关． 根据圆的有关性质对每一项进行判断即可得出答案． 【详解】解：A、在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧，长度相等的弧不一定能够重合，故本选项错误； B、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故本选项错误； C、不在同一直线上的三点确定一个圆，故本选项错误； D、三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，故本选项正确； 故选：D． 5. 如图．已知是的直径，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理．运用圆周角定理，即同弧所对的圆周角是圆心角的一半来求解即可． 【详解】解：由圆周角定理可知，， 故选：． 6. 如图，是的直径，于点．若，，则长是（ ） A. 4 B. 5 C. 8 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理．由垂径定理得到，，求得，在中，由勾股定理列式计算即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， ∵是的直径，， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， 故选：C． 7. 若是关于x的一元二次方程的一个根，则的值为（ ） A. 2022 B. 2025 C. 2023 D. 2024 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了方程的根，求整式的值，由方程的根得，化简整式，代入计算，即可求解；理解方程的根的定义，会用整体代换法求整式的值是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， ， ； 故选：B． 8. 若实数满足，则代数式的值是（ ） A. B. 2 C. 3 D. 或2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，利用换元法解方程即可得出结果． 【详解】解：设，原方程变为，即． 因式分解得， 解得或， 当时，方程的判别式，存在实数解， 当时，方程的判别式，无实数解， 因此，代数式的值为2， 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共24分） 9. 将一元二次方程化为一般形式为___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，根据一元二次方程的一般形式（a，b，c为常数且），即可解答． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 10. 若方程是一元二次方程，则a的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的定义，要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理如果能整理为的形式，则这个方程就为一元二次方程．根据二次项系数不等于0列式求解即可． 【详解】解：由题意得：，即． 故答案为：． 11. 若是关于的一元二次方程的两个根，则___________ 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程两根之和等于直接解答即可，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴， 故答案为：7． 12. 如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆内接四边形的性质．根据圆内接四边形的对角互补求解即可． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形，， ∴； 故答案为：． 13. 如图，在长为32米，宽为20米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上小草．要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽为x米，根据题意可列方程为______. 【答案】 【解析】 【详解】如图所示，将道路通过平移都移到靠近边侧，则图中阴影部分就为草坪了，由题意可知长为（32-x）米，宽为（20-x）米，由矩形的面积公式则可得：（32-x）(20-x)=540. 14. 已知的直径为8，点P到圆心O的距离为3，则经过点P的最短弦的长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，垂线段最短，弄清与垂直的弦最短是关键． 与垂直的弦最短，利用垂径定理与勾股定理求解即可． 【详解】解：过点任作一条弦，作垂直于，垂足为，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，，即， ， ， 弦最短， 故答案为：． 15. 如果一个直角三角形的两边分别是6，8，那么直角三角形外接圆的半径是______． 【答案】4或5 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心、勾股定理．熟练掌握直角三角形的外接圆半径为斜边边长的一半是解题的关键． 根据题意分两种情况讨论，然后由“直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，斜边长的一半为半径的圆”来求该直角三角形外接圆半径即可． 【详解】解：在一个直角三角形中，两边长分别是6，8， 当6，8是直角三角形的两条直角边时， 根据勾股定理知，该直角三角的斜边长为， 此三角形的外接圆的半径是； 当8是直角三角形的斜边时， 此三角形的外接圆的半径是4； 综上所述，这个三角形的外接圆的半径是4或5． 故答案是：4或5． 16. 如图，为半圆的直径，，点O到弦的距离为2，点P从B出发沿方向向点A以每秒1个单位长度的速度运动，连接，经过_____秒后，为以为腰的等腰三角形． 【答案】1.4或2 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的判定．作于D，如图，根据垂径定理得，在中利用勾股定理计算出，则，然后分类讨论：当时，作于E，连接，根据圆周角定理得，利用勾股定理计算出，再利用面积法得，则，接着在中，根据勾股定理计算出，由于，所以，则；当时，则，此时． 【详解】解：作于D，如图， ∵， ∴， 在中，∵， ∴， ∴， 当时，作于E，连接， ∵为直径， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴； 当时，，此时， 综上所述，或 故答案为：1.4或2． 三、解答题 17. 解下列一元二次方程： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握配方法、因式分解法、公式法是解题的关键． （1）方程已为完全平方形式，通过开平方转化为两个一元一次方程即可求解； （2）先将方程转化为一元二次方程的标准形式，再通过因式分解法将方程转化为两个一元一次方程即可求解； （3）将方程通过移项，利用提取公因式法进行因式分解求解； （4）先确定一元二次方程的系数，计算判别式判断根的情况，再代入求根公式求解方程的根． 【小问1详解】 解：由，两边开平方得， 当时，， 当时，， ，； 【小问2详解】 由，移项得， ， 当时，， 当时，， ，； 【小问3详解】 由，移项得， ，即 当时，， 当时，， ，； 【小问4详解】 由，这里，，， ， ， ，． 18. 如图，在坐标系中，、、． （1）在网格中画出经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M，并写出M的坐标为______； （2）这个圆的半径长为______； （3）直接判断点与的位置关系，点在______．（填内、外、上） 【答案】（1） （2） （3）外 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，也考查了垂径定理和点与圆的位置关系． （1）根据题意，的垂直平分线所在直线为，可知圆心M在直线为上，设，根据，可求出圆心M的坐标； （2）由（1）求出，即可求圆的半径长； （3）根据，即可判断D点的位置． 【小问1详解】 解：、， 的垂直平分线所在直线为， 圆心M在直线为， 设， ， ， 解得， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：，， ， 圆的半径长为， 故答案为：； 【小问3详解】 解：，， ， ， 点在外， 故答案为：外． 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； （2）若该方程的一个根为3，求m的值及该方程的另一根． 【答案】（1）m的取值范围是； （2）m的值为12，该方程的另一根是4． 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，，正确理解熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． （1）计算一元二次方程根的判别式进而即可求解； （2）设方程的两个实数根，，其中，利用根与系数的关系，，求解即可； 【小问1详解】 解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， ∴m的取值范围是； 【小问2详解】 解：设方程的两个实数根，，其中， ∴，即， 解得：，， ∴m的值为12，该方程的另一根是4． 20. 如图，已知的两条弦相交于E点，且．求证：． 【答案】见详解 【解析】 【分析】本题考查了利用弧、弦、圆心角的关系求证，根据，则，故，得，故，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． 21. 已知关于的方程． （1）求证：无论为何值，方程总有实数根； （2）若方程的两个实数根为，，求代数式的值． 【答案】（1） 解：∵ ， ∴方程总有实数根； （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系等知识点，掌握相关结论即可． （1）根据一元二次方程根的判别式计算即可求解； （2）根据一元二次方程根与系数的关系可得，，，再整理代入即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由根与系数的关系可得，，， ∴ ． 22. 如图，D是等腰三角形ABC底边的中点，过点A、B、D作． （1）求证：AB是的直径； （2）延长CB交于点E，连接DE，求证：DC=DE． 【答案】（1）连接BD， ∵，， ∴， ∴， ∴AB是的直径； （2）∵， ∴， 由圆周角定理可得：， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）连接BD，根据圆周角定理判断即可； （2）根据圆周角定理证明即可； 【详解】略 【点睛】本题主要考查了圆周角定理和等腰三角形的性质，准确分析证明是解题的关键． 23. 如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”．例如是“差1方程”． （1）判断下列方程是否为“差1方程”？ （2）已知关于x的方程（m是常数）是“差1方程”，求m的值． 【答案】（1）是“差1方程” （2）或 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，理解题中定义是解答的关键． （1）先解一元二次方程，再根据题中定义判断即可； （2）先根据因式分解法求得方程的解，再根据题中定义列方程解答即可． 【小问1详解】 解：解方程得，， ∵， ∴是“差1方程”； 【小问2详解】 解：由， ∴，解得，， ∵方程（m是常数）是“差1方程”， ∴或， ∴或． 24. 如图，AB为的直径，弦CD与AB交于点E，连接AC、BD，，． （1）求的度数； （2）若，求CD的长． 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等可得，再根据三角形的内角和即可求解； （2）过点O作于点F，连接，先求出，从而得出，，即可求出的长度，再根据的长度求出的长度，最后根据垂径定理即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴在中，． 【小问2详解】 过点O作于点F，连接， ∵， ∴， ∵， ∴在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴在中，， ∴在中，， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆的相关知识，解题的关键是熟练掌握同弧所对的圆周角相等，垂径定理以及解直角三角形的方法． 25. 2022年在中国举办的冬奥会和残奥会令世界瞩目，冬奥会和残奥会的吉祥物冰墩墩和雪容融家喻户晓，成为热销商品．某网店以每套24元的价格购进一批冰墩墩和雪容融套件．二月份以每套30元的价格销售了256套，三、四月该商品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，四月份的销售量达到400套． （1）求三、四这两个月销售量的月平均增长率； （2）为回馈客户．该网店决定五月降价促销．经调查发现．在四月份销量的基础上，该商品每套降价1元，销售量就增加40套，当该商品每套降价多少元时，五月份可获利1920元？ 【答案】（1）25% （2）2元 【解析】 【分析】（1）设月销售量的月平均增长率为x，根据题意列方程求解即可； （2）设每套降价元，每套利润为元，销售量为套，根据题意列方程求解即可． 【小问1详解】 设月销售量的月平均增长率为x，根据题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：月销售量的月平均增长率为25%； 【小问2详解】 设每套降价元，则每套利润为元，销售量为套． 根据题意得： 解得：，（不合题意，舍去）， 答：当该产品每套降价2元时，五月份可获利1920元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，准确列出方程式并正确求解是解题关键． 26. 如图，矩形中，，，动点P从点A出发，以每秒的速度向点B匀速移动，同时，点Q从点C出发，以每秒的速度向点D匀速移动，当其中一点到达终点时停止，同时另一点也随之停止移动． （1）经过多少时间时，四边形为矩形； （2）经过多少时间时，四边形的面积为； （3）经过多少时间时，点P和点Q之间的距离是． 【答案】（1）当时，四边形为矩形； （2）当t为5时，四边形的面积为． （3）当t为或时，点P和点Q的距离为 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次方程的应用、列代数式以及勾股定理，解题的关键是：（1）根据各线段之间的关系，用含t的代数式表示出各线段的长度；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）当运动时间为t s时，根据点P，Q的运动方向及运动速度，即可用含t的代数式表示出各线段的长度； （2）利用梯形的面积计算公式，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出t的值； （3）过点Q作于点E，则，利用勾股定理，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论． 【小问1详解】 解：当运动时间为时，，，，． 依题意得：， 解得：． 答：当时，四边形为矩形； 【小问2详解】 解：依题意得：， 整理得：， 解得：． 答：当t为5时，四边形的面积为． 【小问3详解】 解：过点Q作于点E，则，如图所示． 依题意得：， 即， 解得，． 答：当t为或时，点P和点Q的距离为． 27. 【问题情境】 （1）点A是外一点，点P是上一动点．若的半径为3，且，则点P到点A的最短距离为______． 【直接运用】 （2）如图1，在中，，，以为直径的半圆交于D，P是弧上的一个动点，连接，则的最小值是______． 【构造运用】 （3）如图2，已知正方形的边长为8，点M、N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿边方向向终点C和D运动，连接和交于点P，则点P到点C的最短距离，并说明理由． 【灵活运用】 （4）如图3，的半径为6，弦，点C为优弧上一动点，交直线于点M，则的面积最大值是______． 【答案】（1）2（2）（3），理由见解析（4） 【解析】 【分析】（1）当点P是与的交点时，为最短，故可求解； （2）找到中点O，当A、P、O在同一直线上时，点P到点A的距离最短，故可求解； （3）先证明，再得到，得到P的运动轨迹，再根据圆外的点与圆的位置关系特点即可求解； （4）先求出，要想的面积最大，则需要点M到的距离最大，根据圆周角与圆心角的关系作，根据三线合一得到是等边三角形，故可求出此时的面积． 【详解】解：（1）∵点A是外一点，点P是上一动点．的半径为3，且， 当点P是线段与的交点时，为最短， 此时， 则点P到点A的最短距离为2； （2）如图，连接， 当点P是线段与的交点时，为最短， 当A、P、O在同一直线上时，点P到点A的距离最短， ∵，以为直径的半圆交于D，P是弧上的一个动点， ∴， ∵， ∴在中，， ∴的最小值为 故答案为：； （3）点P到点C的最短距离为，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴，， ∵点M、N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿边方向向终点C和D运动， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故点P在以为直径的圆上运动，连接，与的交点，此交点P即为最小时的位置； ∵正方形的边长为8， ∴， 则 ∴在中，， ∴的最小值； （4）连接， ∵的半径为6，弦， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵弧弧 ∴， ∵ ∴ ∵，要使面积最大，则点到的距离最大， 如图，∵，弧弧 ∴点M在以的上， 当时，点M到的距离最大, ∵ ∴是等边三角形， ∴结合三线合一，点到的距离 ∴的最大面积为 【点睛】此题主要考查圆的综合问题，点与圆的位置关系，全等三角形的判定与性质、垂径定理及圆周角定理的应用，等边三角形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋学期第一次学情检测九年级数学试题 （时间： 120分钟 分值：150分） 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. （，，为常数） D. 2. 小叶在解方程时，用配方法可得（　　） A. B. C. D. 3. 的半径为3，点P到圆心O的距离为d，如果点P在圆内，则d（　　） A. B. C. D. 4. 以下说法正确的是 （　　） A. 长度相等的弧是等弧 B. 相等的圆心角所对的弦相等 C. 任意三点确定一个圆 D. 三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等 5. 如图．已知是的直径，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 6. 如图，是的直径，于点．若，，则长是（ ） A. 4 B. 5 C. 8 D. 6 7. 若是关于x的一元二次方程的一个根，则的值为（ ） A. 2022 B. 2025 C. 2023 D. 2024 8. 若实数满足，则代数式的值是（ ） A. B. 2 C. 3 D. 或2 二、填空题（每小题3分，共24分） 9. 将一元二次方程化为一般形式为___． 10. 若方程是一元二次方程，则a的取值范围是_______． 11. 若是关于的一元二次方程的两个根，则___________ 12. 如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是___________． 13. 如图，在长为32米，宽为20米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上小草．要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽为x米，根据题意可列方程为______. 14. 已知的直径为8，点P到圆心O的距离为3，则经过点P的最短弦的长度为______． 15. 如果一个直角三角形的两边分别是6，8，那么直角三角形外接圆的半径是______． 16. 如图，为半圆的直径，，点O到弦的距离为2，点P从B出发沿方向向点A以每秒1个单位长度的速度运动，连接，经过_____秒后，为以为腰的等腰三角形． 三、解答题 17. 解下列一元二次方程： （1） （2） （3） （4） 18. 如图，在坐标系中，、、． （1）在网格中画出经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M，并写出M的坐标为______； （2）这个圆的半径长为______； （3）直接判断点与的位置关系，点在______．（填内、外、上） 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； （2）若该方程的一个根为3，求m的值及该方程的另一根． 20. 如图，已知的两条弦相交于E点，且．求证：． 21. 已知关于的方程． （1）求证：无论为何值，方程总有实数根； （2）若方程的两个实数根为，，求代数式的值． 22. 如图，D是等腰三角形ABC底边的中点，过点A、B、D作． （1）求证：AB是的直径； （2）延长CB交于点E，连接DE，求证：DC=DE． 23. 如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”．例如是“差1方程”． （1）判断下列方程是否为“差1方程”？ （2）已知关于x的方程（m是常数）是“差1方程”，求m的值． 24. 如图，AB为的直径，弦CD与AB交于点E，连接AC、BD，，． （1）求的度数； （2）若，求CD的长． 25. 2022年在中国举办的冬奥会和残奥会令世界瞩目，冬奥会和残奥会的吉祥物冰墩墩和雪容融家喻户晓，成为热销商品．某网店以每套24元的价格购进一批冰墩墩和雪容融套件．二月份以每套30元的价格销售了256套，三、四月该商品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，四月份的销售量达到400套． （1）求三、四这两个月销售量的月平均增长率； （2）为回馈客户．该网店决定五月降价促销．经调查发现．在四月份销量的基础上，该商品每套降价1元，销售量就增加40套，当该商品每套降价多少元时，五月份可获利1920元？ 26. 如图，矩形中，，，动点P从点A出发，以每秒的速度向点B匀速移动，同时，点Q从点C出发，以每秒的速度向点D匀速移动，当其中一点到达终点时停止，同时另一点也随之停止移动． （1）经过多少时间时，四边形为矩形； （2）经过多少时间时，四边形的面积为； （3）经过多少时间时，点P和点Q之间的距离是． 27. 【问题情境】 （1）点A是外一点，点P是上一动点．若的半径为3，且，则点P到点A的最短距离为______． 【直接运用】 （2）如图1，在中，，，以为直径的半圆交于D，P是弧上的一个动点，连接，则的最小值是______． 【构造运用】 （3）如图2，已知正方形的边长为8，点M、N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿边方向向终点C和D运动，连接和交于点P，则点P到点C的最短距离，并说明理由． 【灵活运用】 （4）如图3，的半径为6，弦，点C为优弧上一动点，交直线于点M，则的面积最大值是______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $