精品解析：2025年上海市崇明区中考数学二模试卷

2024学年第二学期区学业质量调研 九年级数学 （测试时间：100分钟，满分：150分） 考生注意： 1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 3．考试中不能使用计算器． 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1. 下列运算中，计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据积的乘方，完全平方公式，同底数幂的除法，合并同类项，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，选项正确，符合题意； B、，选项错误，不符合题意； C、，选项错误，不符合题意； D、，选项错误，不符合题意； 故选A． 【点睛】本题考查整式的运算．熟练掌握相关运算法则，是解题的关键． 2. 当使用换元法解方程时，若设，则原方程可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】方程的两个分式具备平方关系，若设，则原方程化为y2-2y-3=0．用换元法转化为关于y的一元二次方程． 【详解】解：把代入原方程得：． 故选：． 【点睛】用换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧． 3. 甲、乙两人在相同条件下各射靶10次，每次射靶的成绩情况如图所示．根据统计图，下列结论正确的是（ ） A. 甲的射靶成绩的平均数大于乙的射靶成绩的平均数 B. 甲的射靶成绩比乙的射靶成绩稳定 C. 甲的射靶成绩比乙的射靶成绩好些 D. 在射靶上，甲比乙更有潜力 【答案】B 【解析】 【分析】根据平均数的概念进行计算从而判断A，分别求得甲乙方差从而判断B，通过对平均数和中位数的分析判断C，通过对甲乙成绩的变化趋势分析从而判断D 【详解】解：由题意可得： 甲的10次射靶的平均成绩为（环）， 乙的10次射靶的平均成绩为（环）， ∴甲的射靶成绩的平均数等于乙的射靶成绩的平均数，故选项A不符合题意； 甲的10次射靶的方差为 乙的10次射靶的方差为 ， ∵， ∴甲的射靶成绩比乙的射靶成绩稳定，故选项B符合题意； 从平均数上看，甲乙两人成绩一样，从中位数上看，甲的中位数为，乙的中位数为，因此乙的射靶成绩较好，故选项C不符合题意； 从平均成绩上看，甲乙二人平均成绩一样，从中位数上看，乙的中位数高于甲，从图象上看，乙的射靶成绩上升趋势更为明显，所以在射靶上，乙比甲更有潜力，故选项D不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了折线统计图，用到的知识点是平均数和方差，准确识图，根据平均数和方差的计算公式进行计算是解题关键． 4. 下列命题是真命题的是（ ） A. 四边都相等的四边形是正方形 B. 一组邻边相等的矩形是正方形 C. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方形的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、四边都相等的四边形是菱形，原命题是假命题，不符合题意； B、一组邻边相等的矩形是正方形，是真命题，符合题意； C、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，原命题是假命题，不符合题意； D、对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形，原命题是假命题，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查判断命题的真假．熟练掌握正方形的判定方法，是解题的关键． 5. 如图，点G是的重心，交BC于点E．如果，那么的长为（ ） A. B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是重心的概念和性质、相似三角形的判定和性质，掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的关键．连接并延长交于D，根据点G是的重心，得到，，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论． 【详解】解：连接并延长交于D， ∵点G是的重心， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 6. 在梯形中，//，那么下列条件中，不能判断它是等腰梯形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】等腰梯形的判定定理有：①有两腰相等的梯形是等腰梯形；②对角线相等的梯形是等腰梯形；③在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形，根据以上内容判断即可． 【详解】解：A、∵四边形ABCD为梯形，且//，，∴四边形ABCD是等腰梯形，故本选项不符合题意； B、∠DAB=∠ABC，不能推出四边形ABCD是等腰梯形，故本选项符合题意； C、∵四边形ABCD为梯形，且//，∠ABC=∠DCB，∴四边形ABCD是等腰梯形，故本选项不符合题意； D、∵四边形ABCD为梯形，且//，，∴四边形ABCD是等腰梯形，故本选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰梯形的判定定理，等腰梯形的判定定理有：①有两腰相等的梯形是等腰梯形，②对角线相等的梯形是等腰梯形，③在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形． 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7. 已知，那么_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质，掌握内项之积等于外项之积成为解题的关键． 依据可得，再代入代数式化简即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 8. 已知正比例函数y的值随着自变量x的值增大而增大，那么这个正比例函数的解析式可以是________．（只需写一个） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用正比例函数的性质解答． 根据正比例函数的性质可知，从而可以写出一个符合要求的函数解析式． 【详解】解：∵正比例函数y的值随着自变量x的值增大而增大， ∴， ∴这个正比例函数的解析式可以是， 故答案为：. 9. 化简：________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了实数与向量相乘，根据其运算法则进行计算即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 10. 已知二次函数的图像与轴的交点在正半轴上，那么的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题；先求得二次函数的图像与轴的交点，根据题意得出，即可求解． 【详解】解：当，则，即的图像与轴的交点为 ∵在正半轴上， ∴， ∴， 故答案为：． 11. 已知关于x的方程有两个相等的实数根，则k的值是_________． 【答案】±2 【解析】 【分析】一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式△=b2 -4ac= 0，建立关于k的等式，求出k的值． 【详解】由题意知方程有两相等的实根， ∴△=b2-4ac= k2-4= 0， 解得k=±2， 故答案为：±2． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2 + bx+c=0(a≠0)的根与△=b2- 4ac有如下关系：当△> 0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△= 0时，方程有两个相等的两个实数根；当△< 0时，方程无实数根． 12. 一个不透明的盒子中装有5个红球和4个白球，它们除颜色外都相同．若从中任意摸出一个球，则摸到白球的概率是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了概率公式的运用，准确计算是解题的关键． 用白球的个数除以总个数即可得解． 【详解】共有9个球在盒子中，其中4个白球， 从中任意摸出一个球，则摸到白球的概率是； 故答案是． 13. 一个正n边形的中心角为，则n为___________． 【答案】10 【解析】 【分析】根据正多边形的中心角和为计算即可． 【详解】解：， 故答案为：10． 【点睛】本题考查的是正多边形和圆，熟知正多边形的中心角和为是解答此题的关键． 14. 写出一个开口向上，顶点在y轴的负半轴上的抛物线的解析式：______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据二次函数的性质，抛物线开口向下a＞0，与y轴负半轴由交点c<0，然后写出即可． 【详解】解：开口向上，并且与y轴交点在y轴负半轴， ∴抛物线的表达式可以是：y＝x2﹣1． 故答案为y＝x2﹣1（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，开放型题目，主要利用了抛物线的开口方向与y轴的交点得到解析式． 15. 下面是三位同学对某个二次函数的描述． 甲：图象的形状、开口方向与的相同； 乙：顶点在轴上； 丙：对称轴是 请写出这个二次函数解析式的一般式：_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件知，此二次函数解析式为，且，，据此可得； 【详解】解：设函数解析式为，根据题意得，， 二次函数解析式是：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质及其解析式的形式． 16. 某校对学生上学方式进行了一次抽样调查，如图是根据此次调查结果所绘制的一个未完成的扇形统计图，被调查的学生中骑车的有21人，则下列四种说法：①被调查的学生有60人；②被调查的学生中，步行的有27人；③被调查的学生中，骑车上学的学生比乘车上学的学生多20人；④扇形图中，乘车部分所对应的圆心角为．其中正确的说法有___________．（填写序号） 【答案】①②④ 【解析】 【分析】利用骑车的人数除以其所占的百分比求出调查的总人数，再求出步行所占的百分比，利用总人数乘以步行所占的百分比求得步行的人数，然后利用乘车所占的百分比乘以总人数求得乘车的人数，再与骑车的人数相比即可，最后利用乘车所占的百分比乘以即可求得乘车所对应的圆心角． 【详解】解：由题意可得，参与调查的总人数为：（人），故①正确； ∵步行所占的百分比为：， ∴步行的人数为：（人），故②正确； ∵乘车的人数为：（人），（人）， ∴骑车上学的学生比乘车上学的学生多12人，故③错误， 乘车部分所对应的圆心角为：，故④正确， 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查扇形统计图，熟练掌握频数除以总人数等于其所占的百分比，求圆心角的方法是解题的关键． 17. 如图，在中，，，点在边上，且，将绕着点逆时针旋转，点落在的一条边上的点处，那么旋转角的度数是_____． 【答案】或 【解析】 【分析】分类讨论：当点在上，根据等边对等角和三角形内角和即可求得；当点在上，根据30度所对的直角边是斜边的一半和三角形的外角性质即可求得． 【详解】当点在上，如图： ∵，∴， ∴， 当点在上，如图： ∵， ∴， ∴， 故答案为：或 【点睛】本题考查旋转的性质，等边对等角，三角形内角和，30度角的直角三角形性质，三角形的外角性质，解题的关键是分类讨论思想的运用． 18. 如图，在平面直角坐标系中，有7个半径为1的小圆拼在一起，下面一行的4个小圆都与x轴相切，上面一行的3个小圆都在下一行右边3个小圆的正上方，且相邻两个小圆只有一个公共点，从左往右数，y轴过第2列两个小圆的圆心，点P是第3列两个小圆的公共点．若过点P有一条直线平分这7个小圆的面积，则该直线的函数表达式是______________． 【答案】 【解析】 【分析】当直线y过P、N两点时，由中心对称图形的特征可得直线y平分7个小圆的面积，由直线和圆的位置关系，圆和圆的位置关系求得N、P的坐标，再待定系数法求一次函数解析式即可； 【详解】解：如图，⊙N、⊙G、⊙M与x轴相切于F、O、E，连接NF、NG、GM、ME、PM，直线y过P、N两点， ∵右边6个小圆关于点P中心对称，直线y经过点P， ∴直线y平分右边6个小圆的面积， ∵直线y经过左边小圆的圆心， ∴直线y平分⊙N的面积， ∴直线y平分7个小圆的面积， NF⊥x轴，GO⊥x轴，则NF∥GO， NF=GO=1，则NFOG是平行四边形， ∠GOF=90°，则NFOG是矩形， ∵⊙N、⊙G相切， ∴NG=2，即N（-2，1）， 同理可得M（2，1）， ∵P在⊙M的正上方，E点在⊙M的正下方， ∴PE为⊙M的直径，即P、M、E共线， ∴P（2，2）， 设直线y=kx+b，则 ，解得：， ∴， 故答案为：； 【点睛】本题考查了中心对称图形的特征，直线和圆的位置关系，圆和圆的位置关系，一次函数解析式；掌握中心对称图形的特征是解题关键． 三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂、绝对值、负整数指数幂、立方根的运算法则，解题的关键是掌握运算法则进行解题． 由零指数幂、绝对值、负整数指数幂、立方根的运算法则进行计算，即可得到答案． 【详解】解： = =； 20. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的求解，准确计算是解题的关键． 分别求出两个不等式的解集即可得出结论． 【详解】， 由①得：， 由②得：， 不等式组的解集为：． 21. 如图，是的直径，是一条弦，D是的中点，于点E，交于点F，交于点H，交于点G． （1）求证：． （2）若，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2）5 【解析】 【分析】（1）根据D是的中点，于点E，得到,得到即可得证． （2）根据，设，运用勾股定理，得到，结合，得到，运用勾股定理，得到，从而得到，在中，利用勾股定理计算x即可． 【小问1详解】 ∵D是的中点， ∴， ∵，是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 ∵，是的直径， ∴， ∵， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴的半径为5． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，正弦函数，熟练掌握垂径定理，勾股定理，圆周角定理，正弦函数是解题的关键． 22. 如图，小河的对岸有一座小山，小明和同学们想知道山坡AB的坡度，但由于山坡AB前有小河阻碍，无法直接从山脚B处测得山顶A的仰角，于是小明和同学们展开了如下的测量： 第一步：从小河边的C处测得山顶A的仰角为； 第二步：从C处后退30米，在D处测得山顶A的仰角为； 第三步：测得小河宽BC为33米． 已知点B、C、D在同一水平线上，请根据小明测量的数据求山坡AB的坡度． （参考数据：，，，，，） 【答案】山坡AB的坡度 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．过点A作，交的延长线于点H，根据正切的定义用表示出，进而出去，再求出，根据坡度的概念计算，得到答案． 【详解】解：如图，过点A作，交的延长线于点H， 在中，， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴（米）， ∴， ∴山坡的坡度为：． 23. 已知：如图，在平行四边形中，对角线、交于E，M是边延长线上的一点，联结，与边交于F，与对角线交于点G． （1）求证：； （2）联结，如果，求证：平行四边形是菱形． 【答案】（1） 证明：∵平行四边形， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴； （2） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平行四边形中，对角线、交于E， ∴， ∴，即：， ∴平行四边形是菱形． 【解析】 【分析】（1）证明，得到，证明，得到，进而得到，即可得证； （2）证明，推出，进而得到，即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，菱形的判定．本题的综合性较强，解题的关键是证明三角形相似． 24. 已知在平面直角坐标系中，拋物线与轴交于点和点，与轴交于点 ，点是该抛物线在第一象限内一点，联结与线段相交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）设抛物线的对称轴与线段交于点，如果点与点重合，求点的坐标； （3）过点作轴，垂足为点与线段交于点，如果，求线段的长度． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将点和点代入，即可求解； （2）分别求出和直线的解析式为，可得，，再求直线的解析式为，联立，即可求点； （3）设，则，则，用待定系数法求出直线的解析式为，联立，可求出，，直线与轴交点，则，再由，可得，则有方程，求出，即可求． 【小问1详解】 解：将点和点代入， ， ， ； 【小问2详解】 解：， 对称轴为直线， 令，则， 解得或， ， 设直线的解析式为， ， ， ， ，， 设直线的解析式为， ， ， ， 联立， 或（舍， ； 【小问3详解】 解： 设，则， ， 设直线的解析式为， ， ， ， 联立， ， ，， 直线与轴交点， ， ， ， 轴， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是二次函数的综合题，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象及性质，会求二次函数的交点坐标，本题计算量较大，准确的计算也是解题的关键． 25. 如左图，为探究一类矩形的性质，小明在边上取一点E，连接，经探究发现：当平分时，将沿折叠至，点F恰好落在上，据此解决下列问题： （1）求证：； （2）如图，延长交于点G，交于点H． ①求证： ； ②求的值 【答案】（1） 证明：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， 由折叠的性质得：，， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）①证明：∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， 由折叠的性质得：， 即， ∴， ∴       即； ② 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质可得，再由折叠的性质可得，然后根据平分，可得，即可； （2）①根据是等腰直角三角形，可得，再由，可得，，从而得到，再由折叠的性质可得，可证明，即可；②根据等腰直角三角形的性质可得，从而得到，进而得到，再证明，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②解：∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质，三角形相似的判定和性质，证明是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第二学期区学业质量调研 九年级数学 （测试时间：100分钟，满分：150分） 考生注意： 1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 3．考试中不能使用计算器． 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1. 下列运算中，计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 当使用换元法解方程时，若设，则原方程可变形为（ ） A. B. C. D. 3. 甲、乙两人在相同条件下各射靶10次，每次射靶的成绩情况如图所示．根据统计图，下列结论正确的是（ ） A. 甲的射靶成绩的平均数大于乙的射靶成绩的平均数 B. 甲的射靶成绩比乙的射靶成绩稳定 C. 甲的射靶成绩比乙的射靶成绩好些 D. 在射靶上，甲比乙更有潜力 4. 下列命题是真命题的是（ ） A. 四边都相等的四边形是正方形 B. 一组邻边相等的矩形是正方形 C. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 5. 如图，点G是的重心，交BC于点E．如果，那么的长为（ ） A. B. 4 C. 6 D. 8 6. 在梯形中，//，那么下列条件中，不能判断它是等腰梯形的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7. 已知，那么_______． 8. 已知正比例函数y的值随着自变量x的值增大而增大，那么这个正比例函数的解析式可以是________．（只需写一个） 9. 化简：________． 10. 已知二次函数的图像与轴的交点在正半轴上，那么的取值范围是________． 11. 已知关于x的方程有两个相等的实数根，则k的值是_________． 12. 一个不透明的盒子中装有5个红球和4个白球，它们除颜色外都相同．若从中任意摸出一个球，则摸到白球的概率是_______． 13. 一个正n边形的中心角为，则n为___________． 14. 写出一个开口向上，顶点在y轴的负半轴上的抛物线的解析式：______． 15. 下面是三位同学对某个二次函数的描述． 甲：图象的形状、开口方向与的相同； 乙：顶点在轴上； 丙：对称轴是 请写出这个二次函数解析式的一般式：_________． 16. 某校对学生上学方式进行了一次抽样调查，如图是根据此次调查结果所绘制的一个未完成的扇形统计图，被调查的学生中骑车的有21人，则下列四种说法：①被调查的学生有60人；②被调查的学生中，步行的有27人；③被调查的学生中，骑车上学的学生比乘车上学的学生多20人；④扇形图中，乘车部分所对应的圆心角为．其中正确的说法有___________．（填写序号） 17. 如图，在中，，，点在边上，且，将绕着点逆时针旋转，点落在的一条边上的点处，那么旋转角的度数是_____． 18. 如图，在平面直角坐标系中，有7个半径为1的小圆拼在一起，下面一行的4个小圆都与x轴相切，上面一行的3个小圆都在下一行右边3个小圆的正上方，且相邻两个小圆只有一个公共点，从左往右数，y轴过第2列两个小圆的圆心，点P是第3列两个小圆的公共点．若过点P有一条直线平分这7个小圆的面积，则该直线的函数表达式是______________． 三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19. 计算：． 20. 解不等式组： 21. 如图，是的直径，是一条弦，D是的中点，于点E，交于点F，交于点H，交于点G． （1）求证：． （2）若，求的半径． 22. 如图，小河的对岸有一座小山，小明和同学们想知道山坡AB的坡度，但由于山坡AB前有小河阻碍，无法直接从山脚B处测得山顶A的仰角，于是小明和同学们展开了如下的测量： 第一步：从小河边的C处测得山顶A的仰角为； 第二步：从C处后退30米，在D处测得山顶A的仰角为； 第三步：测得小河宽BC为33米． 已知点B、C、D在同一水平线上，请根据小明测量的数据求山坡AB的坡度． （参考数据：，，，，，） 23. 已知：如图，在平行四边形中，对角线、交于E，M是边延长线上的一点，联结，与边交于F，与对角线交于点G． （1）求证：； （2）联结，如果，求证：平行四边形是菱形． 24. 已知在平面直角坐标系中，拋物线与轴交于点和点，与轴交于点 ，点是该抛物线在第一象限内一点，联结与线段相交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）设抛物线的对称轴与线段交于点，如果点与点重合，求点的坐标； （3）过点作轴，垂足为点与线段交于点，如果，求线段的长度． 25. 如左图，为探究一类矩形的性质，小明在边上取一点E，连接，经探究发现：当平分时，将沿折叠至，点F恰好落在上，据此解决下列问题： （1）求证：； （2）如图，延长交于点G，交于点H． ①求证： ； ②求的值 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $